1、专题练习16正弦、余弦定理基础巩固1.在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知2bsin A=3a,则B=()A.6B.6或56C.3D.3或232.(2020年7月浙江模拟)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2,B=6,C=4,则ABC的面积为()A.2+23B.3+1C.23-2D.3-13.已知ABC的三个内角A,B,C所对的三条边分别为a,b,c,若ABC=114,则abc=()A.114B.112C.113D.1134.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c=2,A=75,B=60,则b=()A.3B.22C.4D.35.(2021年7
2、月浙江模拟)在ABC中,“cos Asin B”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.(2020年1月浙江模拟)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,a2-c2=2b,sin Acos C=3sin Ccos A,则b的值为()A.2B.3C.4D.57.在ABC中,a=3,b=1,A=60,则B=()A.30B.60C.30或150D.60或1208.设a,b,c分别是ABC的三个内角A,B,C所对的边,若a=1,b=3,则A=30,是B=60的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.若在ABC中,
3、角A,B,C的对边分别为a,b,c,A=60,a=26,b=4,则B=()A.45B.135C.45或135D.以上都不对10.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知csin C-(2a+b)sin B=(a-b)sin A,则C=()A.6B.3或23C.23D.6或5611.在三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=3,b=5,sin A=13,则sin B=,其外接圆的半径为.12.若满足ACB=30,BC=2的ABC有且只有一个,则边AB的取值范围是.13.如图,在离地面高400 m的热气球上,观测到山顶C处的仰角为15,山脚A处的俯角为45,已知BA
4、C=60,则山的高度BC= m.14.在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若B=3,且(a-b+c)(a+b-c)=37bc.(1)求cos A的值;(2)若a=5,求b的值.15.(2021年1月浙江模拟)已知函数f(x)=2cos2x+23sin xcos x-1.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)在锐角三角形ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若fC2=2,且c2=ab,试判断ABC的形状.素养提升16.(2021浙江期末)杭州师大附中天文台是学校图书馆处的标志性建筑.小金同学为了测量天文台CD的高度,选择附近学校宿舍楼三楼一阳台,高AB为(15-53)
5、m,在它们之间的地面上的点M(B,M,D三点共线)处测得楼顶A、天文台顶C的仰角分别是15和60,在阳台A处测得天文台顶C的仰角为30,假设AB,CD和点M在同一平面内,则小金可测得学校天文台CD的高度为()A.20 mB.203 mC.30 mD.303 m17.在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,c=2,A=3,则asin C=,a+b的取值范围为.18.已知在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cosBcosC+b2a+c=0.(1)求角B的大小;(2)若b=13,a+c=5,求ABC的面积.19.(2021浙江期末)现有条件:cos(A+C)cos A
6、+sin(A+C)sin A=12;sinC+sinBsinA-sinB=ac-b;SABC=3(b2+a2-c2)4.从中任选一个,补充到下面横线上,并解答.在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=4,且,则b的取值范围为.20.(2021浙江期末)在3b=a(sin C+3cos C);acos C+12c=b这两个条件中任选一个,补充在下面问题中,然后解答补充完整的题目.在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知.(1)求角A的大小;(2)设ABC的面积为S,若|AB-AC|=3,求面积S的最大值.21.某市拟建设成生态园林城、装备工业基地、绿色食品之都
7、、历史文化名城.计划将图中四边形区域CDEF建成生态园林城,CD,DE,EF,FC为主要道路(不考虑宽度).已知FCD=90,CDE=120,FE=3ED=3CD=3 km.(1)求道路CF的长度;(2)如图所示,要建立一个观测站A,并使得FAC=60,ABDC,求AB两地的最大距离.专题练习16正弦、余弦定理1.D2.B解析 根据正弦定理,bsinB=csinC,解得c=22,A=712,并且sin712=2+64,所以SABC=12bcsin A=3+1.3.D解析 设A=x,则B=x,C=4x,所以x+x+4x=180,解得x=30,则A=30,B=30,C=120,则abc=sin A
8、sin Bsin C=sin 30sin 30sin 120=113.4.A解析 在ABC中,A=75,B=60,故C=180-A-B=45,由正弦定理可得bsinB=csinC,即bsin60=2sin45,所以b=2sin60sin45=23222=3.5.C解析 在ABC中,由正弦定理asinA=bsinB,当sin Asin B必有ab,根据三角形中大边对大角知AB;当cos AB;“cos Asin B”的充要条件.6.C解析 由sin Acos C=3sin Ccos A,及正弦定理得acos C=3ccos A,由余弦定理得,aa2+b2-c22ab=3cb2+c2-a22bc,
9、即a2+b2-c2=3(b2+c2-a2),又a2-c2=2b,所以b2+2b=3(b2-2b),即b2=4b,又b0,所以b=4.7.A8.B解析 a=1,b=3,A=30时,由正弦定理得,sin B=bsinAa=3sin301=32,所以B=60或120,反之,a=1,b=3,B=60时,由正弦定理得,A=30,故若a=1,b=3,则A=30是B=60的必要不充分条件,故选B.9.A解析 由正弦定理可得26sin60=4sinB,sin B=22.ab,AB.0B180,B为锐角.B=45.故选A.10.C解析 依题意,由正弦定理得c2-(2a+b)b=(a-b)a,c2-2ab-b2=
10、a2-ab,a2+b2-c2=-ab,a2+b2-c22ab=-12,即cos C=-12.由于0C,所以C=23.故选C.11.5992解析 由asinA=bsinB=2R,313=5sinB=2R,sin B=59,R=92.12.12,+)解析 满足ACB=30,BC=2的ABC有且只有一个,如图,ABAC,或AB2,AB=1或AB2,边AB的取值范围是12,+).13.600解析 因为MAD=45,CAB=60,所以MAC=180-45-60=75,所以MCA=180-75-60=45.又因为MAcos 45=MD=400 m,所以MA=4002 m,又因为ACsin60=AMsin4
11、5,所以AC=4003 m,所以BC=ACsin 60=400332=600(m).14.解 (1)由(a-b+c)(a+b-c)=37bc,可得a2-(b-c)2=a2-b2-c2+2bc=37bc,即a2=b2+c2-117bc,即b2+c2-a2=117bc,由余弦定理可得cos A=b2+c2-a22bc=1114.(2)由(1)及三角函数的基本关系式,可得sin A=1-cos2A=5143,在ABC中,由正弦定理可得bsinB=asinA,所以b=asinBsinA=5325143=7.15.解 (1)f(x)=2cos2x+23sin xcos x-1=3sin 2x+cos 2
12、x=2sin2x+6,所以T=22=.所以函数的最小正周期为.(2)fC2=2sinC+6=2,因为0C2,所以解得C=3.又因为c2=ab=a2+b2-2abcos C=a2+b2-ab,所以(a-b)2=0,即a=b,所以ABC是等边三角形.16.C解析 由题意,CAM=45,AMC=105,即ACM=30,在CAM中,AMsinACM=CMsinCAM,则CM=AMsinCAMsinACM,而AM=ABsin15.在CDM中,CD=CMsin 60=5(3-3)sin45sin30sin1532=30(米).故选C.17.3(3+1,4+23)解析 由正弦定理得asinA=csinC,a
13、sin C=csin A=2sin3=3,由asinA=csinC=bsinB可得a=3sinC,b=csinBsinC=2sin(23-C)sinC=3cosC+sinCsinC,所以a+b=3sinC+3cosC+sinCsinC=1+3(1+cosC)sinC=1+23cos2C22sinC2cosC2=1+3tanC2.由于锐角三角形ABC,0C2,023-C2,6C2,12C24,2-3tanC21,a+b(3+1,4+23).18.解 (1)由正弦定理得,cosBcosC=-sinB2sinA+sinC,即2sin Acos B+cos Bsin C=-sin Bcos C,则2s
14、in Acos B=-(sin Bcos C+cos Bsin C)=-sin(B+C)=-sin A.A(0,),sin A0,cos B=-12,B(0,),B=23.(2)由余弦定理得,b2=a2+c2-2accos B,即13=(a+c)2-2ac-2accos23=25-2ac+ac=25-ac,解得ac=12.SABC=12acsin B=6sin23=33.19.解 在锐角三角形ABC中,若选,cos(A+C)cos A+sin(A+C)sin A=12,cos(A+C)-A=cos C=12.0C2,C=3,A+B=23,又a=4,由正弦定理得b=asinBsinA=4sin(
15、23-A)sinA=4(32cosA+12sinA)sinA=23tanA+2.ABC为锐角三角形,0A2,0B=23-A2,解得6A33,01tanA3,223tanA+28,即b的取值范围为(2,8);若选,sinC+sinBsinA-sinB=ac-b,由正弦定理有c+ba-b=ac-b,即a2+b2-c2=ab,由余弦定理得cos C=a2+b2-c22ab=ab2ab=12,0C2,C=3,后面解答过程同;若选,SABC=3(b2+a2-c2)4,又SABC=12absin C,12absin C=3(b2+a2-c2)4,即sin C=3(b2+a2-c2)2ab=3cos C,t
16、an C=3,0C0,B0,所以0C23,-62C-676,所以2C-6=2,即C=3时,Smax=334.21.解 (1)连接EC,由余弦定理可得EC2=ED2+DC2-2EDDCcos 120=3,所以EC=3.由DC=ED,CDE=120,所以ECD=30,因为DCF=90,所以ECF=60,在ECF中,cosECF=EC2+CF2-EF22ECCF,所以CF2-3CF-6=0,解得CF=23,即道路CF的长度为23 km;(2)设FCA=,在CFA中,由正弦定理可得CFsinFAC=ACsin(60+)ACsin(60+)=2332=4,所以AC=4sin(60+).因为ABDC,所以ABC=90,所以ABCF,CAB=,则AB=ACcos =4sin(60+)cos ,所以AB=23cos2+2sin cos =3cos 2+sin 2+3=2sin(2+60)+3.因为090,所以602+60240,所以当2+60=90,即=15时,AB取最大值为2+3,故AB两地的最大距离为(2+3)km.
