1、2022年上海市春季高考数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第712题每题5分）1已知（其中为虚数单位），则2已知集合，集合，则3不等式的解集为 4若，则5设函数的反函数为，则6在的展开式中，则含项的系数为 7若关于，的方程组有无穷多解，则实数的值为 8已知在中，则的外接圆半径为 9用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数，则这些四位数中比2134大的数字个数为 （用数字作答）10在中，点为边的中点，点在边上，则的最小值为 11已知，两点均在双曲线的右支上，若恒成立，则实数的取值范围为 12已知函数为定义域为的奇函数，其图像关于对称，且当，时，若将方程的正实
2、数根从小到大依次记为，则二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13下列函数定义域为的是ABCD14若，则下列不等式恒成立的是ABCD15上海海关大楼的顶部为逐级收拢的四面钟楼，如图，四个大钟分布在四棱柱的四个侧面，则每天0点至12点（包含0点，不含12点）相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为A0B2C4D1216已知等比数列的前项和为，前项积为，则下列选项判断正确的是A若，则数列是递增数列B若，则数列是递增数列C若数列是递增数列，则D若数列是递增数列，则三、简答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题
3、必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17（14分）如图，圆柱下底面与上底面的圆心分别为、，为圆柱的母线，底面半径长为1（1）若，为的中点，求直线与上底面所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）（2）若圆柱过的截面为正方形，求圆柱的体积与侧面积18（14分）已知在数列中，其前项和为（1）若是等比数列，求；（2）若是等差数列，求其公差的取值范围19（14分）为有效塑造城市景观、提升城市环境品质，上海市正在努力推进新一轮架空线入地工程的建设如图是一处要架空线入地的矩形地块，为保护处的一棵古树，有关部门划定了以为圆心、为半径的四分之一圆的地块为历史古迹封闭区若空线入线口为边上的点，出线口为边上的点，
4、施工要求与封闭区边界相切，右侧的四边形地块将作为绿地保护生态区（计算长度精确到，计算面积精确到（1）若，求的长；（2）当入线口在上的什么位置时，生态区的面积最大？最大面积是多少？20（16分）已知椭圆，、两点分别为的左顶点、下顶点，、两点均在直线上，且在第一象限（1）设是椭圆的右焦点，且，求的标准方程；（2）若、两点纵坐标分别为2、1，请判断直线与直线的交点是否在椭圆上，并说明理由；（3）设直线、分别交椭圆于点、点，若、关于原点对称，求的最小值21（18分）已知函数的定义域为，现有两种对变换的操作：变换：；变换：，其中为大于0的常数（1）设，为做变换后的结果，解方程：；（2）设，为做变换后的结
5、果，解不等式：；（3）设在上单调递增，先做变换后得到，再做变换后得到；先做变换后得到，再做变换后得到若恒成立，证明：函数在上单调递增2022年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第712题每题5分）1已知（其中为虚数单位），则【思路分析】根据已知条件，结合共轭复数的概念，即可求解【解析】，故答案为：【试题评价】本题主要考查共轭复数的概念，属于基础题2已知集合，集合，则【思路分析】利用交集定义直接求解【解析】集合，集合，故答案为：【试题评价】本题考查集合的运算，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题3不等式的解集为 【思
6、路分析】把分式不等式转化为二次不等式即可直接求解【解析】由题意得，解得，故不等式的解集故答案为：【试题评价】本题主要考查了分式不等式的求解，属于基础题4若，则【思路分析】由两角和的正切公式直接求解即可【解析】若，则故答案为：【试题评价】本题主要考查两角和的正切公式，考查运算求解能力，属于基础题5设函数的反函数为，则3【思路分析】直接利用反函数的定义求出函数的关系式，进一步求出函数的值【解析】函数的反函数为，整理得；所以故答案为：3【试题评价】本题考查的知识要点：反函数的定义和性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题6在的展开式中，则含项的系数为 66【思路分析】求出展开式的通项公
7、式，令的次数为，求出的值即可【解析】展开式的通项公式为，由，得，得，即，即含项的系数为66，故答案为：66【试题评价】本题主要考查二项式定理的应用，根据条件求出通项公式，利用的次数建立方程是解决本题的关键，是基础题7若关于，的方程组有无穷多解，则实数的值为 4【思路分析】根据题意，分析可得直线和平行，由此求出的值，即可得答案【解析】根据题意，若关于，的方程组有无穷多解，则直线和重合，则有，即，解可得，当时，两直线重合，方程组有无数组解，符合题意，当时，两直线平行，方程组无解，不符合题意，故故答案为：4【试题评价】本题考查直线与方程的关系，注意转化为直线与直线的关系，属于基础题8已知在中，则的外
8、接圆半径为 【思路分析】直接利用正弦定理余弦定理的应用求出结果【解析】在中，利用余弦定理，整理得，所以，解得故答案为：【试题评价】本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题9用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数，则这些四位数中比2134大的数字个数为 17（用数字作答）【思路分析】根据题意，按四位数的千位数字分2种情况讨论，由加法原理计算可得答案【解析】根据题意，用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数，当其千位数字为3或4时，有种情况，即有12个符合题意的四位数，当其千位数字为2时，有6种情况，其中最小的为2134，则有个比2134大
9、的四位数，故有个比2134大的四位数，故答案为：17【试题评价】本题考查排列组合的应用，注意分类计数原理的应用，属于基础题10在中，点为边的中点，点在边上，则的最小值为 【思路分析】建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算求出，再利用二次函数求最值即可【解析】建立平面直角坐标系如下，则，直线的方程为，即，点在直线上，设，的最小值为故答案为：【试题评价】本题考查了数量积的坐标运算，考查了二次函数求最值，属于中档题11已知，两点均在双曲线的右支上，若恒成立，则实数的取值范围为 ，【思路分析】取的对称点，结合，可得，然后可得渐近线夹角，代入渐近线斜率计算即可求得【解析】设的对称点，仍在双曲线右支，由
10、，得，即恒成立，恒为锐角，即，其中一条渐近线的斜率，所以实数的取值范围为，故答案为：，【试题评价】本题考查了双曲线的性质，是中档题12已知函数为定义域为的奇函数，其图像关于对称，且当，时，若将方程的正实数根从小到大依次记为，则2【思路分析】是周期为4的周期函数，作出图象，的几何意义是两条渐近线之间的距离，由此能求出结果【解析】函数为定义域为的奇函数，其图像关于对称，且当，时，是周期为4的周期函数，图象如图：将方程的正实数根从小到大依次记为，则的几何意义是两条渐近线之间的距离2，故答案为：2【试题评价】本题考查极限的求法，考查函数的周期性、函数图象、极限的几何意义等基础知识，考查运算求解能力，是
11、中档题二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13下列函数定义域为的是ABCD【思路分析】化分数指数幂为根式，分别求出四个选项中函数的定义域得答案【解析】，定义域为，定义域为，定义域为，定义域为定义域为的是故选：【试题评价】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题14若，则下列不等式恒成立的是ABCD【思路分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解【解析】对于，令，满足，但，故错误，对于，即，由不等式的可加性可得，故正确，对于，令，满足，但，故错误，对于，令，满足，但，故错误故选：【试题评
12、价】本题主要考查了不等式的性质，掌握特殊值法是解本题的关键，属于基础题15上海海关大楼的顶部为逐级收拢的四面钟楼，如图，四个大钟分布在四棱柱的四个侧面，则每天0点至12点（包含0点，不含12点）相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为A0B2C4D12【思路分析】3点时和9点时相邻两钟面上的时针相互垂直【解析】3点时和9点时相邻两钟面上的时针相互垂直，每天0点至12点（包含0点，不含12点），相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为2，故选：【试题评价】本题考查两条异面直线垂直的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查推理论证能力，是中档题16已知等比数列的前项和为，前项积为，则下列选项判断正确
13、的是A若，则数列是递增数列B若，则数列是递增数列C若数列是递增数列，则D若数列是递增数列，则【思路分析】反例判断；反例判断；构造等比数列，结合等比数列的性质判断；推出数列公比以及数列项的范围，即可判断【解析】如果数列，公比为，满足，但是数列不是递增数列，所以不正确；如果数列，公比为，满足，但是数列不是递增数列，所以不正确；如果数列，公比为，数列是递增数列，但是，所以不正确；数列是递增数列，可知，可得，所以，可得正确，所以正确；故选：【试题评价】本题考查数列的应用，等比数列的性质的应用，是中档题三、简答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17（14分
14、）如图，圆柱下底面与上底面的圆心分别为、，为圆柱的母线，底面半径长为1（1）若，为的中点，求直线与上底面所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）（2）若圆柱过的截面为正方形，求圆柱的体积与侧面积【思路分析】（1）转化为解直角三角形问题求解；（2）用圆柱体积和侧面积公式求解【解析】（1）因为为圆柱的母线，所以垂直于上底面，所以是直线与上底面所成角，所以（2）因为圆柱过的截面为正方形，所以，所以圆柱的体积为，圆柱的侧面积为【试题评价】本题考查了直线与平面成角问题，考查了圆柱的体积与侧面积计算问题，属于中档题18（14分）已知在数列中，其前项和为（1）若是等比数列，求；（2）若是等差数列，求其公差的
15、取值范围【思路分析】（1）由已知求得等比数列的公比，再求出前项和，求极限得答案；（2）求出等差数列的前项和，代入，对分类分析得答案【解析】（1）在等比数列中，则，公比，则，；（2）若是等差数列，则，即，当时，；当时，恒成立，综上所述，【试题评价】本题考查等差数列与等比数列前项和，考查数列极限的求法，考查数列的函数特性及应用，是中档题19（14分）为有效塑造城市景观、提升城市环境品质，上海市正在努力推进新一轮架空线入地工程的建设如图是一处要架空线入地的矩形地块，为保护处的一棵古树，有关部门划定了以为圆心、为半径的四分之一圆的地块为历史古迹封闭区若空线入线口为边上的点，出线口为边上的点，施工要求与
16、封闭区边界相切，右侧的四边形地块将作为绿地保护生态区（计算长度精确到，计算面积精确到（1）若，求的长；（2）当入线口在上的什么位置时，生态区的面积最大？最大面积是多少？【思路分析】（1）作，然后结合锐角三角函数定义表示出，（2）设，结合锐角三角函数定义可表示，然后表示出面积，结合同角基本关系进行化简，再由基本不等式可求【解析】（1）作，垂足为，则；（2）设，则，当且仅当，即时取等号，此时，最大面积为【试题评价】本题主要考查了利用基本不等式在求解最值中的应用，解题的关键是由实际问题抽象出数学问题，属于中档题20（16分）已知椭圆，、两点分别为的左顶点、下顶点，、两点均在直线上，且在第一象限（1）
17、设是椭圆的右焦点，且，求的标准方程；（2）若、两点纵坐标分别为2、1，请判断直线与直线的交点是否在椭圆上，并说明理由；（3）设直线、分别交椭圆于点、点，若、关于原点对称，求的最小值【思路分析】（1）根据条件可得，解出，利用，求得，即可求得答案；（2）分别表示出此时直线、直线的方程，求出其交点，验证即可；（3）设，表示出直线、直线方程，解出、坐标，表示出，再利用基本不等式即可求出答案【解析】（1）由题可得，因为，所以，解得，所以，故的标准方程为；（2）直线与直线的交点在椭圆上，由题可得此时，则直线，直线，交点为，满足，故直线与直线的交点在椭圆上；（3），则直线，所以，则直线，所以，所以，设，则，
18、因为，所以，则，即的最小值为6【试题评价】本题考查直线与椭圆的综合，涉及椭圆方程的求解，直线交点求解，基本不等式的应用，属于中档题21（18分）已知函数的定义域为，现有两种对变换的操作：变换：；变换：，其中为大于0的常数（1）设，为做变换后的结果，解方程：；（2）设，为做变换后的结果，解不等式：；（3）设在上单调递增，先做变换后得到，再做变换后得到；先做变换后得到，再做变换后得到若恒成立，证明：函数在上单调递增【思路分析】（1）推导出，由此能求出（2）推导出，当时，恒成立；当时，由此能求出的解集（3）先求出，从而，先求出，从而，由，得，再由在上单调递增，能证明函数在上单调递增【解析】（1），为做变换后的结果，解得（2），为做变换后的结果，当时，恒成立；当时，解得，或，综上，不等式：的解集为，（3）证明：先做变换后得到，再做变换后得到，先做变换后得到，再做变换后得到，在上单调递增，函数在上单调递增【试题评价】本题考查方程、不等式的解的求法，考查函数是增函数的证明，考查函数变换的性质、抽象函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题第13页（共13页）
