1、1第一节 圆轴扭转时横截面是的应力和强度计算第六章 构件的强度计算构件的强度计算第六节 弯曲与扭转组合变形的强度计算第五节 弯曲与拉伸（压缩）组合变形的强度计算第四节 强度理论第三节 应力状态分析第二节 梁的横截面上的应力和强度计算第1页，共52页。2一、圆轴扭转时横截面上的应力：一、圆轴扭转时横截面上的应力：1.变形几何关系：变形几何关系：xxGGdddtg1xdd距圆心为距圆心为 任一点处的任一点处的 与该点到圆心的距离与该点到圆心的距离 成正比。成正比。xdd 扭转角沿长度方向变化率。扭转角沿长度方向变化率。第一节第一节 圆轴扭转时横截面是的应力和强度计算圆轴扭转时横截面是的应力和强度计
2、算第2页，共52页。32.2.物理关系：物理关系：虎克定律：GxGxGGddddxGdd 代入前式得：第一节第一节 圆轴扭转时横截面是的应力和强度计算圆轴扭转时横截面是的应力和强度计算第3页，共52页。43.3.静力学关系：静力学关系：AxGAxGATAAAddd ddd d22AIApd2令xGI Tpdd pGITx dd 代入物理关系式代入物理关系式 得：得：xGdd pITOpdA第一节第一节 圆轴扭转时横截面是的应力和强度计算圆轴扭转时横截面是的应力和强度计算第4页，共52页。5pIT横截面上距圆心为横截面上距圆心为 处任一点剪应力计算公式。处任一点剪应力计算公式。4.公式讨论：公式
3、讨论：仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截 面直杆。面直杆。式中：式中：T横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。该点到圆心的距离。该点到圆心的距离。Ip截面极惯性矩，纯几何量，无物理意义。截面极惯性矩，纯几何量，无物理意义。第一节第一节 圆轴扭转时横截面是的应力和强度计算圆轴扭转时横截面是的应力和强度计算第5页，共52页。6 应力分布应力分布（实心截面）（空心截面）工程上常采用空心截面构件：工程上常采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，提高强度，节约材料，重量轻，结构轻便，应用广泛
4、。结构轻便，应用广泛。第一节第一节 圆轴扭转时横截面是的应力和强度计算圆轴扭转时横截面是的应力和强度计算第6页，共52页。7 确定最大剪应力：确定最大剪应力：pIT由知：当max ,2dR)2(22 PPPPPmaxdIWWTdITIdT令PmaxWTW WP P 抗扭截面系数（抗扭截面模量），抗扭截面系数（抗扭截面模量），几何量，单位：几何量，单位：mmmm3 3或或m m3 3。对于实心圆截面：对于实心圆截面：163pPDRIW对于空心圆截面：对于空心圆截面：16)1(43PPDRIWDd第一节第一节 圆轴扭转时横截面是的应力和强度计算圆轴扭转时横截面是的应力和强度计算第7页，共52页。8
5、二、圆轴扭转时的强度计算二、圆轴扭转时的强度计算强度条件：强度条件：对于等截面圆轴：对于等截面圆轴：maxPmaxWT(称为许用剪应力。)强度计算三方面：强度计算三方面：校核强度：校核强度：设计截面尺寸：设计截面尺寸：计算许可载荷：计算许可载荷：maxPTWPmaxWT）（空：实：433P116 16 DDWPmaxWT第一节第一节 圆轴扭转时横截面是的应力和强度计算圆轴扭转时横截面是的应力和强度计算第8页，共52页。9nNmTBC2103m)(kN551m)(N4151432101503.TmD3=135D2=75 D1=70ABCmmxMPa23160701055133max.WTt第一节
6、第一节 圆轴扭转时横截面是的应力和强度计算圆轴扭转时横截面是的应力和强度计算第9页，共52页。101)计算外力偶矩计算外力偶矩mNnNTmNnNTTmNnNTDDBCBAA63795505.477955015929550BCADTBTCTDTA例例 已知已知A轮输入功率为轮输入功率为50kW，B、C、D轮输出功率分别为轮输出功率分别为15、15、20kW，轴的转速为，轴的转速为300r/min，试设计该试设计该轴直径轴直径d。2)2)用截面法分别计算：用截面法分别计算：BCBC、CACA、ADAD轴段的扭矩轴段的扭矩第一节第一节 圆轴扭转时横截面是的应力和强度计算圆轴扭转时横截面是的应力和强度
7、计算第10页，共52页。11BCADTBTCTDTA477.5Nm955Nm637NmTn作扭矩图作扭矩图Tnmax=955NmBC段段CA段段AD段段NmTTB5.4771NmTTTCB9552NmTTD6373第一节第一节 圆轴扭转时横截面是的应力和强度计算圆轴扭转时横截面是的应力和强度计算第11页，共52页。12由强度条件设计轴直径：由强度条件设计轴直径：mm5.49T16d3maxn 选：选：d=50 mmTnmax=955NmdT16WT3maxnpmaxnmax 第一节第一节 圆轴扭转时横截面是的应力和强度计算圆轴扭转时横截面是的应力和强度计算第12页，共52页。13例例 某牌号汽
8、车主传动轴，传递最大扭某牌号汽车主传动轴，传递最大扭T=T=19301930NmNm,传传动轴用外径动轴用外径D D=89=89mmmm、壁厚壁厚=2.5=2.5mmmm的钢管做成。材料为的钢管做成。材料为2020号钢，号钢，=70=70MPaMPa.校核此轴的强度。校核此轴的强度。3434329)945.01(9.82.0)1(2.0945.0cmDWDdT第一节第一节 圆轴扭转时横截面是的应力和强度计算圆轴扭转时横截面是的应力和强度计算第13页，共52页。14 70MPa66.7MPa102910193033maxTWT第一节第一节 圆轴扭转时横截面是的应力和强度计算圆轴扭转时横截面是的应
9、力和强度计算第14页，共52页。15轴向拉压与扭转的比较轴向拉压与扭转的比较AFNpITpWTmaxEAlFlNpGITl第15页，共52页。16课堂练习课堂练习第一节第一节 圆轴扭转时横截面是的应力和强度计算圆轴扭转时横截面是的应力和强度计算第16页，共52页。17第二节第二节 梁的横截面上的应力和强度计算梁的横截面上的应力和强度计算一、纯弯曲与剪切弯曲纯弯曲与剪切弯曲各横截面上同时有弯矩各横截面上同时有弯矩M M和剪力和剪力Q Q，称为，称为。各横截面只有弯矩各横截面只有弯矩M M，而无剪力，而无剪力Q Q，称为，称为。第17页，共52页。18中性层和中性轴中性层和中性轴xyz 中性层中性
10、层 梁弯曲变形时，既不梁弯曲变形时，既不伸长又不缩短的纵向纤维伸长又不缩短的纵向纤维层称为中性层。层称为中性层。对矩形截面梁来讲，就是位于上下中间这一层。对矩形截面梁来讲，就是位于上下中间这一层。中性轴中性轴梁弯曲时，实际上各个截面绕着中性轴转动。梁弯曲时，实际上各个截面绕着中性轴转动。如果外力偶矩如图作用在梁上，该梁下部将伸长、上部将缩如果外力偶矩如图作用在梁上，该梁下部将伸长、上部将缩短短第二节第二节 梁的横截面上的应力和强度计算梁的横截面上的应力和强度计算第18页，共52页。19二、纯弯曲时横截面上的正应力公式纯弯曲时横截面上的正应力公式中中性性层层中中性性轴轴第二节第二节 梁的横截面上
11、的应力和强度计算梁的横截面上的应力和强度计算第19页，共52页。20dyabddxabdxdOO)(21)()(aydddyababab 1）变形的几何关系为：）变形的几何关系为：第二节第二节 梁的横截面上的应力和强度计算梁的横截面上的应力和强度计算第20页，共52页。212）应力和变形的关系（物理关系）应力和变形的关系（物理关系）yEE 由虎克定律由虎克定律)()(aydddyababab 第二节第二节 梁的横截面上的应力和强度计算梁的横截面上的应力和强度计算第21页，共52页。22弯曲正应力分布规律弯曲正应力分布规律l与中性轴距离相等的与中性轴距离相等的 点，正应力相等；点，正应力相等；M
12、MyEE第二节第二节 梁的横截面上的应力和强度计算梁的横截面上的应力和强度计算第22页，共52页。233 3）静力学关系分析）静力学关系分析0AdA0AAydAEydAE0AydA000 cczcAyAAySAyydA没有轴向力没有轴向力yEE 中性轴必然通过横截中性轴必然通过横截面的形心面的形心质心坐标质心坐标静矩，面积矩静矩，面积矩第二节第二节 梁的横截面上的应力和强度计算梁的横截面上的应力和强度计算z第23页，共52页。24MdAyAMdAyEdA)yE(yAA2zzAzEIMMEIdAyI12或或令令yEE 抗弯刚度抗弯刚度zIMy第二节第二节 梁的横截面上的应力和强度计算梁的横截面上
13、的应力和强度计算z第24页，共52页。25zIMy横截面上横截面上某点正应力某点正应力该点到中该点到中性轴距离性轴距离该截面弯矩该截面弯矩该截面对该截面对中中性轴性轴的惯性矩的惯性矩maxyIWZZ其中：其中：第二节第二节 梁的横截面上的应力和强度计算梁的横截面上的应力和强度计算ZWMmax抗弯截面模量抗弯截面模量第25页，共52页。264 4）惯性矩的计算）惯性矩的计算简单截面的惯性矩简单截面的惯性矩12332232222bhybbdyydAyIhhAzhh 123bhIz 123hbIy矩形截面矩形截面62maxbhyIWZZ62maxhbzIWZy第二节第二节 梁的横截面上的应力和强度计
14、算梁的横截面上的应力和强度计算第26页，共52页。27圆形与圆环截面圆形与圆环截面3242DdAIAp yzPyAzAAAPIIIIIdAzdAydA)zy(dAI2222222实心圆实心圆6424dIIIPyz323dRIRIWyZz第二节第二节 梁的横截面上的应力和强度计算梁的横截面上的应力和强度计算第27页，共52页。28空心圆空心圆44642dDIIIPyz441642DIIIPyzDd圆形与圆环截面圆形与圆环截面或：或：32)1(43DWz其中：其中：第二节第二节 梁的横截面上的应力和强度计算梁的横截面上的应力和强度计算第28页，共52页。29由惯性矩的定义式可知：组合截面对某轴的惯
15、性矩，等于其组成部组合截面对某轴的惯性矩，等于其组成部分对同一轴惯性矩的代数和分对同一轴惯性矩的代数和即：即：Iz=Iz1+Iz2+Izn=Izi设某截面形心在某坐标系的坐标为设某截面形心在某坐标系的坐标为(a,b),如图，则其对坐标轴的惯性矩为：如图，则其对坐标轴的惯性矩为：AbIIzcz2对于对于z轴的惯性矩：轴的惯性矩：AaIIycy2对于对于y轴的惯性矩：轴的惯性矩：第二节第二节 梁的横截面上的应力和强度计算梁的横截面上的应力和强度计算第29页，共52页。30工字形截面梁尺寸如图，工字形截面梁尺寸如图，求截面对求截面对z z轴的惯性矩。轴的惯性矩。解：可以认为该截面是由三个矩形截面构可
16、以认为该截面是由三个矩形截面构成，所以：成，所以：Iz=Iz1+Iz2+Iz3)(102433109129040124443331mmbhIz)(1067.1703108128040124443332mmbhIz)(1053.8610812802124433333mmbhIz（+）1（-）2（+）3Iz=Iz1+Iz2+Iz3=(243-170.67+8.53)x104=80.86x104(mm4)第二节第二节 梁的横截面上的应力和强度计算梁的横截面上的应力和强度计算第30页，共52页。31平行轴定理应用举例解：解：截面可分解成如图组合，A1=300 x30=9000mm2 A2=50 x27
17、0=13500mm2 yc1=-75-15=-90mm yc2=135-75=60mm A1、A2两截面对其型心轴的惯性矩为：I1cz=300 x303/12=0.675x106mm4 I2cz=50 x2703/12=82.0125x106mm4 A1A2第二节第二节 梁的横截面上的应力和强度计算梁的横截面上的应力和强度计算第31页，共52页。32由平行轴定理得：I1z=I1cz+yc12A1=0.675x106+902x9000 =73.575x106mm4I2z=I2cz+yc22A2=82.0125x106+602x13500 =130.61x106mm4 Iz=I1z+I2z=(73
18、.575+130.61)x106 =204x106mm4第二节第二节 梁的横截面上的应力和强度计算梁的横截面上的应力和强度计算第32页，共52页。33三、三、梁的弯曲强度条件及强度计算梁的弯曲强度条件及强度计算 某截面上最大弯曲正某截面上最大弯曲正应力发生在截面的上下边应力发生在截面的上下边界上：界上：ZmaxWMW WZ Z 称为抗弯截面模量，称为抗弯截面模量，Z Z 为中性轴为中性轴.矩形截面矩形截面Zbh6bhW2Z实心圆截面实心圆截面Zd32dW3ZmaxZZyIW空心圆截面空心圆截面32)1(43DWz第二节第二节 梁的横截面上的应力和强度计算梁的横截面上的应力和强度计算第33页，共
19、52页。34 梁的危险截面梁的危险截面梁的危险截面在该梁内弯矩最大的截面上梁的危险截面在该梁内弯矩最大的截面上危险截面位于梁中部危险截面位于梁中部危险截面位于梁根部危险截面位于梁根部 梁的最大正应力梁的最大正应力梁的最大正应力发生在危梁的最大正应力发生在危险截面上离中性轴最远处险截面上离中性轴最远处ZmaxmaxWM第二节第二节 梁的横截面上的应力和强度计算梁的横截面上的应力和强度计算第34页，共52页。35梁的强度条件梁的强度条件 ZmaxmaxWMMmax梁内最大弯矩梁内最大弯矩WZ危险截面抗弯截面模量危险截面抗弯截面模量材料的许用应力材料的许用应力利用强度条件可以校核强度、设计截面尺利用
20、强度条件可以校核强度、设计截面尺寸、确定许可载荷寸、确定许可载荷第二节第二节 梁的横截面上的应力和强度计算梁的横截面上的应力和强度计算第35页，共52页。36课堂练习课堂练习第二节第二节 梁的横截面上的应力和强度计算梁的横截面上的应力和强度计算第36页，共52页。37四、四、弯曲剪应力度计算公式（简介）弯曲剪应力度计算公式（简介）横力弯曲时，梁横截面上既有正应力，又有剪应力。一般横力弯曲时，梁横截面上既有正应力，又有剪应力。一般情况下梁的强度主要决定于正应力，（以矩形截面为情况下梁的强度主要决定于正应力，（以矩形截面为例：例：，）但在某些情况下）但在某些情况下必须考虑剪应力并按剪应力进行强度校
21、核，如横截面上有较大必须考虑剪应力并按剪应力进行强度校核，如横截面上有较大的剪力的剪力Q Q而弯矩而弯矩M M却较小；梁的跨度短而截面较高；组合截面梁却较小；梁的跨度短而截面较高；组合截面梁的复板较薄等。的复板较薄等。hl maxmaxmaxmax第二节第二节 梁的横截面上的应力和强度计算梁的横截面上的应力和强度计算第37页，共52页。38其它截面梁横截面上的剪应力计算公式为：其中：其中：Q Q为截面剪力；为截面剪力；I Iz z为整个截面对为整个截面对z z轴之惯性矩；轴之惯性矩；可查表可查表b b 为为y y点处截面宽度。点处截面宽度。ZZbIQS*S Sz z 为为y y点以下的面积对中
22、性轴之静矩；可查表点以下的面积对中性轴之静矩；可查表第二节第二节 梁的横截面上的应力和强度计算梁的横截面上的应力和强度计算zyybhy第38页，共52页。391）矩形截面梁横截面上的剪应力矩形截面梁横截面上的剪应力2）工字形截面梁横截面上的剪应力工字形截面梁横截面上的剪应力3）圆形截面梁横截面上的剪应力圆形截面梁横截面上的剪应力4）薄壁环形截面梁横截面上的剪应力薄壁环形截面梁横截面上的剪应力AQ23maxAQ34maxAQmaxAQ2max第二节第二节 梁的横截面上的应力和强度计算梁的横截面上的应力和强度计算第39页，共52页。40例例 图示悬臂梁承受均布载荷图示悬臂梁承受均布载荷q，假设梁截
23、面为，假设梁截面为b h的矩形，的矩形，h=2b，讨论梁立置与倒置两种情况哪一种更好？讨论梁立置与倒置两种情况哪一种更好？根据弯曲强度条件根据弯曲强度条件 ZWM同样载荷条件下，工作应力越小越好同样载荷条件下，工作应力越小越好因此，因此，WZ 越大越好越大越好梁立置时：梁立置时：3322Zb326b46b2b6bhW梁倒置时：梁倒置时：3322Zb316b26bb26hbW立置立置比倒倒置强度大置强度大一倍。一倍。bhhbq注意：注意：Z Z 轴为中性轴轴为中性轴第二节第二节 梁的横截面上的应力和强度计算梁的横截面上的应力和强度计算第40页，共52页。41例例 图示圆截面辊轴，中段图示圆截面辊
24、轴，中段BC受均部载荷作用，试确定辊轴受均部载荷作用，试确定辊轴BC段截段截面的直径。已知面的直径。已知q=1KN/mm，许用应力，许用应力=140MPa。危险截面在轴的中部危险截面在轴的中部利用截面法求该截面弯矩利用截面法求该截面弯矩qABCD3003001400300qRAyM7003000M 07003002700700AyRqM由对称性可求得：由对称性可求得：N700000214001000ql21RAyKNm45527001000100070000M2 ZmaxWM maxZMW1401000100045532d3mm320d 第二节第二节 梁的横截面上的应力和强度计算梁的横截面上的
25、应力和强度计算第41页，共52页。42 例例、矩形截面木梁AC，受均布载荷作用。如图，已知 ，试设计该梁截面 尺寸。，2kN/m20bhq025.25.43)(05.4qNmqNNFBABAyF(kN)5.67(kN)5.22BANN，MPa9MPa1，zbh解：解：1外力分析：外力分析：求支座约束反力。研究梁AC，受力分析如图，列平衡方程：NANB第二节第二节 梁的横截面上的应力和强度计算梁的横截面上的应力和强度计算第42页，共52页。432内力分析：内力分析：分区段绘制该梁的剪力图和弯矩图，如(a)、(b)图所示。由图可知：Qmax=37.5(kN)，Mmax=22.5(kNm)第二节第二
26、节 梁的横截面上的应力和强度计算梁的横截面上的应力和强度计算第43页，共52页。443应力分析：应力分析：(mm)3342(mm)167(m)167.0(m)155.01092105.223232361(m)167.01014105.3734343233633max3max2maxmaxmax63max2maxmaxmaxbhbMbbMbhMWMQbbQbhQz，故取第二节第二节 梁的横截面上的应力和强度计算梁的横截面上的应力和强度计算第44页，共52页。45例例3 矩形截面外伸梁受力如图a)所示，已知l4 m，b160 mm，h220 mm，FP4 kN，q8 kN/m，材料的许用应力 10
27、 MPa，试校核梁的强度。解解 (1)作弯矩图 作出的弯矩图如图 b)所示。由图中可知Mmax14.1kNm。第二节第二节 梁的横截面上的应力和强度计算梁的横截面上的应力和强度计算第45页，共52页。46(2)校核强度 故梁的强度足够。故梁的强度足够。3622mm1045.162201806bhWz3maxmax6914.1109.72 MPa1.451010zMW 第二节第二节 梁的横截面上的应力和强度计算梁的横截面上的应力和强度计算第46页，共52页。47第二节第二节 梁的横截面上的应力和强度计算梁的横截面上的应力和强度计算 对于像铸铁一类的脆性材料，由于抗压对于像铸铁一类的脆性材料，由于
28、抗压许用应力大于抗拉许用应力。通常使截面不许用应力大于抗拉许用应力。通常使截面不对称于中性轴，如对称于中性轴，如“T”截面，并应在最大截面，并应在最大弯矩截面上使中性轴靠近受拉一侧。使拉、弯矩截面上使中性轴靠近受拉一侧。使拉、压强度均满足要求。强度条件如下：压强度均满足要求。强度条件如下：lzllIMymaxmax yzyyIMymaxmaxZ ZYyYlyp受拉应力受拉应力强度条件强度条件受压应力受压应力强度条件强度条件Y第47页，共52页。48 例例 T形铸铁梁，受力和截面尺寸如图a)所示，已知截面对中性轴z的惯性矩 ，材料的许用拉应力 40MPa，许用压应力 160MPa。试校核梁的强度
29、。44mm106013zItc第二节第二节 梁的横截面上的应力和强度计算梁的横截面上的应力和强度计算第48页，共52页。49解解 作梁的弯矩图如图b)所示。由图中可知MA15kNm，MB-30kNm。在A截面上，弯矩MA为正的最大值，梁下凸变形，最大拉应力发生在该截面下缘处，最大压应力发生在该截面上缘处，其值分别为331tmax412332cmax41215 10157.5 1039.3MPa6013 101015 10(230 157.5)1018.1MPa6013 1010AzAzM yIM yI第二节第二节 梁的横截面上的应力和强度计算梁的横截面上的应力和强度计算第49页，共52页。50
30、 在B截面上，弯矩MB为负的最大值，梁上凸变形，最大拉应力发生在该截面上缘处，最大压应力发生在该截面下缘处，其值分别为 由此可见，全梁的最大拉应力为 ，发生在A截面下缘处，全梁的最大压应力为 ，发生在B截面下缘处。故均满足强度要求。MPa6.7810106013105.1571030MPa2.361010601310)5.157230(1030124331maxc124332maxt zBzBIyMIyMtmax39.3MPatcmax78.6MPac第二节第二节 梁的横截面上的应力和强度计算梁的横截面上的应力和强度计算第50页，共52页。51梁的弯曲梁的弯曲与扭转的比较与扭转的比较梁的纯弯曲梁的纯弯曲梁上外载荷梁上外载荷弯矩弯矩MpITpWTmaxpGITlzIMyZmaxmaxWMzEIMyy第51页，共52页。52课堂练习课堂练习第二节第二节 梁的横截面上的应力和强度计算梁的横截面上的应力和强度计算第52页，共52页。
