1、第八章第八章 第一节第一节 离散控制系统概述离散控制系统概述 第二节第二节 连续信号的采样与复现连续信号的采样与复现第三节第三节 Z变换及变换及Z反变换反变换第四节第四节 线性离散系统的数学模型线性离散系统的数学模型 第五节第五节 离散控制系统稳定性分析离散控制系统稳定性分析 第六节第六节 离散控制系统的稳态误差分析离散控制系统的稳态误差分析第七节第七节 离散控制系统的动态性能分析离散控制系统的动态性能分析线性离散控制系统的分析与综合线性离散控制系统的分析与综合1第八节第八节 数字控制器的模拟化设计数字控制器的模拟化设计 第九节第九节 数字控制器的离散化设计数字控制器的离散化设计第十节第十节
2、数字数字PID控制器与参数选换择控制器与参数选换择2 离散控制系统与连续控制系统相比较，其主要的不同是：从结构上看，离散控制系统中含有一个对连续信号进行采样的元器件(常称为采样开关)；从信号传递的角度看，离散控制系统中有一处或几处的信号是以脉冲或数码的形式传递。在现代军事、工农业生产的控制系统中，离散控制系统获得了广泛的应用。例如，导弹发射系统、定位系统、雷达方位跟踪系统、温度控制系统、程序控制系统、交直流电动机的速度控制系统等。从控制结构原理上看，离散控制系统包括两种类型，一是采样控制系统，第一节第一节 离散控制系统概述离散控制系统概述3第一节第一节 离散控制系统概述离散控制系统概述 图8-
3、1是典型的采样控制系统结构原理图。图中，系统输入信号r（t）与反馈信号b(t)比较后得到误差信号e(t)，经采样开关以一定的周期Ts重复开、闭作用后(采样)，连续信号或称模拟信号e(t)变换为一串脉冲序列的离散信号e*(t)，“*”号表示信号是离散的。脉冲控制器对信号e*(t)进行某种运算处理，再经保持器后(通常为低通滤波器)变换为连续的控制信号u(t)去控制被控对象。本系统中，r(t)、b(t)、e(t)、e(t)、u(t)、y(t)是连续信号：e*(t)、u*(t)是离散信号。4第一节第一节 离散控制系统概述离散控制系统概述 图8-2是典型的计算机控制系统原理结构图。图中，计算机起着控制器
4、(或称校正装置)的作用。误差信号e(t)经过AD转换器进行采样、编码后转换成数字(码)信号e*(t)，经计算机进行某种运算处理后输出数字(码)控制信号u*(t)，再经DA转换器后恢复成连续控制信号u(t)去控制被控对象。本系统中，r(t)、b(t)、e(t)、u(t)、y(t)是连续信号；e*(t)、u*(t)是离散的数码信号。5第一节第一节 离散控制系统概述离散控制系统概述 在经典控制理论中，对离散控制系统的分析、综合方法与对连续控制系统的分析、综合方法极为相似，而且大多数方法是从连续控制系统的有关理论引申或移植过来的。不同的是，连续控制系统的分析、综合方法是建立在拉氏变换的数学基础上，而离
5、散控制系统的分析、综合方法是建立在Z变换的数学基础上。6*第二节第二节 连续信号的采样与复现连续信号的采样与复现一、连续信号的采样及数学描述一、连续信号的采样及数学描述 控制系统中，把在时间上和幅值上连续变化的物理量，称为连续信号或称为模拟信号。把一连续信号转换成一离散信号(一串脉冲序列或数码)的过程，称为采样过程，或简称为采样。实现这一变换的部件，称为采样开关或模数转换器。图8-3表示了信号采样的示意图。7第二节第二节 连续信号的采样与复现连续信号的采样与复现 图8-3中，采样开关前的输入信号f(t)是一连续信号。设采样开关每隔时间TS,闭合一次，每次闭合的时间为，称TS为采样周期，称为采样
6、的持续时间。则经采样开关后的输出信号，即称为采样信号的f*(t)便是一串脉冲序列的离散信号。由于在实际的工程系统中，不但远小于TS，而且也比系统中的其他时间常数要小得多，因此，在系统分析时，往往认为近似为零。这样，采样信号f*(t)便可近似认为是一串理想脉冲，而在各采样时刻点0 TS、1 TS、2 TS、3 TS、上f(t)的值，即f(0 TS)、f(1 TS)、f(2 TS)、f(3TS)、，被看成是f*(t)的各个脉冲的强度。8第二节第二节 连续信号的采样与复现连续信号的采样与复现 为了对上面的采样过程和采样信号进行数学上的处理和描述，往往把这一采样过程看成是一个信号的幅值调制过程，如图8
7、-4所示。采样开关当作是一个幅值调制器，其周期性的开闭相当于产生出一串以Ts为周期的单位理想脉冲序列，数学上表示为 tT ksTkTtt9第二节第二节 连续信号的采样与复现连续信号的采样与复现 这样，调制过程便可视为模拟输入信号f(t)对单位理想脉冲序列的强度调制。数学上，这种调制过程表示为两个信号函数相乘。因此，图8-4的调制过程及输出的采样信号f*（t）便可描述为 sTkTkTttfttftf*10第二节第二节 连续信号的采样与复现连续信号的采样与复现在实际的控制工程中，t0时信号为零，式（8-2）变为 sssssssTkTTtTfTtTfTtTftfkTttfttftf33 220 0*
8、式（8-3）便是采样过程及采样信号的数学描述式。式（8-3）表明，采样信号f*（t）为一串的脉冲序 列，每个脉冲在数学上是两个函数的乘积，其中脉冲的大小由输 入信号f(t)在各采样时刻的函数值f(kTs)决定，而脉冲存在的时刻由（t-kTs）来表示，K=0，1，2。11第二节第二节 连续信号的采样与复现连续信号的采样与复现三、三、信号的复现及装置信号的复现及装置 信号的复现是，使离散号f*（t）重现成采样前的连续信号f（t）。为了讨论复现问题，先从连续信号f（t）和离散信号f*（t）的频谱特性看其两者之间的关系。著名学者香浓（shan-non）指出，对于连续信号f(t)，其频谱通常是一个孤立的
9、连续频谱；但是如果以均匀周期 T 对该连续函数f(t)进行理想采样，则采样信号f*(t)的频谱将与采样频率有关，而且是以采样频率为周期无限多个频谱之和，如图8-5所示。12第二节第二节 连续信号的采样与复现连续信号的采样与复现13第二节第二节 连续信号的采样与复现连续信号的采样与复现 从图8-5可以看出，若采样频率 s 2max,f*(t)的各个频谱相重叠；若采样频率s=2max，f*(t)的各个频谱恰好相交接、并不重叠；若采样频s 2max，f*(t)的各个频谱相互分离。所以，从频谱特征看，只要采样频率s大于或等于连续信号f*(t)频谱中最高频率max的两倍，就有可能从采样信号f*(t)的频
10、谱中得到原连续信号f(t)的频谱，即要求 这就是著名的香浓定理。max2s14第二节第二节 连续信号的采样与复现连续信号的采样与复现 从图8-5中的频谱图还可以看出，在满足了香浓（Shannon）定理的条件下，要想不失真地复现原信号f(t)，换句话说，要想从f*(t)的频谱中得到原信号f(t)的频谱，还必须除掉f*(t)频谱中所有的高频频谱分量才成。要做到这点就意味着要在被控对象前设置一个如图8-6所示的具有锐截止特性的理想低通滤波器，实际中这种滤波器是做不到的。通常只能采用近似的滤波器来代替。工程上最简单最常用的低通滤波器就是零阶保持器。15 连续信号的复现连续信号的复现 零阶保持器零阶保持
11、器 零阶保持器使采样信号f*(t)在每一个采样瞬时的采样值f(kTs)，k=0,1，2，一直保持到下一个采样瞬时，这样，离散的信号f*(t)，变成了一阶梯信号fh(t)，如图8-7所示。因为fh(t)在每个采样区间内的值均为常数，其导数为零，故称它为零阶保持器。在离散控制系统中，零阶保持器视为系统中的一元部件，下面讨论其数学模型。16连续信号的复现连续信号的复现 设零阶保持器的输入端加入一个单位理想脉冲(t)，那么，其输出应是幅值为1、持续时间为Ts的脉冲响应函数g（t），如图8-8a所示。为了求出零阶保持器的传递函数，可把g(t)分解为 g（t）=1（t）-1（t-Ts）两个单位阶跃函数之和
12、，如图8-8b所示，即17连续信号的复现连续信号的复现 由第二章知，单位脉动冲响函数g（t）的拉氏变换式即为环节的传递函数。因此，对上式两边取拉氏变换就可求出零阶保持器的传递函数为 sesessGsTsThss11令S=j 代入式（8-6），得零阶保持器的频率特性为2/2/2sin1ssTjsssjTheTTTjejG18连续信号的复现连续信号的复现幅频特性和相频特性如图8-9所示。从幅频特看，幅值随频率的增加而衰减，因此，零阶保持器是一低通滤波器，除了允许主频谱分量通过以外，还允许通过部分的高频频谱分量。从相频特性看，零阶保持器会产生负相移，使系统的相位滞后增大，使系统的稳定性变差。19第二
13、节第二节 连续信号复现连续信号复现 除了零阶保持器外，还有1阶、2阶等高阶保持器。因为它们结构较复杂，而且会产生较大的负相移，所以实际中较少使用。在计算机控制系统中，数模转换器（D/A）就是一种低通滤波器。通过上面的分析可得出结论，要想使采样信号无失真地恢复回原来的连续信号，必须具备两个条件：一是采样频率s2max,max为原连续信号的上限频率；二是在被控对象前必须串联一个理想的低通滤波器。零阶保持器就是一个低通滤波器。20*第三节第三节 Z变换及变换及Z反变换反变换 为了对离散控制系统的暂态过程进行求解、分析，需要用到Z变换及Z反变换的数学知识。本节简要介绍Z变换及Z反变换的有关内容。一一、
14、Z变换变换 1.Z变换定义 上一节指出，一个连续信号f（t）经采样后，其采样信号在数学上可表示为0*)-()()()()(kssTkTtkTfttftf对上式两边取拉氏变换，得21 Z变换变换对上式两边取拉氏变换，得skTkksssetfkTtkTfLsF)()-()()(00*可看出，F（s）是以复变量S表示的函数。由于上式中含有指数项，运算不方便，因此引入一新的变量 zTsezssTsln1 或式中Z定义在Z平面上的 一个复变量，称为Z变换算子；Ts采样周期；S拉氏变换算子。22Z变换变换 将式（8-10）代入式（8-9）中，得到以Z为变量的函数F（z），即kskzTszkTfsFzFs-
15、0ln1*)()()(式（8-11）收敛时，被定义为采样函数f*(t)的Z变换。用符号表示为kskzkTfzFtfZ)()()(*023Z变换变换注意注意：（1）式（8-9）、式（8-11）、（8-12）均是f*(t)的拉 氏变换式，但式（8-9）是在S域定义的，而式（8-11）、式（8-12）是在Z域定义的。（2）F(Z)只是采样函数 f*(t)的 Z 变换，而不是连续函 数f(t)的变换。但习惯又常称 F(Z)为 f（t）的 Z 变换。（3）F(Z)只表征连续时间函数f(t)在采样时刻上的特性，而不能反映在采样时刻之间的特性。因此，相同的F(Z)只对应于相同的f*(t)，但不一定对应于相同
16、的f(t)。24Z变换变换2.Z变换的方法 Z变换有多种方法，下面介绍两种最常用的方法。（1）级数求和法）级数求和法 级数求和法是在已知各采样瞬时值时直接用式（8-12）展开。例例8-1 求单位阶跃函数1(t)的Z变换。解解 由于单位阶跃函数1(t)在各个采样瞬时的值均为1，即 f（kTs）=1(kTs)=1,K=0，1，225Z变换变换由式（8-12）得 上式是一开放式，不方便计算和应用。为了得到一闭合式，上式两边乘 z-1，有0123()1()1111F zztzzzz 3211)(zzzzFz0123()1()1111F zztzzzz26Z变换变换上面两式相减，得 11zFzzF所以有
17、1-11)(1-zzzzF27Z变换变换3,2,1,0,)(kekTfsakTs例例8-2 求指数函数e-at，a0 的 Z 变换式。解 求指数函数e-at在各采样时刻的值，令skTt 有由式（8-12）并展开，得开放表达式为3-2-1-3-2-01)(zaTzaTZaTkkakTsssseeezezF28Z变换变换为了求闭合式，上式两边同乘 1zesaT得332211)(zezezezFzessssaTaTaTaT上面两式相减，得1)()(1zFzezFsaT所以ssaTaTezzzezF111)(29Z变换变换（2）部分分式法部分分式法 部分分式法是当已知连续函数的拉氏变换F(s)时，先对
18、F(s)进行部分分式展开，将其变成分式和的形式；然后查常用函数的Z变换表（见附录，）即 niiiasAsNsMsF1)()()(30Z变换变换对分式 1/（s+a）查简单函数的Z变换表，有niTainiTaisisiezAezzAzNzMzF1111)()()(31Z变换变换例例8-3 已知原函 f(t)的拉氏变换为)1(1)(sssF求其 Z 变换。解解 把 F(s)用部分分式展开为111)(sssF查Z变换表得)(1()1(1)(sssTTTezzezezzzzzF32Z变换变换 为标量，则有，变换分别为的、Z )(2121zFzFtftf3.Z变换的性质 和连续函数的拉氏变换一样，Z 变
19、换也有一些类似的性质。简述如下：（1）线性性质 设、)()(2121zFzFtftfZ)(11zaFtfZ33Z变换变换（2）延迟定理）延迟定理 则，且变换为的设 0 0 ,Z)(tftzFtf)()(zFzkTtfZks证明略。有兴趣读者，可参阅相关文献。延迟定理说明，函数f(t)在时域中延误k个采样周期，相当于函数F(z)乘以z-k。因此，算子z-k的意义可表示时域中的时滞环节，它把脉冲延迟了k个采样周期。利用Z变换求解差分方程时，经常利用延迟定理。34Z变换变换例例8-4 求延迟一个采样周期Ts的单位阶跃函数的Z变换。解解 根据延迟定理分式 1-11-111-1-zzzztZzTtZs（
20、3）超前定理）超前定理，超前定理用公式表示为 ,Z)(1zFtf变换为的设10)()()(kmmskkszmTfzzFzkTtfZ35Z变换变换（4）复平移定理）复平移定理 复平移定理用公式表示为 ,Z)(zFtf变换为的设 Z 变换。的就得到tfesaT)(ssaTaTzeFtfeZ从公式看出，之后，的中置换当用zzFzesaT36Z变换变换例8-5 变换。的）计算（sinZtesaT解解 从Z变换表中查得变换为的 sinZt1cos2sinsin2ssTzzTztZ由复平移定理公式，得1cos2sinsin22saTaTsaTatTzeezTzeteZssssssaTsaTsaTeTzez
21、Tze22cos2sin37Z变换变换（5）初值定理 ,Z)(zFtf变换为的设 则有存在且 ,limzFz ,Z)(zFtf变换为的设)(limlim)0(0zFtffzt（6）终值定理终值定理 则有值存在且 ,2,1,0,kkTfs)()1(lim)(1lim)(limlim)(11zFzzFzzkTftffzzskt在研究离散控制系统的稳态误差时，要用到终值定理。38例8-6 Z)(变换为的设tf)208.0416.0-)(1-(792.0)(22zzzzzF终值。的求Ztf)(解解 利用终值定理1208.0416.0-1792.0 )208.0416.0-)(1-(792.0)1-(l
22、im)(221zzzzzfz39 Z反变换反变换二、二、Z反变换反变换 Z反变换就是根据给定的Z变换式F(z)，求出其原函数（即采样信号）f*(t)。在Z变换内容中已强调，f(t)与f*(t)之间是没有一个惟一确定的关系，也就是说，Z反变换求出的只是一确定的采样信号f*(t)，而不能提供一准确的连续信号f(t)。Z反变换的方法也有多种，下面介绍两种常用的方法。40Z反变换反变换（1）幂级数法 幂级数法又称综合除法、长除法。这种方法就是，用Z变换函数F(z)的分母去除其分子，并将商按升幂形式表达，即kkzczczczcczNzMzF-3-32-21-10)()()(由Z变换的定义可知，上式中 3
23、,2,1,0,kzk前的各项系数值 3210,cccc就是原函数f(t)在各采样瞬时的值 f*(kTs)，于是便可以得出时间序列f*(t)的表达式，即41Z反变换反变换)3-()2()-()()(3210*sssTtcTtcTtctctf在实际的工程系统中，常常只需计算出几项就够了。例8-7 已知)5.0)(1(5.0)(zzzzF求F（z）的反变换。42Z反变换反变换解 因为432129375.0875.075.05.0 5.05.15.0)5.0)(1(5.0)(zzzzzzzzzzzF由Z变换定义可知)4(9375.0)3(875.0 )2(75.0)(5.0)(*sssssTtTtTt
24、TtkTf43Z反变换反变换 （2）部分分式法）部分分式法 部分分式法就是先把F（z）用部分分式展开，然后通过查Z变换表找出每个展开项对应的时间函数后相加，便得到 f（kTs）。值得注意值得注意的是，由于一般的Z变换函数F（z）在其分子上都有因子Z，因此，为了利用Z变换表得出 f（kTs）表达式，在进行部分分式展开时，应先把F（z）除以z，先对F（z）/z展开成部分分式形式，然后将所得到结果的每一项都乘z，便得到F（z）的部分分式展开表达式，然后，再通过查Z变换表，把各部分分式的反变换相加便可得到 f（kTs）。44Z反变换反变换例8-8 已知F(z)为)2)(1(10)(zzzzF试用部分分
25、式法求f*(kTs)。解 首先对F(z)/z展开成部分分式形式，有210110)2)(1(10/)(zzzzzzF45上式两边每项乘上因子z，得210110)(zzzzzF查Z变换表有kzzZzzZ221111；于是可得。，；3210)21(10)(*kkTfks46*三、用三、用Z变换解差分方程变换解差分方程 第三节第三节 Z变换及变换及Z反变换反变换 1kfkfkf1差分及差分方程 从前面的内容可知，一个连续信号F(t)经采样后，得到离散信号f(kTs)。若令采样周期Ts=1秒，则离散信号可写成f(k)，将两个采样时刻采样信号的幅值之差定义为差分。由于采样点之间信号平均变化率不同，又定义一
26、阶差分为采样点信号幅值之差，即 47定义二阶差分为采样点处一阶差分之差，即 212 211 12kfkfkfkfkfkfkfkfkfkf依此类推。48 式（8-b1）为当前时刻采样值f(k)与前一时刻采样值F(k-1)之差，称为一阶后向差分；式（8-b2）为当前时刻的一阶后向差分 f(k)与前一时刻的一阶后向差分 f(k-1)之差，称为二阶后向差分。可以看出，各阶后向差分与当前采样值和过去采样值有关，而与未来采样值无关。在自动控制理论中，多采用的后向差分。491kf kf同样，还可以定义一阶前向差分为下一时刻采样值与当前时刻采样值之差，即 kfkfkf1501 kf kf定义二阶前向差分为下一
27、时刻的一阶前向差分与当前时刻的一阶前向差分之差，即 kfkfkfkfkfkfkfkfkfkf122 112 12可以看出，各阶前向差分与当前采样值和未来采样值有关，而与过去采样值无关。51 在线性定常连续控制系统中，是用微分方程来描述系统输入与输出间的关系。对于离散控制系统，是用差分方程来描述系统在采用时刻的输入与输出间的关系。例如式子 1122krkfkfkf为一差分方程，方程中的变量除了含有f(t)本身外，还有f(t)的差分。522差分方程的求解使用类似于在线性连续系统中引入拉普拉氏变换，将微分方程变成为代数方程的求解方法，在线性离散系统中引入Z变换，将差分方程也变成代数方程进行求解，可以
28、方便地得到输出在采样时刻的一般表达式。例如有一差分方程为 krkfkfkf12253 010 ff 0k 00k 1kr初始条件为：，试用Z变换法求解该差分方程。解解 利用Z变换的性质定理有 10110222krzFkfzfzzFkfzffzzFzkf54代入原式得 122zFzzFzFz整理后得 2211121zzzzF为方便查反Z变换表，将上式写成 21zzzzF根据Z变换性质，最后得 kkkf111,3,2,1,0k。55 3线性定常系统差分方程 在时域中，线性定常系统的输入与输出间的关系可用微分方程表示：llmllkknkkdttrdbdttyda00而时域线性定常离散系统可用差分方程
29、表示为：lmrdknycmllnkk0056 上式表示，若初始条件已知，则由差分方程表示的系统，其输出的第n个值可由第m个输入值及输出的前n个过去值和输入的前m个过去值计算求得：lmrcdknyccnymllnkk0010上式为系统的计算机实现提供了方便。57第四节第四节 线性离散系统的数学模型线性离散系统的数学模型 脉冲传递函数是在线性离散系统中，用来分析系的一种重要的数学模型。一、脉冲传递函数的定义一、脉冲传递函数的定义 初始条件为零时，线性离散环节或系统，其输出信号的初始条件为零时，线性离散环节或系统，其输出信号的z变换变换与输入信号的与输入信号的Z变换之比变换之比,用符号用符号 表示表
30、示,()G z()G z zRzYzG58 图8-10表示了一线性离散环节，要注意的是，离散系统中的物理部件其输入端因有采样开关，所以，输入信号是离散的，但当输出端信号仍是时间连续函数，要求取该物理部件或系统的脉冲传递函数时，应假设其输出端存在一个虚拟采样开关，而且采样频率与输入端采样开关的完全相同，如图8-10中虚线所示.但实际上，这个虚拟的采样开关是不存在的。但实际上，这个虚拟的采样开关是不存在的。59第四节第四节 线性离散系统的数学模型线性离散系统的数学模型二、环节串联时开环系统的脉冲传递函数二、环节串联时开环系统的脉冲传递函数 根据上面脉冲传递函数的定义，在考虑多个环节组成的开环离散系
31、统时，要注意采样开关的位置。下面分几种情况导出各开环系统的脉冲传递函数。线性环节串联时，可以有以下两种典型情况，如图8-11所示。1.串联环节间有采样开关 对于图8-11a 各信号之间的关系有)()()()()()(1211zYzGzYzRzGzY(8-25)(8-26)60第四节第四节 线性离散系统的数学模型线性离散系统的数学模型将式（8-25）代入式（8-26），有)()()()()()()()(2121zGzGzRzYzRzGzGzY 上式表明，带有各自采样开关的环节串联时，其总的脉冲上式表明，带有各自采样开关的环节串联时，其总的脉冲传递函数等于每个环节脉冲传递函数的乘积。传递函数等于每
32、个环节脉冲传递函数的乘积。61第四节第四节 线性离散系统的数学模型线性离散系统的数学模型2.串联环节间无采样开关串联环节间无采样开关 对于图8-11b，由于两个线性环节G1(S)和G2(S)间没有采样开关，故应将两个传递函数相乘，设)()()(2121sGsGsGG则)()()(21zRzGGzY得)()()(21zGGzRzY 上式表时，在无采样开关隔离在无采样开关隔离（即有些线性环节前无采样开关，如G2(s)的线性环节串联前，其总的脉冲传递函数等于线性其总的脉冲传递函数等于线性环节传递函数之积的环节传递函数之积的Z变换。变换。62例例8-9 在图8-11中，设 55)(,1)(21ssGs
33、sG试求两种情况下的脉冲传递函数。解解 对于8-11a的情况：)()()(21zGzGzG因为sTezzzGzzzG52 15)(,1)(所以)(1(551)(525ssTTezzzezzzzzG63第四节第四节 线性离散系统的数学模型线性离散系统的数学模型对于8-11b的情况：并不相等。与 )()(2121zGGzGzG所以511)5(551)(21ssssssssGG)(1()1(1511)(55521sssTTTezzezezzzzssZzGG可见，64其Z变换为第四节第四节 线性离散系统的数学模型线性离散系统的数学模型 3.串联有零阶保持器 如图8-12所示，开环系统串联有一个零阶保持
34、器，为了便于分析，将图8-12a改画为图8-12b，此时)()()()1()()1()(2522505sGesGsGeSSGesGsTTTsss)()()(2121sGeLsGLZzGsTs65根据S变换实数域的位移定理，有ssTTtgsGeLs221)(利用Z变换的迟后定理，得 zGzzzGzzGzG22121)(上式说明，在开环系统串联有零阶保持器时，先将原开环系统环节串联一个1/s环节，再进行Z变换，最后开环系统的脉冲传递函数只要将求得的串联环节的Z变换乘以(z-1)/z即可。66第四节第四节 线性离散系统的数学模型线性离散系统的数学模型例例8-10 求图8-13所示系统的脉冲传递函数。
35、解解 先求串联环节的传递函数1111 11 111)(222sssssssssG再对G2(s)求Z变换sTsezzzzzzTzG11)(2267应用式（8-29），得 sTsezzzzzzTzzzGzzzG1111)(2268三、闭环系统的脉冲传递函数三、闭环系统的脉冲传递函数第四节第四节 线性离散系统的数学模型线性离散系统的数学模型 在离散控制系统中，由于采样开关所在的位置有多种可能性，所以离散控制系统的结构也有多种可能性，某些结构形式的系统可以写出其闭环脉冲传递函数的表达式，但有些结构形式的系统不能写出其闭环脉冲传递函数的表达式，而只能写出其输出信号的Z变换表达式。根据前面脉冲传递函数的定
36、义，讨论以下几种离散控制系统的脉冲传递函数。69第四节第四节 线性离散系统的数学模型线性离散系统的数学模型1.采样开关位于误差通道 根据图8-14的结构可得)()()(tbtrte)()()()()()()(-)()(zGHzEzBzGzEzYzBzRzEe(t)经采样开关后得到 e*(t),所以70由以上各式可以得到该系统的闭环脉冲传递函数为)(1)()()()(zGHzGzRzYz同时还可以写出误差传递函数为)(11)()()(zGHzRzExe71第四节第四节 线性离散系统的数学模型线性离散系统的数学模型 2.采样开关不位于误差通道采样开关不位于误差通道 根据图8-15的采样系统结构，可
37、写出下列关系式：)()()()()()()(2112zEzHGGzRGzEzEzGzY)(1)()(211zHGGzRGzE代入代入1式式,得得)(1)()()(2112zHGGzRGzGzY可见，在这种结构中，只能写出输出信号的Z变换表达式。72第四节第四节 线性离散系统的数学模型线性离散系统的数学模型 3.扰动输入时的脉冲传递函数 对于如图8-16所示的系统，若令r(t)0,只考虑由扰动输入 n(t)引起的输出时，可写出下列关系式：)()()(21zYzYzYn其中)()()()()(21221zYzHGGzYzNGzYn73第四节第四节 线性离散系统的数学模型线性离散系统的数学模型所以)
38、()()()(212zYzHGGzNGzYnn最后得)(1)()(212zHGGzNGzYn74 稳定性对于离散控制系统来说也是一个非常重要的性能指标。在分析离散控制系统的稳定性时，可以利用Z平面与S平面之间的关系，找出线性离散控制系统闭环特征根在Z平面的位置与系统稳定性的关系，从而得到线性离散控制系统稳定性的判别方法。第五节第五节 离散控制系统稳定性分析离散控制系统稳定性分析一、一、S平面与平面与Z平面的关系及线性离散系统稳定的充要条件平面的关系及线性离散系统稳定的充要条件)()(1)()(zRZGHZGzY考虑图8-17所示的典型离散控制系统，系统的输出为75第五节第五节 离散控制系统稳定
39、性分析离散控制系统稳定性分析)()(ttr)(1)()(ZGHzGzYssTezzYsY)()(*设，则 R(z)=1根据Z变换的定义，有如果系统是稳定的，则)(*sY的所有极点都应位于S平面的左半平面。此时0)(lim)(limsktkTyty76第五节第五节 离散控制系统稳定性分析离散控制系统稳定性分析ssTez jsjTjTTjezeeezsss)(sTTezs ,因为，令则式中的由上式可看出，若S位于S平面的左半平面，0，则 z 1；若S位于虚轴上，=0，则z=1；若S位于S平面的右半平面，0，则 z 1。图8-18表示了S平面与Z平面的映射关系。77第五节第五节 离散控制系统稳定性分
40、析离散控制系统稳定性分析S平面平面 Z平面平面 系统表现系统表现左半平面 单位圆内 稳定虚轴 单位圆上 临界稳定右半平面 单位圆外 不稳定 从上面的关系式可知，如果Y*(s)的极点全部位于S平面的左半平面，则Y（z）的全部极点位于Z平面上以原点为圆心的单位圆内。从而得到离散控制系统稳定的充分必要条件是，系统的特征方程的根全部位于Z平面上以原点为圆心的单位圆内。78第五节第五节 离散控制系统稳定性分析离散控制系统稳定性分析例例8-11 离散控制系统如图8-19所示，采样周期Ts=1s，判别系统是否稳定？解解 系统开环脉冲传递函数为1)-e-1)(z-(z)1-e1(10)1(10)(zssZzG
41、=+=系统闭环脉冲传递函数为368.0952.4z32.6)(1)()(2zzzGzGz79第五节第五节 离散控制系统稳定性分析离散控制系统稳定性分析0)(1zG0368.0952.42zz876.4 ,076.021zz1z特征方程 即 得 因为 所以系统不稳定。80第五节第五节 离散控制系统稳定性分析离散控制系统稳定性分析二、稳定判据二、稳定判据 从第3章可知，对于线性连续系统，利用劳斯代数稳定判据，可以在避免解高阶特征方程的情况下，判断闭环系统位于右半S平面上的根的个数。在分析高阶离散系统的稳定性时，只要经过一种新的坐标变换，将Z平面的单位圆变成W平面的左半平面，就可使用劳斯判据，判断离
42、散系统特征方程中位于Z平面上以原点为圆心的单位圆外的根的个数了。这种变换也称为W变换，具体做法是，令11wwz11zzw或 81第五节第五节 离散控制系统稳定性分析离散控制系统稳定性分析 将式（8-30）代入离散系统特征方程中，得到的以W为变量的多项式方程 P(w)=0，如果 P(w)=0 的根都位于W平面的左半平面上，则离散系统特征方程的根全部位于Z平面上以原点为圆的单位圆内。jvuwjyxz ,222222)1-(211)(1-1yxyjyxyxjyxjyxjvuw证明设 将以上关系代入式（8-31）82第五节第五节 离散控制系统稳定性分析离散控制系统稳定性分析令式（8-32）的实部为零，
43、得0122 yx 式（8-33）表示Z平面上的单位圆对应的就是W平面的虚轴。当 X2+y2 1 时，对应的是W平面的左半平面，而当X2+y21，对应的是W平面的右半平面。这种映射关系如图8-20所示。83第五节第五节 离散控制系统稳定性分析离散控制系统稳定性分析例例8-12 设某离散控制闭环特征方程为0391191174523zzz试分析该系统的稳定性，并指出分布在单位圆外闭环极点的个数。1-1wwZ0391111911117114523wwwwww解 作W变换，令代入特征方程，得整理得0402223www84第五节第五节 离散控制系统稳定性分析离散控制系统稳定性分析列出劳斯表 w3 1 2
44、0 w2 2 40 0 w1 -18 0 w0 40 因为劳斯表中第一列的符号改变了两次，故有两个根在W平面的右半平面，也就是有两个闭环极点位于Z平面上以原点为圆心的单位圆之外，系统不稳定。85设具有单位反馈的离散控制系统如图8-21所示第六节第六节 离散控制系统的稳态误差分析离散控制系统的稳态误差分析系统的误差脉冲传递函数为)(11)()(zGzRzEze系统误差为)()(11)()()(zRzGzRzzEe 假设系统是稳定的，根据Z变换的终值定理，系统的稳态误差为)()(11)1(lim)()1(lim)(11zRzGzzEzezz 上式说明，离散控制系统的稳态误差与其开环脉冲传递函数G(
45、z)及输入信号的型式有关。下面先了解开环脉冲传递函数的型式，然后讨论在不同输入信号作用下系统的稳态误差。86第六节第六节 离散控制系统的稳态误差分析离散控制系统的稳态误差分析设离散控制系统的开环脉冲传递函数的一般形式为 n-NjjNmiipzzzzKgzG11)()1()(式中(z 1)N表示G(z)在z=1处的重极点。与连续系统类似，将N称为离散控制系统的无差度。当N=0时，为0型系统；当N=1时，为1型系统；当N=2时，为2型系统。87第六节第六节 离散控制系统的稳态误差分析离散控制系统的稳态误差分析一、单位阶跃输入的稳态误差1)(zzzR)(11lim1-)(11)1-(lim)(11z
46、GzzzGzezz令 1)(lim1zGkpzKp定义为位置误差系数。则稳态误差为kpe1)()(e)(e)(e可见，当N=0时，KP为有限值。当N=2时，kp为无穷大，为零。为一有限值；当N=1时，kp为无穷大，为零；88第六节第六节 离散控制系统的稳态误差分析离散控制系统的稳态误差分析2)1()(zzTzRs)()1(lim)1()(11)1(lim)(121zGzTzzTzGzeszsz二、单位斜坡输入时的稳态误差)()1(lim11zGzTkzsvvke1)(令 Kv定义为速度误差系数。则稳态误差为可见，当N=0时，kv为零，e（）为无穷大；当N=1时，kv为一有限值，e（）为一有限值
47、；当N=2时，kv为无穷大，e（）为零。89第六节第六节 离散控制系统的稳态误差分析离散控制系统的稳态误差分析32)1(21)(zzzTzRs)()1(lim)1(21)(11)1(lim)(221321zGzTzzzTzGzeszsz三、单位抛物线输入时的稳态误差)()1(lim1212zGzTkzsaake1)(令 Ka定义为加速度误差系数。则稳态误差为可见，当N=0时，ka为零，e（）为无穷大；当N=1时，ka为零，e（）为无穷大；当N=2时，ka为一有限值，e（）为一有限值。90第六节第六节 离散控制系统的稳态误差分析离散控制系统的稳态误差分析 稳态误差反映了系统跟踪输入信号的能力，从
48、以上结果可以看出，由于稳态误差与系统的结构和输入信号有关，所以改善系统性能的方法可以是提高系统的类型，即增加系统的无差度，但这样对系统的稳定性有影响。另一种方法是缩短采样周期，但采样周期不能无限制减小，它也会受到其他条件的限制，故设计系统时要综合考虑各方面的性能指标。根据上面的分析，将结果列于表8-2中。91第六节第六节 离散控制系统的稳态误差分析离散控制系统的稳态误差分析解解 根据系统结构，有例例8-13 离散控制系统的结构如图8-22所示。采样周期Ts=0.2s，输入信号 r(t)=1+t+t2，求系统的稳态误差。233510)1()15.0(10)1()(ssessesGsTsTss 2
49、23218.02.115)1()1(51zzzzTzzzTzzzGss系统的开环脉冲传递函数为92第六节第六节 离散控制系统的稳态误差分析离散控制系统的稳态误差分析特征方程为 1+G（z）=0 ，即 z2-0.8z+0.2=0 故系统稳定。W变换得0542 ww系统稳态误差系数为10)()1(lim1212zGzTkzsa)()1(lim11zGzTkzsv)(1lim1zGkzp所以，系统的稳态误差为：1.0111avpkkke93第七节第七节 离散控制系统的动态性能分析离散控制系统的动态性能分析 由前面对线性离散控制系统稳定性的分析可知，如果系统的闭环特征根都在单位圆内，则系统是稳定的。与
50、线性连续类似，离散系统闭环特征根在单位圆内的位置，也决定着系统的暂态过程。一、闭环特征根与暂态响应之间的关系一、闭环特征根与暂态响应之间的关系设闭环脉冲传递函数的形式为 njjmiinnnmmmpzzzabazazabzbzbzDzMz110011011094第七节第七节 离散控制系统的动态性能分析离散控制系统的动态性能分析 式中mn，假设(z)无重极点，在单位阶跃输入信号作用下，系统输出信号的Z变换为 jnjjPzzCzzCzzzDzMzRzzY1011)()(式中;)()(10zZDZMC 。1jpzjjzzDpzzMC对式（8-38）进行Z反变换，则输出的脉冲序列为njkjjspCCkT
