1、 。一、几何相似一、几何相似几何相似几何相似：指模型和原型流动流场的几何形状相似，：指模型和原型流动流场的几何形状相似，即模型和原型对应边长成同一比例、对应角相等。即模型和原型对应边长成同一比例、对应角相等。lp1lp3lp2p3p2p1lm1lm3m3m2m1lm2式中式中k kl l称为称为长度比尺长度比尺，则，则面积比尺面积比尺体积比尺体积比尺 lpm3p3m2p2m1p1mkllllllll2l2p2mpmAkllAAk3l3p3mpmVkllVVkp3m3p2m2p1m1，二、运动相似二、运动相似 运动相似运动相似：指模型和原型流动的速度场相似，即：指模型和原型流动的速度场相似，即两
2、个流动在对应时刻对应点上的速度方向相同，两个流动在对应时刻对应点上的速度方向相同，大小成同一比例。大小成同一比例。式中式中k ku u称为称为速度比尺速度比尺。up2m2p1m1kuuuuum1Dmum2up1Dpup2 由于各对应点速度成同一比例，相应断面的平均速由于各对应点速度成同一比例，相应断面的平均速度必然有同样的比尺度必然有同样的比尺 式中式中 称为称为时间比尺时间比尺。同理，其它运动学物理量的比尺同理，其它运动学物理量的比尺2tltvpmakkkkaakpmpmppmmttvvtvtv1t2lkkk1t3lQkkk 的单位是的单位是m2/sQ的单位是的单位是m3/sa的单位是的单位
3、是m/s2tlmppmppmmpmuvkktltltltlvvkkpmtttk v的单位是的单位是m/s 三、动力相似三、动力相似 动力相似动力相似：指模型和原型流动对应点处质点所受同：指模型和原型流动对应点处质点所受同名力的方向相同，大小成同一比例。名力的方向相同，大小成同一比例。PmTmFm=mamGmGpFp=mapTpPplp2lp1lm2lm1 所谓所谓同名力同名力，指具有相同物理性质的力，如粘滞力，指具有相同物理性质的力，如粘滞力T、压力压力P、重力、重力G等。设作用在模型与原型流动对应流等。设作用在模型与原型流动对应流体质点上的外力分别为体质点上的外力分别为Tm、Pm、Gm和和T
4、p、Pp、Gp，则则 式中式中F为合外力，为合外力，kF称为称为力的比尺力的比尺。将。将FmaVa代入上式，得代入上式，得 FpmpmpmpmkFFGGPPTTa3laVFkkkkkkFFkpppmmmppmmpmaVaVamam 因因 所以所以 （51）同样，可写出其它力学量的比尺，如同样，可写出其它力学量的比尺，如2v3llFMkkkkkk2tlakkk1tlvkkk2v2lFkkkk3v2lNkkkkvlkkkk2vAFpkkkkk 模型和原型流动只要满足上述的几何相似、运模型和原型流动只要满足上述的几何相似、运动相似和动力相似条件，则两流动相似。而动力相动相似和动力相似条件，则两流动相
5、似。而动力相似又可以用相似准则（相似准数）的形式来表示，似又可以用相似准则（相似准数）的形式来表示，换句话说，换句话说，两流动在几何相似、运动相似的条件下，两流动在几何相似、运动相似的条件下，满足各相似准则，则模型和原型流动相似满足各相似准则，则模型和原型流动相似。5.1.2 相似准则相似准则 根据几何相似、运动相似和动力相似的定义，根据几何相似、运动相似和动力相似的定义，得到长度比尺、速度比尺、力的比尺等，由力学得到长度比尺、速度比尺、力的比尺等，由力学基本定律，这些比尺之间具有一定的约束关系，基本定律，这些比尺之间具有一定的约束关系，这些约束关系称为这些约束关系称为相似准则相似准则。一、雷
6、诺相似准则一、雷诺相似准则 当流动受粘滞力当流动受粘滞力T作用时，由动力相似条件有作用时，由动力相似条件有2p2pp2m2mm2v2lFpmpmvlvlkkkkFFTT 粘滞力粘滞力 代入上式整理，约简后得代入上式整理，约简后得 式中式中 为无量纲数，即前已介绍过的雷诺数为无量纲数，即前已介绍过的雷诺数Re。上。上式用雷诺数表示为式用雷诺数表示为 上式称为上式称为雷诺相似准则雷诺相似准则，该式表明两流动的粘滞力，该式表明两流动的粘滞力相似时，模型与原型流动的雷诺数相等。因惯性力相似时，模型与原型流动的雷诺数相等。因惯性力IF，故雷诺数反映了流动中惯性力和粘滞力之比。，故雷诺数反映了流动中惯性力
7、和粘滞力之比。lvdyduATpppmmmlvlvvlpmReRe 二、弗劳德相似准则二、弗劳德相似准则 当流动受重力当流动受重力G作用时，由动力相似条件有作用时，由动力相似条件有 重力重力 代入上式整理，约简后得代入上式整理，约简后得 令令 为无量纲数，称为弗劳德数。为无量纲数，称为弗劳德数。2p2ppp2m2mmmvlGvlG3glgVGpp2pmm2mlgvlgvglvFr22p2ppp2m2mmmvlFvlF 上式可用弗劳德数表示为上式可用弗劳德数表示为 上式称为上式称为弗劳德相似准则弗劳德相似准则，该式表明两流动重力相，该式表明两流动重力相似时，模型与原型流动的弗劳德数相等。弗劳德数
8、似时，模型与原型流动的弗劳德数相等。弗劳德数的物理意义在于它反映了流动中惯性力和重力之比。的物理意义在于它反映了流动中惯性力和重力之比。三、欧拉相似准则三、欧拉相似准则 当流动受压力当流动受压力P作用时，由动力相似条件作用时，由动力相似条件 压力压力 2p2ppp2m2mmmvlFvlFpmFrFr 2p2ppp2m2mmmvlPvlP2plpAPpp2pmm2mlgvlgv 代入上式整理，约简后得代入上式整理，约简后得 令令 为无量纲数，称为欧拉数。在有压流动为无量纲数，称为欧拉数。在有压流动中，起作用的是压差中，起作用的是压差pp，故，故 前式可用欧拉数表示为前式可用欧拉数表示为2ppp2
9、mmmvpvp2vpEu2vpEupmEuEu 上式称为上式称为欧拉相似准则欧拉相似准则，该式表明两流动压力相，该式表明两流动压力相似时，模型与原型流动的欧拉数相等。欧拉数的似时，模型与原型流动的欧拉数相等。欧拉数的物理意义在于它反映了流动中所受压力和惯性力物理意义在于它反映了流动中所受压力和惯性力之比。之比。四、韦伯相似准则四、韦伯相似准则 当流动受表面张力当流动受表面张力S作用时，由动力相似条件作用时，由动力相似条件 表面张力表面张力 代入上式整理，约简后得代入上式整理，约简后得2p2ppp2m2mmmvlFvlF2p2ppp2m2mmmvlSvlSlS 令令 为无量纲数，称为韦伯数。上式
10、可用韦为无量纲数，称为韦伯数。上式可用韦伯数表示为伯数表示为 上式称为上式称为韦伯相似准则韦伯相似准则，该式表明两流动表面张力，该式表明两流动表面张力相似时，模型与原型流动的韦伯数相等。韦伯数的相似时，模型与原型流动的韦伯数相等。韦伯数的物理意义在于它反映了流动中惯性力和表面张力之物理意义在于它反映了流动中惯性力和表面张力之比。比。2lv WepmWeWep2pppm2mmmvlvl 五、柯西相似准则与马赫相似准则五、柯西相似准则与马赫相似准则 当流动受弹性力当流动受弹性力E作用时，由动力相似作用时，由动力相似 弹性力弹性力 代入上式整理，约简后得代入上式整理，约简后得 式中：式中：K称为流体
11、的体积弹性模量。称为流体的体积弹性模量。2p2ppp2m2mmmvlEvlE2KlE p2ppm2mmKvKv2p2ppp2m2mmmvlFvlFpmCaCa 令令 为无量纲数，称为柯西数。上式可用柯为无量纲数，称为柯西数。上式可用柯西数表示为西数表示为 上式称为上式称为柯西相似准则柯西相似准则，该式表明两流动弹性力，该式表明两流动弹性力相似时，模型与原型流动的柯西数相等。柯西数相似时，模型与原型流动的柯西数相等。柯西数的物理意义在于它反映了流动中惯性力和弹性力的物理意义在于它反映了流动中惯性力和弹性力之比。对于液体，柯西相似准则只应用在压缩性之比。对于液体，柯西相似准则只应用在压缩性显著起作
12、用的流动中，例如水击现象。显著起作用的流动中，例如水击现象。KvCa2 气体体积弹性模量气体体积弹性模量 令令 为无量纲数，称为马赫数。上式可用马为无量纲数，称为马赫数。上式可用马赫数表示为赫数表示为 上式称为上式称为马赫相似准则马赫相似准则。当可压缩气流流速接近。当可压缩气流流速接近或超过声速时，实现流动相似要求相应的马赫数或超过声速时，实现流动相似要求相应的马赫数相等。相等。2cKppmmcvcvcvMa pmMaMa KvKvp2ppm2mm 5.1.3 模型实验模型实验 模型实验模型实验是根据相似原理，制成与原型几何相似的是根据相似原理，制成与原型几何相似的模型进行实验研究，并以实验结
13、果预测原型将要发模型进行实验研究，并以实验结果预测原型将要发生的流动现象。生的流动现象。1.模型律的选择模型律的选择 要使模型和原型流动完全相似，要求各相似准要使模型和原型流动完全相似，要求各相似准则同时满足。但要同时满足各相似准则很困难，甚则同时满足。但要同时满足各相似准则很困难，甚至是不可能的。比如，要同时满足雷诺相似准则和至是不可能的。比如，要同时满足雷诺相似准则和弗劳德相似准则，要求弗劳德相似准则，要求 23lkk （1）若模型与原型采用同种流体，温度也相同。）若模型与原型采用同种流体，温度也相同。则则 ，代入上式得，代入上式得 模型和原型的尺寸一样，实验失去了意义。模型和原型的尺寸一
14、样，实验失去了意义。（2）若模型和原型采用不同流体，长度比尺）若模型和原型采用不同流体，长度比尺 则则 若原型是水，模型就需选用运动粘度是水的若原型是水，模型就需选用运动粘度是水的1/31.62的流体的流体作为实验流体，这样的流体是很难找作为实验流体，这样的流体是很难找到的。到的。1kpm，1kl101kl31.62pm 模型律的选择模型律的选择：选择一个合适的相似准则来进行模型：选择一个合适的相似准则来进行模型设计，模型律选择的原则就是保证对流动起主要作用设计，模型律选择的原则就是保证对流动起主要作用的力相似，而忽略次要力的相似。的力相似，而忽略次要力的相似。例如例如：堰顶溢流、闸孔出流、明
15、渠流动、自然界中的：堰顶溢流、闸孔出流、明渠流动、自然界中的江、河、溪流等，重力起主要作用，应按弗劳德数相江、河、溪流等，重力起主要作用，应按弗劳德数相似准则设计模型；有压管流、潜体绕流以及流体机械、似准则设计模型；有压管流、潜体绕流以及流体机械、液压技术中的流动，粘滞力起主要作用，应按雷诺数液压技术中的流动，粘滞力起主要作用，应按雷诺数相似准则设计模型；对于可压缩流动，应按马赫相似相似准则设计模型；对于可压缩流动，应按马赫相似准则设计模型。准则设计模型。2.模型设计模型设计 进行模型设计，通常是先根据原型要求的实验进行模型设计，通常是先根据原型要求的实验范围、现有实验场地的大小、模型制作和量
16、测条件，范围、现有实验场地的大小、模型制作和量测条件，定出长度比尺定出长度比尺kl。再根据对流动受力情况的分析，。再根据对流动受力情况的分析，满足对流动起主要作用的力相似，选择模型律，并满足对流动起主要作用的力相似，选择模型律，并按所选择的相似准则，确定流速比尺及模型的流量。按所选择的相似准则，确定流速比尺及模型的流量。例例5-1 已知直径为已知直径为15cm的输油管，流量的输油管，流量0.18m3/s，油的运动，油的运动粘度粘度p=0.13cm2/s。现用水作模型实验，水的运动粘度。现用水作模型实验，水的运动粘度m=0.013cm2/s。当模型的管径与原型相同时，要达到两流。当模型的管径与原
17、型相同时，要达到两流动相似，求水的流量动相似，求水的流量Qm。若测得。若测得5m长输水管两端的压强水长输水管两端的压强水头差头差 ，试求，试求100m长的输油管两端的压强差？长的输油管两端的压强差？解：（解：（1）因圆管中流动主要受粘滞力作用，所以应满足雷）因圆管中流动主要受粘滞力作用，所以应满足雷诺相似准则诺相似准则 因因 ，上式可简化为，上式可简化为5cmgpmmmpppmmmlvlv）（1klllpmpmpmvv 流量比尺流量比尺 ，所以模型中水的流量为，所以模型中水的流量为 （2）流动的压降满足欧拉准则）流动的压降满足欧拉准则 因因 ，则，则5m长输油管两端的压强差为长输油管两端的压强
18、差为 （油柱）（油柱）100m长的输油管两端的压强差长的输油管两端的压强差 （油柱）（油柱）kkkkkv2lvQ3mmpp0.013QQ0.180.018m/s0.132ppp2mmmvpvppm2m2pmmmpppggvvgpgppmgg22ppm22ppmmmpvp10.190.055mggv1.0195100100m55.2 量纲分析量纲分析 5.2.1 量纲和谐原理量纲和谐原理 1.量纲分析的基本概念量纲分析的基本概念 （1）量纲）量纲 流体力学中涉及到许多物理量都由两个因素构成：流体力学中涉及到许多物理量都由两个因素构成：一是自身的物理属性，二是量度单位。我们把物理一是自身的物理属性
19、，二是量度单位。我们把物理量的属性称为量的属性称为量纲或因次量纲或因次，通常用，通常用x表示物理量表示物理量x的量纲。的量纲。（2）基本量纲和导出量纲）基本量纲和导出量纲 基本量纲基本量纲是指具有独立性的，不能由其它基本量是指具有独立性的，不能由其它基本量纲的组合来表示的量纲。对不可压缩流体，基本量纲的组合来表示的量纲。对不可压缩流体，基本量纲共有三个：长度量纲纲共有三个：长度量纲L、时间量纲、时间量纲T和质量量纲和质量量纲M。导出量纲导出量纲是指由基本量纲组合来表示的量纲。是指由基本量纲组合来表示的量纲。除长度、时间、质量和温度，其它物理量的量纲均除长度、时间、质量和温度，其它物理量的量纲均
20、为导出量纲。为导出量纲。任意一个物理量任意一个物理量x的量纲都可以用的量纲都可以用L、T、M这三这三个基本量纲的指数乘积来表示，即个基本量纲的指数乘积来表示，即 MTLx （3）无量纲量）无量纲量 各量纲的指数为零，即各量纲的指数为零，即=0时，物理时，物理量量 ，则称，则称x为无量纲量。为无量纲量。阐述无量纲量的特点阐述无量纲量的特点 2.量纲和谐原理量纲和谐原理 量纲和谐原理量纲和谐原理：凡正确反映客观规律的物理方：凡正确反映客观规律的物理方程，其各项的量纲都必须是一致的。程，其各项的量纲都必须是一致的。5.2.2 量纲分析法量纲分析法 在量纲和谐原理基础上发展起来的量纲分析法在量纲和谐原
21、理基础上发展起来的量纲分析法有两种：一种为有两种：一种为瑞利法瑞利法；一种为；一种为定理定理。1MTLx000 1.瑞利法瑞利法 若某一物理过程与若某一物理过程与n个物理量有关，即个物理量有关，即 由于所有物理量的量纲均可表示为基本量纲的指数由于所有物理量的量纲均可表示为基本量纲的指数乘积形式，因此上式中任一物理量乘积形式，因此上式中任一物理量xi可以表示为其可以表示为其它物理量的指数乘积形式，即它物理量的指数乘积形式，即 式中式中k为常数，为常数，a1、a2为待定指数。上式的量纲为待定指数。上式的量纲式为式为0 xxxxxxfn1ii1-i21，n1i1-i21ana1ia1-ia2a1ix
22、xxxkxx n1i1-i21ana1ia1-ia2a1ixxxxxx 根据量纲和谐原理，确定待定指数根据量纲和谐原理，确定待定指数a1、a2，即可，即可求得该物理过程的方程式。求得该物理过程的方程式。2.定理定理 定理的基本内容定理的基本内容：若某一物理过程包含有：若某一物理过程包含有n个物理个物理量，存在函数关系量，存在函数关系 其中有其中有m个基本量（量纲独立，不能相互导出的物个基本量（量纲独立，不能相互导出的物理量），则该物理过程可由（理量），则该物理过程可由（nm）个无量纲项所）个无量纲项所表达的关系式来描述。即表达的关系式来描述。即 0 xxxfn21，0Fm-n21，式中式中 为
23、（为（nm）个无量纲数，因为）个无量纲数，因为这些无量纲数是用这些无量纲数是用来表示的，所以称此定理为来表示的，所以称此定理为定定理理。定理的应用步骤定理的应用步骤 （1）确定物理过程的有关物理量）确定物理过程的有关物理量 （2）从）从n个物理量中选取个物理量中选取m个基本量。对于不可压个基本量。对于不可压缩流体运动，一般取缩流体运动，一般取m=3。设。设x1、x2、x3为所选的为所选的基本量，由量纲公式，可得基本量，由量纲公式，可得m-n21，0 xxxfn21，满足满足x1、x2、x3量纲独立的条件是量纲式中的指数行量纲独立的条件是量纲式中的指数行列式不等于零列式不等于零。（3）基本量依次
24、与其余物理量组成（）基本量依次与其余物理量组成（nm）个无量）个无量纲纲项项 333222111321MTLxMTLxMTLxnc3b2a13-n5c3b2a124c3b2a11xxxxxxxxxxxx3-n3-n3-n222111（4）根据量纲和谐原理，确定各）根据量纲和谐原理，确定各项基本量的指数项基本量的指数ai、bi、ci，求出，求出1、2、n3。（5）整理方程式）整理方程式 。0F-3n21，例例5-3 不可压缩粘性流体在水平圆管内流动，试用不可压缩粘性流体在水平圆管内流动，试用定理导定理导出其压强损失出其压强损失p的表达式。的表达式。（1）确定有关物理量。根据实验可知，压强损失）确
25、定有关物理量。根据实验可知，压强损失p与管径与管径d，管长管长l，管壁粗糙度，管壁粗糙度，断面平均流速，断面平均流速v，流体的动力粘度，流体的动力粘度和和管内流体密度管内流体密度有关，即有关，即 （2）选取基本量。在有关物理量中选取）选取基本量。在有关物理量中选取d、v、为基本量，为基本量，它们的指数行列式不等于零，符合基本量条件。它们的指数行列式不等于零，符合基本量条件。（3）组成）组成项，应有项，应有nm=73=4个个项。即项。即0vldpf，pvdvdvdlvd444333222111cba4cba3cba2cba1，（4）确定各）确定各项基本量的指数，求项基本量的指数，求1、2、3、4。（5）整理方程式。）整理方程式。实验证明，沿程水头损失实验证明，沿程水头损失hf与管长与管长l成正比，与管径成正比，与管径d成反比，成反比，故故24321vpdRe1vddl，0vpdRe1dlF2，dRedlfvp2，2gvdRedl2fgph2f，2gvdldRefgph21f，令令 ，则，则 上式即为有压管流压强损失的计算公式，又称上式即为有压管流压强损失的计算公式，又称达西公式达西公式。dRef1，2gvdlgph2f
