1、5.1 矩阵的运算学习目标学习目标:1.掌握矩阵的加法、乘法以及掌握矩阵的加法、乘法以及 数与矩阵的乘法运数与矩阵的乘法运算法则及其基本性质算法则及其基本性质2.能熟练地对矩阵进行运算。能熟练地对矩阵进行运算。3.掌握转置矩阵及其运算性质。掌握转置矩阵及其运算性质。4.掌握方阵的幂、方阵的多项式。掌握方阵的幂、方阵的多项式。一、认识矩阵111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa称为称为F上上 m n矩阵矩阵,简写简写:)()(ijnmijaAaA或1、定义、定义：设F是数域,用F的元素 排成的m行n列的数表 ija二、矩阵的运算二、矩阵的运算1 1、定义、定义 (矩阵的数乘)：给
2、定数域F中的一个数k与矩阵A的乘积定义为 111211112121222212221212nnnnmmmnmmmnaaakakakaaaakakakakAkaaakakaka2、定义、定义（矩阵加法）：给定两个 mn矩阵 111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa111212122212nnmmmnbbbbbbBbbbA和B加法定义为:111112121121212222221122nnnnmmmmmnmnababababababABababab3、定义、定义（矩阵的乘法）：给定mn矩阵和 nl矩阵 111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa111212122212
3、llnnnlbbbbbbBbbb11a12ana11ia11b1ma11c2iaina2mamnajb1pb121bjb2pb2njb1nbnpbmpcipcpc1jc1ijc1icmjc1mc11c11a11b12a21bna11nbnkkkba111ijc1ia2iainajb1jb2njbmpc1ma2mamnapb1pb2npbnkkjikba1nkkpmkba1返回返回点击点击即：A和B的乘法定义为niilminiiminiiminiiliniiiniiiniiliniiiniiibababababababababaAB1121112122112111211114 4、由矩阵的定义可
4、以看出、由矩阵的定义可以看出:当左矩阵的行数等于右当左矩阵的行数等于右矩阵的矩阵的列列数数时时,两个矩阵两个矩阵才可以相乘。才可以相乘。乘积乘积矩阵矩阵ABAB中第中第i i行第行第j j列的元素列的元素 等于等于矩阵矩阵A A的第的第i i行与行与矩阵矩阵B B的第的第j j列对应元素乘积之列对应元素乘积之和。简和。简记作前行乘后列。记作前行乘后列。1、2、返回返回ijc想一想想一想:两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵吗？两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵吗？矩阵矩阵要要满足满足什么条件才什么条件才能相乘能相乘呢？呢？矩阵的乘法是否满足交换律呢矩阵的乘法是否满足交换律呢?1.2.3.矩阵的乘法适合消
5、去律吗矩阵的乘法适合消去律吗?4.三、三、矩阵的运算性质矩阵的运算性质 1、矩阵满足如下运算规律（其中A，B，C 均为F上的矩阵，k，l为数域F中的数）：(1)加法交换律 ABBA(2)加法结合律)()(CBACBA(3)零矩阵 AA0(4)负矩阵 0)(AA(5)数乘结合律 AkllAk)()(6)数乘分配律 kBkABAk)(lAkAAlk)(7)乘法结合律)()(BCACAB)()()(kBABkAABk(8)乘法分配律 BCABCBA)(CABAACB)(注意注意:矩阵的乘法不满足交换律矩阵的乘法不满足交换律,消去律消去律:CBACABA,0也不满足也不满足.满足满足:BAAB 的两个
6、矩阵称为可交换的的两个矩阵称为可交换的.例例 1 已知052110351234,230412301321BA,求.23BA例例2已知,612379154257,864297510213BA且,2BXA求.X例例 3 若,012321,132132BA求.AB例例5求与矩阵0000100001000010A可交换的一切矩阵.例例 6证明:如果,BCCBACCA则有).()();()(ABCCABBACCBA四、方阵的多项式1、单位矩阵:主对角线上全是1,其余元素全是0的方阵称为单位矩阵,记为 nI或 I1100nn单位矩阵也可以记为 EEn或.它有如下性质:,mnmnnAAImnmmnAIA2、
7、A的方幂:kAAAA.规定:0AI3、设0111.)(axaxaxaxfnnnn 那么,IaAaAaAaAfnnnn0111.)(五、矩阵的转置 1、定义:设111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa把矩阵 A的行与列互换之后，得到的矩阵称为矩阵 A的转置矩阵转置矩阵,记为记为 A或.TA2、转置有下面的性质:AA)(9)(BABA(10)ABAB(11)5.2 5.2 可逆矩阵可逆矩阵 矩阵乘积的行列式矩阵乘积的行列式学习目标学习目标 1 1 掌握逆矩阵的概念及矩阵可逆的判别掌握逆矩阵的概念及矩阵可逆的判别 2 2 掌握求逆矩阵的方法掌握求逆矩阵的方法,尤其是能熟练利用矩阵的尤
8、其是能熟练利用矩阵的行初等变换求逆矩阵。行初等变换求逆矩阵。3 3 了解初等矩阵与初等变换的关系了解初等矩阵与初等变换的关系一、可逆矩阵的定义一、可逆矩阵的定义1 1、定义：、定义：A为F上n 阶方阵，若存在n阶方阵B，使 AB=BA=I称A为可逆矩阵（非奇异矩阵），B称为A的逆矩阵.（1）例：）例：BA10013152215321533152A A与与B B互为逆矩阵互为逆矩阵.（2)2)注：有零行或零列的矩阵不可逆注：有零行或零列的矩阵不可逆.二、可逆矩阵的性质二、可逆矩阵的性质1 1、A A可逆，则可逆，则A A的逆矩阵唯一。的逆矩阵唯一。证：证：设设B,CB,C均为均为A A的逆矩阵的
9、逆矩阵 ，则，则 AB=BA=I,AC=CA=IB=BI=BAC=（BA）C=IC=C 证：证：注意到注意到 即得即得.IAAAA11)(2 2、A A可逆，则可逆，则 可逆，且可逆，且1AAA11)(证证：注意到注意到 即得即得.IABABABAB)()(11114、A可逆，则可逆，则)()(,11AAA且可逆 由由 有有 .IAAAA11IAAAA)()(11证证：3 3、A A，B B可逆，则可逆，则ABAB也可逆，且也可逆，且 .111)(ABAB三、初等矩阵的定义、性质1、定义：、定义：由单位矩阵经过一次初等变换所得的矩阵称由单位矩阵经过一次初等变换所得的矩阵称为初等矩阵为初等矩阵.
10、000101000010100014P100001000100001)(100000000100001)(243kkTkkD（1）例如：）例如：2、定理：、定理：对对A作初等行变换相当于用同类型的初等作初等行变换相当于用同类型的初等 矩阵左乘矩阵左乘A;对对A作初等列变换相当于用同类型的初等矩阵作初等列变换相当于用同类型的初等矩阵 右乘右乘A。、交换、交换A的的i，j 行相当于用行相当于用 .ijPA左乘、把、把A的第的第i 行乘以数行乘以数k 相当于用相当于用 .()iD kA左乘、把、把A的第的第j 行乘以行乘以k后加到第后加到第i 行相当于用行相当于用 .()ijT kA左乘3、定理：、
11、定理：初等矩阵可逆，且逆矩阵仍为初等矩阵初等矩阵可逆，且逆矩阵仍为初等矩阵.且且)()()1()(111kTkTkDkDPPijijiiijij4 4、引理：、引理：，则，则 .（初等（初等变换不改变可逆性）变换不改变可逆性）.AA 行设可逆可逆AA5、定理：、定理：任一任一mn矩阵矩阵A总可以通过初等变换总可以通过初等变换化为化为 rnrmrrmrnrrOOOIA,证：证：由定理知，由定理知，A可通过行及列变换化为可通过行及列变换化为(*)00001000100011,21,211,1rnrrnrnrCCCCCC对（对（*）作第三种列变换即可化为）作第三种列变换即可化为A四、矩阵可逆的判别1
12、、n 阶矩阵阶矩阵A 可逆可逆AIA 可写成初等矩阵的乘积0|AnA秩证明：证明：AOOoIArnrnrrnrnrr,A可逆可逆,则则 可逆，可逆，无零行，即无零行，即 .反之，若反之，若AI，由，由I可逆知可逆知A可逆可逆.AAIA AI，即，即IA 即存在初等矩阵即存在初等矩阵 使使tssEEEE,11AEIEEEEtss112注注 A可逆可逆,则则A可经初等行变换化为可经初等行变换化为I.由由 AI，nIAn 秩秩0AnA秩五、逆矩阵的求法 行初等变换法行初等变换法 A可逆，由可逆，由 ，即存在初等矩阵，即存在初等矩阵 ，使使IA行sEE,111212AIEEEIAEEEss从而即即1|
13、A II A 行例：例：1,814312201AA求解：解：111221122(|)401,401611611A IIA即 公式法公式法分析：设分析：设nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211*212221212111AAAAAAAAAAnnnnnn令令 称称*.AA为 的伴随矩阵则由行列式的依行依列展开公式则由行列式的依行依列展开公式jijiAaAaAanjinjiji0|A|2211，有，有11121112112122212222*1212111112121121212211 0000 00nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaAAAaaaAAAAAaaaAAA
14、a Aa Aa Aa Aa Aa Aa A即即IAAAAAAAA|000|0000|*若若A可逆，则可逆，则|A|0，从而，从而IAAAAA)1()1(*即即*11AAA 例：例：22122111*,1112AAAAAA1|,2,1,1,122211211AAAAA21111A故故 例：求矩阵例：求矩阵 的逆矩阵的逆矩阵.021112111A解法一解法一 利用公式利用公式.11AAA因为因为,04021112111A计算每个元素计算每个元素 的代数余子式的代数余子式ija:ijA,10112,202111211AA,20211,521122113AA,12111,101112322AA,112
15、11,211113231AA.3121133A所以所以,.3151112224114341454141412121211AAA解法二解法二 行初等变换法行初等变换法.101315102110400201101012001110130111100010001021112111)()3(32)1(31)1(13)1(12IA,1000100010101000011011021101002014341454141412121213,2414141434145212121)1(23)2(21434145412 所以所以.4341454141412121211A例：例：解矩阵方程解矩阵方程 其中其中,B
16、AX.315241,100210321BA解解：显然显然A是可逆的是可逆的.先求出先求出.1002101211A再在原方程两边左乘再在原方程两边左乘 得得,1A.11BAAXA所以所以.31110943152411002101211BAX注：当注：当n 3时，求时，求 的计算量较大，因此公式的计算量较大，因此公式（*）常用于理论的证明）常用于理论的证明.*A六、矩阵乘积的行列式六、矩阵乘积的行列式1、引理：、引理：n阶矩阵阶矩阵A总可以通过第三种行和列的初等变总可以通过第三种行和列的初等变换化为对角矩阵换化为对角矩阵 ndddA0021|21AdddAn且 若若A的第一行、第一列元素不全为零，
17、则总可使的第一行、第一列元素不全为零，则总可使A的左上角的元素不为零的左上角的元素不为零.1112112122211120000nnnnnnaaadaaaBAaaa 若若A的第一行，第一列元素全为零，则已具有的第一行，第一列元素全为零，则已具有 的形式，同理可以把的形式，同理可以把 化为化为1B1B0000000000221Add继续作第三种初等变换，则可将继续作第三种初等变换，则可将A化为对角形矩阵，化为对角形矩阵，且且ndddAA21|2、定理：设、定理：设A，B为为n 阶矩阵，则阶矩阵，则|AB|=|A|B|证：证：若若A为对角矩阵为对角矩阵 ndddA21nnnnnnnnnadadad
18、adadadadadadAB212222221211121111则|21BABdddABntssTTATTTA121 对一般情形，由引理可知，对一般情形，由引理可知，A可通过第三种变换化可通过第三种变换化为对角矩阵为对角矩阵 ，即存在初等矩阵，即存在初等矩阵 使使AsTT,1|121BTTATTTABtss从而从而|)(11121BABTTABTTABTTATTTtststss3、推广、推广：|2121mmAAAAAA 相当于对相当于对 作第三种行作第三种行初等变换初等变换.故故 BTTAts1)(121BTTATTTtss4、定理：、定理：A，B为为mn及及np阶矩阵，则秩（阶矩阵，则秩（A
19、B）秩秩A，秩（，秩（AB）秩秩B.特别当特别当A可逆时，秩（可逆时，秩（AB）=秩秩B.5、推论：、推论：),min()(2121mmAAAAAA秩秩秩秩例：例：A可逆，则存在可逆，则存在 n 阶可逆矩阵阶可逆矩阵P，Q，使，使 PAQ=I证：证：A可逆，则可逆，则1111,ppqppqAIEE AEEIPEEQEE 令,易知P,Q可逆.学习目标：学习目标：1 1 掌握分块矩阵的概念及分块矩阵的运算掌握分块矩阵的概念及分块矩阵的运算2 2 掌握分块准对角掌握分块准对角,分块三角阵分块三角阵,分块次对角等特分块次对角等特殊的分块矩阵及相关公式殊的分块矩阵及相关公式一、分块矩阵的概念一、分块矩阵
20、的概念111213142122232431323334aaaaAaaaaaaaa 22211211AAAA1、定义：、定义：将矩阵用若干纵横直线分成若干个小块，每一小块将矩阵用若干纵横直线分成若干个小块，每一小块称为矩阵的子块称为矩阵的子块(或子阵或子阵),以子块为元素形成的矩阵称为以子块为元素形成的矩阵称为分块矩阵。分块矩阵。例如：例如：343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaA 232221131211AAAAAA1.1.线性运算线性运算（加法与数乘）（加法与数乘）srssrrmnBBBBBBBBBB212222111211二.分块矩阵的运算11121212
21、2212rrn msrssAAAAAAAAAA 111212122212111212122212rrn msssrrrn msrssBBABBBBBBBAAAAAAAAAA 111212122212rrn msrsskAkAkAkAkAkAk AkAkAkA 2.2.乘法运算乘法运算 srrrssmnAAAAAAAAAA212221212111r rtrrttpmBBBBBBBBBB2122221112111(),rijijikkjkABCCA B其中例例 设设10000100,12101101A 10321201,10411120B 解：为了求乘积解：为了求乘积AB，我们可以对，我们可以对A
22、，B如下地分如下地分块块1000010012101101A 1IOAI 这里这里I 是二阶单位矩阵，是二阶单位矩阵，O 是二阶零矩阵是二阶零矩阵.1032120110411120B 1234BBBB 按照分块矩阵的乘法，我们有按照分块矩阵的乘法，我们有12113124BBABA BBA BB 这里这里11312101024,11121111A BB12412324111.11012053A BB 1032120124111153AB TTAAAAAAA 232221131211 TTTTTTAAAAAA2313221221111.1.准对角阵准对角阵 sAAAA21),2,1(siAi 为为方
23、方阵阵，sBBBB21),2,1,(siBAii 为为同同阶阶方方阵阵，则则;21sAAAA;11 ssBABABA;1 skAkAkA;11 ssBABABA;1 TsTTAAA;1 msmmAAA,可可逆逆可可逆逆iAA.1111 sAAA且且,3100320000100021A求求A的行列式及逆。的行列式及逆。解解：将矩阵分块将矩阵分块 21AAA21AAA 3 12111AAA 323100110000100021例：221211AOAAA.)2,1(iAii为为方方阵阵，2211AAA.)2,1(iAAii可可逆逆可可逆逆 122122121111111AOAAAAA 2.分块三角阵
24、：性质：的的逆逆阵阵求求 2000120031204312A解：解：将矩阵分块将矩阵分块,221211AOAAA1221112104121 AA 122122121111111AOAAAAA 2/10004/12/1008/54/12/1016/58/54/12/1例3 OBAOM可可逆逆可可逆逆BAM,OABOM111 0030002121005300M求求矩矩阵阵的的逆逆解：将矩阵分块解：将矩阵分块 OBAOM OABOM111 003100523/10003/2100例例33.3.分块次对角阵分块次对角阵性质：性质：小结小结:一一.分块矩阵的概念分块矩阵的概念 将矩阵用若干纵横直线分成若
25、干个小块，以将矩阵用若干纵横直线分成若干个小块，以子块为元素形成的矩阵称为分块矩阵。子块为元素形成的矩阵称为分块矩阵。注意：分块矩阵是以子块为元素形成的矩阵，且注意：分块矩阵是以子块为元素形成的矩阵，且子块也是矩阵。子块也是矩阵。作用：作用：简化高阶矩阵运算简化高阶矩阵运算 简化运算的表达形式简化运算的表达形式二二.分块矩阵的运算分块矩阵的运算:1.1.线性运算线性运算2.2.乘法运算乘法运算 将矩阵的子块视为元素时，矩阵应符合运算将矩阵的子块视为元素时，矩阵应符合运算的要求的要求 相应的子块间也应符合运算的要求相应的子块间也应符合运算的要求 3.3.转置运算转置运算.注意：大块小块一起转注意：大块小块一起转三三.特殊的分块矩阵特殊的分块矩阵1.1.准对角准对角,2.2.分块三角阵分块三角阵3.3.分块次对角分块次对角4.4.一些重要公式一些重要公式
