1、学考模拟卷(三)(时间:80分钟满分:100分)一、选择题(本大题共18小题,每小题3分,共54分.每小题列出的四个备选项中只有一个符合题目要求,不选、多选、错选均不给分)1.若集合A=2,3,4,5,6,B=x|3x0的解集是()A.xx12B.xx12C.x-2x12D.x|x-23.已知向量a=(2,1),b=(-2,x),若ab,则x=()A.1B.-1C.4D.-44.设a=log0.50.8,b=log1.10.8,c=1.10.8,则()A.bacB.bcaC.abcD.ac1b,则下列不等式成立的是()A.a-11-bB.a-b1C.a2b2D.2a-1b11.函数f(x)=A
2、sin(x+)(A0,0)的图象如图所示,则f(9)=()A.-1B.1C.-3D.312.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线AD1与平面BB1D1D所成角的大小是()A.30B.45C.60D.9013.cos 76sin 59-cos 121sin 104=()A.-22B.22C.-12D.1214.若sin =3(1-cos )(2k,kZ),则tan2=()A.12B.13C.2D.315.若l,m表示直线,表示平面,则下列说法中正确的是()A.如果l与内的无数条直线垂直,那么lB.如果l,m,那么lmC.如果lm,l,那么mD.如果l,m,那么lm16.已知函数f(x)=x
3、2+e|x|,若f(a)f(-2),则实数a的取值范围是()A.(-2,2)B.(-1,2)C.(-2,1)D.(-1,1)17.在ABC中,AB=3,AC=2,若ACBC=1,则|BC|=()A.3B.6C.7D.2218.若函数f(x)=x|ax-1|-x2有三个零点,则实数a的取值范围是()A.(-,-1)(1,+)B.(-1,0)(0,1)C.(-,-1)D.(1,+)二、填空题(本大题共4小题,每空3分,共15分)19.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且图象关于直线x=2对称,当x0,2时,f(x)=2x2,f(x)是周期为的周期函数,且f(7)=.20.已知正实数a,b满足2
4、a+b=3,则2a2+1a+b2-2b+2的最小值是.21.为了解某项基本功大赛的初赛情况,一评价机构随机抽取40名选手的初赛成绩(满分100分),作出如图所示的频率分布直方图,根据频率分布直方图估计初赛的平均分为.22.已知ABC是边长为2的等边三角形,BD=DC,AE=12EC,且AD与BE相交于点O,则OAOB=.三、解答题(本大题共3小题,共31分)23.(本小题满分10分)ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,面积为S.设S=34(a2+c2-b2).(1)求角B的大小;(2)设b=3,求2a-c的取值范围.24.(本小题满分10分)如图,已知四棱锥P-ABCD的底面是菱形
5、,AC交BD于点O,PO平面ABC,E为AD的中点,点F在PA上,AP=3AF.(1)证明:PC平面BEF;(2)若AB=2,ADB=BPD=60,求三棱锥A-EFB的体积.25.(本小题满分11分)已知函数f(x)=x2-1,g(x)=a|x-1|.(1)若关于x的方程|f(x)|=g(x)只有一个实数解,求实数a的取值范围;(2)若当xR时,不等式f(x)g(x)恒成立,求实数a的取值范围学考模拟卷(三)1.D解析 因为A=2,3,4,5,6,B=x|3x0,可得x12,所以不等式的解集为xx12.故选A.3.B解析 因为向量a=(2,1),b=(-2,x),且ab,所以2x+2=0,解得
6、x=-1.故选B.4.A解析 因为0=log0.51a=log0.50.8log0.50.5=1,b=log1.10.81.10=1,所以ba1-b不成立,故A错误;当a=32,b=12时,a-b1不成立,故B错误;当a=2,b=-3时,a2b2不成立,故C错误;因为a1b,所以2a2=1+1,而1b,所以2a1+b,即2a-1b,故D正确.故选D.11.D解析 由图象可知,A=2,T2=113-53=2,T=4,=2T=2.当x=53时,x+=253+=+2k,kZ,解得=6+2k,kZ,故f(x)=2sin2x+6,故f(9)=2sin92+6=2sin2+6=2sin23=3.故选D.1
7、2.A解析 通过证明AO平面BB1D1D可得AD1O是直线AD1与平面BB1D1D所成的角,在直角三角形中计算可得结果.如图,连接AC,BD交于点O,连接OD1,因为BB1平面ABCD,所以BB1AO,又AOBD,BDBB1=B,所以AO平面BB1D1D,则AD1O是直线AD1与平面BB1D1D所成的角.设AB=a,则AD1=2a,AO=22a,所以sinAD1O=AOAD1=22a2a=12,又AD1O0,2,所以AD1O=30.故选A.13.B解析 cos 76sin 59-cos 121sin 104=cos 76sin 59-cos(180-59)sin(180-76)=cos 76s
8、in 59+cos 59sin 76=sin(76+59)=sin 135=22.故选B.14.B解析 因为sin =3(1-cos )(2k,kZ),所以sin1-cos=3,所以2sin2cos22sin22=3,所以cos2sin2=3,所以sin2cos2=13,即tan2=13.故选B.15.B解析 选项A中,如果l与内的无数条直线垂直,若这无数条直线平行,则推不出l,故错误;选项B中,如果m,内必然存在直线m使得mm,而l,则l垂直于内的任一条直线,故lm,故lm,故正确;选项C中,如果lm,l,那么m,或者m,故错误;选项D中,如果l,m,那么l,m可以平行,可以异面,也可以相交
9、,故错误.故选B.16.A解析 因为f(-x)=(-x)2+e|-x|=x2+e|x|=f(x),所以f(x)为偶函数,又当x0时,f(x)=x2+ex为单调递增函数,所以f(a)f(-2)可化为f(|a|)f(2),所以|a|2,解得-2a2.故选A.17.C解析 由余弦定理得cos C=|AC|2+|BC|2-|AB|22|AC|BC|=4+|BC|2-94|BC|=-5+|BC|24|BC|,又因为ACBC=1,即ACBC=|AC|BC|cos C=2|BC|-5+|BC|24|BC|=-5+|BC|22=1,解得|BC|=7.故选C.18.D解析 因为f(x)=x|ax-1|-x2=x
10、(|ax-1|-x),则f(0)=0,由于函数f(x)有三个零点,则关于x的方程|ax-1|-x=0有两个不等的实根,即直线y=x与函数y=|ax-1|的图象有两个交点.当a=0时,则方程|ax-1|-x=0即为1-x=0,解得x=1,不合乎题意;当a0时,函数y=|ax-1|的零点为x=1a0,如下图所示:y=|ax-1|=1-ax,x1a,ax-1,x1a,射线y=ax-1x0时,函数y=|ax-1|的零点为x=1a0,如下图所示:y=|ax-1|=ax-1,x1a,1-ax,x1a,射线y=1-axx1.因此,实数a的取值范围是(1,+).19.8-2解析 因为f(x)是定义在R上的奇函
11、数,且其图象关于直线x=2对称,所以f(x)=f(4-x)=-f(x-4),所以f(8+x)=-f(x+4)=-(-f(x)=f(x),所以函数f(x)的周期为8,所以f(7)=f(7-8)=f(-1)=-f(1)=-2.20.135解析 正实数a,b满足2a+b=3,所以2a+b+2=5,则2a2+1a+b2-2b+2=2a+1a+(b+2)2-4(b+2)+2b+2=2a+b+2+1a+2b+2-4=1+1a+2b+2=1+151a+2b+22a+(b+2)=1+154+b+2a+4ab+21+15(4+4)=135,当且仅当b+2a=4ab+2且2a+b=3,即a=54,b=12时,等号
12、成立,即2a2+1a+b2-2b+2的最小值是135.21.72解析 由频率分布直方图得样本平均分x=550.15+650.25+750.4+850.15+950.05=72.22.-34解析 ABAC=|AB|AC|cos A=22cos 60=2.BD=DC,BD=12BC,又AE=12EC,AC=3AE.又AD=AB+BD=AB+12BC=AB+12(AC-AB)=12(AB+AC),设AO=kAD=k2AB+k2AC=k2AB+3k2AE,B,O,E三点共线,k2+3k2=1,k=12,AO=14AB+14AC,OA=-AO=-14AB-14AC,OB=AB-AO=34AB-14AC,
13、OAOB=-14AB-14AC34AB-14AC=-316AB2-18ABAC+116AC2=-31622-182+11622=-34.23.解 (1)由余弦定理得a2+c2-b2=2accos B,由S=34(a2+c2-b2),可得12acsin B=32accos B,所以tan B=3.因为0B,所以B=3.(2)由正弦定理得asinA=csinC=bsinB=2,所以a=2sin A,c=2sin C,2a-c=4sin A-2sin C=4sin A-2sin23-A=4sin A-232cos A+12sin A=3sin A-3cos A=23sinA-6.因为B=3,所以0A
14、23,所以-6A-62,所以-12sinA-61,所以-323sinA-623.因此,2a-c的取值范围是(-3,23).24.(1)证明 设AO交BE于G,连接FG(图略).因为O,E分别是BD,AD的中点,所以点G为ABD重心,所以AGAO=23,即AGAC=13.因为AP=3AF,所以AFAP=AGAC=13,所以GFPC,因为GF平面BEF,PC平面BEF,所以PC平面BEF.(2)解 在菱形ABCD中,因为AB=2,ADB=60,所以ABD是边长为2的等边三角形,故SABE=32.因为BPD=60,PO平面ABC,所以PO=3.故点F到平面ABC的距离等于13PO=33,所以VA-BEF=VF-ABE=133233=16,即三棱锥A-EFB的体积为16.25.解 (1)方程|f(x)|=g(x),即|x2-1|=a|x-1|,变形得|x-1|(|x+1|-a)=0,显然,x=1是该方程的根,从而欲使原方程只有一解,即要求方程|x+1|=a,有且仅有一个等于1的解或无解,结合图形(图略)得a1,-(x+1),x1时,(x)2,当x-2.所以(x)-2,故此时a-2.综合,得所求实数a的取值范围是(-,-2.
