1、极点极线定义 已知圆锥曲线: Ax+By+Cx+Dy+E=0与一点P(x0,y0) 其中A+B0,点P不在曲线中心和渐近线上.则称点P和直线L: Ax0x+By0y+C+D+E=0是圆锥曲线的一对极点和极线. 即在圆锥曲线方程中,以x0x替换x，以替换x，以y0y替换y,以替换y则可得到极点P(x0,y0)的极线方程L. 特别地：(1)对于圆(x-a)+(y-b)=r,与点P(x0,y0)对应的极线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r ；(2)对于椭圆+=1，与点P(x0,y0)对应的极线方程为+=1 ；(3)对于双曲线-=1，与点P(x0,y0)对应的极线方程为-=1 ；
2、 (4)对于抛物线y=2px，与点P(x0,y0)对应的极线方程为y0y=p(x0+x) ；性质 一般地,有如下性质焦点所在区域为曲线内部:若极点P在曲线上,则极线L是曲线在P点的切线；若极点P在曲线外,则极线L是过极点P作曲线的两条切线的切点连线；若极点P在曲线内,则极线L在曲线外且与以极点P为中点的弦平行仅是斜率相等( 若是圆,则此时中点弦的方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= (x0-a)+(y0-b)；若是椭圆,则此时中点弦的方程为+=+；若是双曲线,则此时中点弦的方程为-=-；若是抛物线,则此时中点弦的方程为y0y-p(x0+x)=y0-2px0)；当P(x0,y0
3、)为圆锥曲线的焦点F(c,0)时，极线恰为该圆锥曲线的准线；极点极线的对偶性:.已知点P和直线L是关于曲线的一对极点和极线,则L上任一点Pn对应的极线Ln必过点P,反之亦然,任意过点P的直线Ln对应的极点Pn必在直线L上图中点Pn与直线Ln是一对极点极线；.过点P作曲线C的两条割线L1、L2，L1交曲线C于AB，L2交曲线C于MN，则直线AM、BN的交点T，直线AN、BM的交点S必都落在点P关于曲线C的极线L上 图中点P与直线ST是一对极点极线；点T与直线SP是一对极点极线 ；. 点P是曲线C的极点，它对应的极线为L，则有:1)若C为椭圆或双曲线，O是C的中心，直线OP交C与R，交L于Q，则OPOQ=OR即 = 椭圆如图双曲线如图2) 若曲线为抛物线，过点P作对称轴的平行线交C于R，交L于Q，则PR=QR如图中学数学中极点与极线知识的现状与应用虽然中学数学中没有提到极点极线,但事实上,它的身影随处可见,只是没有点破而已.教材内改名换姓,“视”而不“见”.由可知椭圆+=1的焦点的极线方程为: x=.焦点与准线是圆锥曲线一章中的核心内容,它揭示了圆锥曲线的统一定义,更是高考的必考知识点.正是因为它太常见了,反而往往使我们“视”而不“见”.圆锥曲线基础必备极点极线例题
