1、-1-第16讲正弦、余弦定理-2-第16讲正弦、余弦定理课标导引知识聚焦核心考点课标导引教材核心知识课标要求学业水平评价要求正弦定理、余弦定理探索三角形边长与角度的关系,掌握余弦定理、正弦定理掌握正弦定理、余弦定理的简单应用能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题理解-3-第16讲正弦、余弦定理课标导引知识聚焦核心考点知识聚焦1.正弦定理在ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为ABC外接圆半径,则-4-第16讲正弦、余弦定理课标导引知识聚焦核心考点知识聚焦2.余弦定理-5-第16讲正弦、余弦定理课标导引知识聚焦核心考点知识聚焦3.三角形面积公式-6-第16讲正弦、余弦定理课标导
2、引知识聚焦核心考点知识聚焦4.解三角形(1)已知两角和一边,如已知A,B和c,由A+B+C=求C,由正弦定理求a,b.(2)已知两边和这两边的夹角,如已知a,b和C,应先用余弦定理求c,再应用正弦定理先求较短边所对的角,然后利用A+B+C=求另一角.(3)已知两边和其中一边的对角,如已知a,b和A,应先用正弦定理求B,由A+B+C=求C,再由正弦定理或余弦定理求c,要注意解可能有多种情况.(4)已知三边a,b,c,可以应用余弦定理求A,B,C.(5)判断三角形的形状通常利用正、余弦定理进行边角互化,根据边的关系或角的关系确定三角形的形状.(6)在ABC中,abcABCsin Asin Bsin
3、 C.-7-第16讲正弦、余弦定理课标导引知识聚焦核心考点核心考点考点一考点二考点三考点四正、余弦定理的应用例1(2018年6月浙江学考)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知B=45,C=30,c=1,则b等于()答案 C-8-第16讲正弦、余弦定理课标导引知识聚焦核心考点核心考点考点一考点二考点三考点四答案 C 解析 由b2+c2-2bccos A=a2,得b2-6b+8=0,解得b=2或b=4,因为bc=2 ,所以b=2.-9-第16讲正弦、余弦定理课标导引知识聚焦核心考点核心考点考点一考点二考点三考点四例3(2018年4月浙江学考)在ABC中,已知AB=2,AC=3,则c
4、os C的取值范围是.-10-第16讲正弦、余弦定理课标导引知识聚焦核心考点核心考点考点一考点二考点三考点四(1)一般地,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,就要考虑用余弦定理;如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时,就考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到.(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制.-11-第16讲正弦、余弦定理课标导引知识聚焦核心考点核心考点考点一考点二考点三考点四判断三角形的形状例4在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若b=2acos C,则ABC的形状为()A.等腰三角形B.等边三角形C.锐角三角形D.钝角三角形答
5、案 A 解析 由题设,结合正弦定理有sin B=2sin Acos C,而B=-(A+C),sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=2sin Acos C,即sin(A-C)=0,又0A,0C,A=C.ABC为等腰三角形.-12-第16讲正弦、余弦定理课标导引知识聚焦核心考点核心考点考点一考点二考点三考点四例5在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c依次成等差数列,且B=,则该三角形的形状是()A.等边三角形B.直角边不相等的直角三角形C.等腰直角三角形D.钝角三角形答案 A-13-第16讲正弦、余弦定理课标导引知识聚焦核心考点核心考点考点一考点二考点三考点四判
6、断三角形形状主要从两个角度考虑:(1)化边:通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状;(2)化角:通过三角恒等变换,得出内角的关系,从而判断三角形的形状,此时要注意应用A+B+C=这个结论.无论使用哪种方法,都不要随意约掉公因式,要移项提取公因式,避免漏掉一些可能情况.解题时注意挖掘隐含条件,重视角的范围对三角函数值的限制.-14-第16讲正弦、余弦定理课标导引知识聚焦核心考点核心考点考点一考点二考点三考点四与三角形面积有关的问题 答案 D 解析 利用余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A,5=2+c2-2c,c=3或c=-1(舍去),-15-第16讲正弦、余弦定理课
7、标导引知识聚焦核心考点核心考点考点一考点二考点三考点四例7(2021年1月浙江模拟)已知ABC的三边分别是a,b,c,且面积S=,则角C=.-16-第16讲正弦、余弦定理课标导引知识聚焦核心考点核心考点考点一考点二考点三考点四例8(2021年7月浙江模拟)在ABC中,b=4,a=4cos C+csin B,则ABC面积的最大值为.解析 在ABC中,b=4,a=4cos C+csin B,整理,得a=bcos C+csin B,利用正弦定理:sin A=sin Bcos C+sin Csin B,故sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=sin Bcos C+s
8、in Csin B,可得cos Bsin C=sin Csin B,且由sin C0,所以sin B=cos B,故tan B=1,-17-第16讲正弦、余弦定理课标导引知识聚焦核心考点核心考点考点一考点二考点三考点四-18-第16讲正弦、余弦定理课标导引知识聚焦核心考点核心考点考点一考点二考点三考点四解三角形应用举例例9我国南宋著名数学家秦九韶在数学九章的“田域类”中写道:问沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里,欲知为田几何.意思是已知三角形沙田的三边长分别为13,14,15里,求三角形沙田的面积.请问此田面积为平方里.-19-第16讲正弦、余弦定理课标导引知识聚焦核心考点核心考点考点一考点二考点三考点四答案 84 解析 设ABC为沙田,AB=13里,BC=14里,AC=15里,在ABC中,由余弦定理得,
