1、两种表示法的关系：两种表示法的关系：F=a+jb F=|F|ejq q =|F|q q 代数形式代数形式极坐标形式极坐标形式ab baarctag|F|22或或qqsin|F|cos|F|ba2.复数运算复数运算则则 F1F2=(a1a2)+j(b1b2)(1)加减运算加减运算用用代数形式方便代数形式方便若若 F1=a1+jb1，F2=a2+jb2A1A2ReImO加减法可用图解法。（所谓平行四边形法则）加减法可用图解法。（所谓平行四边形法则）(2)乘除运算乘除运算用用极坐标形式方便极坐标形式方便（备个计算器）（备个计算器）若若 F1=|F1|q q 1 ，若若F2=|F2|q q 2 则则
2、F1 F2=|F1|F2|q q 1 q q 2211)j(12jj12111|2|e|2|e|2|e|2|2211AAAAAAAAAA 乘法：模相乘，角相加；乘法：模相乘，角相加；除法：模相除，角相减。除法：模相除，角相减。例例1.5 47 +10 25 =(3.41+j3.657)+(9.063-j4.226)=12.47-j0.567=12.48 -2.61 例例2.365.2255.132j5.182329.6 j238.22.126j2.18016.70728.62.126j2.18004.1462.203.56211.79.2724.192.126j2.1805 j20j6)(4
3、j9)(17 35 220 (3)旋转因子（旋转运算）：旋转因子（旋转运算）：复数复数 ejq q =cosq q+jsinq q =1q qA ejq q 相当于相当于A逆时针旋转一个角度逆时针旋转一个角度q q，而模不变。故，而模不变。故把把 ejq q 称为旋转因子。称为旋转因子。特殊旋转因子：特殊旋转因子：ejp/2p/2=j,e-jp/2p/2=-j,ejp p=1*2种形式来回转换5.2 正弦量的基本概念正弦量的基本概念一一.正弦量的三要素正弦量的三要素在选定的参考方向下，某交流在选定的参考方向下，某交流电路电路瞬时值瞬时值电流电流 i(t)：i(t)=Imsin(w w t+y
4、y)Im,w,yw,y 这这3个量一确定，正弦量就完全确定了。个量一确定，正弦量就完全确定了。所以，称这所以，称这3个量为正弦量的三要素：个量为正弦量的三要素：i+_u波形波形：tiOy y/w wT(1)幅值幅值(最大值最大值)Im：反映正弦量变化幅度的大小。：反映正弦量变化幅度的大小。(2)(2)角频率角频率w w ：反映正弦量周期变化的快慢。反映正弦量周期变化的快慢。正弦量的正弦量的三要素三要素：相关量：频率相关量：频率f(frequency)和周期和周期T(period)。频率频率f：每秒重复变化的次数。：每秒重复变化的次数。周期周期T：重复变化一次所需的时间。：重复变化一次所需的时间
5、。f=1/T单位：单位：w w：rads-1 ，弧度，弧度秒秒-1 f：Hz，赫，赫(兹兹)，我国，我国50 Hz T：s，秒，秒f=1/T(3)初相位初相位y y：反映了正弦量的计时起点。：反映了正弦量的计时起点。当当t=0时，相位角时，相位角 (w w t+y y)=y y，故称故称y y 为初相位角，为初相位角，简称初相位。同一个正弦量，简称初相位。同一个正弦量，计时起点不同，初相位计时起点不同，初相位不同不同。tiO*试说明使用试说明使用sin或或cos函数函数图中图中初相位角的区别。初相位角的区别。*初相位角正负的含义初相位角正负的含义*因角频率大家相同，正弦量三要素中只有2个要素：
6、幅值和初相角幅值和初相角关键、独特。二二.相位差相位差：两个同频率正弦量相位角之差，也即初相角之差。两个同频率正弦量相位角之差，也即初相角之差。设设 u(t)=Umsin(w w t+y y u),i(t)=Imsin(w w t+y y i)则则 相位差相位差 j j=(w w t+y y u)-(w w t+y y i)=y y u-y y i j j 0，u 领先领先(超前超前)i 角角j j，u 比比 i 先到达最大值先到达最大值；j j 1/w w C，X0，j j 0，电路为感性，电压领先电流；，电路为感性，电压领先电流；w wL1/w w C ，X0，j j 1/w w C)三角
7、形三角形UR、UX、U 称为：称为：电压三角形电压三角形，它和阻抗三角形相，它和阻抗三角形相似。似。ULUCUIRUj jUX例例.LCRuuLuCi+-+-+-已知：已知：R=15,L=0.3mH,C=0.2 F,.Hz 103f tu4),60cos(25w求求 i,uR,uL,uC.解解：其相量模型为其相量模型为.Ijw w LR+-+-+-.ULU.CU.Cj15.26j102.010321j1j5.56j103.01032jjV 6056434 CLU 4.6354.335.26j5.56j151jjo CLRZV 4.9395.34.3149.0905.26C1jV 4.8642.
8、84.3149.0905.56jV 4.3235.24.3149.015 A4.3149.04.6354.33605ooo ooo oo ooo IUILUIRUZUICLR则则V tuV tuV tuA tioCoLoRo)4.93cos(295.3)6.86cos(242.8)4.3cos(2235.2)4.3(cos2149.0UL=8.42U=5，分电压大于总电压分电压大于总电压（在在电阻电路不可能出现电阻电路不可能出现），原因是），原因是uL，uC相位相差相位相差180，互相抵消的结果。，互相抵消的结果。ULUCUIRUj j-3.4相量图相量图由由KCL：.UBjG.UBBj(G.
9、UCjLjG.UCj.ULj.UG.I.I.I.ICLCLR)()1(1wwwwiLCRuiLiC+-iL.Ijw w L.ULI.CI.Cj1R+-RI.二、复导纳：用相量法分析二、复导纳：用相量法分析RLC并联电路并联电路|)(YBjGUIUI.U.IY uiuiy令Y 复导纳；复导纳；G电导电导(导纳的实部导纳的实部)；B电纳电纳(导纳的虚部导纳的虚部)；|Y|复阻抗的模；复阻抗的模；j j 阻抗角。阻抗角。关系：关系：arctg|22 GBBGY或或G=|Y|cosj j B=|Y|sinj j|Y|GBj j 导纳三角形导纳三角形|Y|=I/Uj j=i-uY=G+j(w wC-1/
10、w wL)=|Y|j j w w C 1/w w L，B0，j j 0，电路为容性，电路为容性，i领先领先u；w w C1/w w L ，B0，j j 0，电路为感性，电路为感性，i落后落后u；w wC=1/w w L ，B=0，j j =0，电路为电阻性，电路为电阻性，i与与u同相。同相。画相量图画相量图：选：选电压为参考向量电压为参考向量(w wC 1/w w L，jj0,电路吸收功率：电路吸收功率：p0,j j 0,感性，感性，滞后功率因数滞后功率因数X0,j j 0，表示网络吸收无功功率；，表示网络吸收无功功率；Q0，故，故电感吸收电感吸收无功功率。无功功率。iuC+-PC=UIcos
11、j j=Uicos(-90)=0QC=UIsinj j=UIsin(-90)=-UI对电容，对电容，i领先领先 u 90,故故PC=0，即电容不，即电容不消消耗耗功率。由于功率。由于QCw wL)后，加上电压后，加上电压u，则电压线圈中的电流近似为，则电压线圈中的电流近似为i2 u/R2。指针偏角与。指针偏角与2电流之积成正比，用电流之积成正比，用M表示。表示。)sin(2 ),sin(2 21iutRURuitIiiww设PKUIKIRUKMcoscos 则则指针偏转角度指针偏转角度(由由M确定确定)与与P成正比，由偏转角成正比，由偏转角(校准校准后后)即可测量平均功率即可测量平均功率P。使
12、用功率表应注意使用功率表应注意：(1)同名端：在负载同名端：在负载u,i关联方向下，电流关联方向下，电流i从电流线圈从电流线圈“*”号端流入，电压号端流入，电压u正端接电压线圈正端接电压线圈“*”号端，此时号端，此时P表表示负载吸收的功率。示负载吸收的功率。(2)量程：量程：P的量程的量程=U的量程的量程 I的量程的量程 cosj j (表的表的)测量时，测量时，P、U、I均不能超量程。均不能超量程。例例.三表法测线圈参数。三表法测线圈参数。已知已知f=50Hz，且测得，且测得U=50V，I=1A，P=3W。H127.03144030501|1)(|50150|30130 222222222
13、314RZLLRZIUZIPRRIP解解：RL+_U IZVAW*9.5 复功率复功率1.复功率：复功率：（四个功率和为一身，计算方便）（四个功率和为一身，计算方便）功功率率”来来计计算算功功率率，引引入入“复复和和为为了了用用相相量量IU)eeRe(Re)cos(,jj)j(iuiuIUeUIUIPIIUUiuiu U*I)Var(,sin(j sinjcos )(VA ,*乏乏单位单位无功功率无功功率其中其中则则单位单位为复功率为复功率记记UIQQPUIUISUIUISIUSiu UI负负载载+_有功，无功，视在功率的关系有功，无功，视在功率的关系：有功功率有功功率:P=UIcosj j
14、单位单位：W无功功率无功功率:Q=UIsinj j 单位单位：var视在功率视在功率:P=UI 单位单位：VA22QPS j jSPQj jZRXj jUURUXRX+_+_+_URUXU功率三角形功率三角形阻抗三角形阻抗三角形电压三角形电压三角形电压、电流的有功分量和无功分量电压、电流的有功分量和无功分量：(以感性负载为例以感性负载为例)RX+_+_+_URUXU Ij j I URU XU 的无功分量的无功分量为为称称的有功分量的有功分量为为称称 sin cosUUQUIUUUPUIUXXRR的无功分量的无功分量为为称称的有功分量的有功分量为为称称 sin cosIIQUIUIIIPUIU
15、IBBGGj j I UBI GI GB+_GI IBI U根据定义根据定义吸收无功为负吸收无功为负吸收无功为正吸收无功为正 0)90sin(090sin0sin22o22o CCCLLLRXUXIUIUIQXUXIUIUIQQUIQ(放出无功放出无功)电抗元件吸收无功，在平均意义上不做功。电抗元件吸收无功，在平均意义上不做功。反映了电源和负载之间交换能量的速率。反映了电源和负载之间交换能量的速率。maxmax2m2222221 )2(21 :WTfWLIILLIXIQLL 举例举例无功的物理意义无功的物理意义:)(*:*2*2*YUYUUYUUIUSZIIIZIUSS 也可以表示为以下式子也
16、可以表示为以下式子复功率复功率复功率守恒定理复功率守恒定理：在正弦稳态下，任一电路的所有支路吸收：在正弦稳态下，任一电路的所有支路吸收的复功率之和为零。即的复功率之和为零。即 00 0)j(0 01111*1 bkkbkkbkkkbkkkbkkQPQPIUS此结论可此结论可用特勒根定理证明用特勒根定理证明。2121212121*)(*SSSUUUSSIUIUIUUIUS 一般情况下：一般情况下：bkkSS1+_+_+_U1U2UI.,*不不等等于于视视在在功功率率守守恒恒复复功功率率守守恒恒已知如图，求各支路的复功率。已知如图，求各支路的复功率。VA 3345j1113 VA 1920j768
17、)25101(236 VA 1424j1882010)1.37(236 V )1.37(236 )15j5/()2510(010 *222*2*121oooo YUSjYUSSjU吸吸吸吸发发例例.+_U100o A10 j25 5-j15 1I2I解一解一：VA 1423j1885 )25j10)(3.105(77.810 VA 3348j1116)15j5(94.14 VA 1923j769)25j10(77.8 A5.3494.14 A)3.105(77.815j525j1015j5010 o11*2222221211o12oo1 ZIISZISZISIIIISS发发吸吸吸吸+_U100
18、o A10 j25 5-j15 1I2I解二解二：2、功率因数提高、功率因数提高设备容量设备容量 S(额定额定)向负载送多少有功要由负载的阻抗角决定。向负载送多少有功要由负载的阻抗角决定。P=Scosj jS75kVA负载负载cosj j =1,P=S=75kWcosj j =0.7,P=0.7S=52.5kW一般用户：一般用户：异步电机异步电机 空载空载cosj j =0.20.3 满载满载cosj j =0.70.85日光灯日光灯 cosj j =0.450.6(1)设备不能充分利用，电流到了额定值，但功率容量还有；设备不能充分利用，电流到了额定值，但功率容量还有；(2)当输出相同的有功功
19、率时，线路上电流大当输出相同的有功功率时，线路上电流大 I=P/(Ucosj j )，线路压降损耗大。线路压降损耗大。功率因数低带来的问题功率因数低带来的问题：解决办法解决办法：并联电容，提高功率因数：并联电容，提高功率因数(改进自身设备改进自身设备)。分析分析:UILICIj j1j j2LRCUILICI+_.cos ,.,90 .,IUIUICC功率因数功率因数从而提高了从而提高了的夹角减小了的夹角减小了从相量图上看从相量图上看减少减少总电流总电流领先领先由于并联电容的电流由于并联电容的电流生任何变化生任何变化即负载工作状态没有发即负载工作状态没有发吸收的有功无功都不变吸收的有功无功都不
20、变不变不变原感性负载取用的电流原感性负载取用的电流并联电容后并联电容后 补偿容量的确定补偿容量的确定：UILICIj j1j j2)tgtg()tgtg(cos ,coscoscos sinsin 21221122121UPCUPIUPIUPIIIIICLLLC 代入得代入得将将)tgtg(212PCUQC 补偿容补偿容量不同量不同全全不要求不要求(电容设备投资增加电容设备投资增加,经济效果不明显经济效果不明显)欠欠过过使功率因数又由高变低使功率因数又由高变低(性质不同性质不同)综合考虑，提高到适当值为宜综合考虑，提高到适当值为宜(0.9 左右左右)。功率因数提高后，线路上电流减少，就可以带更
21、功率因数提高后，线路上电流减少，就可以带更多的负载，充分利用设备的能力。多的负载，充分利用设备的能力。再从功率这个角度来看再从功率这个角度来看:并联并联C后，电源向负载输送的有功后，电源向负载输送的有功UIL cosj j1=UI c o sj j2不 变，但 是 电 源 向 负 载 输 送 的 无 功不 变，但 是 电 源 向 负 载 输 送 的 无 功UIsinj j2UILsinj j1减少了，减少的这部分无功就由电减少了，减少的这部分无功就由电容容“产生产生”来补偿，使感性负载吸收的无功不变，而来补偿，使感性负载吸收的无功不变，而功率因数得到改善。功率因数得到改善。已知：已知：f=50
22、Hz,U=380V,P=20kW,cosj j1=0.6(滞后滞后)。要。要使功率因数提高到使功率因数提高到0.9,求并联电容求并联电容C。o1113.53 6.0cos 得得由由例例.P=20kW cosj j1=0.6+_CULRCUILICI+_解解：o2284.25 9.0cos 得得由由UILICIj j1j j2F 375 )84.25tg13.53tg(3803141020 )tgtg(23212 w w UPC补偿容量也可以用功率三角形确定：补偿容量也可以用功率三角形确定：j j1j j2PQCQLQ)tgtg()tgtg(212221UPCCUQPQQQCLc单纯从提高单纯从
23、提高cosj j 看是可以，但是负载上电压改变了。在看是可以，但是负载上电压改变了。在电网与电网连接上有用这种方法的，一般用户采用并联电容。电网与电网连接上有用这种方法的，一般用户采用并联电容。思考思考：能否用串联电容提高：能否用串联电容提高cosj j?8.15 最大功率传输最大功率传输讨论正弦电流电路中负载获得最大功率讨论正弦电流电路中负载获得最大功率Pmax的条件。的条件。S UZLZiI+-Zi=Ri+Xi，ZL=RL+XL2Li2LiSLiS)()(,XXRRUIZZUI (1)ZL=RL+XL可任意改变可任意改变 2Li2Li2SL2L)()(XXRRURIRP 有功功率有功功率(
24、a)先讨论先讨论XL改变时，改变时，P的极值的极值显然，当显然，当Xi+XL=0，即，即XL=-Xi时，时，P获得极值获得极值2Li2SL)(RRURP (b)再讨论再讨论RL改变时，改变时，P的最大值的最大值当当RL=Ri时，时，P获得最大值获得最大值i2Smax4RUP 综合综合(a)、(b)，可得负载上获得最大功率的条件是：，可得负载上获得最大功率的条件是：ZL=Zi*，即，即RL=RiXL=-Xi此结果可由此结果可由P分别对分别对XL、RL求偏导数得到求偏导数得到。(2)若若ZL=RL+XL只允许只允许XL改变改变 此时获得最大功率的条件此时获得最大功率的条件Xi+XL=0，即，即XL
25、=-Xi。(3)若若ZL=RL+XL=|ZL|j j，RL、XL均可改变，但均可改变，但XL/RL不变不变(即即|ZL|可变，可变，j j不变不变)2Li2SLmax)(RRURP 最大功率为最大功率为此时获得最大功率的条件此时获得最大功率的条件|XL|=|Xi|。)sincos(2|2 cosiii2Smaxj jj jj jXRZUP 最大功率为最大功率为证明如下：证明如下：(3)的证明的证明：)sin2cos(2|cos sin|2cos|2|cos|22cos|)()(iiLL2i2SLiLi2L2i2SL2LLi2i2LLi2i2SL2Li2Li2SLXRZZZUZXZRZZUZXX
26、XXRRRRUZXXRRURP j jj j|01|0,)|(|dd )|(|)|(,iL2L2i2L2iLL2iLLLL2iZZZZZZZZZZZZZZP 即即得得即即改变改变最小最小需使需使最大最大若使若使此时此时Pmax即如即如(3)中所示。中所示。本章小结本章小结：1.正弦量三要素：正弦量三要素：Im,w w ,电阻电阻电容电容电感电感2.比较比较时域时域u=RitiLudd tuCidd 频域频域(相量相量)IRU ILUw wj UCIw wj 有效值有效值U=RIU=XLIXL=w wLU=-XCIXC=-1/(w wL)有功有功P=I2R=U2/R00无功无功0Q=ILULQ=-ICUC能量能量W=I2RtW=Li2/2W=Cu2/2相位相位 U I U U I I
