1、一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念二、三种特殊曲面二、三种特殊曲面三、二次曲面三、二次曲面机动 目录 上页 下页 返回 结束 10.4 10.4 空间曲面空间曲面 第十章第十章 第1页，共31页。一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念求到两定点求到两定点A(1,2,3)和和B(2,-1,4)等距离等距离222)3()2()1(zyx07262zyx化简得化简得即即引例引例:222)4()1()2(zyx解解:设轨迹上的动点为设轨迹上的动点为,),(zyxM,BMAM 则的点的轨迹的点的轨迹方程方程.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页，共31页。机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说
2、明:动点轨迹为线段动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面的垂直平分面.显然在此平面上的点的坐标都满足此方程显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,不在此平面上的点的坐标不满足此方程不在此平面上的点的坐标不满足此方程.第3页，共31页。定义定义1.0),(zyxFSzyxo如果曲面如果曲面 S 与方程与方程 F(x,y,z)=0 有下述关有下述关系系:(1)曲面曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程上的任意点的坐标都满足此方程;则则 F(x,y,z)=0 叫做曲面叫做曲面 S 的的方程方程,曲面曲面 S 叫做方程叫做方程 F(x,y,z)=0 的的图形图形.(2)不在曲面不在曲面 S 上的点的坐标不满
3、足此方程上的点的坐标不满足此方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页，共31页。机动 目录 上页 下页 返回 结束 两个基本问题两个基本问题 :(1)已知一曲面作为点的几何轨迹时已知一曲面作为点的几何轨迹时,求曲面方程求曲面方程.(2)已知方程时已知方程时,研究它所表示的几何形状研究它所表示的几何形状(必要时需作图必要时需作图).第5页，共31页。故所求方程为故所求方程为例例1.求动点到定点求动点到定点),(zyxM),(0000zyxM的轨迹方程的轨迹方程.特别特别,当当M0在原点时在原点时,球面方程为球面方程为解解:设轨迹上动点为设轨迹上动点为RMM0即即依题意依题意距离为距离为
4、RxyzoM0M222yxRz表示上表示上(下下)球面球面.Rzzyyxx202020)()()(2202020)()()(Rzzyyxx2222Rzyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页，共31页。例例2.2.研究方程研究方程042222yxzyx解解:配方得配方得5,)0,2,1(0M此方程表示此方程表示:说明说明:如下形式的三元二次方程如下形式的三元二次方程(A 0)都可通过配方研究它的图形都可通过配方研究它的图形.其图形可能是其图形可能是的曲面的曲面.表示表示怎样怎样半径为半径为的球面的球面.0)(222GFzEyDxzyxA球心为球心为 一个球面一个球面,或点或点,或虚轨迹或
5、虚轨迹.5)2()1(222zyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页，共31页。定义定义2.一条平面曲线一条平面曲线二、三种特殊曲面二、三种特殊曲面 绕其平面上一条绕其平面上一条定直线定直线旋转旋转一周一周所形成的曲面叫做所形成的曲面叫做旋转曲面旋转曲面.该定直线称为该定直线称为中心轴中心轴 .例如例如:机动 目录 上页 下页 返回 结束 A.旋转曲面旋转曲面这条平面曲线在旋转过程中任一时刻的这条平面曲线在旋转过程中任一时刻的位置都称为旋转曲面的位置都称为旋转曲面的母线母线。第8页，共31页。建立建立yoz面上曲线面上曲线C 绕绕 z 轴旋转所成曲面轴旋转所成曲面的的方程方程:故旋转曲
6、面方程为故旋转曲面方程为,),(zyxM当绕当绕 z 轴旋转时轴旋转时,0),(11zyf,),0(111CzyM若点若点给定给定 yoz 面上曲线面上曲线 C:),0(111zyM(,)M x y z1221,yyxzz则有则有0),(22zyxf则有则有该点转到该点转到0),(zyfozyxC机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页，共31页。思考：当曲线思考：当曲线 C 绕绕 y 轴旋转时，方程如何？轴旋转时，方程如何？0),(:zyfCoyxz0),(22zxyf机动 目录 上页 下页 返回 结束 由此可知，以由此可知，以 z (或或 y 或或 x)轴为中心轴的轴为中心轴的旋转曲面方
7、程可表示为旋转曲面方程可表示为22(,)0fxyz(或或 或或 22(,)0gxzy22(,)0)hyzx第10页，共31页。xy例例3.求坐标面求坐标面 xoz 上的双曲线上的双曲线22221xzac分别绕分别绕 x轴和轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.解解:绕绕 x 轴旋转轴旋转222221xyzac 绕绕 z 轴旋转轴旋转222221xyzac 这两种曲面都叫做这两种曲面都叫做旋转双曲面旋转双曲面.所成曲面方程为所成曲面方程为所成曲面方程为所成曲面方程为z机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页，共31页。xyzB.柱面柱面引例引例.分析方程分析
8、方程表示怎样的曲面表示怎样的曲面.的坐标也满足方程的坐标也满足方程222Ryx解解:在在 xoy 面上面上，表示圆表示圆C,222Ryx222Ryx过此点作过此点作对任意对任意 z,平行平行 z 轴的直线轴的直线 l,oC在圆在圆C上任取一点上任取一点,)0,(1yxMlM1M),(zyxM点机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页，共31页。沿曲线沿曲线C平行于平行于 z 轴的一切直线所形成的轴的一切直线所形成的故在空间故在空间222Ryx曲面曲面称为称为圆柱面圆柱面.表示表示圆柱面圆柱面其上所有点的坐标都满足此方程其上所有点的坐标都满足此方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13
9、页，共31页。xyzxyzol定义定义3.平行定直线并沿定曲线平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线移动的直线 l 形成形成的轨迹叫做的轨迹叫做柱面柱面.表示表示抛物柱面抛物柱面,母线平行于母线平行于 z 轴轴;准线为准线为xoy 面上的抛物线面上的抛物线.z 轴的轴的椭圆柱面椭圆柱面.xy2212222byax z 轴的轴的平面平面.0 yx 表示母线平行于表示母线平行于 C(且且 z 轴在平面上轴在平面上)表示母线平行于表示母线平行于C 叫做叫做准线准线,l 叫做叫做母线母线.xyzoo机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页，共31页。xzy2l一般地一般地,在三维空间在三维空间柱面柱
10、面,柱面柱面,平行于平行于 x 轴轴;平行于平行于 y 轴轴;平行于平行于 z 轴轴;准线准线 xoz 面上的曲线面上的曲线 l3.母线母线柱面柱面,准线准线 xoy 面上的曲线面上的曲线 l1.母线母线准线准线 yoz 面上的曲线面上的曲线 l2.母线母线表示方程0),(yxF表示方程0),(zyG表示方程0),(xzHxyz3l机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyz1l第15页，共31页。定定义义LL直线绕着另一条与相交的定直线，所得的所得的旋转曲面叫做旋转曲面叫做圆圆锥锥面面面的面的两直线的交点称为圆锥两直线的交点称为圆锥顶顶点点，称为圆锥面的称为圆锥面的两直线的夹角两直线的夹角)2
11、0(半半顶顶角角，相交相交与与 L的直线称为的直线称为旋旋转转轴轴LlO 顶点顶点 半顶角半顶角旋转轴旋转轴C.锥面锥面机动 目录 上页 下页 返回 结束,旋转一周第16页，共31页。例例4.试建立顶点在原点试建立顶点在原点,旋转轴为旋转轴为z 轴轴,半顶角为半顶角为的圆锥面方程的圆锥面方程.解解:在在yoz面上直线面上直线L 的方程为的方程为cotyz 绕绕z z 轴旋转时轴旋转时,圆锥面的方程为圆锥面的方程为cot22yxz)(2222yxazcota令xyz 两边平方两边平方L(0,)My z机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页，共31页。三、二次曲面三、二次曲面三元二次方程三元
12、二次方程 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍就几种常见标准型的特点进行介绍.研究二次曲面特性的基本方法研究二次曲面特性的基本方法:截痕法截痕法 其基本类型有其基本类型有:椭球面、抛物面、双曲面、锥面椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形通常为的图形通常为二次曲面二次曲面.222AxByCzDxyEyzFzx0JIzHyGx(二次项系数不全为二次项系数不全为 0)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页，共31页。1 1.椭球面椭球面),(1222222为正数cbaczbyax(1)范围：范围：czbyax,(2
13、)与坐标面的交线：椭圆与坐标面的交线：椭圆,012222zbyax,012222xczby 012222yczax机动 目录 上页 下页 返回 结束 xzy第19页，共31页。1222222czbyax与与)(11czzz的交线为椭圆：的交线为椭圆：1zz(4)当当 ab 时为时为旋转椭球面旋转椭球面;同样同样)(11byyy的截痕的截痕）（axxx11及及也为椭圆也为椭圆.当当abc 时为时为球面球面.(3)截痕截痕:1)()(212221222222zcyzcxcbcacba,(为正数为正数)机动 目录 上页 下页 返回 结束 xzy第20页，共31页。2 2、双曲面、双曲面（1）.单叶双
14、曲面单叶双曲面by 1)1上的截痕为上的截痕为平面平面1zz 椭圆椭圆.时时,截痕为截痕为),(1222222为正数cbaczbyax1yy 平面平面 上的截痕情况上的截痕情况:双曲线双曲线:oyzxby 1)2时时,截痕为截痕为相交直线相交直线:第21页，共31页。(2).(2).双叶双曲面双叶双曲面),(1222222为正数为正数cbaczbyax 上的截痕为上的截痕为平面平面1yy 双曲线双曲线上的截痕为上的截痕为平面平面1xx 上的截痕为上的截痕为平面平面)(11czzz 椭圆椭圆双曲线双曲线zxyo第22页，共31页。2.双曲面双曲面(1)(1)单叶双曲面单叶双曲面by 1)1上的截
15、痕为平面1zz 椭圆椭圆.时时,截痕为截痕为22122221byczax(实轴平行于实轴平行于x 轴；轴；虚轴平行于虚轴平行于z 轴）轴）1yy zxy),(1222222为正数cbaczbyax1yy 平面平面 上的截痕情况上的截痕情况:机动 目录 上页 下页 返回 结束 双曲线双曲线:第23页，共31页。虚轴平行于虚轴平行于x 轴）轴）by 1)2时时,截痕为截痕为0czax)(bby或by 1)3时时,截痕为截痕为22122221byczax(实轴平行于实轴平行于z 轴轴;1yy zxyzxy机动 目录 上页 下页 返回 结束 相交直线相交直线:双曲线双曲线:0第24页，共31页。(2)
16、双叶双曲面双叶双曲面),(1222222为正数cbaczbyax上的截痕为平面1yy 双曲线双曲线上的截痕为平面1xx 上的截痕为平面)(11czzz椭圆椭圆注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:双曲线双曲线zxyo222222czbyax单叶双曲面单叶双曲面11双叶双曲面双叶双曲面P18 目录 上页 下页 返回 结束 第25页，共31页。3.3.抛物面抛物面zqypx2222（1）.椭圆抛物面椭圆抛物面(p,q 同号同号)特别特别,当当 p=q 时为绕时为绕 z 轴的旋转抛物面轴的旋转抛物面.)0,0(qpoyzx机动 目录 上页 下页 返回 结束 第26页，共3
17、1页。（2 2）双曲抛物面（鞍形曲面）双曲抛物面（鞍形曲面）2222xyzpq(p,q 异号异号)用截痕法讨论：用截痕法讨论：设设0,0pq1)用坐标面用坐标面)0(xyoz均可得抛物线均可得抛物线.，1xx 与曲面相截与曲面相截0 xL 1x xL xyzo机动 目录 上页 下页 返回 结束 第27页，共31页。2)用坐标面用坐标面(0)zoxy ，平平面面1yy 与曲面相截与曲面相截2222(0,0)xyzpqpq均可得抛物线均可得抛物线.3)用用(0)xoy z 1平面平面zz 与曲面相截与曲面相截可得双曲线可得双曲线.与曲面相截可得两条与曲面相截可得两条直线直线.用坐标面用坐标面1(0
18、)z zL 0zL 0 xL 1(0)z zL 1x xL 0yL xyzo1yyL 1(0)z zL 0zL 0yL xyzo1yyL 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第28页，共31页。内容小结内容小结 1.空间曲面空间曲面三元方程三元方程0),(zyxF 球面球面2202020)()()(Rzzyyxx 旋转曲面旋转曲面如如,曲线曲线00),(xzyf绕绕 z 轴的旋转曲面轴的旋转曲面:0),(22zyxf 柱面柱面如如,曲面曲面0),(yxF表示母线平行表示母线平行 z 轴的柱面轴的柱面.又如又如,椭圆柱面椭圆柱面,双曲柱面双曲柱面,抛物柱面等抛物柱面等.机动 目录 上页 下页 返
19、回 结束 第29页，共31页。2.二次曲面二次曲面三元二次方程三元二次方程),(同号qp 椭球面椭球面1222222czbyax 抛物面抛物面:椭圆抛物面椭圆抛物面双曲抛物面双曲抛物面zqypx2222zqypx2222 双曲面双曲面:单叶双曲面单叶双曲面2222byax22cz1双叶双曲面双叶双曲面2222byax22cz1 椭圆锥面椭圆锥面:22222zbyax机动 目录 上页 下页 返回 结束 第30页，共31页。5x922 yx1 xy斜率为斜率为1的直线的直线平面解析几何中平面解析几何中空间解析几何中空间解析几何中方方 程程平行于平行于 y 轴的直线轴的直线 平行于平行于 yoz 面的平面面的平面 圆心在圆心在(0,0)半径为半径为 3 的圆的圆以以 z 轴为中心轴的轴为中心轴的圆柱面圆柱面平行于平行于 z 轴的平面轴的平面思考与练习思考与练习 指出下列方程的图形指出下列方程的图形:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第31页，共31页。
