1、第三章第三章 聚类分析聚类分析 第一节 集合论基础集合论基础第二节 模糊集合的基本知识模糊集合的基本知识 第三节 模糊聚类分析模糊聚类分析 第四节 动态聚类分析动态聚类分析 第五节 系统聚类分析系统聚类分析 第一节第一节 集合论基础集合论基础 集合论是进行系统分析的重要理论基础。集合论是进行系统分析的重要理论基础。尤其是其中许多概念，方法等，在系统分析尤其是其中许多概念，方法等，在系统分析中有哲广泛的应用。因此介绍有关集合论的中有哲广泛的应用。因此介绍有关集合论的基础知识，对深刻理解和掌握系统工程的基基础知识，对深刻理解和掌握系统工程的基本理论和方法有着重要意义。本理论和方法有着重要意义。一一
2、 几个逻辑运算符号几个逻辑运算符号 以上三个运算符号被广泛应用。下面用以上三个运算符号被广泛应用。下面用真值表来说明它们的物理意义。真值表来说明它们的物理意义。设设 P、Q 为两个逻辑变量为两个逻辑变量 其取值为其取值为:则则、真值表如表所示真值表如表所示。P PQ QT T T TU UR RE E1 1F F F FA AL LS SE E0 0、，或，或表表 3-1 、真值表、真值表PPQPQ PQTTFFFFTTTFTFTFFFTTTF 由表可知：逻辑非（由表可知：逻辑非（）具有反意词的意义。如）具有反意词的意义。如代表学生，则代表学生，则 表示不是学生；逻辑与（表示不是学生；逻辑与（
3、）、逻辑或）、逻辑或（）代表两个逻辑变量的运算结果。对于逻辑与（）代表两个逻辑变量的运算结果。对于逻辑与（）来讲，）来讲，当、同时为时，当、同时为时，为，否则为假（）。对逻辑为，否则为假（）。对逻辑或（或（）来讲，则与至少有一个为，）来讲，则与至少有一个为，为，否则为，否则为（）。为（）。对真值表的理解，从简单的开关电路中看的更为清楚。设对真值表的理解，从简单的开关电路中看的更为清楚。设、代表两个电源开关，开关关上为，打开为。电路的、代表两个电源开关，开关关上为，打开为。电路的灯泡则代表逻辑与（灯泡则代表逻辑与（）和逻辑或（）和逻辑或（），电灯泡亮为，不），电灯泡亮为，不亮为。显然，亮为。显然
4、，图图开关串联电路中的灯泡亮与不亮则表开关串联电路中的灯泡亮与不亮则表示逻辑与（示逻辑与（）的取值，）的取值，图图的开关并联电路中的灯泡亮的开关并联电路中的灯泡亮与不亮则表示逻辑或（与不亮则表示逻辑或（）的取值。）的取值。PQP Q图图 3-1 开关串联电路开关串联电路图图 3-2 开关并联电路开关并联电路PQP Q条件语句条件语句 条件语句是表示逻辑变量之间，或等式之间相互因果关条件语句是表示逻辑变量之间，或等式之间相互因果关系的一种表达形系的一种表达形式式,分为单向条件语句和双向条件语句。分为单向条件语句和双向条件语句。（）单向条件语句记成（）单向条件语句记成“”，读作有必有。，读作有必有
5、。若为，且有为，则单向条件语句成立，若为，且有为，则单向条件语句成立，；反之若为，而为，则条件语句反之若为，而为，则条件语句不成立，不成立，。（）双向条件语句记成（）双向条件语句记成“”，读作有必有，读作有必有，有必有。有必有。若为（），且有为（若为（），且有为（F)F)，则双向条，则双向条件语句成立，件语句成立，；若；若为为(F)，而为，而为F()，则，则条件语句不成立，条件语句不成立，。同样，条件语句的物理意义也可用真值表说明，见表同样，条件语句的物理意义也可用真值表说明，见表。PQ单单向向条条件件语语句句P Q双双向向条条件件语语句句P QTTFFTFTFTFFTTFFT表表 3-2 条
6、件语句真值表条件语句真值表量词量词 在数学描述式中，特别是在集合论在数学描述式中，特别是在集合论中，经常用到下面两个量词：中，经常用到下面两个量词：()万有量词万有量词，可读成，可读成“全部全部”、“所有所有”、“一切一切”。如如 ，等。等。()存在量词存在量词，可读成，可读成“总有总有”、“至少有至少有”。如如 ,读成至读成至少一个少一个 属于属于 ，而，而 不属于不属于 。0jxxxBxAxAAxB二二 普通集合的基本概念普通集合的基本概念1.集合与元素集合与元素 当我们把一群确定的事物当作整体来考察时，则该整体就当我们把一群确定的事物当作整体来考察时，则该整体就叫作集合，或简称集。例如某
7、学校的全体教职员工可视为一个叫作集合，或简称集。例如某学校的全体教职员工可视为一个集合；全体教职员工、教学实验设备等也可视为一个集合，习集合；全体教职员工、教学实验设备等也可视为一个集合，习惯上，我们常用大写字母惯上，我们常用大写字母、表示集合，集合中表示集合，集合中的每一个具体事物叫做这个集合的元素（或简称元），并用大的每一个具体事物叫做这个集合的元素（或简称元），并用大括号括起来，以表示是一个整体。集合的元素一般用小写字母括号括起来，以表示是一个整体。集合的元素一般用小写字母、来表示。例如已知集合来表示。例如已知集合为为 A=a1,a2,an说明集合说明集合A A中含有中含有n n个元素。
8、我们又定义集合中元素的个数叫集个元素。我们又定义集合中元素的个数叫集合的势或基数，记合的势或基数，记。当集合中的元素为有限个时，叫有限集合，集当集合中的元素为有限个时，叫有限集合，集合中的元素为无限时叫无限集合。合中的元素为无限时叫无限集合。元素与集合的关系不是属于关系就是不属于关元素与集合的关系不是属于关系就是不属于关系，二者必居其一。系，二者必居其一。若若是集合是集合的一个元素，即的一个元素，即属于属于，记为，记为，若，若不是集合不是集合的一个元素，即的一个元素，即不属不属于于，记为，记为。上述元素与集合的关系可用特征函数来描述，上述元素与集合的关系可用特征函数来描述，即即时当时当AxAx
9、xA10)(2.集合的表示方法集合的表示方法 集合的表示方法有多种多样。就给定的集合来讲，一般集合的表示方法有多种多样。就给定的集合来讲，一般有三种表达形式：有三种表达形式：()列举法列举法 指把集合中的所有元素一一列举出来的方指把集合中的所有元素一一列举出来的方法。如法。如1,2,3,4,1,2,3,4,B=b1,b2,b3等。等。()趋势法趋势法 这种表达方法仅适用于集合中元素的排列这种表达方法仅适用于集合中元素的排列具有某种规律性，此时只需列举出有限个元素，其余元素可具有某种规律性，此时只需列举出有限个元素，其余元素可用省略号用省略号“”表示。例如：表示。例如：A=,-1,0,1,2,B
10、=a1,a2,an ()描述法描述法 又称谓语语句法，这是一种广泛应用的又称谓语语句法，这是一种广泛应用的集合表示方法。其一般表集合表示方法。其一般表达式如下达式如下 A=x|p(x)式中：式中：x表示集合元素；表示集合元素；p(x)-作为谓语，用以说明作为谓语，用以说明x是什么，或在什么范围内变化。是什么，或在什么范围内变化。例如：例如：x1 1 x 2 2 这里这里p(x)是说明集合是说明集合的元素是由的元素是由,闭区间全闭区间全体实数组成的。又如：体实数组成的。又如：此集合与此集合与 完全等价。完全等价。,2,1nixAi,21nxxxA3.集合的包含与相等集合的包含与相等 包含关系是用
11、来描述集合与集合之间关系的一种表示方法。包含关系是用来描述集合与集合之间关系的一种表示方法。设有设有、二集，如果属于二集，如果属于的元素全部属于的元素全部属于，则，则称作称作的一个子集，或说集的一个子集，或说集包含集包含集，记成，记成 B，或，或 A。其数。其数学描述如下：学描述如下：一个集合一个集合A A称为称为的真子集，则的真子集，则与与的关系叫真包含关的关系叫真包含关系，记成系，记成。其数。其数学描述如下：学描述如下：例如：例如：A A a a,b b,B B=a a,b b,c c，则有，则有。根据包含关系，我们可定义两个集合相等的关系式，即根据包含关系，我们可定义两个集合相等的关系式
12、，即 (3-3)(3-3)如果两个集合存在着包含关系的话，不是相等关系，就是如果两个集合存在着包含关系的话，不是相等关系，就是真包含关真包含关系。系。(3-3)(3-3)式则是全面反映了这两种关系式则是全面反映了这两种关系。AyByBxAxBA不一定AyByBxAxBAABBABA 注意：注意：对于两个相等的集合还有以下两个对于两个相等的集合还有以下两个性质：性质：()重复元素没有意义，即重复元素没有意义，即 1,2,2,4=1,2,41,2,2,4=1,2,4 ()同一集合不同表达形式当然相等。例同一集合不同表达形式当然相等。例如：如：x|x(x-1)=0-1)=0，=0,1=0,1 则则。
13、4.几个重要集合几个重要集合 ()空集空集 指不含有任何元素的集合。其表达式如下：指不含有任何元素的集合。其表达式如下：xP P(x)P P(x)式中谓语式中谓语P P(x)P P(x)说明既满足说明既满足(x)，又满足，又满足(x)的的元素是不存在的。因为元素是不存在的。因为(x)为为，P P(x)为为F F，显然这样的，显然这样的x是是不存在的，故为空集。不存在的，故为空集。()单元素集单元素集 只含有一个元素的集合叫单元素集，如只含有一个元素的集合叫单元素集，如a，b等。等。单元素集与单元素是两个完全不同的概念。如单元素集与单元素是两个完全不同的概念。如“学生学生”做为集合的一个元素，可
14、能是做为集合的一个元素，可能是男学生，女学生，也可能是若干男学生，女学生，也可能是若干个学生，而个学生，而学生学生，则表示学生的全体。，则表示学生的全体。()全集全集U U 指由论域全体元素组成的集合叫全集，一般记指由论域全体元素组成的集合叫全集，一般记成成U U 。其表达式为。其表达式为:U U=xP P(x)(x)式中的谓语式中的谓语P P(x)P P(x)与并运算等价。意指满足与并运算等价。意指满足(x)和和不满足不满足(x)都是集合的元素。都是集合的元素。(4)(4)幂集幂集 设设A A为任意有限集合，则包含为任意有限集合，则包含和和在内的在内的全部子集族称作集合全部子集族称作集合的幂
15、集，记为的幂集，记为(A)。例如：例如：当当 根据上面的例子，我们归纳给出求幂集势的一般公式如下根据上面的例子，我们归纳给出求幂集势的一般公式如下因为因为所以所以 n n2 21 1n nn n2 21 1n n3 33 33 32 22 22 21 11 11 1A Aa aa aA Aa ab ba aA AA Ab bc ca ac ca ab bc cb ba aA Ac cb ba aA AA Ab ba aA Ab ba aA AA AA Aa aA A ,:,|,|,|,|,|A A1 1P P A A2 22 2A A2 2P P A A2 24 4A A3 3P P A A2
16、 28 8A An nP P A A2 21 11 11 12 22 22 23 33 33 3n nn nn n三三 直积集直积集 顾名思言，直积集可表面理解成两个以上顾名思言，直积集可表面理解成两个以上集合直接相乘而得到的集合。但事实并非完全集合直接相乘而得到的集合。但事实并非完全如此。直积集又叫序集，它是建立在有序对概如此。直积集又叫序集，它是建立在有序对概念基础上而定义的念基础上而定义的新集合，这也是它与普通集新集合，这也是它与普通集合的本质区别所在。为了给出直积集的一般定合的本质区别所在。为了给出直积集的一般定义。我们需首先介绍有序对的概念。义。我们需首先介绍有序对的概念。1.有序对
17、有序对 在解析几何中我们知道，可用一对有顺序的实数（在解析几何中我们知道，可用一对有顺序的实数（x x，），）来表示平面座标上来表示平面座标上的一个点。的一个点。某中规定所在位置叫第一座标，某中规定所在位置叫第一座标，代表在轴上的取值；所在位置叫第二座标，代表在轴上代表在轴上的取值；所在位置叫第二座标，代表在轴上的取值。显然，的取值。显然，#!&#!&随着随着x,yx,y的不同取值，便对应着平面上不同的不同取值，便对应着平面上不同的点，并且一般情况下，的点，并且一般情况下，(x,y)(y,x)(x,y)(y,x)如图所示，如图所示，(3,1)(1,3)(3,1)(1,3)，(-1,3)(3,-
18、1)(-1,3)(3,-1)，(-2,2)(2,-2)(-2,2)(2,-2)等等。这说等等。这说明，有序对引入了位序的概念，而普通集合则与元素排列顺序明，有序对引入了位序的概念，而普通集合则与元素排列顺序无关，如无关，如11，2=22=2，11。两个有序对，只有当它们的第一座标和第二座标分别相等两个有序对，只有当它们的第一座标和第二座标分别相等时时,才认为它们是相等的，即才认为它们是相等的，即 (a,b)=(p,q)(a,b)=(p,q)a=pb=qa=pb=q(3,1)(3,1)x x(-1,3)(-1,3)(2,-1)(2,-1)(3,-1)(3,-1)(1,3)(1,3)(-2,2)(
19、-2,2)y图图 3-3 直角坐标系直角坐标系 2.直积集直积集 设设、为任意两个非空集合，则由为任意两个非空集合，则由、中的全体元中的全体元素组成的有序对（素组成的有序对（,）叫做）叫做到到的直积集，记为的直积集，记为，即，即 =(a=(a，b)b)aabb，且，且,取遍取遍A A、中中的一切元的一切元 式中式中(，）又叫有序二元，并且位于第一座标，）又叫有序二元，并且位于第一座标，位于第二座标。位于第二座标。如果第一座标取自如果第一座标取自的一切元，第二座标取自的一切元，第二座标取自的一切的一切元，则全体有序对（元，则全体有序对（,）组成的直积集叫）组成的直积集叫到到的直积的直积集，记成集
20、，记成，即，即 (b(b，a)a)bbB BaaA A，且，且b b，a a取遍取遍B B，A A的一的一切元切元 根据有序对的定义，显然有根据有序对的定义，显然有 如果如果A A=B B,则有则有A AB=BB=BA=AA=A2 2=B B2 2 此时此时A A2 2(B B2 2)叫集上直积集，又叫直幂集。叫集上直积集，又叫直幂集。实例实例：例：已知例：已知 ，求求A A到到B B的直积的直积集。集。解：解：A A(a(a，b)b)aaA AbbB B，且，且a a，b b取遍取遍A A，B B的一切的一切元元 例例2 2：已知：已知-x,y-x,y，求直积集。，求直积集。解：解：其中其中
21、 叫二维笛卡空间叫二维笛卡空间，也即是说，若也即是说，若取全体实数集取全体实数集合，则其直幂集代合，则其直幂集代表平面上全部点的集合表平面上全部点的集合。A Aa a a aB Bb b b b b b1 12 21 12 23 3,a a b ba a b ba a b ba a b ba a b ba a b b1 11 11 12 21 13 32 21 12 22 22 23 3,X XY YY YX XX XY Yx x y yx x y yD D2 22 22 2 ,|.D D2 2 3.推广推广 以上我们研究的是两个集合的直积集问题，其中有序对叫以上我们研究的是两个集合的直积集问
22、题，其中有序对叫有序二元。那么，我们完全可以仿照这种思路，把直积集的概有序二元。那么，我们完全可以仿照这种思路，把直积集的概念推广到几个集合。念推广到几个集合。设已知设已知 个非空集合，则个非空集合，则 到到 ，到到 的直积集记成的直积集记成 ，且且 式中：（式中：（）-叫有序叫有序n n元。元。当时，则为两个集合的直积集；当时，则是当时，则为两个集合的直积集；当时，则是三个集合的直积集等等。三个集合的直积集等等。n n1 1i ii iA A n n1 1i in n2 21 1n n2 21 1n nn n2 22 21 11 1n n2 21 1i iA AA AA Aa aa aa a
23、A Aa aA Aa aA Aa aa aa aa aA A的一切元取遍且,|,A AA AA A1 12 2n nA A1 1A A2 2A A3 3A A2 2n n2 21 1a aa aa a ,同理，当上式同理，当上式 时，则时，则称作直幂集。称作直幂集。关于直积集的势，给出如下两个计算公式：关于直积集的势，给出如下两个计算公式：当当A A1 1=A=A2 2=A=A时，时，A AA AA A1 12 2n nn nn n1 1i ii iA AA A|n n2 21 1n n1 1i ii iA AA AA AA A n nn n1 1i ii iA AA A|四四 关系集关系集
24、研究直积集的根本目的，就是为了进一步研研究直积集的根本目的，就是为了进一步研究关系集做准备。客观物究关系集做准备。客观物质世界普遍存在着各种质世界普遍存在着各种各样的联系，而这种联系又都可表现为各种关系。各样的联系，而这种联系又都可表现为各种关系。例如：在社会中例如：在社会中,在家庭中在家庭中,在数学上在数学上,在生物界在生物界,在在一部机器上等等。一部机器上等等。任何一种联系都可定义一种关任何一种联系都可定义一种关系。关系集就是各种关系的数学描述方法系。关系集就是各种关系的数学描述方法，对我，对我们认识和改造客观世界有着重要指导意义。们认识和改造客观世界有着重要指导意义。1.关系集的数学描述
25、关系集的数学描述 设设 为个非空集合，则直积集为个非空集合，则直积集 的一个的一个子集子集 叫叫 的一个元关系集，显然的一个元关系集，显然 根据全集的定义，根据全集的定义，即是即是n n元关系全集，故可令元关系全集，故可令 在客观世界中，存在着二元关系、三元关系、四元关系在客观世界中，存在着二元关系、三元关系、四元关系等多元关系。如一个家庭、若干国家组成的经济共同体、各等多元关系。如一个家庭、若干国家组成的经济共同体、各种球类比赛的各个球队等，都属于多元关系。但是，在多元种球类比赛的各个球队等，都属于多元关系。但是，在多元关系中，二元关系是大量的，也是最基本的。因此，我们将关系中，二元关系是大
26、量的，也是最基本的。因此，我们将重点重点讨论二元关系。讨论二元关系。A A A AA A1 12 2n n,n n1 1i ii iA AR Rn nn n1 1i ii iA An n1 1i ii in nA AR Rn n1 1i ii iA An n1 1i ii iA AU U2.二元关系集的定义二元关系集的定义 由由 式可知，当时，则式可知，当时，则 叫做叫做 的一个的一个二二元素关系集，元素关系集，叫二元关系全集。然叫二元关系全集。然而，无论而，无论 式，还是式，还是 式，它们都没有式，它们都没有对关系子集的确切含意加以说明，因此，也就无法给出具体对关系子集的确切含意加以说明，因
27、此，也就无法给出具体的关系子集。的关系子集。以后讨论的二元关系集都记成，而不记成以后讨论的二元关系集都记成，而不记成 。U UA AR R2 21 1i ii i2 2n n1 1i ii in nA AR R2 21 1i ii iA A2 21 1i ii iA AU UA AR R2 21 1i ii i2 2R RA An ni ii i 1 1n nR R2 2 设已知设已知、两个非空集合，则两个非空集合，则的一个子集的一个子集 叫叫的一个二元关系集，且的一个二元关系集，且 (a,b)(a,b)aaA AbbB Baa与与b b是什么关系是什么关系 显然，上式中的谓语是定义与是什么关
28、系的，显然，上式中的谓语是定义与是什么关系的，也是我们给出也是我们给出二元关系集的基本依据二元关系集的基本依据。例例1 1：已知集合：已知集合A A=1,2,3,=1,2,3,定义定义A A上的一个二元关系上的一个二元关系集为集为R R=(a,b)=(a,b)a,ba,bA Aabab。则有。则有:=(1,1),(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,3)=(1,1),(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,3)A A2 2同理，若定义同理，若定义=(a,b)=(a,b)a,ba,bA Aaab b 则有则有 (1,1),(2,2),(3,3)(1,1),(2,2)
29、,(3,3)A A2 2 例例2 2：已知小张（女）、小王（男）、小李（女）三名同学分别记为、：已知小张（女）、小王（男）、小李（女）三名同学分别记为、。即。即aa，b b，cc。我们做如下定义：。我们做如下定义：R=(aR=(a，b)b)a a，bAabAa与与b b为同学关系为同学关系，则，则 R=(aR=(a，b)b)a a，bAabAa与与b b为女同学关系为女同学关系，则，则 R=(aR=(a，a)a)，(a(a，c)c)，(c(c，a)a)，(c(c，c)c)R=(aR=(a，b)b)a a，bAabAa与与b b为男同学关系为男同学关系，则，则 R=(bR=(b，b)b)由上面例
30、题不难看出，任何一个关系子集都需给出明确的定义，关系子集与关由上面例题不难看出，任何一个关系子集都需给出明确的定义，关系子集与关系全集之间具有一般包含关系（系全集之间具有一般包含关系（）。）。与普通集合一样，任意一个二元关系（，）可能属于关系集与普通集合一样，任意一个二元关系（，）可能属于关系集R R，也可能不，也可能不属于关系集属于关系集R R，为以后分析问题方便，我们规定：，为以后分析问题方便，我们规定：当当(a(a，b)b)时，则说明与具有关系时，则说明与具有关系R R，记成，记成R R；当当(a(a，b)b)时，则说明与不具有关系时，则说明与不具有关系R R，记成，记成 。R RA A
31、a aa aa ab ba ac cb bb bb ba ab bc cc cc cc ca a c cb b2 2=(),(),(),(),(),(,(),()()，），R R 3.关系图、关系矩阵关系图、关系矩阵 二元关系与运筹学的分枝二元关系与运筹学的分枝“图论图论”有着密切的关系。可以有着密切的关系。可以说二元关系是图论的基础，而图论是二元关系的图形表示。说二元关系是图论的基础，而图论是二元关系的图形表示。空间集合的二元关系，都可抽象成平面上点集之间的对应空间集合的二元关系，都可抽象成平面上点集之间的对应关系。并规定用一条矢线从第一座标指向第二座标来表示这种关系。并规定用一条矢线从第一
32、座标指向第二座标来表示这种关系。这样，任意一个二元关系，都可画成相对应的关系图，关系。这样，任意一个二元关系，都可画成相对应的关系图，从而使二元关系变得更加清晰明了。下面举从而使二元关系变得更加清晰明了。下面举两个实例。两个实例。例：已知例：已知 要求画出要求画出的全关系图。答案如图的全关系图。答案如图3-43-4所示。所示。例例2 2：已知：已知1,2,1,2,R,R为定义在上的一个二元关系集，为定义在上的一个二元关系集，(a,b)|a,bAab(a,b)|a,bAab，要求画出上的全关系图和关系图。，要求画出上的全关系图和关系图。因为因为 =(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),
33、(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)=(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)R=(1,1),(1,2),(1,3),(2,2),(2,3)(3,3)R=(1,1),(1,2),(1,3),(2,2),(2,3)(3,3)根据二元关系规定，给出关系图如图根据二元关系规定，给出关系图如图3-53-5所示所示。A Aa a a a a aB Bb b b b b b1 12 23 31 12 23 3,A A2 2ABa1a2a3b1b2b3图图 3-4 AB全关系图全关系图 图图 3-5 A上关系图上关系图
34、a.全关系图全关系图b.R关系图关系图123123 一个关系图必对应一个关系矩阵，相反亦一个关系图必对应一个关系矩阵，相反亦成立。对关系矩阵做如下定义：成立。对关系矩阵做如下定义：上式表明关系矩阵是个矩阵。根据上式表明关系矩阵是个矩阵。根据全关系图和全关系图和R R关系图可给出如下关系关系图可给出如下关系矩阵：矩阵：j ji ij ji ib bR Ra a0 0R Rb ba a1 1R Ri ij jm mx xn nR Ri ij jR Rm mm mM M当当,)(M M1 11 11 11 11 11 11 11 11 1U UM M1 11 11 10 01 11 10 00 01
35、 1R R4.二元关系的性质二元关系的性质 二元关系有五个重要性质，深刻了解这些性质，二元关系有五个重要性质，深刻了解这些性质，对正确分析系统中的各种关系非常重要。设是集合对正确分析系统中的各种关系非常重要。设是集合上的一个二元关系。则可能具有如下五个性质：上的一个二元关系。则可能具有如下五个性质：(1)R(1)R具有反身性具有反身性xAxAxRxxRx.(2)R (2)R具有反反身性具有反反身性x x A Ax x x.x.(3)R (3)R具有对称具有对称x.yAxRyx.yAxRyyRxyRx。(4)R(4)R具有反对称具有反对称x.yAxRyx.yAxRyy y x x。(5)R(5)
36、R具有传递具有传递x.y.zAxRyyRzx.y.zAxRyyRzxRzxRz。假设已知集合假设已知集合1,2,31,2,3，集上的二元关系分，集上的二元关系分别为别为：RR (1)(1)当当R=(a,b)R=(a,b)a.bAa=ba.bAa=b，则，则 R=(1,1)(2,2)(3,3)R=(1,1)(2,2)(3,3)说明说明R R满足反身性，即满足反身性，即 xRxR。(2)(2)当当R=(a,b)R=(a,b)a.bAaa.bAabb，则，则 R=(1,2),(1,3),(2,3)R=(1,2),(1,3),(2,3)。说明说明R R满足：满足：a.a.反反身性反反身性 A Ax x
37、 x x b.b.反对称性反对称性x.yAxRyx.yAxRyy y x x c.c.传递性传递性 1,2,3A1R22R31,2,3A1R22R31R31R3。(3)(3)当当R=(a,b)R=(a,b)a.bAaba.bAab，则，则 R=(1,1),(2,2),(3,3),(2,1),(3,2),(3,1).R=(1,1),(2,2),(3,3),(2,1),(3,2),(3,1).说明说明R R满足满足:a.a.反身性反身性xAxAxRxxRx b.b.反对称性反对称性x.yAxRyx.yAxRyy y x x c.c.传递性传递性3,2,1A3R22R13,2,1A3R22R13R1
38、3R1。RRR五五 序集序集 顺序或排序在系统分析与评价中经常用到顺序或排序在系统分析与评价中经常用到.从从集合的观点出发，如果依据某种原则，如大小关系、集合的观点出发，如果依据某种原则，如大小关系、优序关系、包含关系等，将集合的元素排成一定序优序关系、包含关系等，将集合的元素排成一定序列，我列，我们就称该集合为序集。在系统分析与评价中，们就称该集合为序集。在系统分析与评价中，经常用到的序集有以下几个。经常用到的序集有以下几个。1.偏序集偏序集 定义定义 设为一非空集合，是上的一个二元关设为一非空集合，是上的一个二元关系，如果满足：系，如果满足：(1)(1)反身性反身性 (2)(2)反对称性反
39、对称性 (3)(3)传递性传递性 则说则说R R是是A A上的一个偏序关系集上的一个偏序关系集,记成记成 P=A,P=A,式中：代表偏序集合式中：代表偏序集合 -是偏序关系代号，可能是是偏序关系代号，可能是“”、“”、“”等关系。等关系。P=A,式可读作在集上的偏序（式可读作在集上的偏序（）关系集合。）关系集合。例：已知例：已知a,ba,b，(A)=(A)=，则幂集上的包含关系便是一个偏序集，即则幂集上的包含关系便是一个偏序集，即 R=P=(A),R=P=(A),=(a=(a，b)b)a a，b(A)ab(A)a bb=(,),(,),(,),(,),(,)=(,),(,),(,),(,),(
40、,)(,),(,),(,),(,),（,),(,),(，)很容易看出，关系集满足反身性、反对称性和传很容易看出，关系集满足反身性、反对称性和传递性三个性质，所以为偏序关系集。另外，我们还可递性三个性质，所以为偏序关系集。另外，我们还可通过关系图了解的更清楚，通过关系图了解的更清楚，如图如图3-63-6所示。所示。为了简化关系图，特做如下规定：为了简化关系图，特做如下规定：省略反身关系和传递关系；省略反身关系和传递关系；要求各关系枝的箭头方向由下向上指。经过简化要求各关系枝的箭头方向由下向上指。经过简化的关系图叫的关系图叫H H图。图。ababa aa aa ab ba aa ab bb bb
41、bb babababababababababab图图 3-6 偏序关系图及其对应的偏序关系图及其对应的H图图 a.偏序关系图偏序关系图b.H图图baabababF F 另外，在偏序集中，允许存在不可比较元另外，在偏序集中，允许存在不可比较元素。如素。如 与与 之间就之间就没有枝相没有枝相 连，故不可比连，故不可比较。较。例例：已知：已知=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,设设上的一个二元关系为上的一个二元关系为(a,ba,b)a,bAb/a=a,bAb/a=整数整数。则此二元关系集也是一个偏序关系集。对应的则此二元关系集
42、也是一个偏序关系集。对应的H H图图如如图图3-73-7所示。所示。a ab b图图 3-7 A上整除关系上整除关系H图图 123510879611124 2.拟序集拟序集 定义定义 设为一非空集合，是上的一个设为一非空集合，是上的一个二元关系集，若满足二元关系集，若满足 ()反反身性反反身性 ()反对称性反对称性 ()传递性传递性 则说是上的一个拟序关系集，记成则说是上的一个拟序关系集，记成 Q=A,Q=A,式中：代表拟序集合，式中：代表拟序集合，是拟序关系符号，是拟序关系符号，可能是可能是“”、“”等关系。等关系。例：设例：设=a,b=a,b，其幂集为，其幂集为 (A)=(A)=，)则集上
43、的真包含关系是一个拟序关系集。即则集上的真包含关系是一个拟序关系集。即 =Q=(A)=Q=(A)，=(a,b)=(a,b)a,b(A)a a,b(A)a b b =(=(，)，(，)，(，)，(，)，(，)显然，关系集满足定义拟序集的三个性质，其显然，关系集满足定义拟序集的三个性质，其关系图和图如图关系图和图如图3-8所示。所示。a aa aa aababababababababb bb bb b图图 3-8 拟序关系图及其对应的拟序关系图及其对应的H图图 a.拟序关系图拟序关系图b.H图图baabababF F 例例2 2：大系统单元层次结构关系是拟序关系。：大系统单元层次结构关系是拟序关系
44、。任何一个复杂大系统都可划分成许多层次。任何一个复杂大系统都可划分成许多层次。层次之间存在着真包含关系，这种真包含关系，层次之间存在着真包含关系，这种真包含关系，便形成了大系统单元集合巢式结构的无限序列。便形成了大系统单元集合巢式结构的无限序列。如图如图3-93-9所示便是一个典型例子。所示便是一个典型例子。A-某农某农业系统业系统 AABABCABCD B-某县某县级系统级系统 C-某县某县级系统级系统D-国家国家大系统大系统图图3-9 3-9 大系统单元集合巢式结构无限序列大系统单元集合巢式结构无限序列 3.全序集全序集 全序集是偏序集的一个特例。全序集是偏序集的一个特例。如果一个集合上的
45、偏序关系（如果一个集合上的偏序关系（），满足），满足，bb，且且或或必有一个成立，则称此偏序为全序，此时的必有一个成立，则称此偏序为全序，此时的偏序集又叫全序集，记成偏序集又叫全序集，记成 AA，式中：代表全序集。式中：代表全序集。全序关系符号。全序关系符号。例如：设例如：设1,2,31,2,3，定义上的一个二元关系，定义上的一个二元关系 =(a,b)=(a,b)a,bAaba,bAab，则，则 =T=A,=(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3),(1,3)=T=A,=(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3),(1,3)即是偏序集，也是全序集。对应的即是偏
46、序集，也是全序集。对应的关系图和图如图关系图和图如图3-103-10所示所示。实际上，全序的概念是依据某种要求（关系），将集合中实际上，全序的概念是依据某种要求（关系），将集合中的元素排成一列。的元素排成一列。如图如图3-103-10中的图所示中的图所示。在实际工作中，方。在实际工作中，方案评价排序就是全序集的应用。案评价排序就是全序集的应用。图图 3-10 全序关系图及其对应的全序关系图及其对应的H图图 123a.全序关系图全序关系图b.H图图321六六 划分与覆盖划分与覆盖1.1.划分划分 设设A A为一给定的非空有限集合，为一给定的非空有限集合，为为A A的非空子的非空子集族，若满足集族
47、，若满足 ()()则则 叫叫A A的一个划分，记成的一个划分，记成例如，设例如，设为某个农业系统，则为某个农业系统，则 就是就是A的一个划分。的一个划分。54321渔副牧林农）（A，A，A，A，AA 21n，A，AAA）（n，A，AA21n，A，AA21AAnii1jiAAjiF F 如果在第一次划分的基础上继续划分下去，称作化如果在第一次划分的基础上继续划分下去，称作化分加细，分两种情况：一是划分真加细；二是一般划分分加细，分两种情况：一是划分真加细；二是一般划分加细。划分真加细是指对第一次划分的四个子系统再次加细。划分真加细是指对第一次划分的四个子系统再次划分。即划分。即 且且 。根据以上
48、要求继续往下划分，便得到一个划分真加细根据以上要求继续往下划分，便得到一个划分真加细序列。序列。4,3,2,121iAAiiF F,42414323132221212111AAA，AAA，AAA，AAAA）（一般划分加细是指在第一次划分的基础上一般划分加细是指在第一次划分的基础上,只有部分子系统被划分加细了只有部分子系统被划分加细了,而有的子系统而有的子系统仍保持不变。根据以上要求继续往下划分，便仍保持不变。根据以上要求继续往下划分，便得到一个一般划分加细序列。即得到一个一般划分加细序列。即 具体见图具体见图3-133-13所示。所示。,4323132221212111，AAAA，AAA，AA
49、AA）（图图 313 划分加细序列划分加细序列AA1A2A3A21A22A4A31A32A42A41A11A12A21A22A31A32A4A11A12一般划分加细序列一般划分加细序列划分真加细序列划分真加细序列 1（A）11（A）（A）2.覆盖覆盖 覆盖也是一种划分，故也称覆盖划分。假如某非空有覆盖也是一种划分，故也称覆盖划分。假如某非空有限集合限集合的的划分如图划分如图3-143-14所示所示。显然。显然 ，我们，我们把这种划分叫覆盖划分。这也是划分与覆盖的唯一区别，把这种划分叫覆盖划分。这也是划分与覆盖的唯一区别，下面给出覆盖划分的定义。下面给出覆盖划分的定义。定义定义 设设为一给定的非
50、空有限集合为一给定的非空有限集合,为为A A的一个的一个非空子集族非空子集族,若满足若满足则则 叫叫的一个覆盖划分，记成的一个覆盖划分，记成F F43AA n，A，AA21AAnii1n，A，AA2121n，A，AAACov）（图图 314 覆盖划分覆盖划分A3A4AA A1 1A A2 2A A3 3A A4 4 同划分一样，覆盖也有覆盖加细和覆盖真加细之分。同划分一样，覆盖也有覆盖加细和覆盖真加细之分。设设 为为的一个覆盖划分，在此的一个覆盖划分，在此基础上，若基础上，若 再进行一次覆盖划分，则再进行一次覆盖划分，则称覆盖真加细划分；若只部分称覆盖真加细划分；若只部分 被划分，则称覆盖加细
