1、第第3章章 交流电路分析交流电路分析 3.1 正弦稳态分析基础正弦稳态分析基础 3.2 正弦稳态混联电路的分析正弦稳态混联电路的分析 3.3 正弦稳态混联电路的分析正弦稳态混联电路的分析 3.4 正弦交流电路中的功率正弦交流电路中的功率13.1 正弦稳态分析基础正弦稳态分析基础 在动态电路的时域分析中，求出的响应是时间的函数，该响应可以分为暂态响应和稳态响应两个部分，其中暂态响应分量随时间衰减很快，在很短的时间内就趋近于零。在许多实际问题中，人们有时更加关心电路的稳态响应（或者说关心电路的长期工作状态），在这种情况下就可以暂时忽略暂态响应而仅仅考虑稳态响应。在正弦信号作用下，电路的稳态响应是描
2、述电路的微分方程的特解。本章介绍的相量分析方法就是将电路的正弦稳态分析由求微分方程的特解变换为求解复代数方程，进而将第1章介绍的电阻电路的一般分析方法推广到正弦稳态的分析，使复杂电路的正弦稳态分析大大简化。3.1.1 正弦量及其三要素 交流电是指大小和方向都随时间作周期性变化，而在一个周期内的平均值等于零的电压或电流。一般所说的交流电，如无特别说明，都是指大小和方向都随时间按正弦规律作周期性变化的电压或电流（相应地称为正弦电压或正弦电流）。交流电瞬时值含有两个意义：一是指交流电在该瞬间的大小（绝对值）；二是指该瞬间电压或电流的方向（相对参考方向），用瞬时值的正负来表示。正弦交流电路中，正弦交流
3、电动势、正弦交流电压和正弦交流电流都按正弦规律变化，可以统称它们为正弦量。正弦量的特征表现在变化的快慢、大小和初始值三个方面，这三个方面分别用频率（周期）、幅值（有效值）和初相位来表示。频率（角频率或周期）、幅值（有效值或最大值）和初相位为正弦量的三要素。三要素确定后，正弦量就被唯一确定。如图3.1.1所示，按正弦规律变化的电流是一个周期性的信号，用正弦函数表示为：（3.1.1）式中，为最大值，为角频率，初相位（）。m()sin()i tItmI 图3.1.1 正弦电压1频率（周期）正弦量变化一次所需要的时间称为周期。每秒内变化的次数称为频率（单位是赫兹Hz）。周期的倒数就是频率，即 。我国和
4、大多数国家都采用50赫兹作为电力电源的频率标准，由于它是工业上应用最为广泛的频率，所以也叫工业频率，简称工频。有些国家，如美国、日本等，采用60赫兹作为电力电源的频率标准。Tf/1正弦量变化的快慢也可以用角频率（或角速度）来表示，当时间增加一个周期时，相应的弧度增加，即：则得到：（3.1.2）角频率（或角速度）的单位是弧度/秒（rad/s），式（6.1.2）反映了周期、频率和角频率三者之间的关系。2T2 2 fT2幅值和有效值 正弦量瞬时值中的最大值称为正弦量的幅值、振幅或最大值，一般用带有下角标的大写字母表示，如 。由于正弦量的大小是随着时作周期性变化的，它虽然也能够表示正弦量的大小，但是在
5、实际使用时不方便，所以常常采用有效值（或均方根值）来表示正弦量。mI正弦量的有效值是根据电流的热效应来定义的。当某一交流电流 通过一个电阻R在一个周期内所产生的热量和某一直流电流 通过同一电阻在相同时间内产生的热量相等时，则这一直流电流 的数值就称为该交流电流的有效值。根据有效值的定义得到：（3.1.3）)(ti220()dTI RTit R t201()dTIittT式（3.1.3）是周期信号有效值的一般定义式。周期量的有效值等于它的瞬时值的平方在一个周期内的平均值的平方根，所以也叫作均方根值。式（3.1.3）适用于任何周期量，但是不适用于非周期量。电压的有效值也有类似于式（3.1.3）的结
6、果，这里不再列出。下面根据有效值的一般定义式推导正弦量的有效值和最大值的关系。将式（3.1.1）代入式（3.1.3）中得：222mm011sin()d22IIttI 从上式可以看出，正弦量的有效值和最大值之间存在一个固定的数值关系，即最大值等于有效值的 倍，而且有效值的大小与电信号的频率和初相位无关。引入有效值的概念以后，式（3.1.1）的电流 的表达式也可以写成()2 sin()i tIt)(ti2例3.1.1求图3.1.2所示的矩形波电流的有效值。解 根据周期量有效值的定义，得：201()dTIittT0.522mm00.51dd10mATTTItItT图3.1.2 矩形波电流 由于正弦量
7、的有效值和最大值之间存在一个固定的数值关系，所以有效值有时候也可以作为正弦量的一个要素。在使用有效值的相关概念时要注意以下几点：（1）最大值等于有效值的 倍的关系仅仅适用于正弦量，其他非正弦的周期信号不能照搬这个关系式；（2）工程上所说的正弦电压和电流的大小都是指有效值；（3）一般电压表和电流表的刻度都是按有效值来标定的；（4）交流电气设备铭牌上所标定的电压、电流值都是有效值，如“220V，100W”的白炽灯，是指它的额定电压的有效值是220V。3初相位和相位差 在正弦电流 的解析式中，称为正弦量的相位角（简称相位），它的大小反映了该正弦量的变化进程。时的相位称为初相位，如该正弦量的电流初相（
8、位）角为 。如果电压和电流的正弦量的解析式分别为：，则电压 和电流 的相位差为：msin()iiIti()t0ti1u()2 sin()u tUt2i()2 sin()i tIt1u2i()()tt)(tu)(ti 当电压 和电流的频率相等时，相位差就等于初相角之差，即 。如果相位差大于零，则称电压超前电流 角，或者说电流滞后电压 角。如果相位差 ，则称电压 和电流 同相。当相位差 时，则称电压 和电流 反相。)(tuui0)(tu)(ti180)(tu)(ti注意：以后不作特别说明，本章仅仅讨论同频率的正弦量；在求两个正弦量的相位差时，一定要把这两个正弦量化为标准的同名函数（即同为正弦量或同
9、为余弦量），幅值前面是正号。例3.1.2已知两个电流正弦量的解析式如下：，求它们的振幅之比和相位差。解：首先把两个正弦量化为标准的同名函数，如把 化为标准的正弦函数，即：于是求得它们的振幅之比为二者的相位差 这两个正弦量电流是反相的。)(2ti500sin(135)mAt45(135)1801()300sin(45)(mA)i tt2()500cos(45)mAi tt m1m23000.6500II2()500cos(45)mAi tt 根据数学理论，正弦量的微分和积分仍然是正弦量，对于任意一个线性时不变电路（可以含有线性电容、线性电感元件）来说，输入某一频率的正弦电压（或电流）信号 ，则该
10、电路的输出也必然是同频率的正弦量。所以在研究正弦稳态电路时，只要知道正弦量三要素中的两个（振幅和初相角）就可以了。为了能够方便地求解振幅和初相角，德国工程师斯坦梅茨提出了相量的概念，使得正弦稳态电路的分析和计算大大简化。m()cos()f tFt 相量是正弦量的一种复数的表示方法，相量法就是用复数来表示正弦量的有效值和初相角。根据欧拉公式则一个正弦量（或余弦量）可以表示为一个复数的实部或虚部：，jecosjsinjcosRe(e)jsinIm(e)3.1.2复数基础知识简介 复数通常可以表示为指数式（或叫极坐标式）、代数式（也叫直角坐标式）和三角函数式几种形式。复数在复平面上可以用有向线段表示
11、，即用向量表示。如图3.1.3所示，复数A用有向线段 表示。OA复数的直角坐标式是 图3.1.3复数A在复平面上的表示jAab 式中，a、b 都是实数，a 叫作复数 A的实部，b 叫作复数A 的虚部；，叫作复数的虚数单位（由于 i在电工电路中已经用来表示电流，就不再用来表示虚数单位，而用j来表示虚数单位）。复数的极坐标式是j1jeAr 式中，r 叫作该复数的模，叫作该复数的辐角。在电工电路中，复数的极坐标式习惯上写为 读作“r 在一角度 ”。利用欧拉公式：可以把复数的极坐标式化为三角函数的形式：所以一个复数可以表示为：Arjecosjsin(cosjsin)Arjjecosj sinA ab
12、rrrr 显然：，其中 和 分别为取实部和虚部的符号。22raba r c t a nbaRe Rej aAab ImImj bAabReIm1正弦量与相量设某正弦量为可以用一个复指数函数与该正弦量对应，根据复数表达形式的指数式与三角函数式的转换关系，有：（3.1.4）1u()2sin()u tUtuj()2etUuuj()jjuu2 e2 ee2 cos()j 2 sin()ttUUUtUt因此，一个实数范围的正弦时间函数可以用一个复数范围的复指数函数来表示。上面的正弦量电压可表示为：（3.1.5）uuj()jj()R e2eR e2eettu tUU 从复指数函数表达式来看，该式包含了相对
13、应的正弦量的三要素，而该复指数函数的复常数部分 则包含了相对应的正弦量的有效值和初相角。我们把这个复数（复常数部分）叫作正弦量的相量，并且采用下列记法：（3.1.6）（3.1.7）uj2 eUuium2e22cosj 2sinUUUUUuiuecosjsinU UUUU式（3.1.6）叫作最大值（或幅值）相量，其模为该正弦量的最大值，辐角为该正弦量的初相；式（3.1.7）叫作有效值相量，其模为该正弦量的有效值，辐角也为该正弦量的初相。注意，相量用大写字母上面加一点来表示，以便和普通的复数相区别。但相量运算和普通的复数一样，同样遵守普通复数的加、减、乘、除的运算规则。相量和普通的复数一样也可以在
14、复平面上用一有向线段（即向量）来表示，表示这种相量的图称为相量图。式（3.1.4）中的复指数函数的另一部分 是时间的复函数，在复平面上，它相当于一个旋转因子。它可以表示为以坐标原点为中心，以角速度 旋转的单位复数向量。如果选取有向线段 的长度等于某正弦量为 的最大值 ，相量 的初始位置和正实轴的夹角等于该正弦量的初相 ，以等于该正弦量 的角频率 绕着坐标原点逆时针旋转。jetO A1u()2sin()u tUtU2mUumU)(tu 这样在引入了旋转相量 后，一个用余弦函数（或正弦函数）表示的正弦量在任何时刻的瞬时值就等于该旋转相量（最大值）在同一时刻在实轴（或虚轴）上的投影，如图3.1.4所
15、示。所以在复平面上的一个旋转相量可以完整地表示关于时间的正弦函数。jmetU 图3.1.4描述了旋转相量与正弦量（余弦）的对应关系，即正弦量和它的相量之间的关系是一一对应关系。如果知道了正弦量就可以写出和它对应的相量；反之，如果知道了相量就可以写出和它对应的正弦量。图3.1.4旋转相量与正弦量（余弦）的对应关系 在相同频率的正弦信号作用下的线性时不变电路，其各处的稳态响应（电压响应和电流响应）均为同频率的正弦量。在相量图中表示正弦量的时候，频率就不反映出来了，仅仅反映幅值和初相角的不同。在图3.1.4中，如果有两个（或多个）相量均以角速度 逆时针方向在复平面上旋转，则它们的相对位置是保持不变的
16、，即相位差保持不变。因此在相量图中，如果角频率 已知，则不需要考虑其瞬时相位 ，仅仅需要考虑各个正弦量之间的相位差就可以了。t2正弦量的运算与相量的关系具有相同频率的相量具有以下几个性质：（1）唯一性。当且仅当两个同频率的正弦量（对所有时刻）能用相同的相量表示时，它们则是相等的。（3.1.8）jj1212ReeReettAAAA（2）线性。两个（或多个）正弦量的线性组合的相量等于表示各个正弦量相量的同一线性组合。设 和 为任意的相量，和 为任意实数，则 （3.1.9）（3.1.10）1a2a1212ReReReAAAA11221122ReReRea Aa AaAaA（3）微分性。若相量 A为给
17、定的正弦量 的相量，则 为该正弦量导数的相量，为该正弦量积分的相量。（3.1.11）（3.1.12）mcos()AtjA1jAjjjddReeReeRejeddtttAAAttjjj1Re e dRee dReejtttttAtAtA 从以上性质不难得出一个推论：任意个同频率的正弦量以及任意个同频率正弦量的任意阶导数的代数和仍然是一个同频率的正弦量。以上的性质是相量分析法的理论基础，应用这些性质也可以简化正弦交流电路微分方程特解的求解过程。相量分析法在应用中应该注意的问题：（1）相量是复数，在复平面上用向量（时间向量）来表示，但不用向量这个名词，要与力学中的空间向量区别。正弦量可以用旋转向量（
18、相量）来表示，但正弦量不等于相量。（2）理论上，同频率的几个正弦量仅仅需要考虑各个正弦量之间的相位差就可以了，相应地用它们的初始时刻的向量来表示。（3）相量分析法的实质是一种变换，通过相量把时域里求微分方程的正弦稳态解的问题变换为频域里解复数代数方程的问题。（4）相量法的适用范围：（a）只限于正弦信号作为激励源的电路，其他非正弦信号作为激励源的电路不能直接用相量法；（b）只能用于正弦稳态过程的分析，不能用于求解电路的暂态过程；（c）只能用于单一频率的正弦信号，不同频率的正弦信号作为激励源的电路不能用相量法相加。（5）本书根据国家标准，统一采用cosine函数表示正弦量，即采用 。读者在看其他参
19、考书的时候要注意，有的作者采用 。1 0cost1 0sint 例3.1.3 写出下列正弦电压（或电流）对应的相量。（1）；（2）；（3）。解（1）对应的相量为1()10 2cos(31430)Ai tt2()10 2sin(31430)Ai tt1()102 cos(31460)Vutt 1()i tj30110e=10 30 AI（2），因此 对应的相量为（3），因此 对应的相量为2()10 2sin(31430)10 2cos(31460)Ai ttt2()i tj6 021 0 e=1 06 0AI1()10cos(31460)10cos(314120)u ttt 1()u tj120
20、11010e1203.54j6.12 V22U 例3.1.4 已知 ，求下列振幅（最大值）相量对应的正弦量。（1）；（2）；（3）。解：（1）由于 ，对应的正弦量314 rad/s1m6j8AI1m8j6 VU 2 mj1 0 VU1m6j81053.1 AI1()10cos(31453.1)Ai tt（2）由于 ，对应的正弦量（3）由于 ，对应的正弦量1m8j610 143.1 VU 1()10cos(314143.1)Vutt2mj1010 90 VU 1()10cos(31490)Vu tt例3.1.5 已知两个同频率的正弦电流分别为：，求 。解法1 先对 求导，再利用三角函数公式求和进
21、行化简即可以求得结果，但步骤比较烦琐（请读者结合微分知识和三角函数公式自己完成）。1()5 2cos(330)Ai tt2()10 2cos(330)Ai tt1()5 2cos(330)Ai tt21d2diit 解法2 利用前面介绍的具有相同频率的相量具有的微分性性质，即式（3.1.11）可以非常方便求得结果。首先，写出两个正弦量对应的相量形式如下：，设14.33j2.5AI 25 30 A8.66j5AI21ddiiit 根据“若相量 为给定的正弦量 的相量，则 为该正弦量导数的相量”的性质，可以得出 ，所以：得mcos()Atj A122jIII122j23.66 j30.98 38.
22、98 52.6 AIII21d38.98 2 cos(352.6)Adiiitt 从本例题可以看出，相量分析法的实质是一种计算方法的变换，当采用相量分析法时，可以免去求导（或积分）和复杂的三角函数运算（包括三角函数的积化和差与和差化积），而仅仅进行复数的代数运算就可以了。本章的正弦稳态将全部采用相量形式进行运算。例3.1.6已知正弦量 ，试写出它们的有效值相量式，画出相量图，并由相量图说明 u与 i的相位关系。解在画相量图时，应将相量用其指数形式或极坐标来表示。u与i 的有效值分别为：，28.28sin(30)Vut14.14sin(60)Ait28.2820V2U 14.1410A2I 所以
23、正弦电压u 和电流i 的有效值相量为：，由极坐标形式相量可画出相量图，如图3.1.5所示。由相量图可见，在相位上 图3.1.5例3.1.6相量图电压 u超前 i一个角度 ，。2030 VU1060 AI 30(60)90 1基尔霍夫电流定律（KCL）的相量形式 任意线性时不变电路在单一频率的正弦信号的激励下，电路进入稳态后，各支路电压、电流为同频率的正弦量，电路中的任意一个节点在任意时刻的电流相量的代数和为零。相量形式的基尔霍夫电流定律用公式可以表述为：3.1.3 基尔霍夫定律的相量形式 （3.1.13a）或 （3.1.13b）式（3.1.13）就是基尔霍夫电流定律（KCL）的相量形式，其中
24、为该节点所连接的支路数，和 分别为第 条支路正弦电流的最大值相量和有效值相量。mkIkIkm10bkkI10bkkI 相量形式的基尔霍夫电流定律推导如下：根据基尔霍夫电流定律的时域表达式知道 设 代入式（3.1.13）得：1()0bkki tj112cos()Re(2e)0bbtkkkkItI()2cos()kkitIt 根据复数的运算规则，复数实部之和等于复数之和的实部，则上式可以写成 （1）注意式（1）对任意时刻都成立，不妨设 （其中 为该正弦量的周期），则式（1）可以写成：j1Re(2e)0btkkI14ttT jjj411Re(2e)Re2ee0TbbttkkkkII因为 ，所以式（2
25、）变为：（3）根据式（1）和式（3）可以知道复指数 的实部和虚部都等于零，即：所以有 或 j4ejTjjjj4111Re2eeRe(j 2e)I(2 e)0TbbbtttkkmkkkkIIIj1(2e)btkkIj1(2e)0btkkI10bkkIm10bkkI 例3.1.7 设某电路中的一个节点如图3.1.6所示，三条支路电流分别为：，求 ，并画出相量图。图3.1.6 例3.1.7电路图 1()10 2cos(60)Ai tt2()5 2cos(30)Aitt3()i t解将三条支路电流分别用有效值相量表示，即 ，则可以得到则11060AI2530 AI 31211.2 33.4 AIII3
26、()11.2 2cos(+33.4)Ai tt相量图如图3.1.7所示，很显然 图3.1.7 例3.1.7电路的相量图2231211.2AIII 2基尔霍夫电压定律（KVL）的相量形式 任意线性时不变电路在单一频率正弦信号的激励下，电路进入稳态后，各支路电压、电流为同频率的正弦量，电路中的任意一个回路在任意时刻沿着任意绕行方向（可以是顺时针或逆时针方向），各个支路的电压相量的代数和为零。相量形式的基尔霍夫电压定律用公式可以表述为：（3.1.14a）或 （3.1.14b）式（3.1.14）就是基尔霍夫电压定律的相量形式，其中 为该回路所含有的支路数，和 分别为第 条支路的正弦电压的最大值相量和有
27、效值相量。m10nkkU10nkkUmkUkUk 例3.1.8 某正弦稳态电路如图3.1.8（a）所示，其中N1和N2为广义元件，其相应的电压相量分别为 和 ，已知：，。求电源电压相量，并画出向量图。图3.1.8 例3.1.8电路图和电压相量图1U2U110 0 VU25 45 VU解根据基尔霍夫电压定律的相量形式，按照、和 画出相应的电压相量图，如图3.1.8（b）所示。S1213.99 14.6 VUUU3.2 正弦稳态混联电路的分析3.2.1 三种基本元件（R、L和C）的VCR的 相量形式 在关联参考方向下，线性时不变电阻、电容和电感元件中的电压和电流的瞬时值关系分别如下：()()u t
28、R i td()()du ti tCtd()()di tu tLt下面，我们讨论这三种元件电压和电流关系的相量形式。1电阻在正弦稳态电路中，如果电阻中通过的正弦电流设为则根据关联参考方向的欧姆定律 ，得到 （1）写成正弦电压的一般表达式 （2）i()2 cos()i tIt)()(tiRtui()2cos()u tIRtu()2cos()u tUt比较式（1）和式（2），得到如下关系：（3.2.1）uiURI结论：电阻上的电压和电流频率相同，相位相同，而且电阻上的电压和电流的有效值（或最大值）也满足欧姆定律。将电阻上的电压和电流用相量表示，可以得出电阻上的电压和电流关系的相量形式，即：,（3.
29、2.2a）或 （3.2.2b）iIIuUUURImmURI式（3.2.2）就是所求电阻的VCR的相量形式，或叫作欧姆定律的相量形式，图3.2.1示出了线性时不变电阻的正弦稳态特性，包括时域模型、相量模型和相量图。图3.2.1 电阻的时域模型、相量模型与相量图2电容如果电容两端加上正弦电压 ，并设电压和电流为关联参考方向，则电容中的电流 写成正弦电流的一般表示式，即：u()2cos()u tUtud()2cos(90)dui tCCUtti()2 cos()i tIt比较上面两个式子，有 （3.2.3）由此可见，电容上的电压和电流都是同频率的正弦量，在相位方面，电流超前电压 （或者说电压滞后电流
30、 ），电压和电流最大值（或有效值）的比值成正比，其比值定义为电容的电抗，简称容抗XC，即 （3.2.4）iu2ICU/2/2C1XC它反映电容在正弦激励的情况下阻止电流通过的能力。容抗XC和电阻有同样的量纲，单位也是 或k。当电容的C值一定时，对一定电压而言，频率越高，则通过的电流越大；频率越低，则通过的电流越小。如果是直流激励源，则通过的电流等于零。即所谓的“通交流隔直流”。将电容上的电压和电流用相量表示，可以得出电容上的电压和电流关系的相量形式，即：（3.2.5a）或 （3.2.5b）jICU1jUIC式（3.2.5）包含了式（3.2.3）中的全部信息，即幅值和相位的关系。图3.2.2示出
31、了线性时不变电容的正弦稳态特性，包括时域模型、相量模型和相量图。图3.2.2 电容的时域模型、相量模型与相量图3电感如果电感两端加上正弦电压 ，并设电压和电流为关联参考方向，则电感中的电压 写成正弦电压的一般表示式，即：i()2 cos()i tItid()2cos(90)diu tLLIUttu()2cos()u tUt比较上面两个式子，有 （3.2.6）ui2ULI由此可见，电感上的电压和电流都是同频率的正弦量，在相位方面，电压超前电流 （或者说电流滞后电压 ），电压和电流最大值（或有效值）的比值成正比，其比值定义为电感的电抗，简称感抗XL，即 （3.2.7）/2/2LXL它反映电感在正弦
32、激励的情况下阻止电流通过的能力。感抗XL和电阻有同样的量纲，单位也是 或k 。当电感的L值一定时，频率越高，感抗XL越大，对一定电压而言，则通过的电流越小；频率越低，感抗XL越小，对一定电压而言，则通过的电流越大。即所谓的“通高频阻低频”。对直流信号而言，电感相当于短路。将电感上的电压和电流用相量表示，可以得出电感上的电压和电流关系的相量形式，即：（3.2.8）式（3.2.8）包含了式（3.2.6）中的全部信息，即幅值和相位的关系。图3.2.3示出了线性时不变电感的正弦稳态特性，包括时域模型、相量模型和相量图。jULI图3.2.3 电感的时域模型、相量模型与相量图 例3.2.1 已知RLC串联
33、电路如图3.2.4所示，求电压 。图3.2.4 例3.2.1电路图S()10 2cos(1000)Ai tt0.5R 1mHL 0.002FC()u t解 根据题意可得：，利用KVL以及R、L、C元件的VCR的相量形式得到：相应的时域关系为：S10 0 AIL1XLC10.5XC()10cos(100045)Vu tt（）SLC(jj)5 2 45VUIRXX（）表3.2.1无源元件特性的比较3.2.2 阻抗和导纳通过上面的分析可以知道，在正弦稳态条件下，线性电阻、线性电容和线性电感的电压和电流都是同频率的正弦量，可以用相量表示，三种基本元件的VCR的相量形式见表3.2.1。在相量法中，可以通
34、过一端口网络的电压相量和电流相量用两种不同形式的等效参数（阻抗和导纳）来表示。如图3.2.5（a）所示为一个不含独立源的一端口网络N0，设该无源网络在单一频率 的正弦电源作用下达到稳态，其端口的电压和电流相量分别为图3.2.5 线性无源一端口网络 ,iIIuUU一端口无源网络N0的电压相量和电流相量的比值定义为该一端口网络N0的复阻抗Z，即有：令 则 （3.2.9）ui(j)UUZIIz(j)|ZZ|UZ I式（3.2.9）通常称为欧姆定律的一般相量形式，或者叫作广义欧姆定律。其中Z是复数，但不是正弦量，也不是相量。Z称为复阻抗，它的模 称为阻抗模。但有时候也简称复阻抗为阻抗。阻抗角 等于电压
35、初相角与电流初相角之差，即 （3.2.10）|/ZU Izzui复阻抗Z的单位是 或k ，符号与电阻的符号相同。Z的代数形式为 如图3.2.5（b）所示。图3.2.5 线性无源一端口网络的阻抗jZRX阻抗模 阻抗角 其中 ；R称为等效的电阻分量，X为等效的电抗分量。一般来说，X的取值范围决定了电抗的性质。当X0时，Z为感性阻抗；当X0时，B为容性；当B 0时，B为感性。或者说导纳角 时，B为感性；导纳角 时，B为容性。22|(j)|YGByiuarctanBGRe(j)GYIm(j)BYy0y0 因此，可以知道电阻、电容和电感的阻抗分别为：，电阻、电容和电感的导纳分别为：，RZRC1jZCLj
36、ZLRYGCjYCL1jYL需要指出，在分析应用中要注意以下几个问题：（1）一端口网络N0的阻抗或导纳是由其内部的参数、电路的结构和正弦电源的频率决定的。一般情况下，阻抗 是一个复数，且是频率 的函数，即同一端口网络，对不同的频率 有不同的阻抗。(j)Z（2）阻抗角 反映了端口电压与电流的相位关系，从关系式中清楚可见 的大小由电路参数和网络拓扑结构所决定，在同一频率 下，电路参数不同，电压和电流之间的相位差也就不同。如果一端口网络N0的内部不含有受控源，则有 或 ，但如果含有受控源则阻抗或导纳的实部可能为负值，出现 或 的情况。zz|90y|90z|90y|90（3）在分析和计算交流电路时，必
37、须时刻具有交流的概念，其中首先要有相位概念，而相位关系又反映在阻抗角上，它和阻抗的模一起被称为阻抗，阻抗反映了网络本身的固有特性。阻抗不同于正弦量的复数表示，它不是一个相量，而是一个复数计算量。所以阻抗的符号Z的上方不能加上圆点。（4）对同一端口来说，两种参数具有等同作用，彼此之间可以等效变换，即ZY=1。或写成：1YZ（5）在串联情况下，等效阻抗 分压公式：在并联情况下 分流公式：1(j)(j)nkkZZ1iinkkZ UUZ1(j)(j)nkkYY1iinkkY UIY（6）在对等效阻抗或等效导纳进行计算时，完全可以采用电阻电路中方法和相关公式，包括三角形和星形之间的互换公式。例3.2.2
38、 已知RLC串联电路如图3.2.6所示，其中 ，电源电压 ，求电路中的电流和各元件电压的相量形式和瞬时值表达式。图3.2.6 例3.2.2电路图10R 0.1HL 100FC()200 2cos(100)Vu tt解 电源电压的相量形式：，RLC串联电路的等效阻抗为：所以电路中的电流相量为：2000 VU1jj90.683.7ZRLC 2.283.7 AUIZ各元件上的电压相量分别为：R2283.7 VUIRLj22173.7 VUILC12206.3 VjUIC 对应的瞬时值形式分别为：()2.2 2cos(10083.7)Ai ttR()22 2cos(10083.7)VuttL()22
39、2cos(100173.7)VuttC()220 2cos(1006.3)Vutt 画相量图时，如果是串联电路可以选择电流相量作为参考相量，并联电路可以选择电压相量作为参考相量。通过本例题，我们可以发现，电容上的电压大于电源电压，这是正常的。因为各个元件的电压相量的代数和为零，不能简单地错误理解为电源电压的有效值（或最大值）等于各个元件的电压的有效值（或最大值）之和。同样，RLC并联电路中的支路电流也有可能大于总的电流。例3.2.3如图3.2.7（a）所示电路为一个RC移相电路，其输出电压将比输入电压移动一个相位角。已知 ，输入电压为正弦信号源，试求输出开路电压，并画出电路相量图。图3.2.7
40、 例3.2.3电路图0.1FC 2kR 11VU 500Hzf 解（1）假设容抗 输出端开路，所以 输出开路电压 C6113.2k22 500 0.1 10XfC1122CC0.265mAjUUIIRXRX22k0.265mA0.53VURI（2）由于、串联，流过的电流是相同的，所以以电流 作为参考相量，可画出相量图如图3.2.7（b）所示，即输出电压超前输入电压 。图3.2.7 例3.2.3相量图ICarctan58XR58例3.2.4如图3.2.8所示的电路中，已知理想电流源 ，求电流 、。图3.2.8 例3.2.4电路S6060 AI1I2I解 ，由以上分析与计算可以得出，在正弦交流电路
41、中，电压和电流用相量，阻抗用复数形式，不仅其串、并联电路的运算类似于直流电路，即使对于复杂交流电路，第1章所介绍的电路基本定律与分析方法也是适用的。1j4Z 2(3j4)Z 21S123j460 60100 113.1 Aj43j4ZIIZZ12S12j460 608030 Aj43j4ZIIZZ3.3 正弦稳态混联电路的分析 所谓正弦稳态混联电路是指电路中元件的连接形式既有串联、又有并联，甚至是三角形连接或者星形连接。对于混联电路，同样可以采用相量法来求解混联电路的响应，可以把直流电路的各种分析方法、等效变换方法和定理都应用于正弦稳态电路的分析中，在画出正弦稳态混联电路的相量模型后，就可以仿
42、照电阻电路的求解方法来求正弦稳态混联电路的输入阻抗、输入导纳、输出阻抗、输出导纳、支路电压相量和支路电流相量等电路参数。相量分析法的主要步骤是：首先将电路的时域模型变换为相量模型（即保持电路的结构不变，将各个元件R、L、C用复阻抗表示，电源用相量表示）；其次运用基尔霍夫定律（KCL、KVL）和元件伏安关系的相量形式并结合各种分析方法建立复代数方程；联立求解复代数方程组，根据题目要求求出电压或电流响应相量，最后把求出电压或电流响应相量变换成正弦量。3.3.1 应用基尔霍夫定律的相量形式 正弦稳态电路的稳态响应，可以应用最基本的电路分析方法，即基尔霍夫定律的相量形式来求解。其求解过程如下：首先将电
43、路的时域模型变换为相量模型，画出电路的相量模型（电路中的各个元件R、L、C用复阻抗或复导纳表示，电源用相量表示）；然后标出电路中独立的回路电流或者节点电压（相量形式的回路电流或节点电压）；最后对这些独立的回路或者节点运用相量形式的基尔霍夫定律列写方程，求出回路电流或者节点电压，进而再求解电路中其他的一些物理量。下面通过具体电路的分析来说明相量形式的基尔霍夫定律在正弦稳态电路中解题的一般步骤。例3.3.1 某电路如图3.3.1（a）所示，已知 ，应用节点电压分析法求解电容 上的电流的大小。图3.3.1 例3.3.1电路图(a)时域模型S()5 2cos(500)Vu tt10.5R 20.2R
44、S()5 2cos(500)Ai tt8 mHL 122000FCC解 解题步骤如下：（1）先把电路的时域模型化为相量模型，画出电路的相量模型如图3.3.1（b）所示。图3.3.1 例3.3.1电路图(b)相量模型（2）选定两个独立的节点1和2。（3）运用KCL对节点1和2分别列写节点方程：n1n2n1n211115 00.5jjj0.51115 0jj0.2j0.4UUUU 整理后得到：联立求解，则有：，所以即可得电容C1上的电流有效值的大小 。n1n2n1n2(2j2)j10j(1j)5UUUUn12jVUn22j4VU1C21+j2AnUjIjjC2.24AI 例3.3.2电路如图3.3
45、.2（a）所示，其中 ，求电流 、和 。图3.3.2 例3.3.2电路图S()10 2sin(5000)Vu tt()i tL()i tC()it解电源电压相量和容抗、感抗分别为 ，画出电路的相量模型如图3.3.2（b）所示。S10 0 VUC6112k5000 0.1 10XCL5000 1 5kXL 设 串联支路的阻抗为，电容支路的阻抗为 ，、并联阻抗为 ，则 2Z1Z2Z12Z1(3j5)5.83 59 kZ2j2kZ 121212(3j5)(j2)(0.633j2.66)k3j5j2Z ZZZZS1210 03.18 58 mA110.633j2.66UIZ2L12j23.18 581
46、.577 mA3j5j2ZIIZZ1125.83 593.18 584.37 72 mA3j5j2CZIIZZ所以 ()3.18 2sin(500058)mAi ttL()1.5 2sin(500077)mAi ttC()4.37 2sin(500072)mAi tt3.3.2戴维南定理和诺顿定理的应用 戴维南定理或诺顿定理同样应用在正弦稳态电路中，在应用时首先也是将电路的时域模型变换为相量模型，然后按照电阻电路的分析方法来处理，下面举例说明。例3.3.3电路如图3.3.3（a）所示，已知 ，试应用戴维南定理求电流 。图3.3.3 例3.3.3电路图和戴维南等效电路的相量模型 S20 AII解
47、（1）从ab处断开，如图3.3.3（b）所示，求开路电压 戴维南等效复阻抗为：（2）由图3.3.3（c）可求得流过 的电流 ocUoc5(j10)208.9426.6 V5j10U eq5(j10)5/(j10)j5j5(4j3)5j10Z 8.9426.61.1226.6 A(4j3)(4j3)I3.3.3正弦稳态电路的相量图求解法 相量图求解法是正弦稳态电路区别于电阻电路的一个特有的分析方法，是在画出电路的相量图后，根据电路中的电压相量和电流相量的关系，在复平面上定性地画出已知相量和待求解相量，根据它们之间的关系求解的方法。在画电路的相量图时一般可以考虑以下规则：（1）串联电路的正弦稳态电
48、路，由于电流相量相等，选用电流相量作为参考相量，为简单起见，并设电流相量的初相角为零。（2）类似的原因，并联电路选用电压相量作为参考相量，为简单起见，也可以设电压相量的初相角为零。（3）利用三种基本元件R、L、C的伏安关系导出其他支路的电压（或电流）相量。（4）在复平面上借助向量（相量一般不叫向量这个名称，它实际是关于时间的向量，注意与力学中的空间向量区别）运算规则，如平行四边形法则或多边形法则，完全按照向量求解的方法求支路电压相量或支路电流相量。例3.3.4 采用实验的方法测量电感及其等效直流电阻的正弦稳态电路的相量图如图3.3.4（a）所示，已知电源电压 ，频率 ，标准电阻 ，当电阻 上的
49、交流电压表的读数为100V，电感上（事实上测得的是电感及其等效直流电阻上）的交流电压表的读数为150V时，求电感 及其等效直流电阻 的大小。220VU 50Hzf 1100R 1RLRL图3.3.4 例3.3.4电路图(a)实验测量电感的相量模型解 根据图3.3.4（a）所示的相量图，选择电流相量作为参考相量，标准电阻 上的电压相量以及等效直流电阻 的电压相量与电流相量同相，电感上（事实上测得的是电感及其等效直流电阻上）的电压相量超前电流相量某个角度，设总的电压相量超前电流相量 角度，其中 。由此可以根据KVL的相量形式和向量合成的三角形法则定性地画出电压相量图如图3.3.4（b）所示。090
50、LR1R图3.3.4 例3.3.4电路图(b)计算用的相量图根据已知条件，由假设条件（见相量图），根据三角形的余弦定理：，得 111AUIR10 AI11000 VU2222112cosUUUUUarccos0.81639.2因而：但 ，则 由 可以得到：从本例题可以看出，相量图求解法在某些场合解题具有简单直观的优势。Lsin220sin39.2UULULIsin441mHULIL1()cosRRIUL79.5R 3.4 正弦交流电路中的功率3.4.1 二端网络的瞬时功率 本节中我们讨论二端网络处于正弦稳态条件下的功率问题，设某线性无源二端网络N0如图3.4.1所示。图3.4.1 无源二端网络
