1、专题 27、求离心率的取值范围【策略 1】根据题目已知不等式求离心率的取值范围（注意“存在”“恒成立”是隐藏的不等式）x y2 2【例 1】已知椭圆 E : + =1（ab0）的右焦点为 F，短轴的一个端点为 M，直线 l：3x4y0 交a b2 24椭圆 E 于 A，B 两点，若|AF|BF|4，点 M 到直线l 的距离不小于 ，则椭圆 E 的离心率的取值范围是53 3A(0, B(0, 2 4【答案】 AC3234,1) D,1) ( )【解析】如图所示，设 F为椭圆的左焦点，连接 AF，BF，则四边形 AFBF是平行四边形， 4 = AF + BF = AF + AF = 2a ，解得
2、a2取 M(0，b)，点 M 到直线l 的距离不小于45，4b 42 2 53 + 4，解得 b1，于是ec b 1 32= = 1- 1- =a a 2 22 2，故椭圆 E 的离心率的取值范围是 (0, 3 2x y2 2【例 2】椭圆 2 2 1(a b 0)+ = 的焦点为 F1，F2，两条准线与 x 轴的交点分别为 M，N，若|MN|2|F1F2|，a b则该椭圆离心率的取值范围是 ( )1 2A ( 0， B (0, 2 2【答案】D 1C ,1) 22D ,1)2【解析】由题有MNa2= ，2cF1F2 = 2c ，MN 2 F F ，则1 2a2c ，该椭圆离心率 22ce ，
3、故离心率2e 的取值范围是 2 ,1) ，故选 D2x y 3a2 2【例 3】若双曲线 2 - 2 =1（ a 0,b 0 ）上横坐标为 的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离， a b 2则双曲线离心率的取值范围是 ( )A(1，2) B(2，) C(1，5) D(5，)【答案】B【解析】3 a 32ex - a = e a - a + a02 c 2，3e2 -5e - 2 0 ，解得 e 2 或1e b 0 ）的左、右焦点，若在其右准线上存在 P，使线段 PF1a b的中垂线过点 F2，则椭圆离心率的取值范围是 ( )2A (0, 2【答案】D3B (0, 32C ,1)2D33,1)
4、【解析】由题可知，知a2P( , y)c，PF1 的中点 Q 的坐标为b y2( , )2c 2cy，k 1 = 2F Pb，cyk =QF2 b2 - 2c2，k k = - ，1F P QF1 2y = 2b -2 2b4c21， 2 2 2y = (a - c )(3- ) 0e21，(3- ) 0e2，解得1 3 e 3a2 3综上所述， 3 1当 e ，故选 Dk = 0 时， k 不存在，此时 F2 为中点， - c = 2c e =F P QF1 2c 3 3【策略 2】根据焦半径的取值范围（利用三角形三边的关系建立不等关系）求离心率的取值范围1（1）若 F 是椭圆的一个焦点，P
5、 是椭圆上的任意一点，则 a - c PF a + c ；（2）若 F 是双曲线的右焦点，若 P 是双曲线右支上的任意一点，则 PF c - a ；若 P 是双曲线左支上的任意一点，则 PF c + a ，根据题给等式确定 P 位置（3）若 P 是椭圆上的任意一点，则 -a xp a,-b yp b 0 )的右焦点为 F，其右准线与 x 轴的交点为 A，在椭圆上存在点 P 满足2 2 1a b线段 AP 的垂直平分线过点 F，则椭圆离心率的取值范围是 ( )2A (0, 2 1 1B (0， C 2 -1,1) D ,1) 2 2【答案】D【解析】 由题可知，椭圆上存在点 P，使得线段 AP
6、的垂直平分线过点 F，即 F 点到 P 点与 A 点的距离相等，a b2 2FA = - c =c cb2，且 a - c PF a + c ， a c a c ，即 ac - c2 b2 ac + c2 ，- +cac - c a - c2 2 2a - c ac + c2 2 2c 1a，于是c c - 1 或121，又 e(0，1)，故 e ，故选 D ,1)2【例 6】已知双曲线x y2 22 - 2 =1（a0，b0）的左、右焦点分别为 F1(c，0)，F2(c，0)，若双曲线上存a b在一点 P 使sinsinPF F a1 2=PF F c2 1，则该双曲线的离心率的取值范围是
7、【答案】 (1, 2 +1)【解析】sinPF F PF1 2=2sinPF F PF2 1 1，PF a 12= =PF c e1，即 e PF2 = PF1 ，又PF1 - PF2 = 2a ，(e -1) PF = 2a ，2从而PF2=2ae -1，由双曲线性质知PF c - a ，22ae -1 c - a，即e2-1，得 e2 - 2e -1 e -11，故得 e(1, 2 +1) 【例 7】已知椭圆x y2 22 2 1+ = （ab0）的左、右焦点分别为 F1(c，0)，F2(c，0)，若椭圆上存在一点 Pa b使a c=sinPF F sinPF F1 2 2 1，则该椭圆的
8、离心率的取值范围为 【答案】 ( 2 -1,1)【解析】在F1PF2 中，由正弦定理得PF PF2 1=sinPF F sinPF F1 2 2 1，则由已知得a c= ， 即PF PF2 1a PF = c PF ，设点 P(x0，y0)，由焦点半径公式，得1 2 PF = a + ex1 0PF = a - ex2 0，则a(a + ex ) = c(a - ex ) ，解得0 0x0a(c - a) a(e -1)= =e(c + a) e(e +1)，由椭圆的几何性质知，x -a ，则0a(e -1)e(e +1) -a，整理得 e2 + 2e -1 0 ，解得e 2 -1，又 e(0
9、，1)，故椭圆的离心率 e( 2 -1,1) 2 1【例 8】双曲线x y2 22 2 1- = （a0，b0）的两个焦点为 F1，F2，若 P 为其上一点，且|PF1|2|PF2|，则a b双曲线离心率的取值范围为 ( )A(1，3) B(1，3 C(3，) D3，)2【答案】B【解析】法一：设|PF2|m，F1PF2（0），当 P 点在右顶点处， m2 + (2m)2 - 4m2 cosq2ce 5 4cosq 2a m= = = - ， -1 cosq 1，解得 e(1，3，故选 B法二：如图，PF - PF = 2a1 2PF = 2PF1 2PF = 4a， 1PF = 2a2，由焦
10、半径可知PF2 = 2a c - a ，解得1 e 3 法三：由题意可知， PF = 2 PF1 2PF - PF = 2a1 2，即 PF = 4a1PF = 2a2，由PF a + c ，则 e 31x y2 2【例 9】已知双曲线 2 - 2 =1（a0，b0）的左，右焦点分别为 F1，F2，点 P 在双曲线的右支上，且a b|PF1|4|PF2|，则此双曲线的离心率 e 的最大值为 ( )43A【答案】BB53C2 D73【解析】由题可知， PF = 4 PF1 2PF - PF = 2a1 2，即 8PF = a 312a =PF 32，由5c + a PF ，则 e ，故选 B13
11、x y2 2【例 10】如果椭圆 2 + 2 =1（ab0）上存在一点 P，使得点 P 到左准线的距离与它到右焦点的距离a b相等，那么椭圆的离心率的取值范围为 ( )A (0, 2 -1 B 2 -1,1) C (0, 3 -1 D ( 3 -1,1【答案】B2a【解析】设 PF = m ，由题意及椭圆第二定义可知 PF = me ， PF1 + PF2 = m(e +1) = 2a ， ， m =2 1e +1 2a PF2 - P F1 F1F2 （当且仅当 P，F1，F2 三点共线等号成立）， m - me 2c ，把 代入化简可 m = e +12a得 ( ) ，即 e2 + 2e
12、-1 0 ，解得 e 2 -1 ，又 e 0,b 0) 的左、右焦点分别是 F1，F2，P 是双曲线右支上一点，P 到右a b准线的距离为 d，若 d，|PF2|，|PF1|依次成等比数列，则双曲线的离心率的取值范围为 【答案】1 e 2 +1【解析】由题可知，PFPF = d PF ， 2 =22 1dPF， = 2e de3，于是PF2 2PF2 = P F1e，P F1 = e PF2 ，又因为 P 在右支上，PF1 - PF2 = 2a ，PF2 + 2a = e PF2 ，PF2=2ae -1， PF c - a ，得22ae -1 c - a，2即 ，故1 e 2 +1 e -1e
13、 -1x y2 2【例 12】设点 P 在双曲线 2 - 2 =1（a0，b0）的左支上，双曲线两焦点为 F1，F2，已知|PF1|是点 P a b到左准线 l 的距离 d 和|PF2|的比例中项，则双曲线离心率的取值范围为 【答案】1 e 1+ 2【解析】由题设PF = d PF 得21 2PF PF PF1 2= 由双曲线第二定义 1d PFd1= 得ePF2PF1= e ，由焦半径公式得a - ex- =a + exe，则(1+ e)ax = - -ae - e2，即 e2 - 2e -1 0 ，解得1 e 1+ 2 x y2 22 - 2 =1（a0，b0）的右支上，双曲线两焦点为 F
14、1，F2，a bPF1PF22【例 13】已知点 P 在双曲线 最小值是 8a，则双曲线离心率的取值范围 【答案】1 e 3| PF | (| PF | +2a) 4a2 2 2【解析】 = = + + ，由均值定理知：当且仅当| PF |= 2a 时取得最小1 2| PF | 4a 8a2 2| PF | | PF | | PF |2 2 2值 8a，又| PF | c - a 所以 2a c - a ，则1 0) 的中心和左焦点，点 P 为双曲线右支上的2a任意一点，则OP FP 的取值范围为 ( ) 7 7A3- 2 3,+) B3+ 2 3,+) C- ,+) D ,+) 4 4【答案
15、】3+ 2 3,+)x2【解析】F(2，0)是已知双曲线的左焦点， a2 +1= 4，即 a = ，故双曲线方程为 - = ，设点2 3 2 1y 3x x2 2P(x0，y0)，则 - = ，解得 y = - x ， FP x y ，OP = x y ，0 2 2 0y0 1(x0 3) 0 1( 0 3)= ( + 2, ) ( , )0 0 0 03 3uuur uuur x x2 24OP FP x x y x x x ，此二次函数对应的抛物线的对称轴为 = ( + 2) + = ( + 2) + -1= + 2 -12 0 00 0 0 0 0 03 33 4x = - ， x ，故
16、当 x = 时，OP FP 取得最小值 + - = 3+ 2 3 ，故OP FP 的取值0 3 3 2 3 10 3 04 3范围是3+ 2 3,+) ，故选 B【例 15】若 A，B 为椭圆x y2 22 2 1( 0)+ = a b 的长轴两端点，Q 为椭圆上一点，使AQB120，则此椭a b圆离心率的最小值为 【答案】 63y y【解析】不妨设 A(a，0)，B(a，0)，Q(x，y)，则 ,k = k =AQ BQx + a x - a，利用到角公式及AQB120y y-x + a x - a = 得 tan120 y y1+x + a x - a（ x a ），又点 A 在椭圆上，故
17、a2x a y2 - 2 = - 2 ，消去 x，化简得b2y =2ab23c24又 y b 即2ab23c2 ，则 4a2 (a2 -c2 ) 3c4 ，从而转化为关于 e 的高次不等式 3e4 + 4e2 - 4 0 解得b63 故椭圆离心率的最小值为 6（或 2ab 3c2 = 3(a2 -b2) ，得 0 3e 1 e ，由b3 a 3b= - 2 ，1 ( )a故 6 1 ）（注：本题若是选择或填空可利用数形结合求最值）e 3【策略 3】根据渐近线求离心率的取值范围 （1）若直线恒过的定点落在双曲线两支之内当直线与双曲线只有一个交点时，该直线的斜率k b= ； ab b当直线与双曲线
18、两支都有交点时，该直线的斜率 （- , ) ；ka ab b当直线与双曲线单支有两个交点时，该直线的斜率 (-,- ) ( ,+) ；ka a （2）若直线恒过的定点不落在双曲线两支之内当直线与双曲线只有一个交点时，该直线的斜率k当直线与双曲线有两个交点时，0；当直线与双曲线左右两支都有交点时， x1x2 0当直线与双曲线左支有两个交点时，有x x 01 2 + 0当直线与双曲线右支有两个交点时，有 0 x x1 2 + x x1 20；【例 16】设双曲线C 的中心为点 O，若有且只有一对相交于点O ，所成的角为 60的直线 A1B1 和 A2B2，使|A1B1|A2B2|，其中 A1，B1
19、 和 A2，B2 分别是这对直线与双曲线 C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是 ( )2 3A ( ,23【答案】A2 3B , 2)3C2 3 2 3( ,+) D ,+)3 3【解析】不妨令双曲线的方程为B2，关于 x 轴对称，如图，x y2 2- = ( a 0,b 0 )，由|A1B1|A2B2|及双曲线的对称性知 A1，A2，B1，2 2 1a bb又满足条件的直线只有一对， tan 30 tan 60a，即 3 b 3 ，3 a13b2 a23 51 c2 - a2 4b2 = c2 - a2 ， ，即 2 e ，故选 A 3 e 4 ，解得 2 3 e 2 ，即 (2 3
20、, 23 a 3 3 32【例 17】设双曲线的左准线与两条渐近线交于 A，B 两点，左焦点为在以 AB 为直径的圆内，则该双曲线 的离心率的取值范围为 【答案】1 e 2【解析】渐近线by x= ，准线axa2= ，求得ca ab a ab2 2A(- , ),B(- ,- )c c c c，左焦点为在以 AB 为直径的圆内，得出a ab b ab2 2- + ，b a ， c2 2a2 ，故1 e b 的右焦点为 F，若过 F 且倾斜角为 60的直线与双曲线的右支a b有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 ( )A(1，2 B(1，2) C2，) D(2，)【答案】C【解析】双曲
21、线x y2 2- = 的右焦点为 F，且过点 F 且倾斜角为 60的直线与双曲线的右支2 2 1(a 0,b 0)a b有且只有一个交点，所以该直线的斜率小于等于渐近线的斜率，即 3b ，于是解得 e2，故选 Cax2【例 19】设双曲线C : - y =1(a 0) 与直线 l：xy1 相交于两个不同的点 A，B，则双曲线C 的离心2a2率 e 的取值范围为 【答案】 ( 6 , 2) ( 2, ) +2【解析】把双曲线方程和直线方程联立消去 x 得： (1- a2 )y2 - 2y +1- a2 = 0,1- a2 0 时，直线与双曲线有两个不同的交点，则 D = 4 - 4(1- a2)
22、2 = 4a2(2 - a2) 0 ，即 a2 且 e 2 2c 1 32= =1+ a a 22 2，即x y2 2【例 20】已知过双曲线 2 2 1(a 0,b 0)- = 左焦点 F1 的直线l 交双曲线于 P，Q 两点，且 OPOQ（Oa b 为原点），则双曲线离心率的取值范围为 【答案】 5 1+e 2【解析】如图，设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线l 方程为 xtycx = ty - c联立 2 2 消 x 得 (b2t2 - a2 )y2 - 2b2tcy + b4 = 0 ，由韦达定理有 x y2 2 1 - =a b 2b tc2y + y =1 2 2 2 2
23、b t - ab4 =y y 1 2 2 2 - 2 b t a，且 2 2x1x2 = (ty1 - c)(ty2 - c) = t y1 y2 - ct(y1 + y2 ) + c 6OPOQ，x1x2y1y20，即b (t +1) 2b t c4 2 2 2 2- + c =2b t - a b t - a2 2 2 2 2 20，解得2t=b - a c4 2 2a b2 2， t2 0 ，b a c ，则 4 - 2 2 0b a c ，则4 3 2 2 4 0 4 3 2 1 0 e 2 3+ 5 +a - a c + c ， e - e + ，解得e ，故 5 12 2本专题是圆
24、锥曲线专题突破中的一个专题。圆锥曲线专题突破是一本老师眼中非常实用也非常好用的教辅书，一本学生手中的提分宝典。本书对中学阶段圆锥曲线的常见知识进行了全面的梳理，对高考常考题型进行系统归类。无论对于老师研究好圆锥曲线还是学生学习好圆锥曲线都是一本你值得拥有的书。分享交流可添加下方的微信或搜微信号：gzsx511，感谢你的信任与关注，你对本书的认可就是我最大的动力。目 录基础篇专题 1 椭圆的标准方程及其简单几何性质1专题 2 椭圆焦点三角形的性质及应用8专题 3 双曲线的标准方程及其简单几何性质15专题 4 双曲线的渐近线26专题 5 双曲线焦点三角形的性质及应用30专题 6 椭圆与双曲线共焦点
25、问题36专题 7 抛物线的定义及其简单几何性质41专题 8 定义法求轨迹方程45专题 9 直接法求轨迹方程50专题 10 定义法求圆锥曲线离心率 53专题 11 几何法求圆锥曲线离心率 60专题 12 直线与圆锥曲线的位置关系 647专题 13 点差法 70专题 14 圆锥曲线中的弦长 78专题 15 圆锥曲线中的最值与范围 90专题 16 圆锥曲线中的三定111专题 17 圆锥曲线中的定点问题常见处理策略119专题 18 圆锥曲线中的定值143专题 19 圆锥曲线中的定直线160专题 20 圆锥曲线中的证明问题168专题 21 圆锥曲线中的存在性、探究性问题177提高篇专题 22 椭圆中的两
26、个最大张角187专题 23 椭圆中最值问题的常见处理策略191专题 24 抛物线的常用结论及应用198专题 25 用正弦定理求圆锥曲线离心率208专题 26 运用焦比公式求圆锥曲线离心率213专题 27 求离心率取值范221专题 28 圆锥曲线的焦半径228专题 29 相关点法求轨迹233专题 30 参数法求轨迹237专题 31 圆锥曲线的切线问题243专题 32 圆锥曲线中的一类对称问题255专题 33 圆锥曲线中的三角形问题260专题 34 圆锥曲线中的向量问题268专题 35 圆锥曲线中向量共线时参数问题280专题 36 圆锥曲线中的切点弦方程286专题 37 圆锥曲线中的面积问题291
27、专题 38 圆锥曲线与四心问题305专题 39 运用平面几何方法巧解圆锥曲线问题316专题 40 解析几何减少运算量的常见运算技巧3218拓展篇专题 41 圆锥曲线的第二定义及应用328专题 42 圆锥曲线的第三定义及应用334专题 43 圆锥曲线中的直角弦349专题 44 角平分线定理在圆锥曲线中的运用359专题 45 阿基米德三角形366专题 46 非对称韦达定理的应用381专题 47 齐次化巧解圆锥曲线斜率问题396专题 48 巧用直线的参数方程处理线段长度问题412专题 49 圆锥曲线中的几何条件的转化策略425专题 50 同解思想在圆锥曲线中运用437专题 51 仿射变换在圆锥曲线中的运用443专题 52 圆锥曲线中极点极线4499
