1、7.1.1数系的扩充和复数的概念【学习目标】素 养 目 标学 科 素 养1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程；2.理解在数系的扩充中的实数集扩展到复数集出现的一些基本概念；3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件.1.数学运算;2.数学抽象【自主学习】一复数的有关概念1.复数的定义形如abi(a，bR)的数叫做复数，其中i叫做 ，满足i2 2.复数集全体复数所构成的集合Cabi|a，bR叫做复数集3.复数的表示方法复数通常用字母z表示，即 ，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部二复数相等的充要条件在复数集Cabi|a，bR中任取两个数abi，cdi(a，b，c
2、，dR)，我们规定：abi与cdi相等当且仅当 且 三复数的分类1.复数zabi(a，bR) 2.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系【小试牛刀】1.思维辨析(对的打“”，错的打“”)(1)若a，b为实数，则zabi为虚数()(2)复数z13i，z22i，则z1z2.()(3)若b为实数，则z= bi必为纯虚数()(4)实数集与复数集的交集是实数集()2.若复数(a1)(a21)i(aR)是实数，则a()A1 B1 C1 D不存在【经典例题】题型一 复数的概念点拨:(1)复数的代数形式：若zabi，只有当a，bR时，a才是z的实数，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b.(2)不要将
3、复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分(3)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可例1 写出下列复数的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数：4, 23i，i, 5i, 6i.【跟踪训练】1若aR，i为虚数单位，则“a1”是“复数(a1)(a2)(a3)i为纯虚数”的()A充要条件 B必要不充分条件C充分不必要条件 D既不充分又不必要条件题型二 复数的分类点拨：解决复数分类问题的方法与步骤(1)化标准式：解题时一定要先看复数是否为abi(a，bR)的形式，以确定实部和虚部(2)定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问
4、题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可(3)下结论：设所给复数为zabi(a，bR)，z为实数b0；z为虚数b0；z为纯虚数a0且b0.例2 实数m取什么值时，复数z=m+1+(m-1)i是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数。【跟踪训练】2当实数m为何值时，复数z(m22m)i：(1)为实数？(2)为虚数？(3)为纯虚数？题型三 复数相等点拨：复数相等的充要条件是“化虚为实”的主要依据，多用来求解参数解决复数相等问题的步骤是：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程(组)求解注意：在两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a，b，c
5、，dR，即当a，b，c，dR时，abicdiac且bd.若忽略前提条件，则结论不能成立 例3 (1)若(xy)yi(x1)i，求实数x，y的值；(2)已知a2(m2i)a2mi0(mR)成立，求实数a的值。【跟踪训练】3若关于x的方程3x2x1(10x2x2)i有实根，求实数a的值【当堂达标】1.下列命题：若zabi，则仅当a0且b0时，z为纯虚数；若zz0，则z1z20；若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系其中正确命题的个数是()A0 B1C2 D32.若复数zai2bi(a，bR)是纯虚数，则一定有()Ab0Ba0且b0Ca0或b0 Dab03.若复数z(m1)(m29
6、)i0，则实数m的值等于_4.已知(x22x3)i(xR)，则x_5.已知A1，2，a23a1(a25a6)i，B1，3，AB3，求实数a的值6.已知复数z(m25m6)(m22m15)i(mR)(1)若复数z是实数，求实数m的值；(2)若复数z是虚数，求实数m的取值范围；(3)若复数z是纯虚数，求实数m的值；(4)若复数z是0，求实数m的值【参考答案】【自主学习】虚数单位 1 zabi(a，bR) ac bd【小试牛刀】1.(1)(2)(3)(4)2.C 解析：(a1)(a21)i(aR)为实数的充要条件是a210，所以a1.【经典例题】例1 解析：4,23i，i,5i,6i的实部分别是4,
7、2，5,0；虚部分别是0，3，6.其中4是实数；23i，i,5i,6i是虚数，其中6i是纯虚数【跟踪训练】1 C 当a1时，复数(a1)(a2)(a3)i4i为纯虚数，当复数(a1)(a2)(a3)i为纯虚数时，a1或a2.例2 【跟踪训练】2 解(1)当即m2时，复数z是实数(2)当m22m0且m0，即m0且m2时，复数z是虚数(3)当即m3时，复数z是纯虚数例3 解 (1)由复数相等的充要条件，得解得(2)因为a，mR，所以由a2am2(2am)i0，可得解得或所以a.【跟踪训练】3解 设方程的实根为xm，则原方程可变为3m2m1(10m2m2)i，所以解得a11或.【当堂达标】1.A 解
8、析：选A.在中未对zabi中a，b的取值加以限制，故错误；在中将虚数的平方与实数的平方等同，如若z11，z2i，则zz110，但z1z20，故错误；在中忽视0i0，故也是错误的.2.B 解析：zai2biabi，由纯虚数的定义可得a0且b0.3. 3 解析：因为z0，所以解得m3.4. 3 解析：因为xR，所以R，由复数相等的条件得解得x3.5.解：由题意知，a23a1(a25a6)i3(aR)，所以即所以a1.6.解：(1)当m22m150时，复数z为实数，所以m5或3.(2)当m22m150时，复数z为虚数所以m5且m3.所以实数m的取值范围为m|m5且m3(3)当时，复数z是纯虚数，所以m2.(4)当时，复数z是0，所以m3.
