1、8.6.3 平面与平面垂直【学习目标】素 养 目 标学 科 素 养1.理解二面角的有关概念，会作二面角的平面角，能求简单二面角平面角的大小2.了解面面垂直的定义，掌握面面垂直的判定定理和性质定理，初步学会用定理证明垂直关系3.熟悉线线垂直、线面垂直的转化 1.直观想象;2.逻辑推理；3.数学运算【自主学习】 一二面角定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面如图，记作：二面角l或二面角PABQ或二面角PlQ范围 二二面角的平面角文字语言在二面角l的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA
2、和OB构成的AOB叫作二面角的平面角图形语言符号语言l，Ol，OA，OB，OAl，OBlAOB为二面角l的平面角思考：二面角的平面角的大小，是否与角的顶点在棱上的位置有关？三平面与平面垂直及判定定理定义如果两个平面相交，且它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直，记作：画法通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直，如图：判定定理文字表述：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直符号表示： 四平面与平面垂直的性质定理文字语言两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直符号语言 图形语言作用面面垂直线面垂直 作面的垂线对面面垂直的性质定
3、理的理解（1）定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直.（2）已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直.【小试牛刀】1.思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)若l，则过l有无数个平面与垂直()(2)两垂直的平面的二面角的平面角大小为90.()(3)二面角的平面角的大小与其顶点在二面角棱上的位置有关.（）(4)二面角可以看成是一个半平面以其棱为轴旋转而成的.（）(5)如果两个平面垂直，那么垂直于交线的直线必垂直于其中一个平面.（）2.如图所示的二面角可记为()Al BMlN ClMNDl【经典例题】题型一求二面角点拨；求二面角大小的步骤：简称为“一作二证
4、三求”例1如图，在正方体ABCDABCD中：(1)求二面角DABD的大小；(2)求二面角AABD的大小【跟踪训练】1如图，AC平面BCD，BDCD, ACAD，求平面 ABD 与平面BCD 所成的二面角的大小题型二 平面与平面垂直的判定点拨:证明面面垂直常用的方法1.定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角；2.判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为线面垂直；3.性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面.例2 如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点求证：平面PAC平面PBC.【跟踪训练】2 如图，在四棱锥PA
5、BCD中，若PA平面ABCD且四边形ABCD是菱形.求证：平面PAC平面PBD.题型三 面面垂直性质定理的应用点拨：若所给题目中有面面垂直的条件，一般要利用面面垂直的性质定理将其转化为线面垂直、线线垂直.应用面面垂直的性质定理，应注意三点：两个平面垂直是前提条件；直线必须在其中一个平面内；直线必须垂直于它们的交线.例3 如图，在三棱锥PABC中，PA平面ABC，平面PAB平面PBC 求证：BCAB【跟踪训练】3 如图，ABC是正三角形，若AE平面ABC，平面BCD平面ABC，BDCD，求证：AE平面BCD.题型四 线线、线面、面面垂直的综合应用点拨：垂直问题转化关系如下所示：例4 如图，在四棱
6、锥PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD，E和F分别是CD和PC的中点.求证：（1）PA底面ABCD；（2）BE平面PAD；（3）平面BEF平面PCD. 【跟踪训练】4 如图，ABC为正三角形，EC平面ABC，BDCE，且CECA2BD，M是EA的中点，求证：（1）DEDA；（2）平面BDM平面ECA；（3）平面DEA平面ECA.【当堂达标】1.直线l平面，l平面，则与的位置关系是()A平行 B可能重合 C相交且垂直 D相交不垂直2.(多选题)已知l平面，直线m平面，则下列命题正确的有()Alm Blm Clm Dlm3如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆
7、所在的平面，C是圆上一点(不同于A，B)且PAAC，则二面角PBCA的大小为()A60 B30 C45 D154.已知PA矩形ABCD所在的平面（如图），则图中互相垂直的平面有对.5.如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA平面ABCD，且PA，AB1，BC2，AC，求二面角PCDB的大小6.如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直底面，ACB90，ACBCAA1，D是棱AA1的中点证明：平面BDC1平面BDC.【课堂小结】【参考答案】【自主学习】0180思考：无关如图，根据等角定理可知，AOBAOB，即二面角的平面角的大小与角的顶点的位置无关，只与二面角的大小有关 a
8、【小试牛刀】1. (1)(2) (3) (4) (5) 2.B解析：根据二面角的记法规则可知B正确【经典例题】例1 解 (1)在正方体ABCDABCD中，AB平面AD，所以ABAD，ABAD，因此DAD为二面角DABD的平面角在RtDDA中，DAD45，所以二面角DABD的大小为45.(2)因为AB平面AD，所以ABAD，ABAA，AAD为二面角AABD的平面角又AAD90，所以二面角AABD的大小为90.【跟踪训练】1 解：因为AC平面 BCD，BD平面 BCD，所以BDAC又因为BDCD，ACCDC，所以BD平面 ACD因为AD平面 ACD，所以ADBD，所以ADC即为平面 ABD 与平面
9、 BCD 所成二面角的平面角在RtACD中，ACAD，所以ADC30.例2 证明：由AB是圆的直径，得ACBC.由PA平面ABC，BC平面ABC，得PABC.又PAACA.PA平面PAC，AC平面PAC，所以BC平面PAC.因为BC平面PBC，所以平面PBC平面PAC.【跟踪训练】2证明因为PA平面ABCD，BD平面ABCD，所以BDPA.因为四边形ABCD是菱形，所以BDAC.又PAACA，所以BD平面PAC.又因为BD平面PBD，所以平面PAC平面PBD. 例3 证明：如图，在平面PAB内，作ADPB于点D平面PAB平面PBC，且平面PAB平面PBCPB，AD平面PAB，AD平面PBC又B
10、C平面PBC，ADBC又PA平面ABC，BC平面ABC，PABC，又PAADA，BC平面PAB又AB平面PAB，BCAB【跟踪训练】3证明：如图，取BC的中点M，连接DM，AM，因为BDCD，所以DMBC.又因为平面BCD平面ABC，DM平面BCD，两平面交线为BC，所以DM平面ABC，又AE平面ABC，所以AEDM.又因为AE平面BCD，DM平面BCD，所以AE平面BCD.例4 证明：（1）因为平面PAD底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA底面ABCD.（2）因为ABCD，CD2AB，E为CD的中点，所以ABDE，且ABDE.所以四边形ABED为平行四边形.所以BEAD.
11、又因为BE平面PAD，AD平面PAD，所以BE平面PAD.（3）因为ABAD，而且四边形ABED为平行四边形，所以BECD，ADCD.由（1）知PA底面ABCD，所以PACD.又PAADA，所以CD平面PAD.所以CDPD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PDEF.所以CDEF.又因为CDBE，EFBEE，所以CD平面BEF.因为CD平面PCD，所以平面BEF平面PCD.【跟踪训练】4 证明：（1）如图，取EC的中点F，连接DF.因为EC平面ABC，BC平面ABC，所以ECBC.同理可得BDAB，易知DFBC，所以DFEC.在RtEFD和RtDBA中，因为EFEC，EC2BD，所以EFB
12、D.又FDBCAB，所以RtEFDRtDBA，故DEDA.（2）取CA的中点N，连接MN，BN，MNEC，且MNEC.因为ECBD，BDEC，所以MNBD，MN=BD，所以N点在平面BDM内.因为EC平面ABC，所以ECBN.又CABN，ECCAC，所以BN平面ECA.因为BN在平面MNBD内，所以平面MNBD平面ECA，即平面BDM平面ECA.（3）由（2）易知DMBN，BN平面ECA，所以DM平面ECA.又DM平面DEA，所以平面DEA平面ECA. 【当堂达标】1.C解析：由面面垂直的判定定理，得与垂直，故选C2.AC解析：l，l，m，lm，故A正确；lm，l，m，又m，故C正确3.C 解
13、析：易得BC平面PAC，所以PCA是二面角PBCA的平面角，在RtPAC中，PAAC，所以PCA45.故选C.4. 5 解析：因为DAAB，DAPA，所以DA平面PAB，同理BC平面PAB，又AB平面PAD，所以DC平面PAD，所以平面PAD平面AC，平面PAB平面AC，平面PBC平面PAB，平面PAB平面PAD，平面PDC平面PAD，共5对.5.解析：AB1，BC2，AC，BC2AB2AC2，BAC90，ACD90，即ACCD.又PA平面ABCD，CD平面ABCD，PACD.又PAACA，CD平面PAC.又PC平面PAC，PCCD，PCA是二面角PCDB的平面角在RtPAC中，PAAC，PA，AC，PCA45.故二面角PCDB的大小为45.6.证明：由题设知BCCC1，BCAC，CC1ACC，所以BC平面ACC1A1.又DC1平面ACC1A1，所以DC1BC.由题设知A1DC1ADC45，所以CDC190，即DC1DC.又DCBCC.所以DC1平面BDC.又DC1平面BDC1，故平面BDC1平面BDC.
