1、解析几何n引言n第一章 向量代数n第二章 直线与平面n第三章 常见曲面n第四章 二次曲面与二次曲线n第五章 正交变换与仿射变换n第六章 平面射影几何简介n附录 矩阵和线性方程组简介 前前 言言 l解析几何是数学类各专业的重要基础课程，不仅数学、解析几何是数学类各专业的重要基础课程，不仅数学、物理学等的许多后继课程要以此为基础，更为重要的物理学等的许多后继课程要以此为基础，更为重要的是，它的思想方法和几何直观性可为许多抽象的、高是，它的思想方法和几何直观性可为许多抽象的、高维的数学物理维的数学物理问题提供模型和背景。问题提供模型和背景。返回 n 怎样读书，特别是主动提出问题，思考问题，理解和掌怎
2、样读书，特别是主动提出问题，思考问题，理解和掌握数学的思想方法握数学的思想方法。本教材的每一个章节中穿插了许多的思考题，这些思考本教材的每一个章节中穿插了许多的思考题，这些思考题直接与内容相关，但又是学生易忽视的问题，有些是题直接与内容相关，但又是学生易忽视的问题，有些是开放性的，想以此来培养学生良好的读书习惯，学会主开放性的，想以此来培养学生良好的读书习惯，学会主动思考；动思考；教材教学内容的编排符合人们的思维习惯，按照从点到教材教学内容的编排符合人们的思维习惯，按照从点到线，到面，再讨论其关系的思路，从简单到复杂，循序线，到面，再讨论其关系的思路，从简单到复杂，循序渐近，使大家的思维有一个
3、自然的升华过程，以培养大渐近，使大家的思维有一个自然的升华过程，以培养大家探索未知的数学素养；家探索未知的数学素养；教材试图突出各章节的主要数学思想，立足为大家建立一教材试图突出各章节的主要数学思想，立足为大家建立一个整体框架，并努力阐述几何与代数的关系，用代数的手个整体框架，并努力阐述几何与代数的关系，用代数的手段解决几何的问题，而省略去许多繁琐的运算，其中部分段解决几何的问题，而省略去许多繁琐的运算，其中部分留给留给大家动手解决；大家动手解决；教材更多地注重与后继课程密切相关的二次曲面阐述，而教材更多地注重与后继课程密切相关的二次曲面阐述，而对二次曲线的讨论则因为思对二次曲线的讨论则因为思
4、想方法相同而简略。想方法相同而简略。实事求是地讲，新生刚进校后，学习习惯上需要一个调整实事求是地讲，新生刚进校后，学习习惯上需要一个调整期，并不能适应我们按此思路的讲法，但我们还是坚持这期，并不能适应我们按此思路的讲法，但我们还是坚持这样，只样，只希望通过我们的努力，让学生在后继的课程学习中希望通过我们的努力，让学生在后继的课程学习中学得主动，愉快。学得主动，愉快。n内容提要:主要内容包括向量代数，空间直线和平面，常见曲面，主要内容包括向量代数，空间直线和平面，常见曲面，二次曲面和二次曲线，正交变换和仿射变换，射影平面二次曲面和二次曲线，正交变换和仿射变换，射影平面简介。简介。本教材力求为大家
5、提供一个整体的数学框架，注重数学本教材力求为大家提供一个整体的数学框架，注重数学思想方法的传输，努力调动大家主动思考、解决问题的思想方法的传输，努力调动大家主动思考、解决问题的积极性，积极性，在内容编排上由浅入深，从点到线、到面，循在内容编排上由浅入深，从点到线、到面，循序渐近。序渐近。解析几何是利用代数方法来研究几何图形性质一门学科。解析几何是利用代数方法来研究几何图形性质一门学科。包括平面解析几何和空间解析几何两部分。通过在几何空包括平面解析几何和空间解析几何两部分。通过在几何空间中建立坐标系，就可将空间中的点用坐标表出，从而图间中建立坐标系，就可将空间中的点用坐标表出，从而图形的几何性质
6、可以表为图形上点的坐标之间的关系，特别形的几何性质可以表为图形上点的坐标之间的关系，特别是代数关系。是代数关系。17世纪初，法国数学家笛卡儿世纪初，法国数学家笛卡儿(Descartes,R)和费尔马和费尔马（Fermat,P.de）利用这种关系研究几何图形，创立了解）利用这种关系研究几何图形，创立了解析几何。从此变量被引进了数学，成为数学发展中的转折析几何。从此变量被引进了数学，成为数学发展中的转折点，为微积分的出现创造了条件。点，为微积分的出现创造了条件。n我们从物理学中知道，力、速度及加速度等这些量既有我们从物理学中知道，力、速度及加速度等这些量既有大小，又有方向，它们可以用三维欧氏空间中
7、的有向线大小，又有方向，它们可以用三维欧氏空间中的有向线段来表示，并且可以平行移动，力（速度）的合成可以段来表示，并且可以平行移动，力（速度）的合成可以通过有向线段的平移和平行四边形法则来进行。通过有向线段的平移和平行四边形法则来进行。n我们将它们的共性抽取出来而得到向量的概念及向量的我们将它们的共性抽取出来而得到向量的概念及向量的加法运算法则。加法运算法则。n进一步研究向量的其它运算：数与向量的乘法，从力的进一步研究向量的其它运算：数与向量的乘法，从力的做功抽象出向量的内积，由力矩引出向量的外积，从平做功抽象出向量的内积，由力矩引出向量的外积，从平行六面体的体积引进向量的混合积，从而形成向量
8、代数，行六面体的体积引进向量的混合积，从而形成向量代数，使向量成为广泛应用的基本工具之一。使向量成为广泛应用的基本工具之一。第一节第一节 向量及其线性运算向量及其线性运算第二节第二节 标架与坐标标架与坐标第三节第三节 向量的内积向量的内积第四节第四节 向量的外积向量的外积第五节第五节 向量的混合积向量的混合积返回返回 既有大小又有方向的量称为既有大小又有方向的量称为向量向量（或（或矢量矢量）。）。我们用符号我们用符号 表示。表示。,a b c 1 向量及其线性运算向量及其线性运算 1.向量的概念向量的概念 一个向量一个向量 可以用有向线段可以用有向线段 表示，作图表示，作图时都用有向线段。时都
9、用有向线段。设有向线段设有向线段 表示向量表示向量 ，则有向线段，则有向线段的长度的长度 称为向量称为向量 的的长度长度或或模模。记为。记为 。有向线段从起点到终点的指向称为有向线段从起点到终点的指向称为向量的方向量的方向向。（如图（如图1.1）我们将代数运算引到向量中去，来研究图形我们将代数运算引到向量中去，来研究图形性质。这种方法具有直观性，更容易理解图形性质。这种方法具有直观性，更容易理解图形性质的几何意义，并且它在物理学等中有重要性质的几何意义，并且它在物理学等中有重要的应用。此外向量的概念及其运算也为线性代的应用。此外向量的概念及其运算也为线性代数中深入理解向量空间提供了直观的几何背
10、景。数中深入理解向量空间提供了直观的几何背景。a|a|AB AB AB aaAB 图图1.1 图图1.2 如果一个向量能够由另一个向量经平行移动如果一个向量能够由另一个向量经平行移动得到得到,则称这两个向量则称这两个向量相等相等（图（图1.2）。当用）。当用有向线段有向线段 表示向量表示向量 时，方便起见，记时，方便起见，记为为 。ABabaabaABABa 这样定义的向量就表示只要两个有向线段这样定义的向量就表示只要两个有向线段有相等的长度和相同的方向就可表示同一个向有相等的长度和相同的方向就可表示同一个向量，与有向线段的起点无关。或者说，向量是量，与有向线段的起点无关。或者说，向量是自由的
11、或可以平行移动（保持长度和方向不自由的或可以平行移动（保持长度和方向不变）的有向线段。变）的有向线段。长度为零的向量称为长度为零的向量称为零向量零向量，记为，记为0。长度为长度为1的向量称为的向量称为单位向量单位向量。两向量称为两向量称为同向的同向的（反向的反向的），是指从同一起点引等），是指从同一起点引等于它们的有向线段时在同一条直线上，且它们的终点分于它们的有向线段时在同一条直线上，且它们的终点分布在这起点的同一侧（两侧）。与布在这起点的同一侧（两侧）。与 同向的单位向量同向的单位向量记为记为 。与与 长度相等但反向的向量称为长度相等但反向的向量称为 的的反向量反向量，记为，记为 。思考题
12、思考题：平面中具有同一始点的所有单位向量的终点：平面中具有同一始点的所有单位向量的终点的几何轨迹是什么图形？的几何轨迹是什么图形？0 aa 0aaa 2.向量的加法向量的加法 回忆物理学中力、速度、位移的合成法。回忆物理学中力、速度、位移的合成法。定义定义1.1 对于向量对于向量 ,作有向线段作有向线段 把把 表示的向量表示的向量 称为称为 与与 的的和和,记为记为 （图（图1.3），即），即由此公式表示的向量加法规则称为由此公式表示的向量加法规则称为“三角形法则三角形法则”。图图1.3bBCaAB ,ba,bac ACBCAB cabABCcabACab 注注：从同一始点作：从同一始点作 ，
13、再以，再以OA和和OB为为边作平行四边形边作平行四边形OACB，则对角线，则对角线 也表示向量也表示向量 与与 的和的和（图（图1.4），这称为向量的），这称为向量的“平行四边形法则平行四边形法则”。向量的加法满足以下规律：向量的加法满足以下规律：（1）交换律交换律：（2）结合律结合律：（3）（4）图图1.4其中其中,为任意向量。这些规律可由加法运算的定义为任意向量。这些规律可由加法运算的定义直接得出，请读者自己证明。直接得出，请读者自己证明。;abba ()();abcabc ()0aa ;0aa cba,bOBaOA ,OCabACOcabB 作为加法的逆运算，减法定义如下作为加法的逆运算
14、，减法定义如下：定义定义1.2 向量的减法向量的减法 。减法的几何意义如图减法的几何意义如图1.5,即即 。图图1.5由向量加法的三角形法则容易得到如下的三角不等式由向量加法的三角形法则容易得到如下的三角不等式其中，其中，、为任意向量。它的几何意义是，三角形两为任意向量。它的几何意义是，三角形两边之和大于第三边。这个不等式可以推广到任意有限边之和大于第三边。这个不等式可以推广到任意有限多个向量和的情形：多个向量和的情形：)(baba BAOBOA|baba .|lbalba BAOabba ab 3.数量与向量的乘法数量与向量的乘法 定义定义1.3 实数实数 与向量与向量 的乘积的乘积 是一个
15、向量，它是一个向量，它的长度为的长度为 ，它的方向当，它的方向当 时与时与 相同，相同，当当 时与时与 相反。当相反。当 时，则时，则 。设设 ，因为，因为 与与 同向，且同向，且所以所以 ，这称为把，这称为把 单位化单位化。aa|aa 0 a00 a或或 0 a0 a 0 aaa1|aaaa1|a1|11 aaaa 对于任意的向量对于任意的向量 、和任意实数和任意实数 ，数量与向，数量与向量的乘法满足以下量的乘法满足以下规律规律 （1）可以用定义）可以用定义1.3直接验证。直接验证。（2）的证明：若）的证明：若 或或 中有一个为零时，则中有一个为零时，则（2）显然成立。下面设）显然成立。下面
16、设 。;)()()1(aa 0 a ,0,0 a b ,a;)()2(aaa .)()3(baba 情形情形1 若若 ，则，则 与与 同向，且同向，且 与与 同向，因此有同向，因此有又有又有 因此因此 故故 0 a a a)(aa|,|)|(|aaaaa|,|)(|aaa|,|)|(|)(|aaa .)(aaa 情形情形2 若若 ，不妨设，不妨设 。1 若若 ,则则 而而（2）成立。）成立。2 若若 ,则由情形则由情形1知知即得即得 ，从而有从而有 3 若若 ,则由情形则由情形1知知类似于类似于2可得（可得（2）式。）式。0 0,0 0 ,0)(a aaaa)(0 aaa)()()()()()
17、(aaa .)(aaa 0 aaa)()()()(.0)()()(1()(aaaa )()(aa （3）的证明）的证明 若若 或者或者 中有一个为中有一个为0，则（，则（3）显然成立。下面设显然成立。下面设 。情形情形1 若若 平行，则由定义平行，则由定义1.3后面的思考题结论后面的思考题结论知存在实数知存在实数 使使 ，于是，于是0 ba,0,0,0 ba ba与与 ab )1()()(aaaba aa)1()().aaaaab 情形情形2 若若 不平行，那么当不平行，那么当 时，如图时，如图1.6作作 ，于是，于是 则则 ，从而，从而D必在直线必在直线OB上，于是上，于是 ，又，又 。故有
18、故有当当 时，可作类似的讨论。时，可作类似的讨论。ba与与0 aABaOA ,bCDaOCbaOB 作作OAB OCD.)(baba 0 ABCDOba aba b baOD )(baOD 图图1.6ba 4.共线、共面的向量组共线、共面的向量组 向量的加法和数量与向量乘法统称为向量的向量的加法和数量与向量乘法统称为向量的线性运线性运算算。设设 是一组向量，是一组向量，是一组实数，则是一组实数，则 是一个向量，称它为向量组是一个向量，称它为向量组 的一个的一个线性组合线性组合。定义定义1.4 平行于同一直线（平面）的向量组称为平行于同一直线（平面）的向量组称为共共线线的（的（共面共面的）向量组
19、。的）向量组。零向量与任意向量共线；共线的向量组一定共面；零向量与任意向量共线；共线的向量组一定共面；若若 或或 ，则，则 共线。共线。),2,1(niai),2,1(niki niiiak1ba ab ba与与),2,1(niai 定义定义1.5 若对于向量组若对于向量组 ，存在不全为，存在不全为0的实数的实数 ，使，使则称向量组则称向量组 线性相关线性相关，否则称向量组，否则称向量组线线性无关性无关。思考题思考题：对照此定义，采用陈述的方式，写出向量：对照此定义，采用陈述的方式，写出向量组线性无关的定义。组线性无关的定义。(1,2,)ia in),2,1(niki niiiak1,0),2
20、,1(niai 命题命题1.1 两个向量两个向量 共线的充要条件是共线的充要条件是 线性相关。线性相关。证明证明 必要性必要性.若若 中有一个为零向量，不妨设中有一个为零向量，不妨设 ，则对实数则对实数 有有因而因而 线性相关。线性相关。若若 都不为都不为0，且同向，则，且同向，则 从而有从而有令令 则有则有故故 线性相关。若线性相关。若 反向，可作类似的讨论。反向，可作类似的讨论。ba,ba,0a ba,000121 bbkak,0,121 kk.)|(|)|(|11aabaababbbb .1,|211 kabk.021 bkakba,ba ba,ba,ba,充分性。充分性。设存在不全为设
21、存在不全为0的实数的实数 使使 不妨设不妨设 则有则有 ，故，故 共线。共线。思考题思考题：请考虑两向量线性无关的充要条件及其几何：请考虑两向量线性无关的充要条件及其几何特征。特征。推论推论1.1 若若 共线且共线且 ，则存在唯一的实数，则存在唯一的实数使得使得 。命题命题1.2 三向量三向量 共面（不共面）的充要条件是共面（不共面）的充要条件是 线性相关（线性无关）。线性相关（线性无关）。此命题的证明留作习题。此命题的证明留作习题。思考题思考题：在平面和空间中各画出一线性相关和线性无：在平面和空间中各画出一线性相关和线性无关的向量组。关的向量组。21,kk.021 bkak,01 kba,b
22、kka)(211 ab cba,0 a ba,cba,定理定理1.1 设设 不共线，则不共线，则 与与 共面的充要条件共面的充要条件是存在唯一的一对实数是存在唯一的一对实数 使得使得 证明证明 必要性必要性。由。由 与与 共面及命题共面及命题1.2知，存在不知，存在不全为全为0的实数的实数 使使 我们断定我们断定 。否则有不全为。否则有不全为0的实数的实数 使得使得 这与这与 不共线矛盾。不共线矛盾。,.bac 321,kkk.0321 ckbkak03 k21,kk.021 bkakba,cba,cba,ba,因而我们得到因而我们得到 令令 那么那么假如另有假如另有 使使 则则 因为因为 不
23、共线，所以必有不共线，所以必有于是于是 。唯一性得证。唯一性得证。充分性是显然的。充分性是显然的。,)()(213113bkkakkc ,213113kkkk .bac ,bac )()(0babacc .)()(ba ba,0,0 ,定理定理1.2 设设 不共面，则对空间中任一向量不共面，则对空间中任一向量 均存在唯一的数组（均存在唯一的数组（），使得），使得证明证明 如图如图1.7,取一点取一点O,作作 过过D作一直线与作一直线与OC平行，且与平行，且与OA和和OB决定的平面交于决定的平面交于M。过。过M作一直线与作一直线与OB平行，且与平行，且与OA交于交于N。因为因为所以分别存在实数所
24、以分别存在实数 使得使得从而从而 cba,d ,.cbad dODcOCbOBaOA ,/,/,/cMDbNMaON ,.,cMDbNMaON MDNMONODd .cba abcABMCDOdN图图1.7 唯一性唯一性.若若则得则得因为因为 不共面不共面,所以所以 例例1.1 设设A,B是不同的两点是不同的两点,则点则点P在直线在直线AB上的充要上的充要条件是存在唯一的一对实数条件是存在唯一的一对实数 ,使得使得 （*）其中其中,O是任意取定的一点是任意取定的一点.而而P在线段在线段AB上的充要条件是上的充要条件是 且且(*)成立成立.,1,OBOAOP0,0 111,ODabcabc .0
25、)()()(111 cba .,111 cba,证明证明 必要性必要性.设设P在直线在直线AB上上,则则 共线共线,且且 由推论由推论1.1，存在唯一的，存在唯一的k使使任取一点任取一点O(如图如图1.8),由上式得由上式得即有即有令令 因而因而 且且 由由k的唯一性知的唯一性知 是唯一的是唯一的.,.0 AB.ABkAP ).(OAOBkOAOP .)1(OBkOAkOP ,1 ,1kk .OBOAOP ABAP与与OABP图图1.8 充分性充分性.若对某一点若对某一点O,(*)式成立式成立,则则因而因而 共线共线,所以所以P在直线在直线AB上上.对于后半部分对于后半部分,由于由于P在线段在
26、线段AB上上,所以所以 同向同向,故故(*)成立且有成立且有 即即 ,从而从而(*)中的中的 由由 因而因而即即P在线段在线段AB上上.，反反之之若若00.0,01 kkOAOBOAOAOPAP)(，知知101 ,0ABAP ,0ABAP 10 kABAP 与与ABAP 与与,)(ABOAOBOAOB 例例1.2 如图如图1.9,已知已知 及一点及一点O,试证试证O是是的重心的充要条件是的重心的充要条件是 证明证明 必要性必要性.设设O是是 的重心的重心,P,Q,R分别是三边分别是三边BC,CA,AB的中点，则的中点，则同理得到同理得到 于是于是 0 OCOBOAABC ABC)(3232BA
27、PBPAOA ,3231)21(32BACBBACB ,3231ACBAOC ,3231CBACOB )(32)(31ACCBBABAACCBOCOBOA .0 CCACCAACBACBABC ABCOPQR图图1.9 充分性充分性。设。设 ，而，而 的重心的重心为为 。则由必要性知。则由必要性知 。但是但是故故 。0 OCOBOAABC*O0*COBOAO.,*COOOOCBOOOOBAOOOOA .330*OOCOBOAOOOOCOBOA OOOO *,0 即即同学的简单解法同学的简单解法必要性必要性，由于，由于R是是AB的中点，则的中点，则而且而且 故有故有充分性充分性，设，设R是是AB
28、的中点，则的中点，则由条件由条件 得得于是，点于是，点O在中线在中线CR上，并且上，并且因此，点因此，点O为三角形的重心。为三角形的重心。2,OROAOB 2,OROC 0.OAOBOC 2,OROAOB 0,OAOBOC 2,OROC 2,OROC 2 标架与坐标 向量法的优点在于比较直观，但是向量的运算不如数向量法的优点在于比较直观，但是向量的运算不如数的运算简洁，为了取长补短，我们给向量引进坐标，在的运算简洁，为了取长补短，我们给向量引进坐标，在欧氏空间中引进标架，利用标架和向量的坐标给点引进欧氏空间中引进标架，利用标架和向量的坐标给点引进坐标，把向量法与坐标法结合起来使用。坐标，把向量
29、法与坐标法结合起来使用。1.标架、向量和点的坐标 2.用坐标作向量的线性运算 1.标架、向量和点的坐标标架、向量和点的坐标 欧氏空间中任意三个有次序的不共面的向量组欧氏空间中任意三个有次序的不共面的向量组称为欧氏空间中的一个称为欧氏空间中的一个基基。根据定理。根据定理1.2,对于欧氏空间中对于欧氏空间中任一向量任一向量 ，存在唯一的数组（，存在唯一的数组（）,使使我们把有序三元实数组我们把有序三元实数组()称为称为 在基在基下的下的坐标坐标，记为，记为 。在欧氏空间中任意取定一点在欧氏空间中任意取定一点O，则任意一点，则任意一点M与向量与向量 一一对应，我们把向量一一对应，我们把向量 称为点称
30、为点M的的位置向量位置向量（或（或径矢径矢）。）。为方便起见，以后用为方便起见，以后用“空间空间”表示表示“三维欧氏空间三维欧氏空间”。321,eeeazyx,.321zeyexea ),(zyxa OMOMzyx,a321,eee 定义定义2.1 空间中一个点空间中一个点O和一组基和一组基 合在一起称合在一起称为空间的一个为空间的一个仿射标架仿射标架或或仿射坐标系仿射坐标系，简称，简称标架标架，记，记为为 ，其中，点，其中，点O称为称为标架原点标架原点，称为称为坐标向量坐标向量。对于空间中任一点。对于空间中任一点M，把它的位置向量，把它的位置向量 在基在基 下的坐标称为点下的坐标称为点M在仿
31、射标架在仿射标架 中的中的坐标坐标。若。若 ，则点，则点M的的坐坐标记为标记为 。由定义由定义2.1知，点知，点M在在 中的坐标为中的坐标为当且仅当当且仅当 以后我们把向量以后我们把向量 在基在基 中的坐标也称为中的坐标也称为 在在仿射标架仿射标架 中的坐标。中的坐标。),(zyxM.321zeyexeOM 321,eee,;321eeeO321,eeeOM321,eee),(zyxOM ,;321eeeO),(zyx,;321eeeOa321,eeea,;321eeeO 空间中取定一个标架后，由定理空间中取定一个标架后，由定理1.2知，空间中全体知，空间中全体向量的集合与全体有序三元实数组的
32、集合之间就建立了向量的集合与全体有序三元实数组的集合之间就建立了一一对应；通过位置向量，空间中全体点的集合与全体一一对应；通过位置向量，空间中全体点的集合与全体有序三元实数组的集合之间也建立了一一对应的关系。有序三元实数组的集合之间也建立了一一对应的关系。设设 为空间的一个标架，过原点为空间的一个标架，过原点O，且分，且分别以别以 为方向的有向直线分别称为为方向的有向直线分别称为x轴、轴、y轴、轴、z轴，轴，统称为统称为坐标轴坐标轴。由每两条坐标轴决定的平面称为。由每两条坐标轴决定的平面称为坐标平坐标平面面，它们分别是，它们分别是xOy,yOz,zOx平面。坐标平面把空间分平面。坐标平面把空间
33、分成八个部分，称为八个成八个部分，称为八个卦限卦限（图（图1.10），），在每个卦限内，点的坐标的符号在每个卦限内，点的坐标的符号不变。不变。,;321eeeO321,eeexyzIIIIIIIVVVIVIIVIII图图1.10O 将右手四指（拇指除外）从将右手四指（拇指除外）从x轴方向弯向轴方向弯向y轴方向轴方向（转角小于（转角小于），如果拇指所指的方向与），如果拇指所指的方向与z轴方向在轴方向在xOy平面的同侧，则称此坐标系为平面的同侧，则称此坐标系为右手系右手系，否则称为，否则称为左手系左手系（图（图1.11）。）。右手系右手系 左手系左手系 图图1.111e2e3eOO1e3e2e 各
34、卦限内点的坐标符号如下表。各卦限内点的坐标符号如下表。卦 限坐标 x +-+-y +-+-z +-定义定义2.2 如果如果 是两两垂直的单位向量，是两两垂直的单位向量，则则 称为称为直角标架直角标架或或直角坐标系直角坐标系。直角标架是特殊的仿射标架。点（或向量）在直直角标架是特殊的仿射标架。点（或向量）在直角标架中的坐标称为它的角标架中的坐标称为它的直角坐标直角坐标，在仿射标架中的坐，在仿射标架中的坐标称为它的标称为它的仿射坐标仿射坐标。2.用坐标作向量的线性运算用坐标作向量的线性运算 取定标架取定标架 ，设，设 ，则容易证明下列命题，则容易证明下列命题 命题命题2.1 (1).(2)(3)对
35、于任意实数对于任意实数 ，有，有 .321,eee),(),(321321bbbbaaaa ),(332211babababa ).,(332211babababa ),(321aaaa ,;321eeeO,;321eeeO 定理定理2.1 向量的坐标等于其终点坐标减去其始点坐向量的坐标等于其终点坐标减去其始点坐标。标。证明证明 对于向量对于向量 ，设，设 ，则则因为因为 ，所以所以 设向量设向量 ，那么我们有，那么我们有 定理定理2.2 共线当且仅当共线当且仅当 的对应分量成的对应分量成比比例。例。AB),(),(222111zyxBzyxA).,(),(222111zyxOBzyxOA O
36、AOBAB ),(),(321321bbbbaaaa ).,(121212zzyyxxAB ba 与与ba 与与 思考题思考题：设：设 ,推导三点共线推导三点共线的充要条件。的充要条件。对于线段对于线段 如果如果P点满足点满足则称点则称点P分线段分线段 成定比成定比 ,当当 0 时时 同向，点同向，点P在线段在线段 内，称内，称P为为内分点内分点；当；当 0时，时，反向，点反向，点P在线段在线段 外，称外，称P为为外分点外分点；当当 =0时，时，重合。假若重合。假若 =1，则，则，,这与这与 矛盾，矛盾，所以所以 1。3,2,1),(izyxPiiii),(2121PPPP,21PPPP 0,
37、2121 PPPPPP即即21PP 21PP 21PPPP与与 1PP 与与 21PP21PPPP与与21PP 请读者自证下列命题：请读者自证下列命题：命题命题2.1 设设 则分线段则分线段 成定比成定比 的分点的分点P的坐标是的坐标是 推论推论2.1 线段线段 的中点坐标为的中点坐标为,2,1),(izyxPiiii21PP)1()3.2(.1,1,1212121 zzzyyyxxx)4.2(.2,2,2212121zzzyyyxxx 21PP 例例 用坐标法证明四面体对棱中点的连线交于一点。用坐标法证明四面体对棱中点的连线交于一点。证明证明 设四面体设四面体ABCD（图（图1.12）的）的
38、AB,AC,AD,BC,CD,DB的中点分别为的中点分别为 。取仿射标架取仿射标架 则各点的坐标分别为：则各点的坐标分别为：GFEDCB,;ADACABA),1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(),0,0,0(DCBA,21,0,0,0,21,0,0,0,21 DCB.21,0,21,21,21,0,0,21,21 GFEBCDABCDEFGP图图1.12 假设假设 与与 交于点交于点P(x,y,z)，设，设 则则P的坐标为的坐标为解得解得k=l=1从而交点从而交点P存在，且存在，且P的坐标为的坐标为 。设设 与与 交于交于 ,同理可得同理可得 所以所以P与与重合，即重合，即 交于一点
39、。交于一点。另法：先后求出另法：先后求出 的中点坐标，知道它的中点坐标，知道它们的坐标都相同，因而三线交于一点。们的坐标都相同，因而三线交于一点。FBED,PElPDPFkPB llzllyllxkkzkkykkx 1021,1210,12101210,1210,1021 41,41,41FBGCP,41,41,41 PPGCEDFB,GCEDFB,3 向量的内积 物理学中，一个质点在力物理学中，一个质点在力 的作用下，经过位移的作用下，经过位移 ,则则 所作的功为所作的功为其中，其中，是是 与与 的夹角。的夹角。类似于功类似于功W这样的数量，我们这样的数量，我们引进向量的内积。引进向量的内积
40、。fs,cos|sfW fs ffs图图1.13 1.向量内积的定义和性质向量内积的定义和性质 定义定义3.1 两向量两向量 的的内积内积，记为，记为 ，规定为，规定为一个实数：一个实数：其中，其中，是是 的夹角，且的夹角，且 。若若 中有一个是零向量，则中有一个是零向量，则 。由定义由定义3.1可得可得 当当 时，时，ba,ba),(cos|bababa ),(ba ba 与与 ),(0ba)1.3(;|aaa 0,0 ba)2.3(;|),(cosbababa 0 baba,命题命题3.1 互相垂直当且仅当互相垂直当且仅当 。(3.1)和和(3.2)表明了向量的内积，向量的长度和向量表明了
41、向量的内积，向量的长度和向量的夹角之间的关系。的夹角之间的关系。对任意的向量对任意的向量 及任意实数及任意实数 ，向量的内积，向量的内积满足以下规律：满足以下规律：，等号当且仅当，等号当且仅当 时成立。时成立。(1),a bb a,a b c(4)0a a 0a ab与0a b (2)()(),aba b(3)(),abca cb c 证明证明：(1),(2),(4)由定义容易证明，请读者自证之。由定义容易证明，请读者自证之。对于（对于（3），若），若 中有零向量，则等式成立。以下设中有零向量，则等式成立。以下设 皆为非零向量。如图皆为非零向量。如图1.14,设设过过A,B,D分别向分别向OC
42、所在直线作垂线，垂足分别为所在直线作垂线，垂足分别为则则 由平面几何知识易证由平面几何知识易证因而因而 .cba,baODcOCbOBaOA ,),(,),(,),(OCODOCOBOCOA,DBA()|cos|abcabcc OD ).cos|cos|(|baccbca ,cos|cos|cos|baba cbcacba )(cba,ABCDO ABD图图1.14 例例3.1 证明三角形的三条高交于一点。证明三角形的三条高交于一点。证明证明 设设 边边AB,CA上的高交于上的高交于O点，以点，以O为起点，为起点，以以A,B,C为终点的向量分别记为为终点的向量分别记为 （图（图1.15）。）。
43、以上两式相加，可得以上两式相加，可得 。所以所以 中中BC边上的高通过边上的高通过O点。这就证点。这就证明了三高相交于一点。明了三高相交于一点。ABC cba,0)(,bacBACO得得由由0)(bcaABCBCOA 即即,0)(,acbACBO得得由由abcABCO图图1.15 例例3.2 用向量法证明余弦定理用向量法证明余弦定理 证明证明 如图如图1.16所示，所示，故故.cos2222Cabbac ,baCBACABc ,2)()(babbaababacc .cos2222Cabbac abcABC图图1.16 2.用坐标计算向量的内积用坐标计算向量的内积 取仿射标架取仿射标架 ,则则
44、可见只要知道坐标向量可见只要知道坐标向量 之间的内积（之间的内积（9个数，实个数，实质上只有质上只有6个数）就可以求出任意两个向量的内积。这九个数）就可以求出任意两个向量的内积。这九个数称为仿射标架个数称为仿射标架 的的度量参数度量参数。如果如果 是直角标架，是直角标架，则有则有于是由于是由(3.3)得到得到 (3.4),;321eeeO)3.3(,31,3131 jijijijjjiiieebaebeaba .01jijieeji 31.iiibaba321,eee,;321eeeO).,(),(321321bbbbaaaa 设设,;321eeeO 定理定理3.2 在直角坐标系中，两向量的内
45、积等于它们在直角坐标系中，两向量的内积等于它们的对应坐标的乘积之和。的对应坐标的乘积之和。在直角坐标系中，由定理在直角坐标系中，由定理3.2得到，向量得到，向量的的长度长度为为 由此得空间两点由此得空间两点 间的间的距离公式距离公式为：为：),(321aaaa )5.3(.|232221aaaa )2,1(),(izyxPiiii)6.3(.)()()(|),(2122122122121zzyyxxPPPPd 3.方向角和方向余弦方向角和方向余弦 在直角坐标系在直角坐标系 中，向量中，向量 与坐标向量与坐标向量 的交角（大于等于的交角（大于等于0，小于等于，小于等于 ）称为）称为 的的方方向角
46、向角，分别用，分别用 来表示，它们的余弦来表示，它们的余弦 称为称为 的的方向余弦方向余弦。,;321eeeOa ,cos,cos,cosaa321,eee 因为因为所以所以 同理同理 由此可得由此可得 因而因而 与方向余弦成比例的任一个数组（与方向余弦成比例的任一个数组（），都称为），都称为向量向量 的一组的一组方向数方向数。即如。即如则则 为为 的一组方向数。一个向量的方向余弦是唯的一组方向数。一个向量的方向余弦是唯一的，但方向数有无数多组。一的，但方向数有无数多组。,cos|),(cos|1111 aeaeaaea .|cos1aa )7.3(.1coscoscos222 ,).cos,
47、cos,(cos aa,cos:cos:cos:),(a.|cos,|cos32aaaa 4 向量的外积向量的外积 在力学中，我们遇见过这样的问题：一个力在力学中，我们遇见过这样的问题：一个力 作用作用在棒的一端在棒的一端P，使棒绕其支点，使棒绕其支点O转动，这就产生了力矩转动，这就产生了力矩 ，其大小为，其大小为其方向为：让右手四指从其方向为：让右手四指从 弯向弯向 （转角小于（转角小于），），则拇指指向为则拇指指向为 的方向（图的方向（图1.17）。类似于从）。类似于从 和和 求力矩求力矩 这样的向量运算，这样的向量运算，我们引进向量的外积运算。我们引进向量的外积运算。fM),(sin|O
48、PfOPfM OPOPfOPMfMMf图图1.17 1.向量外积的定义及性质向量外积的定义及性质 定义定义4.1 两个向量两个向量 的的外积外积仍是一个向量，记作仍是一个向量，记作 ,它的长度规定为它的长度规定为 它的方向规定为：与它的方向规定为：与 均垂直，并且使均垂直，并且使 成成右手系（图右手系（图1.18）的指向。）的指向。如果如果 中有一个为零向量，中有一个为零向量，则规定则规定 。两向量两向量外积模的几何意义外积模的几何意义：为邻边的平行四边形为邻边的平行四边形 的面积。的面积。ba 与与)1.4(),(sin|bababa 0 baba,baba baba,|以以 abba 图图
49、1.18ba ba,定理定理4.1 对于任意向量对于任意向量 和任意实数和任意实数 ，有有cba,)(,)()3(左分配律左分配律cabacba ),()()2(baba )(,)1(反交换律反交换律abba )(.)(右分配律右分配律cbcacba 证明证明 （1）由定义）由定义4.1立即得到。立即得到。（2）当）当 或或 时，显然成立。因此，时，显然成立。因此，设设 不共线，不共线，0。当当 时，时，同向，所以，同向，所以，从而从而 同向，故有同向，故有ba/0 ba,),(sin|)(|bababa 0 aa与与;)()(同同向向与与baba )()(baba 与与).()(baba )
50、,(sin|baba|,)(|baba .)(,0反反向向与与时时当当baba 定义定义4.2 设设 所在直线为所在直线为 。由。由 分别分别向向 引垂线（图引垂线（图1.19）,其垂足分别为其垂足分别为 ，则向量，则向量 称为称为 在在 上的上的射影射影。如果。如果 那么实那么实数数x称为称为 在方向在方向 上的上的分量分量，记为，记为 。lbABa,BA,BAlBAba,xbBA)(ababABABlb图图1.19从图从图1.19和图和图1.20容易得出容易得出 另外对任意实数另外对任意实数 还有还有(4.4)由由(4.2)容易推得。容易推得。()|cos(,),(4.2)baaa b (
