1、海洋与气象学院海洋与气象学院 佟伟佟伟2011.9122011.912教材：教材：概率论与数理统计（第四版）概率论与数理统计（第四版）盛骤，谢式千，潘成毅编盛骤，谢式千，潘成毅编高等教育出版社高等教育出版社前前 言言概率论概率论是研究偶然、随机现象的规律性的数学理是研究偶然、随机现象的规律性的数学理论，产生于论，产生于17世纪中叶。世纪中叶。概率论发展初期，主要是从讨论赌博问题开始的。概率论发展初期，主要是从讨论赌博问题开始的。16世纪的意大利学者吉罗拉莫世纪的意大利学者吉罗拉莫卡尔达诺卡尔达诺（Girolamo Cardano）研究了掷骰子等赌博中的）研究了掷骰子等赌博中的一些简单问题。一些
2、简单问题。到了到了17世纪中叶，法国宫廷贵族中间盛行掷骰子世纪中叶，法国宫廷贵族中间盛行掷骰子游戏。游戏。据说，据说，1654年左右，爱好赌博的法国人梅雷写信年左右，爱好赌博的法国人梅雷写信向帕斯卡（向帕斯卡（B.Paseal）请教了著名的）请教了著名的“点数问题点数问题”或或“赌金分配问题赌金分配问题”。帕斯卡和费马（帕斯卡和费马（P.de Fermat）在通信中讨论了）在通信中讨论了点数问题及其他问题。他们把这些日常赌博问题点数问题及其他问题。他们把这些日常赌博问题变成了真正的数学问题，用排列组合理论得出正变成了真正的数学问题，用排列组合理论得出正确解答，并提出了数学期望的这一核心概念。现
3、确解答，并提出了数学期望的这一核心概念。现在，大家公认他们二人是概率论的共同创立者。在，大家公认他们二人是概率论的共同创立者。随着随着18、19世纪科学的发展，人们注意到在某些世纪科学的发展，人们注意到在某些生物、物理和社会现象与机会游戏之间有某种相生物、物理和社会现象与机会游戏之间有某种相似性，从而由机会游戏起源的概率论被应用到这似性，从而由机会游戏起源的概率论被应用到这些领域中；同时这也大大推动了概率论本身的发些领域中；同时这也大大推动了概率论本身的发展。展。真正使概率论作为一门独立数学分支的奠基人是雅各真正使概率论作为一门独立数学分支的奠基人是雅各布布伯努利（伯努利（Jacob Bern
4、oulli）。他建立了概率论中第一）。他建立了概率论中第一个极限定理，即伯努利大数定律，证明了随着试验次数个极限定理，即伯努利大数定律，证明了随着试验次数的增加，某一事件出现的频率会越来越接近该事件的概的增加，某一事件出现的频率会越来越接近该事件的概率。其意义在于揭示了因偶然性的作用而呈现的杂乱无率。其意义在于揭示了因偶然性的作用而呈现的杂乱无章现象中的一种规律性。章现象中的一种规律性。随后棣莫弗和拉普拉斯又导出了第二个基本极限定理随后棣莫弗和拉普拉斯又导出了第二个基本极限定理（中心极限定理）的原始形式。拉普拉斯在系统总结前（中心极限定理）的原始形式。拉普拉斯在系统总结前人工作的基础上写出了概
5、率论专著，明确给出了概率的人工作的基础上写出了概率论专著，明确给出了概率的古典定义，并在概率论中引入了更有力的分析工具，从古典定义，并在概率论中引入了更有力的分析工具，从而将概率论推向一个新的发展阶段。而将概率论推向一个新的发展阶段。如何定义概率，如何把概率论建立在严格的逻辑基础上，如何定义概率，如何把概率论建立在严格的逻辑基础上，是概率理论发展的困难所在，对这一问题的探索一直持是概率理论发展的困难所在，对这一问题的探索一直持续了续了3个世纪。个世纪。苏联数学家柯尔莫哥洛夫苏联数学家柯尔莫哥洛夫1933年在他的年在他的概率论基础概率论基础一书中第一次给出了概率的定义和一套严密的公理体系。一书中
6、第一次给出了概率的定义和一套严密的公理体系。他的公理化方法成为现代概率论的基础，使概率论成为他的公理化方法成为现代概率论的基础，使概率论成为严谨的数学分支，对概率论的迅速发展起了积极的作用。严谨的数学分支，对概率论的迅速发展起了积极的作用。现在，概率与统计的方法日益渗透到各个领域，并广泛现在，概率与统计的方法日益渗透到各个领域，并广泛应用于自然科学、经济学、医学、金融保险甚至人文科应用于自然科学、经济学、医学、金融保险甚至人文科学中学中。概率（概率（Probability）：）：表示一件事情发生的可表示一件事情发生的可能性大小的数值能性大小的数值概率论（概率论（Probability theo
7、ry）：研究随机现象研究随机现象数量规律（如概率、期望、方差等）的一门学科数量规律（如概率、期望、方差等）的一门学科统计学（统计学（Statistics）:收集所观察系统的数据，收集所观察系统的数据，进行量化的分析、总结，并进而进行推断和预测，进行量化的分析、总结，并进而进行推断和预测，为相关决策提供依据和参考的学科为相关决策提供依据和参考的学科 数理统计（数理统计（Mathematical statistics）：）：以概率以概率论为工具的统计。论为工具的统计。它以概率论为基础，研究如何它以概率论为基础，研究如何合理收集试验所得的大量数据（样本）并加以分合理收集试验所得的大量数据（样本）并加
8、以分析处理，从而求出总体的统计规律（即数学模型，析处理，从而求出总体的统计规律（即数学模型，数据的数量特征与数量关系等），根据这些规律数据的数量特征与数量关系等），根据这些规律对未来的发展作出预测对未来的发展作出预测 为什么要学习这门课？为什么要学习这门课？理论严谨、应用广泛、发展迅速。理论严谨、应用广泛、发展迅速。目前目前,不不仅高等学校各专业都开设了这门课程仅高等学校各专业都开设了这门课程,而且而且从上世纪末开始从上世纪末开始,这门课程特意被国家教委这门课程特意被国家教委定为本科生考研的数学课程之一定为本科生考研的数学课程之一概率论应用非常广泛，几乎遍及所有的科学概率论应用非常广泛，几乎遍
9、及所有的科学领域，例如天气预报、股市预测、地震预报领域，例如天气预报、股市预测、地震预报、产品的抽样调查；在通讯工程中可用以提、产品的抽样调查；在通讯工程中可用以提高信号的抗干扰性、分辨率等等高信号的抗干扰性、分辨率等等第一章第一章 概率论的基本概念概率论的基本概念 n随机试验、样本空间、随机事件随机试验、样本空间、随机事件n频率与概率频率与概率n等可能概型（古典概型）等可能概型（古典概型）n条件概率条件概率n独立性独立性 确定性现象与随机现象确定性现象与随机现象 自然界所观察到的现象自然界所观察到的现象:确定性现象、确定性现象、随机现象随机现象 在一定条件下必然发生在一定条件下必然发生的现象
10、称为确定性现象的现象称为确定性现象 “太阳总是从东边升起太阳总是从东边升起”,1.确定性现象确定性现象“同性电荷互斥同性电荷互斥”“水往低处流水往低处流”,实例实例确定性现象的特征确定性现象的特征 条件完全决定结果条件完全决定结果我们事先知道每次试验所有可能出现的结果。但我们事先知道每次试验所有可能出现的结果。但每次每次 的结的结果呈现出不确定性，而在大量重复试验果呈现出不确定性，而在大量重复试验中，其结果又具有统计规律性的现象中，其结果又具有统计规律性的现象2.随机现象随机现象 实例实例1 “在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察正反两面出现的情况察正反两面出现的
11、情况”。结果有可能结果有可能出现正面出现正面也可能也可能出现反面出现反面。结果有可能为结果有可能为:“1”,“2”,“3”,“4”,“5”或或“6”。实例实例3 “抛掷一枚骰子，观察出现的点数抛掷一枚骰子，观察出现的点数”。实例实例2 “用同一门炮向同用同一门炮向同 一目标发射同一种炮弹多一目标发射同一种炮弹多 发发,观察弹落点的情况观察弹落点的情况”。结果结果:“弹落点会各不相同弹落点会各不相同”。实例实例4 “从一批含有正品从一批含有正品和次品的产品中任意抽取和次品的产品中任意抽取一个产品一个产品”。其结果可能为其结果可能为:正品正品、次品次品。实例实例5 “过马路交叉口时过马路交叉口时,
12、可能遇上各种颜色的交通可能遇上各种颜色的交通指挥灯指挥灯”。其结果可能为其结果可能为:红、黄、绿。红、黄、绿。实例实例6 “出生的婴儿可能是男，也可能是出生的婴儿可能是男，也可能是女女”。实例实例7 “明天的天气可能是明天的天气可能是晴晴,也可能是也可能是多云多云或或雨雨”。在我们所生活的世界上，在我们所生活的世界上，充满了不确定性充满了不确定性 随机现象的特征随机现象的特征条件不能完全决定结条件不能完全决定结果果 随机现象是通过随机试验来研究的。随机现象是通过随机试验来研究的。问题问题 什么是随机试验？什么是随机试验？如何来研究随机现象如何来研究随机现象?1.1-1.2 随机试验、样本空间、
13、随机事件随机试验、样本空间、随机事件1.1.随机随机试验试验（E，Random experiment）：）：具有以下三个特征的试验：具有以下三个特征的试验：（1）可以在相同的条件下重复地进行）可以在相同的条件下重复地进行;（2）每次试验的可能结果不止一个，并且能）每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果事先明确试验的所有可能结果;（3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。会出现。E例例1.1E1:抛一枚硬币抛一枚硬币，观察出现正面观察出现正面H和反面和反面T的情况的情况；E2:将一枚硬币连抛三次将一枚硬币连抛三次，观察出现正反面的情
14、况观察出现正反面的情况；E3:将一枚硬币连抛三次将一枚硬币连抛三次，观察出现正面的次数观察出现正面的次数；E4:掷一颗骰子掷一颗骰子，察出现的点数察出现的点数；E5:记录某网站一分钟内受到的点击次数记录某网站一分钟内受到的点击次数；E6:在一批灯泡中任取一只在一批灯泡中任取一只，测其寿命测其寿命；E7:记录某地一昼夜的最高温度和最低温度。记录某地一昼夜的最高温度和最低温度。2.2.样本空间（样本空间（Sample space）:随机试验随机试验E的的所有可能的结果组成的集合所有可能的结果组成的集合。记为。记为S。样本点（样本点（Sample,Outcome）：）：样本空间中样本空间中的每个元素
15、，即试验的每个结果。记为的每个元素，即试验的每个结果。记为e。EX：给出：给出例例1.1的样本空间。的样本空间。样本点样本点e.S.,:出现的情况出现的情况和反面和反面观察正面观察正面抛一枚硬币抛一枚硬币THE1 :的情况的情况.和反面和反面观察正面观察正面将一枚硬币抛掷三次将一枚硬币抛掷三次,THE2出现出现S1=H,TS2=HTT,THT,TTH,HHT,HTH,THH,HHH,TTT则样本空间则样本空间HTHTTTHTTTHHHTHTHTHHHHHTTT练习：若试验是将一枚硬币抛掷两次练习：若试验是将一枚硬币抛掷两次,观察正面出观察正面出现的次数：现的次数：则样本空间则样本空间 0,1,
16、2S 总结：样本空间的元素是由试验的目的所确定的总结：样本空间的元素是由试验的目的所确定的.E4:掷一颗骰子掷一颗骰子，观，观察出现的点数察出现的点数；E5:记录某网站一分钟内受到的点击次数记录某网站一分钟内受到的点击次数；E6:在一批灯泡中任取一只在一批灯泡中任取一只，测其寿命测其寿命；E7:记录某地一昼夜的最高温度和最低温度记录某地一昼夜的最高温度和最低温度S4:1,2,3,4,5,6S5:1,2,3,4,5,6S6:t|t0S7:（x,yx,y）|T|T0 0 xyTxyTl l ,8 其其中中个个大大小小完完全全相相同同的的球球一一个个袋袋中中装装有有例例 ,4 ,4 搅搅匀匀后后从从
17、中中任任取取个个是是红红色色的的个个是是白白色色的的有有.,间间求求此此随随机机试试验验的的样样本本空空一一球球 ,红球红球白球白球S=请注意：请注意：实际中实际中,在进行随机试验时在进行随机试验时,我们往往我们往往会关心会关心满足某种条件的那些样本点所组成的集合满足某种条件的那些样本点所组成的集合.例如在测试某灯泡的寿命这一试验中例如在测试某灯泡的寿命这一试验中,若规定若规定灯泡的寿命灯泡的寿命(小时小时)小于小于500为次品为次品,那么我们关心那么我们关心灯泡的寿命灯泡的寿命 是否满足是否满足 .t500t 或者说或者说,我们关心我们关心满足这一条件的样本点组成的一个集合满足这一条件的样本
18、点组成的一个集合 .500t t 这就是这就是3.3.随机事件随机事件（事件，（事件，Event）：）：常用常用A A、B B、C C等表示。等表示。试验试验E E的样本空间的样本空间S S的子集。的子集。注意：注意：一旦做试验，就会出现一个结果，即有一旦做试验，就会出现一个结果，即有一个样本点出现。一个样本点出现。事件事件A发生发生（Event occurrence）当且仅当当且仅当A中的一个样本点出现中的一个样本点出现 基本事件基本事件（Elementary event）由一个样本由一个样本点组成的单点集点组成的单点集 必然事件必然事件（Certain event）S 不可能事件不可能事件
19、（Impossible event）(相对于观察目的不可再分解的事件相对于观察目的不可再分解的事件)E2:将一枚硬币连抛三次将一枚硬币连抛三次，观察正反面出现的情况；观察正反面出现的情况；E4:掷一颗骰子掷一颗骰子，观察出现的点数观察出现的点数。A=HHH,HHT,HTH,HTTA=HHH,HHT,HTH,HTTB=HHH,TTTB=HHH,TTTC=HTT,THT,TTHC=HTT,THT,TTH对于试验对于试验E2，A，B，C为以下为以下随机事件随机事件 A:第一次第一次出现正面出现正面;B:三次出现同一面三次出现同一面;C:恰好出现一次正面恰好出现一次正面。试验试验E4中中 A、B、C、
20、D，F为以下为以下随机事件随机事件 :样本空间为样本空间为 .654321,S 事件事件 B=掷出奇数点掷出奇数点事件事件 A=掷出掷出1点点 1,3,5 .5,6 1.事件事件 C 出现的点数大于出现的点数大于44=出现小于出现小于1 1的点的点=事件事件D事件事件F=出现不大于出现不大于6 6的点的点=S;=S;也即样本空间也即样本空间 事件事件 Ai=掷出掷出i点点,i=1,2,3,4,5,6基本事件基本事件复合事件复合事件可见，既可以用可见，既可以用文字表示事件文字表示事件，也可以将事件表，也可以将事件表示为示为样本空间的子集样本空间的子集，后者反映了事件的实质，后者反映了事件的实质，
21、且更便于今后计算概率。且更便于今后计算概率。还应注意，同一样本空间中，还应注意，同一样本空间中，不同的事件之间有不同的事件之间有一定的关系一定的关系，如，如试验试验E2，当试验的结果是，当试验的结果是HHH时，可以说事件时，可以说事件A和和B同时发生了；但事件同时发生了；但事件B和和C在任何情况下均不可能同时发生在任何情况下均不可能同时发生。易见，事件之间的关系是由他们所包含的样本点易见，事件之间的关系是由他们所包含的样本点所决定的，这种关系可以用所决定的，这种关系可以用集合之间的关系集合之间的关系来描来描述。述。现代集合论为表述随机试验提供了一个方便的工具现代集合论为表述随机试验提供了一个方
22、便的工具 .4.事件之间的关系事件之间的关系 A B 若若A B，又，又B A，则称事件，则称事件A与与B相等相等，记为，记为A=B。SE BA发发生生必必然然导导致致事事件件如如果果事事件件是事件是事件或称事件或称事件包含事件包含事件则称事件则称事件发生发生(,AAB,)记作记作的子事件的子事件B.ABBA 或或,都有都有对于任何事件对于任何事件 A.SA (1)(1)包含关系包含关系E 的的至至少少有有一一个个发发生生所所构构成成、事事件件BA.记记作作的的和和与与事事件件事事件件叫叫做做事事件件BA.BA ,称事件称事件类似地类似地 2中至少有一个发中至少有一个发、nAAA1 生生的的事
23、事件件为为事事件件.21的和事件的和事件、nAAA记之为记之为,21nAAA 简简记记为为.1iniA BABSA(2)(2)和事件和事件 同同时时发发生生所所构构成成的的事事件件、事事件件BA.记记作作的的积积事事件件与与事事件件叫叫做做事事件件BA.ABBA或或 ,称称事事件件类类似似地地 21同同时时发发生生所所构构成成的的、nAAA 的的事事件件为为事事件件.21的的积积事事件件、nAAA记记之之为为,21nAAA 简简记记为为.1iniA E BSA BA(3)(3)积事件积事件A BABS 不发生所构不发生所构发生而事件发生而事件称事件称事件BA,记作记作的差事件的差事件与事件与事
24、件成的事件为事件成的事件为事件BA.BA ABABABA (4)(4)差事件差事件若若AB=，则称，则称A与与B为为互不相容事件互不相容事件（Mutually exclusive events，Disjoint 或互或互斥）斥），也就是说事件，也就是说事件A与与B不可能同时发生。不可能同时发生。ABS注注 基本事件两两互不相容基本事件两两互不相容(5)(5)互斥事件互斥事件若若A B=S，AB=，则称，则称A与与B互互为为逆事件逆事件，或，或互为互为对立事件（对立事件（Complementary events），也就，也就是说是说每次试验每次试验 A、B中有且只有一个发生中有且只有一个发生。注
25、注 “A与与B 互相对立互相对立”与与“A与与B 互斥互斥”不同不同ASA A的对立事件记为的对立事件记为 A AA(6)(6)对立事件（互逆事件）对立事件（互逆事件）若事件若事件A与事件与事件B在一次试验中，必有且只有其中在一次试验中，必有且只有其中之一发生，即之一发生，即A、B满足条件：满足条件：:关系关系对立事件与互斥事件的对立事件与互斥事件的.,但互斥不一定对立但互斥不一定对立对立一定互斥对立一定互斥 两事件两事件A、B互斥：互斥：两事件两事件A、B互逆或互为对立事件：互逆或互为对立事件：即即A与与B不可能同时发生不可能同时发生.AB 除要求除要求A、B互斥互斥()外，外，还要求还要求
26、 AB ABS5.事件的运算事件的运算集合的运算法则都适用集合的运算法则都适用,常用的有常用的有 交换律交换律结合律结合律分配律分配律对偶律，对偶律，德摩根律德摩根律运算顺序：逆交并差，括号优先运算顺序：逆交并差，括号优先。ABBAABBAq q q q()()()()ABCABCABCABC)()()(CBCACBA()()()ABCABACABABABABniiniiAA11niiniiAA11 BABSA S BABA BABA BS AA SA BB对偶律对偶律(德摩根律德摩根律)5.事件的运算事件的运算EXEX：P5P5例题例题2 2E2:将一枚硬币连抛三次将一枚硬币连抛三次，观察正
27、反面出现的情况；观察正反面出现的情况；A:第一次第一次出现正面出现正面B:三次出现同一面三次出现同一面A=HHH,HHT,HTH,HTTA=HHH,HHT,HTH,HTTB=HHH,TTTB=HHH,TTTABABBAAB补例补例 甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹,以以A A、B B、C C分别表示甲、乙、丙命中目标分别表示甲、乙、丙命中目标,试用试用A A、B B、C C表示下列事件：表示下列事件：A1：至少有一人命中目标至少有一人命中目标A2：恰有一人命中目标恰有一人命中目标A3：恰有两人命中目标：恰有两人命中目标A4：最多有一人命中目标：最多有一人命中
28、目标A5：三人均命中目标：三人均命中目标A6：三人均未命中目标：三人均未命中目标ABC ABC BCACABABCABCABC ABCABCABC ABC 1中的三个随机中的三个随机为样本空间为样本空间、设设练习练习SCBA:,件件的的运运算算表表示示下下列列随随机机事事、试试用用事事件件CBA ;1都不发生都不发生与与发生而发生而CBA ;2都不发生都不发生、CBA ;3中恰好有一个发生中恰好有一个发生、CBA ;4中至少有两个发生中至少有两个发生、CBA ;5中至少有一个发生中至少有一个发生、CBA .6中恰好有两个发生中恰好有两个发生、CBA 解解CBA CBA CBACBACBA AB
29、CCABCBABCACBACBACBA 或或BCACAB 或或 ;1都不发生都不发生与与发生而发生而CBA ;2都不发生都不发生、CBA ;3中恰好有一个发生中恰好有一个发生、CBA ;4中至少有两个发生中至少有两个发生、CBA 解解CBACABCBABCA ;5中至少有一个发生中至少有一个发生、CBA .6中恰好有两个发生中恰好有两个发生、CBA小结小结样本空间和随机事件的定义样本空间和随机事件的定义事件间的关系与事件的运算事件间的关系与事件的运算概率论与数理统计习题册第一章概率论与数理统计习题册第一章P25 2.（2）（）（4）（）（6）（）（7）布置作业布置作业 那么要问那么要问:如何求得某事件的概率呢如何求得某事件的概率呢?下面几节就来解决这个问题下面几节就来解决这个问题.研究随机现象，不仅关心试验中会出研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些事件，更重要的是想知道事件出现现哪些事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大小，也就是的可能性大小，也就是事率件概的
