1、1管理运筹学管理运筹学2管理运筹学绪论1234决策、定量分析与管理运筹学运筹学的分支运筹学在工商管理中的应用学习管理运筹学必须使用相应的计算机软件，必须注重学以致用的原则3管理运筹学绪论运筹学（Operational Research）运筹学直译为“运作研究”，是应用分析、试验、量化的方法，对经济管理系统中的人力、物力、财力等资源进行统筹安排，为决策者提供有依据的最优方案，以实现最有效的管理。运筹学的产生和发展运筹学产生于第二次世界大战，主要用于解决如何在与德军的对抗中最大限度地杀伤敌人、减少损失。二战以后，运筹学得到了快速的发展，形成了许多分支，丹捷格提出的求解线性规划问题的单纯形法是运筹学
2、发展史上最重大的进展之一。而计算机的应用极大地推进了运筹学的普及与应用。运筹学的广泛应用运筹学不仅在军事上，而且在生产、决策、运输、存储等经济管理领域有着广泛的应用。4管理运筹学1决策、定量分析与管理运筹学决策过程（解决问题的过程）（1）认清问题。（2）找出一些可供选择的方案。（3）确定目标或评估方案的标准。（4）评估各个方案：解的检验、灵敏性分析等。（5）选出一个最优的方案：决策。（6）执行此方案：回到实践中。（7）进行后评估：考察问题是否得到圆满解决。（1）（2）（3）形成问题。（4）（5）分析问题：定性分析与定量分析，构成决策。5管理运筹学运筹学的分支此外，还有多目标规划、随机规划、模糊
3、规划等。2线性规划整数线性规划图与网络模型存储论排队论排序与统筹方法决策分析动态规划对策论预测目标规划6管理运筹学3运筹学在工商管理中的应用生产计划：生产作业的计划、日程表的编排、合理下料、配料问题、物料管理等，追求利润最大化和成本最小化。库存管理：多种物资库存量的管理，某些设备的库存方式、库存量等的确定。运输问题：确定最小成本的运输线路、物资的调拨、运输工具的调度以及建厂地址的选择等。人事管理：对人员的需求和使用的预测，确定人员编制、人员合理分配，建立人才评价体系等。市场营销：广告预算、媒介选择、定价、产品开发与销售计划制定等。财务和会计：预测、贷款、成本分析、定价、证券管理、现金管理等。此
4、外，还有设备维修、更新，项目选择、评价，工程优化设计与管理等。7管理运筹学3运筹学在工商管理中的应用由国际运筹与管理科学协会（INFORMS）及其下属的管理科学实践学会（College for the Practice of the Management Sciences）主持评定的弗兰茨厄德曼（Franz Edelman）奖久负盛名，该奖是为奖励运筹学在管理中的应用的卓越成就设立的，该奖每年评选一次，在对大量富有竞争力的入围者进行认真的评审后，一般有六位优胜者获奖。这些获奖项目的文章都会在第二年发表在著名刊物 Interface 新年第一期上，表 1-1 列出了发表在该期刊上的部分获奖项目。
5、8管理运筹学3运筹学在工商管理中的应用表 1-1组织应用Interface期刊号每年节支（美元）施乐公司标准品牌公司联合航空公司Citgo 石油公司荷马特发展公司（HomartDevelopment Co.）AT&TMerit 青铜制品公司Delta 航空公司宝洁公司法国国家铁路公司IBM通过战略调整，缩短维修机器的反应时间和改进维修人员的生产率控制成品库存（制定最优再订购点和订购量，确保安全库存）满足乘客需求前提下，以最低成本进行订票及安排机场工作班次优化炼油程序及产品供应、配送及营销优化商业区和办公楼销售程序优化商业用户的电话销售中心选址安装统计销售预测和成品库存管理系统，改进客户服务进行
6、上千个国内航线的飞机优化配置来实现最大化利润重新设计北美生产和分销系统以降低成本并加快了市场进入速度制定最优铁路时刻表并调整铁路日运营量重组全球供应链，保持最小库存的同时满足客户需求11/1975第二部分12/19811-2/19861-2/19871-2/19871-2/19901-2/19931-2/19941-2/19971-2/19981-2/2000生产率提高50%以上380 万600 万7 000 万4 000 万4.06 亿，销售额大幅增加更优质的服务1 亿2 亿1 500 万，更多年收入第一年 7.5 亿9管理运筹学3运筹学在工商管理中的应用运筹学方法使用情况（美国，1983）
7、图 1-110管理运筹学3运筹学在工商管理中的应用运筹学方法使用情况（中国，1998）图 1-211管理运筹学4 学习管理运筹学必须使用相应的计算机软件，必须注重学以致用的原则学习运筹学要结合实际的应用，不要被一些概念、理论的困难吓倒。学习运筹学要把注意力放在“结合实际问题建立运筹学模型”和“解决问题的方案或模型的解”两头，中间的计算过程尽可能让计算机软件去完成。本书附有运筹学教学软件，使用方法简单。学生可以借助它来学好本课程。学习运筹学是为了应用，为了解决实际问题。12管理运筹学4 学习管理运筹学必须使用相应的计算机软件，必须注重学以致用的原则例如，有人要从北京去乌鲁木齐。在一百多年以前，我
8、们应该告诉他如何配备粮草、银两、衣物，如何选购马匹、马车，挑选马夫和保镖，如何根据天气、地理条件和社会诸因素来确定行车路线和行程，更重要的是如何在几个月的行程中处理吃穿住行，应付突发事件等问题；但是现在我们只需要告诉他如何去北京机场和出乌鲁木齐机场，其余的问题交给航空公司和机组人员就行了。完全没有必要为了一次旅行攻读空气动力学、喷气发动机设计和制造、飞行器驾驶手册等。13管理运筹学线性规划的图解法123问题的提出图解法图解法的灵敏度分析14管理运筹学线性规划的图解法一些典型的线性规划在管理上的应用合理利用线材问题：如何在保证生产的条件下，下料最少；配料问题：在原料供应量的限制下如何获取最大利润
9、；投资问题：从投资项目中选取方案，使投资回报最大；产品生产计划：合理利用人力、物力、财力等，使获利最大；劳动力安排：用最少的劳动力来满足工作的需要；运输问题：如何制定调运方案，使总运费最小。线性规划的组成目标函数：max f 或 min f；约束条件：s.t.(subject to)，满足于；决策变量：用符号来表示可控制的因素。15管理运筹学1问题的提出例 1.某工厂在计划期内要安排、两种产品的生产，生产单位产品所需的设备台时及 A、B 两种原材料的消耗以及资源的限制，如表 2-1 所示。表 2-1资源限制300 台时400 kg250 kg设备原料 A原料 B单位产品获利12050 元111
10、100 元问题：工厂应分别生产多少单位、产品才能使工厂获利最多？线性规划模型目标函数：max约束条件：s.t.z=50 x1+100 x2x1+x2 3002 x1+x2 400 x2 250 x1,x2 016管理运筹学1问题的提出建模过程（1）理解要解决的问题，明确在什么条件下，要追求什么目标。（2）定义决策变量（x1，x2，xn），每一组值表示一个方案。（3）用决策变量的线性函数形式写出目标函数，确定最大化或最小化目标。（4）用一组决策变量的等式或不等式表示解决问题过程中必须遵循的约束条件。一般形式目标函数：max（min）z=c1 x1+c2 x2+cn xn约束条件：s.t.a11
11、x1+a12 x2+a1n xn （=,）b1a21 x1+a22 x2+a2n xn （=,）b2am1 x1+am2 x2+amn xn（=,）bmx1，x2，xn 017管理运筹学2对于只包含两个决策变量的线性规划问题，可以在平面直角坐标系上作图表示线性规划问题的有关概念，并求解。下面通过例 1 详细介绍图解法的解题过程图 解 法例 1目标函数：maxz=50 x1+100 x2约束条件：s.t.（A）（B）（C）（D）（E）x1+x2 3002 x1+x2 400 x2 250 x1 0 x2 0得到最优解：x1=50，x2 =250最优目标值 z=27 500182图 解 法（1）分
12、别取决策变量 x1，x2 为坐标向量建立直角坐标系。在直角坐标系里，图上任意一点的坐标代表了决策变量的一组值，例 1 的每个约束条件都代表一个半平面（如图 2-1 所示）。图 2-1管理运筹学192图 解 法（2）对每个不等式（约束条件），先取其等式在坐标系中作直线，然后确定不等式所决定的半平面（如图 2-1 所示）。图 2-1管理运筹学202图 解 法（3）把五个图合并成一个图，取各约束条件的公共部分（如图 2-1（f）所示）。图 2-1管理运筹学212图 解 法（4）目标函数 z=50 x1+100 x2，当 z 取某一固定值时得到一条直线，直线上的每一点都具有相同的目标函数值，称之为“等
13、值线”。平行移动等值线，当移动到 B 点时，z 在可行域内实现了最大化。A、B、C、D、E是可行域的顶点，有限个约束条件其可行域的顶点也是有限的。图 2-2管理运筹学22管理运筹学2图 解 法线性规划的标准化内容之一引入松弛变量（资源的剩余量）例 1 中引入 s1，s2，s3，模型变化为：目标函数：max约束条件：s.t.z=50 x1+100 x2+0 s1+0 s2+0 s3x1+x2+s1=3002 x1+x2+s2=400 x2+s3=250 x1,x2,s1,s2,s3 0对于最优解 x1=50，x2=250，s1=0，s2=50，s3=0说明：生产 50 单位产品和 250 单位产
14、品将消耗完所有可能的设备台时数及原料 B，但原料 A 还剩余 50 千克。23管理运筹学2图 解 法重要结论如果线性规划有最优解，则一定有一个可行域的顶点对应一个最优解；无穷多个最优解。若将例 1 中的目标函数变为 max z=50 x1+50 x2，则线段 BC 上的所有点都代表了最优解；无界解。即可行域的范围延伸到无穷远，目标函数值可以无穷大或无穷小。一般来说，这说明模型有错，忽略了一些必要的约束条件；无可行解。若在例 1 的数学模型中再增加一个约束条件 4x1+3x21200，则可行域为空域，不存在满足约束条件的解，当然也就不存在最优解了。24管理运筹学2图 解 法无界解线性规划存在无界
15、解，即无最优解的情况。对下述线性规划问题：目标函数：max z=x1+x2；约束条件：x1-x2 1-3x1+2x2 6x10，x2 0252图 解 法无界解用图解法求解结果，如图 2-3 所示，可以看到，该问题可行域无界，目标函数值可以无穷大，成为无界解，即无最优解。图 2-3管理运筹学26管理运筹学2图 解 法进一步讨论例 2某公司由于生产需要，共需要 A，B 两种原料至少 350 吨（A，B 两种原料有一定替代性），其中原料 A 至少购进 125 吨。但由于 A，B两种原料的规格不同，各自所需的加工时间也是不同的，加工每吨原料 A需要 2 个小时，加工每吨原料 B 需要 1 小时，而公司
16、总共有 600 个加工小时。又知道每吨原料 A 的价格为 2 万元，每吨原料 B 的价格为 3 万元，试问在满足生产需要的前提下，在公司加工能力的范围内，如何购买 A，B 两种原料，使得购进成本最低？272图 解 法进一步讨论解：目标函数：minf=2x1+3 x2管理运筹学约束条件：x1+x2 350 x1 1252 x1+x2 600 x1,x2 0采用图解法，如图 2-4 所示，得 Q 点坐标（250，100）为最优解。图 2-428管理运筹学图解法的灵敏度分析3线性规划的标准化*一般形式目标函数：max（min）z=c1 x1+c2 x2+cn xn约束条件：s.t.a11 x1+a1
17、2 x2+a1n xn （=,）b1a21 x1+a22 x2+a2n xn （=,）b2am1 x1+am2 x2+amn xn（=,）bmx1，x2，xn 0*标准形式目标函数：max约束条件：s.t.z=c1 x1+c2 x2+cn xna11 x1+a12 x2+a1n xn=b1a21 x1+a22 x2+a2n xn=b2am1 x1+am2 x2+amn xn=bmx1，x2，xn 0，bi 029管理运筹学3图解法的灵敏度分析线性规划的标准形式有四个特点：目标最大化；约束为等式；决策变量均非负；右端项非负。对于各种非标准形式的线性规划问题，我们总可以通过变换，将其转化为标准形式
18、。30管理运筹学3图解法的灵敏度分析极小化目标函数的问题设目标函数为：min f=c1x1+c2x2+cnxn令 z=f，则该极小化问题与下面的极大化问题有相同的最优解，max z=c1x1 c2x2 cnxn但必须注意，尽管以上两个问题的最优解相同，但它们最优解的目标函数值却相差一个负号，即min f=max z31管理运筹学3图解法的灵敏度分析约束条件不是等式的问题设约束条件为ai1 x1+ai2 x2+ain xn bi，可以引进一个新的变量 s，使它等于约束右边与左边之差，s=bi(ai1 x1+ai2 x2+ain xn)显然，s 也具有非负约束，即 s0，这时新的约束条件成为ai1
19、 x1+ai2 x2+ain xn+s=bi32管理运筹学3图解法的灵敏度分析约束条件不是等式的问题当约束条件为ai1 x1+ai2 x2+ain xn bi时，类似地，令s=(ai1 x1+ai2 x2+ain xn)bi显然，s 也具有非负约束，即 s0，这时新的约束条件成为ai1 x1+ai2 x2+ain xn s=bi为了使约束由不等式成为等式而引进的变量 s，当不等式为“小于等于”时称为“松弛变量”；当不等式为“大于等于”时称为“剩余变量”。如果原问题中有若干个非等式约束，则将其转化为标准形式时，必须对各个约束引进不同的松弛变量或剩余变量。33管理运筹学3图解法的灵敏度分析右端项有
20、负值的问题在标准形式中，要求每一个右端项分量非负。当某一个右端项系数为负时，如 bi0，则把该等式约束两端同时乘以1，得到：ai1 x1 ai2 x2 ain xn=bi。34管理运筹学3图解法的灵敏度分析例 3将以下线性规划问题转化为标准形式。mins.t.f=2 x1 3x2+4 x33 x1+4x2 5 x3 62 x1+x3 8x1+x2+x3=9x1,x2,x3 0解：首先，将目标函数转换成极大化，令z=f=2x1+3x2 4x3其次，考虑约束，有两个不等式约束，引进松弛变量或剩余变量 x4，x5 0。第三个约束条件的右端值为负，在等式两边同时乘1。35管理运筹学3图解法的灵敏度分析
21、通过以上变换，可以得到以下标准形式的线性规划问题：maxz=2x1+3 x2 4x3s.t.3x1+4x25x3+x4=62x1+x3 x5=8x1 x2 x3=9x1,x2,x3,x4,x5 0注：变量无符号限制的问题在标准形式中，必须每一个变量均有非负约束。当某一个变量 xj 没有非负约束时，可以令 xj=xj-xj其中 xj 0，xj 0即用两个非负变量之差来表示一个无符号限制的变量，当然 xj 的符号取决于 xj和 xj的大小。36管理运筹学3图解法的灵敏度分析灵敏度分析：在建立数学模型和求得最优解之后，研究线性规划的一个或多个参数（系数）ci,aij,bj 变化时，对最优解产生的影响
22、。一、目标函数中的系数 ci 的灵敏度分析考虑例 1 的情况，ci 的变化只影响目标函数等值线的斜率，目标函数z=50 x1+100 x2在 z=x2（x2=z 斜率为 0）到 z=x1+x2（x2=x1+z 斜率为1）之间时，原最优解 x1=50，x2=100 仍是最优解。一般情况：z=c1 x1+c2 x2写成斜截式x2=(c1/c2)x1+z/c2目标函数等值线的斜率为(c1/c2)，当-1 -(c1/c2)0（*）时，原最优解仍是最优解。37管理运筹学3图解法的灵敏度分析假设产品的利润 100 元不变，即 c2=100，代到式（*）并整理得0 c1 100假设产品的利润 50 元不变，
23、即 c1=50，代到式（*）并整理得50 c2假若产品、的利润均改变，则可直接用式（*）来判断。假设产品、的利润分别为 60 元、55 元，则2 (60/55)1那么，最优解为 z=x1+x2 和 z=2 x1+x2 的交点 x1=100，x2=200。38管理运筹学3图解法的灵敏度分析二、约束条件中常数项 bj 的灵敏度分析当约束条件中常数项 bj 变化时，线性规划的可行域发生变化，可能引起最优解的变化。考虑例 1 的情况：假设设备台时增加 10 个台时，即 b1 变化为 310，这时可行域扩大，最优解为 x2=250 和 x1+x2=310 的交点 x1=60，x2=250。变化后的总利润
24、 变化前的总利润=增加的利润(50 60+100 250)(50 50+100 250)=500，500/10=50（元）说明在一定范围内每增加（或减少）1 个台时的设备能力就可增加（或减少）50 元利润，这称为该约束条件的对偶价格。39管理运筹学3图解法的灵敏度分析假设原料 A 增加 10 千克，即 b2 变化为 410，这时可行域扩大，但最优解仍为 x2=250 和 x1+x2=300 的交点 x1=50，x2=250。此变化对总利润无影响，该约束条件的对偶价格为 0。解释：原最优解没有把原料 A 用尽，有 50 千克的剩余，因此增加 10千克只增加了库存，而不会增加利润。在一定范围内，当
25、约束条件中常数项增加 1 个单位时，（1）若约束条件的对偶价格大于 0，则其最优目标函数值得到改善（变好）；（2）若约束条件的对偶价格小于 0，则其最优目标函数值受到影响（变坏）；（3）若约束条件的对偶价格等于 0，则其最优目标函数值不变。40管理运筹学线性规划问题的计算机求解12“管理运筹学”软件的操作方法“管理运筹学”软件的输出信息分析41管理运筹学线性规划问题的计算机求解随书软件为“管理运筹学”2.5 版（Windows 版），是“管理运筹学”2.0 版（Windows 版）的升级版。它包括：线性规划、运输问题、整数规划（0-1 整数规划、纯整数规划和混合整数规划）、目标规划、对策论、最
26、短路径、最小生成树、最大流量、最小费用最大流、关键路径、存储论、排队论、决策分析、预测问题和层次分析法，共 15 个子模块。42管理运筹学1“管理运筹学”软件的操作方法软件使用演示：（演示例 1）第一步：点击“开始”“程序”“管理运筹学 2.5”，弹出主窗口，如图 3-1 所示。图 3-1例 1.目标函数：max z=50 x1+100 x2约束条件：s.t.x1+x2 3002x1+x2400 x2250 x10 x20（A）（B）（C）（D）（E）43管理运筹学1“管理运筹学”软件的操作方法第二步：选择所需子模块，点击主窗口中的相应按钮。本题中选用“线性规划”方法，点击按钮弹出如图 3-2
27、 所示界面：图 3-244管理运筹学1“管理运筹学”软件的操作方法第三步：点击“新建”按钮，输入数据。本题中共有 2 个变量、3 个约束条件、目标函数取 MAX。点击“确定”后，在表中输入 Cj,bi 和 aij 等值，并确定变量的正负约束。输入数值后的界面如图 3-3 所示。在输入中要注意以下两点：输入的系数可以是整数、小数，但不能是分数，要把分数先化为小数再输入；输入前先要合并同类项。图 3-345管理运筹学1“管理运筹学”软件的操作方法第四步：点击“解决”按钮，得出计算过程。计算过程界面输出如图 3-4 所示。图 3-446管理运筹学1“管理运筹学”软件的操作方法第五步：关闭计算过程界面
28、，得出输出结果。本题的运行结果界面如图 3-5 所示。图 3-5在“管理运筹学”2.5 版软件中，线性规划问题的结果输出部分增加了线性规划的逐步运算过程，将使读者更容易掌握线性规划计算的全过程，为方便软件计算，本线性规划使用了大 M 法以及数值分析方法。47管理运筹学2“管理运筹学”软件的输出信息分析分析软件输出的信息上题中目标函数的最优值是 27 500，x1=50,x2=250。相差值表示相应的决策变量的目标系数需要改进的数量，使得决策变量为正值，当决策变量已为正数时，相差数为零。松弛/剩余变量的数值表示还有多少资源没有被使用。如果为零，则表示与之相对应的资源已经全部使用。对偶价格表示其对
29、应的资源每增加一个单位，将增加多少个单位的最优值。目标函数系数范围表示最优解不变的情况下，目标函数的决策变量系数的变化范围。当前值是指当前的最优解中的系数取值。常数项范围是指约束条件的右端常量。上限值和下限值是指当约束条件的右端常量在此范围内变化时，与其对应的约束条件的对偶价格不变。当前值是指现在的取值。以上计算机输出的目标函数系数和约束条件右端值的灵敏度分析都是在其他系数值不变，只有一个系数变化的基础上得出的。48管理运筹学2“管理运筹学”软件的输出信息分析当有多个系数变化时，需要进一步讨论。百分之一百法则：对于所有变化的目标函数决策系数（约束条件右端常数值），当其所有允许增加的百分比与允许
30、减少的百分比之和不超过100%时，最优解不变（对偶价格不变，最优解仍是原来几个线性方程的解）。*允许增加量=上限-现在值c1 的允许增加量为 100-50=50b1 的允许增加量为 325-300=25允许减少量=现在值-下限c2 的允许减少量为 100-50=50b3 的允许减少量为 250-200=50允许增加的百分比=增加量/允许增加量允许减少的百分比=减少量/允许减少量49管理运筹学2“管理运筹学”软件的输出信息分析例如：c1 变为 74，c2 变为 78，则（74-50）/50+（100-78）/50=92%，故最优解不变。b1 变为 315，b3 变为 240，则（315-300）
31、/25+（250-240）/50=80%，故对偶价格不变（最优解仍是原来几个线性方程的解）。在使用百分之一百法则进行灵敏度分析时，要注意以下几方面。（1）当允许增加量（允许减少量）为无穷大时，则对任意增加量（减少量），其允许增加（减少）百分比均看作零。（2）百分之一百法则是充分条件，但非必要条件；也就是说超过 100%，最优解或对偶价格并不一定变化。（3）百分之一百法则不能用于目标函数决策变量系数和约束条件右边常数值同时变化的情况。这种情况下，只能重新求解。50管理运筹学2“管理运筹学”软件的输出信息分析下面用“管理运筹学”软件来分析第二章的例 2，其数学模型如下。目标函数：f=2x1+3 x
32、2min约束条件：s.t.x1+x12 x1+x1,x2 350 125x2 600 x2 0图 3-6从图 3-6 可知，当购进原料 A 250 t，原料 B 100 t 时，购进成本最低，为 800 万元。51管理运筹学2“管理运筹学”软件的输出信息分析在松弛/剩余变量栏中，约束条件 2 的值为 125，它表示对原料 A 的最低需求，即对 A 的剩余变量值为 125；同理可知约束条件 1 的剩余变量值为 0；约束条件 3 的松弛变量值为 0。在对偶价格栏中，约束条件 3 的对偶价格为 1 万元，也就是说如果把加工时数从 600 小时增加到 601 小时，则总成本将得到改进，由 800万元减
33、少到 799 万元。也可知约束条件 1 的对偶条件为-4 万元，也就是说如果把购进原料 A 和 B 的总量下限从 350t 增加到 351t，那么总成本将增加，由 800 万元增加到 804 万元。当然如果减少对原料 A和 B 的总量的下限，那么总成本将得到改进。在常数项范围一栏中，知道当约束条件 1 的常数项在 300 到 475 范围内变化，且其他约束条件不变时，约束条件 1 的对偶价格不变，仍为-4；当约束条件 2 的常数项在负无穷到 250 范围内变化，且其他约束条件的常数项不变时，约束条件 2 的对偶价格不变，仍为 0；当约束条件 3 的常数项在 475 到 700 范围内变化，且其
34、他约束条件的常数项不变时，约束条件 3 的对偶价格不变，仍为 1。52管理运筹学“2“管理运筹学”软件的输出信息分析注意（1）当约束条件中的常数项增加一个单位时，最优目标函数值增加的数量称为影子价格。在求目标函数最大值时，当约束条件中的常数项增加一个单位时，目标函数值增加的数量就为改进的数量，此时影子价格等于对偶价格；在求目标函数最小值时，改进的数量就是减少的数量，此时影子价格即为负的对偶价格。（2）管理运筹学”软件可以解决含有 100 个变量 50 个约束方程的线性规划问题，可以解决工商管理中大量的问题。如果想要解决更大的线性规划问题，可以使用由芝加哥大学的 L.E.Schrage 开发的
35、LINDO 计算机软件包的微型计算机版本 LINDO/PC。53管理运筹学线性规划在工商管理中的应用12345人力资源分配的问题生产计划的问题套裁下料问题配料问题投资问题54管理运筹学1人力资源分配的问题例 1某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务人员数如表 4-1 所示。表 4-1班次时间所 需 人 数1234566：00 10：0010：00 14：0014：00 18：0018：00 22：0022：00 2：002：00 6：00607060502030设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班，并连续工作 8h，问该公交线路怎样安排司机和乘务人员，既能满足工作需要，又使配备
36、最少司机和乘务人员的人数最少？55管理运筹学1人力资源分配的问题解：设 xi 表示第 i 班次时开始上班的司机和乘务人员数，这样我们建立如下的数学模型。目标函数：min x1+x2+x3+x4+x5+x6约束条件：s.t.x1+x6 60 x1+x2 70 x2+x3 60 x3+x4 50 x4+x5 20 x5+x6 30 x1，x2，x3，x4，x5，x60*最优解：x1=50，x2=20，x3=50，x4=0，x5=20，x6=10*一共需要司机和乘务人员 150 人。56管理运筹学1人力资源分配的问题例 2一家中型的百货商场对售货员的需求经过统计分析如表 4-2 所示。为了保证售货员
37、充分休息，要求售货员每周工作五天，休息两天，并要求休息的两天是连续的。问应该如何安排售货员的休息日期，既满足工作需要，又使配备的售货员的人数最少？表 4-2时间所需售货员人数星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日1524251931282857管理运筹学1人力资源分配的问题解：设 xi(i=1，2，7)表示星期一至星期日开始休息的人数,这样我们建立如下的数学模型。目标函数：minx1 +x2 +x3 +x4 +x5 +x6 +x7约束条件：s.t.x1 +x2 +x3 +x4 +x5 28x2 +x3 +x4 +x5 +x6 15x3 +x4 +x5 +x6 +x7 24x4 +x5 +x
38、6 +x7 +x1 25x5 +x6 +x7 +x1 +x2 19x6 +x7 +x1 +x2 +x3 31x7 +x1 +x2 +x3 +x4 28x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7 0*最优解：x1=12，x2=0，x3=11，x4=5，x5=0，x6=8，x7=0*我们可以配备 36 个售货员，使目标函数最小。58管理运筹学1人力资源分配的问题往往一些服务行业的企业对人力资源的需求一周内像例 4-2所描述的那样变化，而每天的各时间段的需求又往往像例 4-1 描述的那样变化，在保证工作人员每天工作 8 h，每周休息两天的情况下，如何安排能使人员的编制最小呢？59管理运筹学2生产计划的
39、问题例 3某公司面临一个是外包协作还是自行生产的问题。该公司生产甲、乙、丙三种产品，这三种产品都需要经过铸造、机加工和装配三道工序。甲、乙两种产品的铸件可以外包协作，亦可以自行生产，但产品丙必须本厂铸造才能保证质量。数据如表 4-3 所示。问：公司为了获得最大利润，甲、乙、丙三种产品各生产多少件？甲、乙两种产品的铸造中，由本公司铸造和外包协作各应多少件？表 4-3甲乙丙资 源 限 制8 00012 00010 000铸造工时（小时/件）机械加工工时（小时/件）装配工时（小时/件）自产铸件成本（元/件）外协铸件成本（元/件）机械加工成本（元/件）装配成本（元/件）产品售价（元/件）5633523
40、2310425612187824-321660管理运筹学2生产计划的问题解：设 x1，x2，x3 分别为三道工序都由本公司加工的甲、乙、丙三种产品的件数，x4,x5 分别为由外包协作铸造再由本公司进行机械加工和装配的甲、乙两种产品的件数。每件产品的利润如下：产品甲全部自制的利润产品甲铸造外协，其余自制的利润产品乙全部自制的利润产品乙铸造外协，其余自制的利润产品丙的利润=23-(3+2+3)=15 元=23-(5+2+3)=13 元=18-(5+1+2)=10 元=18-(6+1+2)=9 元=16-(4+3+2)=7 元可得到 xi （i=1,2,3,4,5）的利润分别为 15 元、10 元、
41、7 元、13 元、9 元。61管理运筹学2生产计划的问题通过以上分析,可建立如下的数学模型。目标函数：max15x1 +10 x2 +7x3 +13x4 +9x5约束条件：s.t.5x1 +10 x2 +7x3 8 0006x1 +3x1 +4x2 +8x3 +2x2 +2x3 +6x4 +4x5 12 0003x4 +2x5 10 000 x1,x2,x3,x4,x5 0*该公司的最大利润为 29 400 元*最优的生产计划为全部由自己生产的产品甲 1 600 件，铸造工序外包而其余工序自行生产的产品乙 600 件。62管理运筹学2生产计划的问题例 4永久机械厂生产、三种产品，均要经过 A、
42、B 两道工序加工。设有两种规格的设备 A1、A2 能完成 A 工序；有三种规格的设备 B1、B2、B3 能完成 B 工序。产品可在 A、B 的任何规格的设备上加工；产品可在工序 A 的任何一种规格的设备上加工，但对 B 工序，只能在 B1 设备上加工；产品只能在 A2 与 B2 设备上加工。数据如表 4-4 所示。问：为使该厂获得最大利润，应如何制定产品加工方案？表 4-4设备A1A257产品单件工时10912设备的有效台时6 00010 000满负荷时的设备费用3003214 0007 0004 000250783200B1B2B3原料（元/件）售价（元/件）6470.251.2580.35
43、2.00110.502.8063管理运筹学2生产计划的问题解：设 xijk 表示第 i 种产品，在第 j 种工序上的第 k 种设备上加工的数量。建立如下的数学模型。s.t.5x111 +10 x211 6 000（设备 A1）9x212 +12x3128x221+11x3227x112 +6x121 +4x1227x123 10 000 4 000 7 000 4 000（设备 A2）（设备 B1）（设备 B2）（设备 B3）x111+x112-x121-x122-x123=0（产品在 A、B 工序加工的数量相等）x211+x212-x221=0（产品在 A、B 工序加工的数量相等）x312-
44、x322=0（产品在 A、B 工序加工的数量相等）xijk 0,i=1，2，3；j=1，2；k=1，2，364管理运筹学2生产计划的问题目标函数为计算利润最大化，利润的计算公式为：利润=（销售单价 原料单价）产品件数之和（每台时的设备费用 设备实际使用的总台时数）之和。这样得到目标函数：max(1.250.25)(x111+x112)+(20.35)(x211+x212)+(2.800.5)x312 300/6 000(5x111+10 x211)-321/10 000(7x112+9x212+12x312)-250/4 000(6x121+8x221)-783/7 000(4x122+11x
45、322)-200/4 000(7x123).经整理可得：max0.75x111+0.775 3x112+1.15x211+1.361 1x212+1.914 8x312-0.375x121-0.5x221-0.447 4x122-1.230 4x322-0.35x123*该厂的最大利润为 1 146.600 5 元。653套裁下料问题例 5.某工厂要做 100 套钢架，每套用长为 2.9 m，2.1 m，1.5 m 的圆钢各一根。已知原料每根长 7.4 m，问：应如何下料，可使所用原料最省？解：共可设计下列 8 种下料方案，如表 4-5 所示。表 4-52.92.11.5合计/m料头/m103
46、7.402017.30.10227.20.21207.10.30136.60.81116.50.90306.31.100461.4设 x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8 分别为上面 8 种方案下料的原材料根数。这样我们建立如下的数学模型。目标函数：minx1 +x2 +x3 +x4+x5 +x6 +x7 +x8约束条件：s.t.x1 +2x2+x4+x6 1002x3+2x4 +x5 +x6+3x7 1003x1+x2 +2x3+3x4+x6+4x8 100 x1,管x2,理运x3,筹x4,x5,学x6,x7,x8 066管理运筹学3套裁下料问题用管理运筹学软件计算得出最优下料方案
47、：按方案 1 下料 30 根；按方案 2 下料 10 根；按方案 4 下料 50 根。即x1=30;x2=10；x3=0；x4=50；x5=0；x6=x7=x8=0只需 90 根原材料就可制造出 100 套钢架。注意：在建立此类型数学模型时，约束条件用大于等于号比用等于号要好。因为有时在套用一些下料方案时可能会多出一根某种规格的圆钢，但它可能是最优方案。如果用等于号，这一方案就不是可行解了。67管理运筹学3套裁下料问题若可能的下料方案太多，可以先设计出较好的几个下料方案。首先要求每个方案下料后的料头较短；其次方案总体能裁下所有各种规格的圆钢，且不同方案有着不同的各种所需圆钢的比。这样套裁即使不
48、是最优解，也是次优解，也能满足要求并达到省料目的。如我们用前 5 种下料方案供套裁用，进行建模求解，也可得到上述最优解。68管理运筹学3套裁下料问题像例 5 那样在一个给定长度的原料上裁出不同长度的产品，是一个线裁问题；如果在一个一给定形状的面积上，裁出不同形状的产品，这是一个面裁问题，当然类似地还有体裁问题。例 5 告诉我们用套裁下料的方法解决线裁优化的问题，是否可以推广到面裁、体裁呢。答案是肯定的，我们只要像例 5 那样，设计出一些较好的下料方案，然后用类似的线性规划模型，即可解决这些问题。69管理运筹学4例 6某工厂要用三种原料配 料 问 题表 4-61、2、3 混合调配出三种不同规格的
49、产品甲、乙、丙，数据如表4-6 和表 4-7 所示。问：该厂应如何安排生产，使利润最大？解：设 xij 表示第 i 种（甲、乙、丙）产品中原料 j 的含量。这样我们建立数学模型时，要考虑：表 4-7对于甲：x11，x12，x13；对于乙：x21，x22，x23；对于丙：x31，x32，x33；对于原料 1：x11，x21，x31；对于原料 2：x12，x22，x32；对于原料 3：x13，x23，x33；目标函数：利润最大，利润=收入 原料支出约束条件：规格要求 4 个；供应量限制 3 个。产品名称甲乙丙规格要求原材料 1 不少于 50%，原材料 2 不超过 25%原材料 1 不少于 25%，
50、原材料 2 不超过 50%不限单价（元/kg）503525原材料名称 每天最多供应量1 1002 1003 60单价（元/kg）65253570管理运筹学4配 料 问 题利润=总收入-总成本=甲、乙、丙三种产品的销售单价 产品数量甲、乙、丙使用的原料单价 原料数量。故有：目标函数：max50（x11+x12+x13）+35（x21+x22+x23）+25（x31+x32+x33）65（x11+x21+x31）25（x12+x22+x32）35（x13+x23+x33）=15x11+25x12+15x1330 x21+10 x2240 x3110 x33约束条件：从表 4-6 中可知x110.5
