1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 考点规范练 28 数列的概念与表示 基础巩固 1.数列 1, ,? 的一个通项公式 an=( ) A. B. C. D. 2.若 Sn为数列 an的前 n项和 ,且 Sn= ,则 等于 ( ) A. B. C. D.30 3.若数列 an的前 n项积为 n2,则当 n2 时 ,an=( ) A.2n-1 B.n2 C. D. 4.若数列 an满足 =d(n N+,d 为常数 ),则称数列 an为调和数列 .已知数列 为调和数列 ,且 x1+x2+? +x20=200,则 x5+x16=( ) A.10 B.20 C.30 D.40 5.(2017宁夏银川二模
2、)已知数列 an满足 a1=2,且 +? + =an-2(n2), 则 an的通项公式为 . 6.已知数列 an的前 4项分别是 ,1, ,则这个数列的一个通项公式是 an= . 7.已知数列 an满足 :a1+3a2+5a3+? +(2n-1) an=(n-1)3 n+1+3(n N+),则数列 an的通项公式an= . 8.已知数列 an的通项公式为 an=(n+2) ,则当 an取得最 大值时 ,n= . 9.若数列 an的通项为 an=(-1)n(2n+1)sin +1,前 n项和为 Sn,则 S100= . =【 ;精品教育资源文库 】 = 10.(2017广东江门一模 )已知正项数
3、列 an的前 n项和为 Sn,Sn= an(an+1),n N+. (1)求数列 an的通项公式 ; (2)若 bn= ,求数列 bn的前 n项和 Tn. 能力提升 11.设数列 an满足 a1=1,a2=3,且 2nan=(n-1)an-1+(n+1)an+1,则 a20的值是 ( ) A.4 B.4 C.4 D.4 12.已知函数 f(x)是定义在 (0,+ )上的单调函数 ,且对任意的正数 x,y都有 f(xy)=f(x)+f(y).若数列 an的前 n项和为 Sn,且满足 f(Sn+2)-f(an)=f(3)(n N+),则 an等于 ( ) A.2n-1 B.n C.2n-1 D.
4、13.(2017山西晋中二模 )我们可以利用数列 an的递推公式 an= (n N+),求出这个数列各项的值 ,使得这个数列中的每一项都是奇数 ,则 a64+a65= . 14.设数列 an的前 n 项和为 Sn.已知 a1=a(a3), an+1=Sn+3n,n N+. (1)设 bn=Sn-3n,求数列 bn的通项公式 ; (2)若 an+1 an,求 a的取值范围 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 高考预测 15.(2017河南洛阳一模 )意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时 ,发现有这样一列数 :1,1,2,3,5,8,13,? .该数列的特点是 :前两个数都是 1,从第三
5、个数起 ,每一个数都等于它前面两个数的和 ,人们把这样的一列数所组成的数列 an称为 “ 斐波那契数列 ”, 则 (a1a3- )(a2a4-)(a3a5- )?( a2 015a2 017- )=( ) A.1 B.-1 C.2 017 D.-2 017 参考答案 考点规范练 28 数列的概念与表示 1.B 2.D 解析当 n2 时 ,an=Sn-Sn-1= , =5 (5+1)=30. 3.D 解析设数列 an的前 n项积为 Tn, 则 Tn=n2,当 n2 时 ,an= . =【 ;精品教育资源文库 】 = 4.B 解析 数列 为调和数列 , =xn+1-xn=d. xn是等差数列 .
6、又 x1+x2+? +x20=200= , x1+x20=20. 又 x1+x20=x5+x16, x5+x16=20. 5.an=n+1 解析 +? + =an-2(n2), +? + =an+1-2(n2), - 得 =an+1-an,整理得 , =1,又 =1, 数列是以 1为首项 ,1 为公比的等比数列 ,即常数列 1, an=n+1. 6. 解析数列 an的前 4项可分别变形为 ,故 an= . 7.3n 解析 a1+3a2+5a3+? +(2n-3)a n-1+(2n-1)a n=(n-1) 3n+1+3,把 n换成 n-1,得a1+3a2+5a3+? +(2n-3)a n-1=(
7、n-2) 3n+3,两式相减得 an=3n. 8.5或 6 解析由题意令 解得 n=5或 n=6. 9.200 解析当 n为偶数时 ,则 sin =0, 即 an=(2n+1)sin +1=1(n为偶数 ). =【 ;精品教育资源文库 】 = 当 n为奇数时 ,若 n=4k+1,k Z, 则 sin =sin =1, 即 an=-2n; 若 n=4k+3,k Z, 则 sin =sin =-1,即 an=2n+2. 故 a4k+1+a4k+2+a4k+3+a4k+4=-2(4k+1)+1+2+2(4k+3)+1=8,因此 S100= 8=200. 10.解 (1)a1=S1= a1(a1+1)
8、,a10,解得 a1=1. ? n N+,an+1=Sn+1-Sn= an+1(an+1+1)- an(an+1), 移项整理并因式分解得 (an+1-an-1)(an+1+an)=0, 因为 an是正项数列 , 所以 an+1+an0, 所以 an+1-an-1=0,an+1-an=1. 所以 an是首项 a1=1、公差为 1的等差数列 ,所以 an=n. (2)由 (1)得Sn= an(an+1)= n(n+1),bn= ,Tn=b1+b2+? +bn= +? + . 11.D 解析由 2nan=(n-1)an-1+(n+1)an+1, 得 nan-(n-1)an-1=(n+1)an+1-
9、nan=2a2-a1=5. 令 bn=nan,则数列 bn是公差为 5的等差数列 , 故 bn=1+(n-1) 5=5n-4. 所以 b20=20a20=5 20-4=96, 所以 a20= =4 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 12.D 解析由题意知 f(Sn+2)=f(an)+f(3)=f(3an)(n N+), Sn+2=3an,Sn-1+2=3an-1(n2), 两式相减 ,得 2an=3an-1(n2) . 又 n=1时 ,S1+2=3a1=a1+2, a1=1. 数列 an是首项为 1,公比为 的等比数列 . an= . 13.66 解析由题得 ,这个数列各项的值分别为 1,
10、1,3,1,5,3,7,1,9,5,11,3,? a64+a65=a32+65=a16+65=a8+65=a4+65=1+65=66. 14.解 (1)因为 an+1=Sn+3n,所以 Sn+1-Sn=an+1=Sn+3n, 即 Sn+1=2Sn+3n,由此得 Sn+1-3n+1=2(Sn-3n), 即 bn+1=2bn. 又 b1=S1-3=a-3, 故 bn的通项公式为 bn=(a-3)2n-1. (2)由题意可知 ,a2a1对任 意的 a都成立 . 由 (1)知 Sn=3n+(a-3)2n-1. 于是 ,当 n2 时 ,an=Sn-Sn-1=3n+(a-3)2n-1-3n-1-(a-3)2n-2=2 3n-1+(a-3)2n-2,故 an+1-an=4 3n-1+(a-3)2n-2=2n-2 . 当 n2 时 ,由 an+1 an,可知 12 +a-30, 即 a -9. 又 a3, 故所求的 a的取值范围是 -9,3) (3,+ ). 15.B 解析 a1a3- =1 2-12=1,a2a4- =1 3-22=-1,a3a5- =2 5-32=1,?, a2015a2017- =1. (a1a3- )(a2a4- )(a3a5- ) ? (a2015a2017- )=11008 (-1)1007=-1.
