1、Page 1第2章零件造型2.1基本概念基本概念2.2形体的表示模式形体的表示模式2.3参数曲线与曲面建模参数曲线与曲面建模2.4参数化设计技术参数化设计技术2.5特征造型技术特征造型技术2.6同步建模技术同步建模技术2.7混合造型混合造型2.8 应用实例：基于应用实例：基于NX的覆盖件模具设计的覆盖件模具设计Page 22.1基本概念1.形体的信息结构形体的信息结构2.布尔运算布尔运算3.欧拉公式欧拉公式Page 31）几何信息）几何信息 几何信息是指构成三维形体的各几何元素的位置和大小，它可以几何信息是指构成三维形体的各几何元素的位置和大小，它可以用具体数学表达式来进行定量描述，在实际应用
2、中可以通过某些不等用具体数学表达式来进行定量描述，在实际应用中可以通过某些不等式对其边界范围加以限制。式对其边界范围加以限制。Page 4n 顶点：顶点：V（x,y,z）n 直线：（直线：（x-x0）/A=（y-y0）B=（z-z0）/Cn 平面：平面：ax+by+cz+d=0n 二次曲面：二次曲面：ax2+by2+cz2+dxy+exz+fyz+gx+hy+iz+j=0n 自由曲面：可用自由曲面：可用Coons曲面，曲面，Bezier曲面、曲面、B样条曲面、样条曲面、NURBS曲面的参数方程表示。曲面的参数方程表示。Page 52 2）拓扑信息）拓扑信息 拓扑信息是反映三维形体中各几何元素的
3、数量及其相互间连接拓扑信息是反映三维形体中各几何元素的数量及其相互间连接关系。关系。任一形体是由点、边、环、面、体等各种不同的几何元素构任一形体是由点、边、环、面、体等各种不同的几何元素构成，成，。各种几何元素相互间的关系构成了形体的拓扑信息。各种几何元素相互间的关系构成了形体的拓扑信息。Page 6 如果拓扑信息不同，即使几何信息相同，最终构造的实体可能如果拓扑信息不同，即使几何信息相同，最终构造的实体可能完全不同。完全不同。如在一圆周上的五个等分点，若用直线顺序连接每个点则形成如在一圆周上的五个等分点，若用直线顺序连接每个点则形成一正五边形，若用直线隔点连接每个点则形成一正五角星形。一正五
4、边形，若用直线隔点连接每个点则形成一正五角星形。Page 73 3）非几何信息）非几何信息 非几何信息是指产品除描述实体几何、拓扑信息以外的信息，包非几何信息是指产品除描述实体几何、拓扑信息以外的信息，包括零件的物理属性和工艺属性等，如零件的质量、性能参数、公差、括零件的物理属性和工艺属性等，如零件的质量、性能参数、公差、加工粗糙度和技术要求等信息。加工粗糙度和技术要求等信息。为了满足为了满足CADCADCAPPCAPPCAMCAM集成的要求，非几何信息的描述和表示集成的要求，非几何信息的描述和表示显得越来越重要，显得越来越重要，Page 8体：由封闭表面围成的有效空间。体：由封闭表面围成的有
5、效空间。如图如图a）所示的立方体是由）所示的立方体是由F1F6六个平面围成的空间。六个平面围成的空间。具有良好边界的形体定义为正则形体。正则形体没有悬边、悬具有良好边界的形体定义为正则形体。正则形体没有悬边、悬面、或一条边有二个以上的邻面，反之为非正则形体，如图面、或一条边有二个以上的邻面，反之为非正则形体，如图b）所）所示。示。1.形体的信息结构Page 9 壳壳 壳是构成一个完整实体的封闭边界，是形成封闭的单一连通空壳是构成一个完整实体的封闭边界，是形成封闭的单一连通空间的一组面的结合。一个连通的物体有一个外壳和若干个内壳构间的一组面的结合。一个连通的物体有一个外壳和若干个内壳构成。成。P
6、age 10 面面 面由一个外环和若干个内环界面由一个外环和若干个内环界定的有界、连通的表面。定的有界、连通的表面。面有方向性，一般用外法矢方面有方向性，一般用外法矢方向作为该面的正方向。向作为该面的正方向。如图所示如图所示F面的外环面的外环L1由由e1、e2、e3、e4四条边沿逆时针方向四条边沿逆时针方向构成，内环构成，内环L2由由e5、e6、e7、e8四条边沿顺时针方向构成。四条边沿顺时针方向构成。Page 11 环环 环是面的封闭边界，由有序、有环是面的封闭边界，由有序、有向边的组合。向边的组合。环不能自交，且有内外之分。环不能自交，且有内外之分。确定面的最大边界的环；确定面的最大边界的
7、环；确定面中孔或凸台周界的环。确定面中孔或凸台周界的环。如图，如图，。因此，沿任。因此，沿任一环的正向前进时左侧总是在面内，一环的正向前进时左侧总是在面内，右侧总是在面外。右侧总是在面外。Page 12 边边边是实体两个邻面的交界。边是实体两个邻面的交界。n 对正则形体而言：一条边有且仅有两个相邻面，在正则对正则形体而言：一条边有且仅有两个相邻面，在正则多面体中不允许有悬空的边。多面体中不允许有悬空的边。n 一条边有两个顶点，分别称为该边的起点和终点。一条边有两个顶点，分别称为该边的起点和终点。n 边不能自交。边不能自交。Page 13，为两条或两条以上边的交点。，为两条或两条以上边的交点。顶
8、点不能孤立存在于实体内，实体外或面和边的内部。顶点不能孤立存在于实体内，实体外或面和边的内部。Page 14图2-1形体表达的六层信息结构Page 152.布尔运算图2-2布尔运算与一般运算的区别a)A、B两形体b)一般集合运算c)布尔运算布尔运算：构建复杂的几何实体，几何造型的重要方法布尔运算的种类：布尔交（*）：布尔并（*）：布尔差（-*）：布尔运算的特点：运算前后的几何实体，具有相同的空间维数 正则化的几何运算，其保证两个基本体素经过运算后所得的结果是有意义的，并可进一步参与布尔运算。Page 16 除了用正则集和正则集合运算来保证形体的有效性外，还可除了用正则集和正则集合运算来保证形体
9、的有效性外，还可以运用欧拉公式来检验形体的合法性和一致性。以运用欧拉公式来检验形体的合法性和一致性。对于正则形体，其点（对于正则形体，其点（V）、）、边（边（E），），面（面（F）的个数满足欧的个数满足欧拉公式：拉公式：V-E+F2如：长方体的顶点如：长方体的顶点V=8，边边E=12，面面F=6，则，则8-12+6=2。3.欧拉公式Page 17n 如果将三维封闭的空间分割成如果将三维封闭的空间分割成B个独立的多面体，则点、边、面、个独立的多面体，则点、边、面、体的个数满足欧拉公式：体的个数满足欧拉公式：V-E+F-B=1n 如图所示的多面体个数如图所示的多面体个数B=6，则则V-E+F-B=
10、9-20+18-6=1。Page 18n 对于有孔洞的形体，相应的欧拉公式为：对于有孔洞的形体，相应的欧拉公式为：V-E+F-L=2（B-G）n 其中，其中，V、E、F、B仍为形体的点、边、面、体的个数；仍为形体的点、边、面、体的个数；G为穿为穿透形体的孔数；透形体的孔数；L为所有面上的内环数。如图所示有：为所有面上的内环数。如图所示有：16-24+11-12（1-0）Page 19n 凡满足欧拉公式的形体称之为欧拉形体。显然，欧拉形体满足如凡满足欧拉公式的形体称之为欧拉形体。显然，欧拉形体满足如下的条件：下的条件：1）每条边有且仅有两个相邻的面，且仅有两个端点；）每条边有且仅有两个相邻的面，
11、且仅有两个端点；2）每个顶点至少是三条边的交。每个顶点至少是三条边的交。Page 202.2形体的表示模式2.2.1边界表示法边界表示法(B-Rep法法)2.2.2构造体素法构造体素法(CSG法法)2.2.3CSG和和B-Rep混合表示混合表示Page 21n 形体的表示模式：形体的表示模式：n 采用什么形式的抽象几何实体去描述实际形体。采用什么形式的抽象几何实体去描述实际形体。n 形体表示时须考虑的问题：形体表示时须考虑的问题：n 信息的完整性：数据结构是否唯一地描述了实际形体；信息的完整性：数据结构是否唯一地描述了实际形体；n 表达的覆盖率：能否完整地描述形体的全部范围。表达的覆盖率：能否
12、完整地描述形体的全部范围。n 两种应用最普遍的形体表示方法：两种应用最普遍的形体表示方法：n 边界表示法（边界表示法（B-Rep法）法）n 构造体素法（构造体素法（CSG法）法）Page 222.2.1边界表示法边界表示法(B-Rep法法)n 边界表示法（边界表示法（B-Rep,Boundary Representation）定义：）定义：n 是以形体表面的细节，即以顶点、边、面等几何元素及其相互间的连接是以形体表面的细节，即以顶点、边、面等几何元素及其相互间的连接关系来表示形体。关系来表示形体。图2-4形体的边界表示Page 232.2.1边界表示法边界表示法(B-Rep法法)n 边界表示法
13、的特点：边界表示法的特点：n 详细记录了构成形体的所有几何元素的几何信息及其拓扑关系。详细记录了构成形体的所有几何元素的几何信息及其拓扑关系。n 几何信息：形体的大小、尺寸、位置、形状等。几何信息：形体的大小、尺寸、位置、形状等。n 拓扑信息：形体上所有的顶点、棱边、环、表面之间的相互连接关系。拓扑信息：形体上所有的顶点、棱边、环、表面之间的相互连接关系。n 造型系统中几何、拓扑信息的存储：造型系统中几何、拓扑信息的存储：n 通过适当的数据结构实现；通过适当的数据结构实现；n 通常将几何、拓扑信息分开表示；通常将几何、拓扑信息分开表示；Page 242.2.1边界表示法(B-Rep法)图2-5
14、四面体及其层次表示Page 252.2.1边界表示法边界表示法(B-Rep法法)n 边界表示法没有统一的数据结构边界表示法没有统一的数据结构n 最著名的是：翼边结构（最著名的是：翼边结构（Winged Edge Data Structure，WED，斯坦，斯坦福大学，鲍姆加特，福大学，鲍姆加特，1972）n 以棱边为核心来组织数据，通过指针来存储顶点、棱边、环、面等。以棱边为核心来组织数据，通过指针来存储顶点、棱边、环、面等。图2-6翼边结构Page 26n 边界表示法的发展边界表示法的发展n 早期的边界表示法：早期的边界表示法：n 只支持多面体模型只支持多面体模型n 现代的精确现代的精确B-
15、Rep法：法：n 能用能用Nurbs曲面统一表示平面、参数曲面和二次面，实现实体造型和曲面造曲面统一表示平面、参数曲面和二次面，实现实体造型和曲面造型的统一。型的统一。n 可精确地描述形体边界。可精确地描述形体边界。n 边界表示法的优点边界表示法的优点n 显示表示形体的点、线、面等几何元素，运算、显示速度快，易于确定显示表示形体的点、线、面等几何元素，运算、显示速度快，易于确定几何元素间的连接关系；几何元素间的连接关系；n 可对形体进行多种操作和局部修改。可对形体进行多种操作和局部修改。n 边界表示法的缺点边界表示法的缺点n 数据结构复杂，需大量存储空间，维护复杂；数据结构复杂，需大量存储空间
16、，维护复杂；n 对形体的修改操作较难实现。对形体的修改操作较难实现。Page 272.2.2构造体素法构造体素法(CSG法法)n CSG法（法（Constructive Solid Geometry）定义）定义n 利用简单形状的体素，经过变换和布尔运算构成复杂形体的表示模式。利用简单形状的体素，经过变换和布尔运算构成复杂形体的表示模式。n 采用二叉树（采用二叉树（CSG树）结构来描述体素构成复杂的形体关系（图树）结构来描述体素构成复杂的形体关系（图2-7）n 树根树根表示定义的形体表示定义的形体n 树叶树叶表示体素或变换量（平移量、旋转量）表示体素或变换量（平移量、旋转量）n 中间结点中间结点
17、表示变换方式或布尔运算算子（并表示变换方式或布尔运算算子（并U*、交、交*、差、差-*）Page 282.2.2构造体素法(CSG法)图2-7CSG的二叉树结构图2-7 CSG的二叉树结构Page 292.2.2构造体素法构造体素法(CSG法法)n CSG树的特点：树的特点：n 无二义性：一棵无二义性：一棵CSG树能完整确定一个形体树能完整确定一个形体n 一个复杂形体能用不同的一个复杂形体能用不同的CSG树表示（图树表示（图2-8）图2-8同一物体的两种CSG结构Page 302.2.2构造体素法构造体素法(CSG法法)n CSG法的特点：法的特点：n 表示形体直观简洁；表示形体直观简洁；n
18、表示形体的有效性由基本体素的有效性和布尔运算的有效性来保证；表示形体的有效性由基本体素的有效性和布尔运算的有效性来保证；n 形体的隐式模型形体的隐式模型n 只定义所表示形体的构造方式；只定义所表示形体的构造方式；n 不存储表面、棱边、顶点等形体的有关边界信息；不存储表面、棱边、顶点等形体的有关边界信息；n 未显式定义三维点集与所表示形体在空间的一一对应关系。未显式定义三维点集与所表示形体在空间的一一对应关系。n CSG常用的体素常用的体素n 长方体、圆柱体、球、圆锥、圆环、楔块等，用一组参数表示；长方体、圆柱体、球、圆锥、圆环、楔块等，用一组参数表示；n 用户只需输入参数值即可确定体素的大小、
19、形状、位置、方向；用户只需输入参数值即可确定体素的大小、形状、位置、方向；n 高级的造型系统还可通过拉伸、扫描等来生成准体素。高级的造型系统还可通过拉伸、扫描等来生成准体素。Page 312.2.2构造体素法构造体素法(CSG法法)n CSG法的优点法的优点n 数据结构比较简单，信息量小，易于管理；数据结构比较简单，信息量小，易于管理；n 每个每个CSG都和一个实际的有效形体相对应；都和一个实际的有效形体相对应；n CSG可以方便地转换成边界表示；可以方便地转换成边界表示；n CSG树记录了形体的生成过程，可修改形体生成的各个环节以改变形体树记录了形体的生成过程，可修改形体生成的各个环节以改变
20、形体的形状。的形状。n CSG法的缺点法的缺点n 对形体的修改操作不能深入到形体的局部，如面、边、点等；对形体的修改操作不能深入到形体的局部，如面、边、点等；n 直接基于直接基于CSG表达形体的效率很低。表达形体的效率很低。Page 322.2.3 CSG和和B-Rep的混合表示的混合表示n CSG和和B-Rep法的混合表示法的混合表示n 大多数大多数CAD/CAM系统均采用；系统均采用；n 以以CSG模型表示几何造型的过程及其设计参数；模型表示几何造型的过程及其设计参数；n 以以B-Rep模型维护详细的几何信息和显示、查询操作。模型维护详细的几何信息和显示、查询操作。n B-Rep和和CSG
21、法混合表示的特点法混合表示的特点n CSG法善于造型；法善于造型；n B-Rep法善于存储、管理、操作形体，易于实现图形显示和交互操作；法善于存储、管理、操作形体，易于实现图形显示和交互操作；n 产品的形状特征、设计参数、公差等与产品的形状特征、设计参数、公差等与CSG的体素相关，易于加到的体素相关，易于加到CSG模型上；模型上；n 零件的加工信息，如粗糙度、加工余量易于加到零件的加工信息，如粗糙度、加工余量易于加到B-Rep模型上。模型上。n CSG和和B-Rep法的混合表示的逻辑数据结构法的混合表示的逻辑数据结构n 在在CSG构造的物体二叉树逻辑结构中的每一个布尔运算节点处扩充一个构造的物
22、体二叉树逻辑结构中的每一个布尔运算节点处扩充一个B_Rep结构，记录存储布尔运算结果体的几何信息。参见下图结构，记录存储布尔运算结果体的几何信息。参见下图.Page 332.2.3 CSG和和B-Rep的混合表示的混合表示Page 34空间单元表示法空间单元表示法 空间单元表示法是用一系列规则的空间单元来表示实体的一种方空间单元表示法是用一系列规则的空间单元来表示实体的一种方法。在计算机内部通过定义各单元的位置被占用与否来表示实体。法。在计算机内部通过定义各单元的位置被占用与否来表示实体。单元的大小决定了单元分解的精度，因此该方法需要大量的存储单元的大小决定了单元分解的精度，因此该方法需要大量
23、的存储空间，它不能表达各部分之间的拓扑关系，没有点、线、面等形体空间，它不能表达各部分之间的拓扑关系，没有点、线、面等形体单元的概念，是对实体的一种近似表示，有时会造成较大的误差，单元的概念，是对实体的一种近似表示，有时会造成较大的误差，且难以转化为且难以转化为B-Rep表示和表示和CSG表示。表示。空间单元表示法具有算法简单，容易实现并、交、差集合运算，空间单元表示法具有算法简单，容易实现并、交、差集合运算，易于检查实体间的碰撞干涉、便于消影、输出显示、物性计算和有易于检查实体间的碰撞干涉、便于消影、输出显示、物性计算和有限元计算等特点。限元计算等特点。Page 35-35-单元表示法可用于
24、二维图形，其数据单元表示法可用于二维图形，其数据结构可用四叉树结构表示结构可用四叉树结构表示Page 36-36-单元表示法可用于三维图形，其数据单元表示法可用于三维图形，其数据结构可用八叉树结构表示结构可用八叉树结构表示Page 372.3参数曲线与曲面建模2.3.1自由曲线和曲面的参数表示自由曲线和曲面的参数表示2.3.2曲线定义曲线定义2.3.3曲面定义曲面定义2.3.4曲线曲面生成曲线曲面生成Page 382.3.1自由曲线和曲面的参数表示自由曲线和曲面的参数表示n 自由曲线自由曲线n 不能用直线、圆弧和二次圆锥曲线描述的任意形状的曲线。不能用直线、圆弧和二次圆锥曲线描述的任意形状的曲
25、线。n 常用生成方法：逼近、插值、设计法常用生成方法：逼近、插值、设计法n 应用：机器人轨迹规划、航空、航天、船舶、汽车、模具应用：机器人轨迹规划、航空、航天、船舶、汽车、模具例：非均匀有理例：非均匀有理B样条（样条（Non Uniform Rational B-Spline,Nurbs）自由曲）自由曲线线n 能把规则、自由形状物体用统一的数学模型表达，能把规则、自由形状物体用统一的数学模型表达，n 且能用样条精确表示而不只是逼近规则形状的物体，且能用样条精确表示而不只是逼近规则形状的物体，n 为为CAD/CAPP/CAE/CAM建立统一的几何模型。建立统一的几何模型。Page 39n 曲线的
26、表示方法曲线的表示方法n 简单、规则的曲线的表示：简单、规则的曲线的表示：n 隐函数：不直观、作图不方便隐函数：不直观、作图不方便n 显函数：简单直观，但存在多值性和斜率无穷大等问题显函数：简单直观，但存在多值性和斜率无穷大等问题n 复杂曲线、自由曲线的表示：复杂曲线、自由曲线的表示：n 参数方程参数方程空间参数曲线空间参数曲线n 空间参数曲线可以看作是一个动点在空间的轨迹的集合空间参数曲线可以看作是一个动点在空间的轨迹的集合n 可用位置矢量可用位置矢量r（t）连续不断的各瞬间位置描述（图）连续不断的各瞬间位置描述（图2-9）n 曲线参数方程：曲线参数方程：r(t)=r(x(t),y(t),z
27、(t)Page 402.3.1自由曲线和曲面的参数表示图2-9空间参数曲线曲线参数方程：r(t)=r(x(t),y(t),z(t)Page 412.3.1自由曲线和曲面的参数表示自由曲线和曲面的参数表示n 自由曲面自由曲面n 不能用基本体素（棱柱、棱锥、球、一般回转体、有界平面等）描述的不能用基本体素（棱柱、棱锥、球、一般回转体、有界平面等）描述的呈自然形状的曲面。呈自然形状的曲面。n 必须根据空间自由曲线和自由曲面的理论来计算。必须根据空间自由曲线和自由曲面的理论来计算。n 参数曲面参数曲面n 可以看成是一条变曲线可以看成是一条变曲线r=r（u）按某参数）按某参数v运动形成的轨迹，可表示为运
28、动形成的轨迹，可表示为r=r（u，v），故称），故称双参数曲面双参数曲面。n 一般表示为：一般表示为：r(u,v)=x(u,v),y(u,v),z(u,v)。n 应用最为广泛的构造曲线和曲面的方法应用最为广泛的构造曲线和曲面的方法n Bezier曲线和曲面曲线和曲面n B样条曲线和曲面样条曲线和曲面n Nurbs曲线和曲面曲线和曲面Page 422.3.2曲线定义1.Bezier曲线的定义曲线的定义2.B样条曲线的定义样条曲线的定义3.NURBS方法的提出及优缺点方法的提出及优缺点4.NURBS曲线的定义曲线的定义Page 431.Bezier曲线的定义曲线的定义n Bezier曲线：曲线：n
29、 式中：式中：n Pj（j=0,1，n）：）：n+1个控制点或个控制点或Bezier点。点。n 控制多边形：依次连接控制多边形：依次连接n个控制点形成的空间折线。个控制点形成的空间折线。n 伯恩斯坦（伯恩斯坦（Bernstein）基函数）基函数Page 441.Bezier曲线的定义曲线的定义n 三次三次Bezier曲线曲线图2-10三次Bezier曲线Page 451.Bezier曲线的定义曲线的定义n 三次三次Bezier曲线的特点曲线的特点n(1)曲线过控制顶点的首末两个端点。曲线过控制顶点的首末两个端点。n 将将t=0和和t=1代入式代入式(2-2)，有，有P(0)=P0，P(1)=P
30、3。n(2)曲线在两端点处相切于控制多边形。曲线在两端点处相切于控制多边形。n(3)凸包性：凸包性：n Bezier曲线不会越出控制多边形顶点曲线不会越出控制多边形顶点P0、P1、P2、P3所形成的凸包所形成的凸包(包含所有包含所有顶点的最小凸多边形顶点的最小凸多边形)的范围。的范围。n(4)几何不变性：几何不变性：n Bezier曲线的几何特征不随坐标变换而变化。曲线的几何特征不随坐标变换而变化。n(5)可分割性：可分割性：n 可以将一段可以将一段Bezier曲线在其中间某一点处分割为两段，每一段仍然为一段新曲线在其中间某一点处分割为两段，每一段仍然为一段新的的Bezier曲线。曲线。Bez
31、ier曲线具有无限可分割性。曲线具有无限可分割性。Page 461.Bezier曲线的定义曲线的定义n 三次三次Bezier曲线的性质曲线的性质n 一般为一条空间曲线。一般为一条空间曲线。n 当控制多边形的顶点当控制多边形的顶点P0、P1、P2、P3在同一平面上时，则其描述的在同一平面上时，则其描述的Bezier曲线为一平面曲线。曲线为一平面曲线。n 当当P0、P1、P2、P3在同一直线上时，则其在同一直线上时，则其Bezier曲线退化为一直线段。曲线退化为一直线段。n Bezier曲线的不足曲线的不足n 控制多边形的顶点的个数决定了控制多边形的顶点的个数决定了Bezier曲线的次数，而当曲线
32、的次数，而当N较大时，控制较大时，控制多边形对曲线的控制将会削减。多边形对曲线的控制将会削减。n Bezier曲线不能进行局部修改，改变一个控制点的位置会对整个曲线有曲线不能进行局部修改，改变一个控制点的位置会对整个曲线有影响。影响。Page 472.B样条曲线的定义样条曲线的定义n K阶阶B样条曲线样条曲线n 式中：式中：n Pi（i=0,1，n）：控制点即多边形的顶点。）：控制点即多边形的顶点。n Ni,k(u)：调和函数：调和函数/基函数，按递归公式可定义为基函数，按递归公式可定义为n ti-节点值。节点值。T=【t0，t1，tn+k】构成了构成了k阶阶B样条函数的节点矢量，样条函数的节
33、点矢量，节点为非减序列节点为非减序列Page 482.B样条曲线的定义样条曲线的定义n 均匀均匀B样条函数样条函数n 节点沿参数轴均匀等距分布节点沿参数轴均匀等距分布n 非均匀非均匀B样条函数样条函数n 节点沿参数轴不等距分布节点沿参数轴不等距分布n B样条曲线的特点样条曲线的特点n（1）由空间）由空间n+1个控制点生成的个控制点生成的k阶阶B样条曲线是由样条曲线是由L=n-k+1段段B样条曲样条曲线逼近而成的，每段曲线段的形状仅由点列中的线逼近而成的，每段曲线段的形状仅由点列中的k个顺序排列点所控制；个顺序排列点所控制；n（2）由不同节点矢量构成的均匀）由不同节点矢量构成的均匀B样条函数所描
34、述的形状相同，可看成样条函数所描述的形状相同，可看成是函数的简单平移。是函数的简单平移。Page 492.B样条曲线的定义样条曲线的定义n B样条曲线的性质样条曲线的性质n(1)局部性。局部性。n k阶阶B样条曲线上的一点，只被相邻的样条曲线上的一点，只被相邻的k个顶点所控制，与其他控制顶点无关。此为个顶点所控制，与其他控制顶点无关。此为Bezier曲线不备。曲线不备。n(2)C2连续性。连续性。n 由前述曲线基本公式的推导过程可知，曲线各段之间是以位置、斜率与曲率连续由前述曲线基本公式的推导过程可知，曲线各段之间是以位置、斜率与曲率连续为条件的，故具有为条件的，故具有C2连续性。连续性。n(
35、3)凸包性。凸包性。n B样条曲线的凸包是定义各曲线段的控制顶点的凸包的并集。样条曲线的凸包是定义各曲线段的控制顶点的凸包的并集。n 凸包区域比同一组顶点定义的凸包区域比同一组顶点定义的Bezier曲线凸包区域小，具有更强的凸包性。曲线凸包区域小，具有更强的凸包性。n B样条恒位于它的凸包内。样条恒位于它的凸包内。n(4)几何不变性。几何不变性。n B样条曲线的几何特征不随坐标变换而变化。样条曲线的几何特征不随坐标变换而变化。n(5)可分割性。可分割性。n 可以将一段可以将一段B样条曲线在其中间某一点处分割为两段，每一段仍然为一段新的样条曲线在其中间某一点处分割为两段，每一段仍然为一段新的B样
36、样条曲线。条曲线。Page 503.NURBS方法的提出及优缺点方法的提出及优缺点n Nurbsn Non-Uniform Rational B-Spline 非均匀有理非均匀有理B样条样条n Nurbs方法的提出方法的提出n 找到一种既能统一描述自由曲面，又能精确表示二次曲线与二次曲面的找到一种既能统一描述自由曲面，又能精确表示二次曲线与二次曲面的数学方法。数学方法。n Nurbs的特点的特点n 1)不仅可表示自由曲线曲面，还可精确地表示圆锥曲线和规则曲线，为不仅可表示自由曲线曲面，还可精确地表示圆锥曲线和规则曲线，为计算机辅助几何设计提供了统一的数学描述方法。计算机辅助几何设计提供了统一的
37、数学描述方法。n 2)具有影响曲线、曲面形状的权因子，故可以设计相当复杂的曲线曲面具有影响曲线、曲面形状的权因子，故可以设计相当复杂的曲线曲面形状。形状。n 3)是非有理是非有理B样条方法在四维空间的直接推广，多数非有理样条方法在四维空间的直接推广，多数非有理B样条曲线曲样条曲线曲面的性质及其相应的计算方法可直接推广到面的性质及其相应的计算方法可直接推广到NURBS曲线曲面。曲线曲面。n 4)计算稳定且快速。计算稳定且快速。Page 513.NURBS方法的提出及优缺点n NURBS的不足的不足n1）需要额外的存储以定义传统的曲线和曲面。）需要额外的存储以定义传统的曲线和曲面。n2）权因子的选
38、择不恰当可能导致很差的参数化结果，甚至毁掉后续的曲面结）权因子的选择不恰当可能导致很差的参数化结果，甚至毁掉后续的曲面结构。构。Page 524.NURBS曲线的定义曲线的定义n 一条一条k次次NURBS曲线是由分段有理曲线是由分段有理B样条多项式基函数定义的，其形样条多项式基函数定义的，其形式为式为n 式中：式中：n wi(i=0,1,n):权或权因子（权或权因子（weights），分别与控制顶点），分别与控制顶点di（i=0,1,n)相联系。首、末权因子相联系。首、末权因子w0,wn0，其余，其余wi0,以防分母为零、保留凸包以防分母为零、保留凸包性质及曲线顺序连接成控制多边形。性质及曲线
39、顺序连接成控制多边形。n Ni,k(u):由节点矢量由节点矢量U=【u0,u1,un-k+1】决定的决定的k次规范次规范B样条基函样条基函数。对于常用的非周期数。对于常用的非周期NURBS曲线，常取两端点的重复度为曲线，常取两端点的重复度为k+1，即，即u0=u1=uk,un+1=un+2=un-k+1，且节点值分别取，且节点值分别取0,1，则曲线定，则曲线定义域义域uuk,un+1=0,1。nikiinikiiiuNwuNdwup0,0,)()()(Page 534.NURBS曲线的定义曲线的定义n 权因子权因子wi对对NURBS曲线形状的影响曲线形状的影响n 1)若固定所有控制顶点及除若固
40、定所有控制顶点及除wi外的所有其他权因子不变，当外的所有其他权因子不变，当wi变化时，变化时，p点随之移动，它在空间扫描出一条过控制顶点点随之移动，它在空间扫描出一条过控制顶点di的一条直线。当的一条直线。当wi+时，时，p趋近与控制顶点趋近与控制顶点di重合。重合。n 2)若若wi增加，则曲线被拉向控制顶点增加，则曲线被拉向控制顶点di；若；若wi减小，则曲线被推离控制顶减小，则曲线被推离控制顶点点di。n 3)若若wi增加，则一般地曲线在受影响的范围内被推离除顶点增加，则一般地曲线在受影响的范围内被推离除顶点di外的其他相外的其他相应控制顶点；若应控制顶点；若wi减小，则相反。减小，则相反
41、。Page 542.3.3曲面定义1.Bezier曲面的定义曲面的定义2.B样条曲面的定义样条曲面的定义3.NURBS曲面的定义曲面的定义Page 551.Bezier曲面的定义曲面的定义n n*m次次Bezier曲面的定义曲面的定义n 给定（给定（n+1)*(m+1)个排成网格的控制顶点个排成网格的控制顶点Pi,j(i=0,1,n;j=0,1,m)，利，利用基函数用基函数Bi,n(u),Bj,m(v)可构造一张可构造一张n*m次次Bezier曲面片：曲面片：n （2-5）n 式中式中n i=0,1,n;j=0,1,m;(u,v)0,1*0,1n :与与Bezier曲线的基函数相同。曲线的基函
42、数相同。nimjmjnijivBuBPvuP00,)()(),()(),(,vBuBmjniPage 561.Bezier曲面的定义曲面的定义n 双三次双三次Bezier曲面的定义（曲面的定义（n=m=3）n 即即Page 571.Bezier曲面的定义图2-11双三次Bezier曲面Page 581.Bezier曲面的定义曲面的定义n Bezier曲面的特性（与曲面的特性（与Bezier曲线类似）曲线类似）n Bezier曲面周界上的角点与对应的控制顶点重合，并在该点处保持相切。曲面周界上的角点与对应的控制顶点重合，并在该点处保持相切。n 凸包性。凸包性。n 几何不变性。几何不变性。n 可分
43、割性。可分割性。Page 592.B样条曲面的定义样条曲面的定义n k*l次次B样条曲面的定义样条曲面的定义n 给定给定(m+1)*(n+1)个空间点列个空间点列Pi,j(i=0,1,m;j=0,1,n)，则可定义如下，则可定义如下k*l次次B样条曲面：样条曲面：n （2-7）n 式中：式中：n ：空间点组成：空间点组成B样条曲面的特征网格。样条曲面的特征网格。n ：k次和次和l次的次的B样条基函数。样条基函数。minjljkijivuvNuNPvuS00,1,0,),()(),(jiP,)(),(,vNuNljkiPage 602.B样条曲面的定义样条曲面的定义n 均匀双三次均匀双三次B样条
44、曲面的定义（样条曲面的定义（i,j=0,1,2,3,k=l=3）n 式中式中Page 613.NURBS曲面的定义曲面的定义n NURBS曲面的定义曲面的定义n 由双参数变量分段有理多项式定义为由双参数变量分段有理多项式定义为n （2-9）n 式中式中n ：控制顶点，呈拓扑阵列。：控制顶点，呈拓扑阵列。n ：权因子。：权因子。n ：u向向k次、次、v向向l次的规范次的规范B样条基（函数）。样条基（函数）。minjljkijiminjljkijijivNuNwvNuNdwvup00,00,)()()()(),(jid,jiw,)(),(,vNuNljkiPage 622.3.4曲线曲面生成1.曲
45、线生成曲线生成2.曲面生成曲面生成Page 631.曲线生成曲线生成n 曲线生成的两种方法曲线生成的两种方法n 曲线正算：曲线正算：n 根据输入曲线控制顶点来设计曲线。根据输入曲线控制顶点来设计曲线。n 曲线反算：曲线反算：n 根据输入曲线上的型值点来反算和设计曲线，求得对应的控制顶点。根据输入曲线上的型值点来反算和设计曲线，求得对应的控制顶点。n 是曲线设计的主要方法。是曲线设计的主要方法。Page 641.曲线生成Page 65Page 66Page 67Page 682.曲面生成曲面生成n 曲面生成的两大类技术曲面生成的两大类技术n(1)蒙皮曲面生成法蒙皮曲面生成法n 利用蒙皮技术生成曲
46、面，其实质就是拟合一个曲面通过一组有序的称为截面利用蒙皮技术生成曲面，其实质就是拟合一个曲面通过一组有序的称为截面曲线的空间曲线。曲线的空间曲线。n(2)扫描面生成法扫描面生成法n 扫描面生成法是蒙皮曲面生成法的推广。扫描面生成法是蒙皮曲面生成法的推广。n 脊线扫曲面脊线扫曲面n 旋转扫曲面旋转扫曲面n 同步扫曲面同步扫曲面Page 692.4参数化设计技术2.4.1参数化模型参数化模型2.4.2参数驱动法参数驱动法Page 70图2-13参数化模型2.4.1 参数化模型参数化模型Page 712.4.2参数驱动法n 参数驱动法参数驱动法n 尺寸驱动法，是一种参数化图形的方法尺寸驱动法，是一种
47、参数化图形的方法n 是基于对图形数据的操作和对几何约束的处理，利用驱动树分析几何约是基于对图形数据的操作和对几何约束的处理，利用驱动树分析几何约束来对图形进行编程的方法。束来对图形进行编程的方法。n 通过修改图形数据库中的几何数据来对图形进行参数化通过修改图形数据库中的几何数据来对图形进行参数化图2-14有向线段Page 72图2-15几何数据的修改图2-16图形特征联动a)s=2 b)s=3 c)s=5Page 73图2-17相关参数联动Page 74n参数化（参数化（Parametric）造型技术的主要特点）造型技术的主要特点 参数化造型是由编程者预先设置一些几何图形参数化造型是由编程者预
48、先设置一些几何图形约束，然后供设计者在造型时使用。与一个几何约束，然后供设计者在造型时使用。与一个几何相关联的所有尺寸参数可以用来产生其它几何。相关联的所有尺寸参数可以用来产生其它几何。其主要技术特点是：基于特征、全尺寸约束、尺其主要技术特点是：基于特征、全尺寸约束、尺寸驱动设计修改、全数据相关。寸驱动设计修改、全数据相关。Page 75n基于特征：基于特征：将某些具有代表性的几何形状定义为特将某些具有代表性的几何形状定义为特征，并将其所有尺寸存为可调参数，进而形成实体征，并将其所有尺寸存为可调参数，进而形成实体，以此为基础来进行更为复杂的几何形体的构造；，以此为基础来进行更为复杂的几何形体的
49、构造；全尺寸约束：全尺寸约束：将形状和尺寸联合起来考虑，通过尺将形状和尺寸联合起来考虑，通过尺寸约束来实现对几何形状的控制。造型必须以完整寸约束来实现对几何形状的控制。造型必须以完整的尺寸参数为出发点（全约束），不能漏注尺寸的尺寸参数为出发点（全约束），不能漏注尺寸(欠欠约束约束)，不能多注尺寸，不能多注尺寸(过约束过约束)；尺寸驱动设计修改：尺寸驱动设计修改：通过编辑尺寸数值来驱动几何通过编辑尺寸数值来驱动几何形状的改变；形状的改变；全数据相关：全数据相关：尺寸参数的修改导致其它相关模块中尺寸参数的修改导致其它相关模块中的相关尺寸得以全盘更新。的相关尺寸得以全盘更新。Page 76Page
50、77n采用这种技术的理由在于：彻底克服了自由建模的无约采用这种技术的理由在于：彻底克服了自由建模的无约束状态，几何形状均以尺寸的形式而牢牢地控制住。如束状态，几何形状均以尺寸的形式而牢牢地控制住。如打算修改零件形状时，只需编辑一下尺寸的数值即可实打算修改零件形状时，只需编辑一下尺寸的数值即可实现形状上的改变。尺寸驱动已经成为当今造型系统的基现形状上的改变。尺寸驱动已经成为当今造型系统的基本功能。尺寸驱动在道理上容易理解，尤其对于那些习本功能。尺寸驱动在道理上容易理解，尤其对于那些习惯看图纸、以尺寸来描述零件的设计者是十分对路的。惯看图纸、以尺寸来描述零件的设计者是十分对路的。n工程关系（工程关
