1、（五）双曲型方程及方程组的初边值问题（五）双曲型方程及方程组的初边值问题1.二阶双曲型方程的边界处理二阶双曲型方程的边界处理001000110001110000111|(),|()(),()()(),()(),xx lnnnnJxx lnnnnnnnnnnJJJut utununut utxut utxuuuhuuuh 第第一一类类边边界界：直直接接转转移移法法第第三三（二二）类类边边界界：（向向前前差差分分）（向向后后差差分分）构造二阶精度的边界条件构造二阶精度的边界条件20120|()xaubucuuO hxh 确定确定a,b,c a,b,c？得方程组得方程组021;/220abcbcbc
2、 31,2,22abc 223002()(0)|()2xxuhuu huhO hxx223002(2)(2)(0)2|()2xxuhuuhuhO hxx212|()JJJx LaubucuuO hxh 确定确定a,b,ca,b,c2232()()|()2Lx Luhuu Lhu LhO hxx 2232(2)(2)()2|()2x Lx Luhuu Lhu LhO hxx得方程组得方程组021;/220abcbcbc 31,2,22abc 右边界右边界0120002111342342nnnnnnnnnnnnJJJJuuuuhIIuuuuh：二阶精度的边界条件二阶精度的边界条件2.一阶双曲型方程
3、及方程组的边界条件一阶双曲型方程及方程组的边界条件10000200axutt tgaxutt tg.,0(,)(),()(0).,1(1,)(),(0)(1).特特征征线线向向右右倾倾斜斜，只只在在左左边边界界给给出出边边界界条条件件。且且特特征征线线向向左左倾倾斜斜，只只在在右右边边界界给给出出边边界界条条件件。且且0(0,1)0(,0)(),(0,1)uuaxtTtxu xg x x ，对流方程对流方程(,)|01,0 x txt怎样给边界条件使方程适定，怎样给边界条件使方程适定，区域为区域为X=1不能给边界条件不能给边界条件X=0不能给边界条件不能给边界条件（初始条件）（初始条件）0a
4、1-10,01,0,(,),Tp ppIIIIIIuuAxttxuuuARS AS 其中其中为对角线元素为负的对角阵为对角线元素为负的对角阵-10vvvS utx 为对角线元素为零的对角阵为对角线元素为零的对角阵为对角线元素为正的对角阵为对角线元素为正的对角阵S为为A的特征向量的列所构成的矩阵的特征向量的列所构成的矩阵-0+I II III(,0)(),01(1,)(),1(0,)()0IIIIIIIIv xg xxvttxvttx ，处边界条件数目等于处边界条件数目等于 负特征值数目负特征值数目处边界条件数目等于处边界条件数目等于 正特征值数目正特征值数目零特征值不需给出边界条件零特征值不需
5、给出边界条件 -1IIIIIIS AS -0+0IIIvvtx 0IIIIIIIIIvvtx -10vvvS utx =0,=0,=0IIIIIIIIIIIIIIIIIIvvvvvvtxtxtx IIv 向向上上传传播播，不不需需要要任任何何边边界界条条件件。0IIIvx 向向右右传传播播，需需给给出出处处的的边边界界条条件件：0,00，且且：IIIIIIIIIIIIvttg 1Ivx 是是向向左左前前进进的的，故故需需在在处处给给出出边边界界条条件件 1,01，且且：IIIIvttg 错错误误地地给给出出边边界界条条件件，问问题题会会不不适适定定。0,01,0(,0)(),01,(1,)()
6、,00（）例例1 1：对对流流方方程程uuaxtxtu xg xxutx ta 1111()nnnnjjjjuuauu 跳跳蛙蛙格格式式：3.一阶双曲型方程及方程组的数值边界处理一阶双曲型方程及方程组的数值边界处理22(,)(,)(,)()(,)(,)()uu x tu x tx tOtuu x tax tOx 三层格式三层格式需增补需增补1ju10()()jjjtug xa gx 1132100,1,.0.:axuux 由由于于给给的的边边界界条条件件是是的的边边界界 然然而而在在计计算算的的时时候候需需要要的的值值 可可是是方方程程本本身身并并没没有有给给出出在在的的值值 需需要要我我们们
7、增增补补这这些些值值。比比如如采采用用如如下下可可行行的的方方法法1111()nnnnjjjjuuauu 跳跳蛙蛙格格式式：0,0 01,0(,0)(),01,(1,)(),0uuaaxtxtu xg xxutx t （）10010111100100(1)()1(2)()2nnnnnnnnnuuauuuuauuu n+1npQ0 x1x01(1)()(),()u Pu Qu Qxx 解解释释：根根据据特特征征线线的的性性质质有有对对于于可可以以采采用用插插值值给给出出，比比如如由由，进进行行线线性性插插值值得得到到，即即实际上是迎风格式实际上是迎风格式数值边界条件（人工边界条件）数值边界条件（
8、人工边界条件）101001011001010()1)nnnnnnnnxxxxuu Quuxxxxaua uuauu +=（）注：采用插值法构造边界条件要用内插公式，注：采用插值法构造边界条件要用内插公式，使用外推方法往往是不行。即要用使用外推方法往往是不行。即要用稳稳 定定的格式构造边界条件的格式构造边界条件.例如：下面的两个不可用的边界条件120,u uu用用两两点点的的值值作作线线性性插插值值，外外推推得得的的值值012=2nnnuuu再如110010=2()nnnnuuauu注：改进注：改进1111001001()2nnnnnuuauuu 例：考虑微分方程组（例：考虑微分方程组（半无界问
9、题）半无界问题）0,0,0uuAxttx01 =,10uu vA 其其中中：（），定解条件为：定解条件为：0000(,)()(,)()u xxv xugtx思考：不能给出思考：不能给出v v(x,tx,t)在在x x=0=0处的边界条件，处的边界条件，否则问题不适定。否则问题不适定。11001S AS 采用采用Lax-wendroff Lax-wendroff 格式格式12111112111111()(2)2211()(2)22nnnnnnnjjjjjjjnnnnnnnjjjjjjjuuvvuuuvvuuvvv 左边界需要附加边界条件左边界需要附加边界条件10nv计算计算2211,nnuv方法
10、一、从特征形式出发方法一、从特征形式出发特征型特征型:00,0txxvtv 1110,01TvS uSAS 111111,1 1112SS1010,nnv就转化为计算计算采用迎风格式采用迎风格式)(01010nnnn方法二、从方程本身出发方法二、从方程本身出发已知边界条件已知边界条件有：有：1110112110(1)(2)4 0 3nnnnnvvvvv 一一阶阶差差商商二二阶阶差差商商(0,)0ut 0,0),0(tttu(0,)(0,),0 0vtuxttt 0 ,),0(),0(txtuttv10010()nnnnvvuu 0,0,0uuAxttx0110 uuvA其其中中：（，），1 1
11、 一阶双曲型方程一阶双曲型方程 00,0,0,uuuabx yttxyu x yux yx y 初初值值问问题题：btyatxutyxu,0其其解解为为：，有有：一一般般设设hyx 1,1,11,1,1,1,1,114022nnnnnj mj mj mjmjmnnnnjmjmj mj muuuuuuuuuabhh (1)Lax-Friedrichs格式：格式：（六）二维问题（六）二维问题h 网格比网格比此格式是一阶精度的。此格式是一阶精度的。下面讨论稳定性：下面讨论稳定性：代代入入差差分分格格式式，有有：设设mhkjhkinnmjevu21,nnvhkbhkaihkhkv21211sinsin
12、coscos21 1212121,coscossinsin2Gk kk hk hiak hbk h 22122212sinsincoscos41hkbhkahkhkG 212222221221221coscos4sinsin11sinsin2k hk hak hk hbh bk hak 222221221sinsin1bahkhk 21222 ba 如如果果2122 ba即即那么那么Von Neumann 条件满足，格式稳定。条件满足，格式稳定。ba若，则条件为12a(2)Lax-Wendroff格式：格式：的的解解，那那么么：是是方方程程设设0,yubxuatutyxuyubxuattu22
13、tuybtuxa22222222yubyxuabxua又由又由Taylor 展开，有展开，有 1,0,0,222,00,21122nnxnynj mj mj mj mxxnxynyynj mj mj mLax Wendroffuuaubuauabubu 用用二二阶阶中中心心差差商商代代替替偏偏导导数数，有有格格式式：0,1,1,xnnnj mjmjmuuu 其其中中：,1,xnnnj mjmj muuu ,1,xnnnj mj mjmuuu 类类似似。yyy ,0这是二阶格式，稳定性条件 322222222,22,OtyxuybyxabxaybxaItyxunmjmj2212ab(3)分数步长
14、法分数步长法。推推进进到到方方向向的的差差分分把把第第二二步步由由；推推进进到到方方向向的的差差分分把把第第一一步步由由12y2xnnnntttt 12,11122,1,2nnnj mj mj mnnnj mj mj muuuuuDD u 一一 般般 形形 式式：放放宽宽稳稳定定性性为为而而引引入入的的技技条条件件巧巧。方方法法是是：例如：以例如：以Lax-Wendroff格式来完成二步法格式来完成二步法21201122xxxaahDh 22201122yyybbhDh 1,0,0,222,00,21122nnxnynj mj mj mj mxxnxynyynj mj mj muuaubuau
15、abubu 二二阶阶精精度度12,1,11122,2,nnnj mj mj mnnnj mj mj muuD uuuD u 1122|(,)|1|1;|(,)|1|1GkaGkb2211(,)(,)(,)GkGkGk 增增长长因因子子显式格式稳定性有条件限制，多维的更加严显式格式稳定性有条件限制，多维的更加严格，因此考虑格，因此考虑隐格式隐格式。（4）隐式格式）隐式格式 全隐格式全隐格式11111,1,1,1,1022nnnnnnj mj mjmjmj mj muuuuuuabhh 2:();Oh 精精度度无无条条件件稳稳定定0uuuabtxyCrank-Nicolson格式格式11111,1
16、,1,1,11,1,1,11222022nnnnnnj mj mjmjmj mj mnnnnjmjmj mj muuuuuuabhhuuuuabhh 22:();Oh 精精度度无无条条件件稳稳定定由于隐格式求解二维问题得到的线性方程组由于隐格式求解二维问题得到的线性方程组其系数矩阵为宽带状，因此求解不甚顺利，其系数矩阵为宽带状，因此求解不甚顺利，解决方案：解决方案：交替方向隐式交替方向隐式（ADI）格式）格式（Alternate Direction Implicit）11111,1,1,1,1,1,1,1,11222022nj mnnnnnnnj mjmjmj mj mnnjmjmj mj m
17、uuuuuuabhhuuuuabhh （5）ADI（Alternate direction implicit）交替方向隐式格式交替方向隐式格式ADI-1：12011201212nxnjmjmnynjmjmauubuu X方向隐格式方向隐格式Y方向隐格式方向隐格式22:();Ohh 精精度度无无条条件件稳稳定定1111000020224nnjmjmxnynxynjmjmjmuuababuuuhhh 等价于等价于ADI-2：*1000*041414141jmnjmynjmyxjmxuububaua二维二维Beam-Warming格式格式njmyxnjmyxubauba0010041414141X方
18、向隐格式方向隐格式Y方向隐格式方向隐格式格式变形去掉高阶项格式变形去掉高阶项3()O30|(,)|1G k 无条件稳定无条件稳定*1000*041414141jmnjmynjmyxjmxuububaua222:();Ohh 二二阶阶精精度度ADI-2：31(1)(1)每一个子步只对一个方向是隐式的，系数矩阵是每一个子步只对一个方向是隐式的，系数矩阵是主对角占优的三对角矩阵，主对角占优的三对角矩阵，可以利用追赶法，可以利用追赶法，减减少了计算量；少了计算量；(2)(2)每个单步都是各方向隐式差分算子的乘积，保证每个单步都是各方向隐式差分算子的乘积，保证 了格式具有无条件稳定的性质；了格式具有无条
19、件稳定的性质；(3)(3)单步格式与相应单步格式与相应CNCN格式之差是一个局部截断误差格式之差是一个局部截断误差 不低于不低于CNCN格式的差分算子，从而保证了格式的局格式的差分算子，从而保证了格式的局 部截断误差仍为部截断误差仍为2()O h优点：优点：320yuBxuAtu设设方方程程：矩矩阵阵为为实实的的，其其中中ppBAuuuTp*,1为为实实对对角角矩矩阵阵。使使，有有非非奇奇异异的的矩矩阵阵如如果果对对所所有有的的11,SBASS 则称方程组是双曲型方程组。则称方程组是双曲型方程组。如果如果A,B为实对称阵，则方程组是双曲型方程组，为实对称阵，则方程组是双曲型方程组，也称为对称双
20、曲型方程组。也称为对称双曲型方程组。2.2.一阶双曲型方程一阶双曲型方程组组下面以下面以Lax-Wendroff格式为例，讨论差分方程：格式为例，讨论差分方程：利用多元利用多元Taylor展开，有展开，有 3222,2,Otyxtutyxtutyxutyxu 3222222222,OyuByxuBAABxuAyuBxuAtyxu故有：故有：nmjhnmjuLu,1,22200200,112212xyxxyyxynj mIABABABBAu 12,i k jhk mhnnj muv e令利用利用Fourier方法可讨论上式的稳定性：方法可讨论上式的稳定性：可得增长矩阵：可得增长矩阵：122212122212,sinsincos11cos1 sinsin2Gk kIiAk hBk hAk hBk hABBAk hk h 如果如果A,B是对称阵，是对称阵，可以证明可以证明Lax-Wendroff格式的稳定性条件是：格式的稳定性条件是：112222AB ，为放宽稳定性条件，有许多改进技术。为放宽稳定性条件，有许多改进技术。如：如：Strang方法方法
