1、6.4.3 余弦定理、正弦定理第2课时 正弦定理【学习目标】素 养 目 标学 科 素 养1.了解正弦定理的推导过程，掌握正弦定理及其基本应用；2.能用正弦定理解三角形，并能判断三角形的形状1.数学运算;2.数学抽象；3.逻辑推理.【自主学习】一正弦定理条件在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c结论 文字描述在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等二正弦定理的变形 a， b， c；sin Asin Bsin Cabc；R为ABC外接圆的半径: asinA=bsinB=csinC=a+b+csinA+sinB+sinC=2R思考:1.正弦定理的变形公式的作用是什么？正弦定理的适用范围是
2、什么？2.利用正弦定理能解什么条件下的三角形？3.在ABC中，AB与sinAsinB的关系怎样？【小试牛刀】思维辨析(对的打“”，错的打“”)(1)正弦定理不适用于直角三角形()(2)在一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是一定值()(3)在ABC中必有asin Absin B()(4)在ABC中，若ab，则必有sin Asin B()(5)在ABC中，若sin Asin B，则必有AB.()【经典例题】题型一 已知两角及一边解三角形点拨： (1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对的边，再由三角形内角和定理求出第三个角(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理
3、求出第三个角，再由正弦定理求另外两边 例1 在ABC中，已知A15，B45，c=3+3,解这个三角形【跟踪训练】1 在ABC中，A60，sin B，a3，求三角形中其他边与角的大小题型二 已知两边及其中一边的对角解三角形点拨：首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值；如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角；如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论，由“三角形中大边对大角”来判定设A为锐角，若ab，则AB，从而B为锐角，有一解；若ab，则A1，无解；sinB1，一解；si
4、nB0)，得aksinA，bksinB，cksinC等结论，利用它们来解决三角形中的比值问题例3在ABC中，已知A60，a3，则_.【跟踪训练】3 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ABC123，则abc()A123 B321C21 D12题型四 正弦定理的应用-判断三角形的形状点拨：判断三角形的形状，可以从三边的关系入手，也可以从三个内角的关系入手，从条件出发，利用正弦定理进行代换、转化，呈现出边与边的关系或求出角与角的关系，从而作出准确判断.要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别.例4 已知a，b，c分别是ABC的内角A，B，C所对的边，满足，则AB
5、C的形状是( )A等腰三角形 B直角三角形C等边三角形 D等腰直角三角形【跟踪训练】4在ABC中，已知a2tan Bb2tan A，则ABC的形状是()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D等腰三角形或直角三角形【当堂达标】1.在ABC中，若a2bsin A，则B()A. B.C.或 D.或2.在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，那么下列给出的各组条件能确定三角形有两解的是()Aa10，b8，A30Ba8，b10，A45Ca10，b8，A150Da8，b10，A603.在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若cacos B(2ab)cos A，则ABC的形状是()A
6、等腰三角形 B直角三角形C等腰直角三角形 D等腰三角形或直角三角形4.在ABC中，a，b2，B45，则C .5.在ABC中，AB，A75，B45，则AC_.6.已知ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acos Ccb.(1)求角A的大小；(2)若a1，b，求c的值【课堂小结】1.正弦定理的结构形式正弦定理实际上是边角连等式： ，描述了任意三角形中边与角的一种数量关系2. 正弦定理的主要功能：实现三角形中边角关系的转化3.三角形解的个数的确定当三角形的两角和任一边确定时，三角形唯一确定；当三角形中已知两边和其中一边的对角时，三角形不能唯一确定，可能出现一解、两解或无解的情况可由“三角
7、形中大边对大角”来判定 【参考答案】【自主学习】 正弦1.由正弦定理的变形公式可以实现三角形中边与角之间的相互转化，正弦定理对任意的三角形都成立2.知两角及一边可解三角形；知两边及一边的对角也可解三角形3.在ABC中，若AB，则ab.由正弦定理得2RsinA2RsinB，即sinAsinB.若sinAsinB，则2RsinA2RsinB(R是ABC的外接圆半径)由正弦定理得ab.综上所述，在ABC中，AB与sinAsinB等价【小试牛刀】(1)(2) (3)(4)(5)【经典例题】例1 解：由三角形内角和定理，得 由正弦定理，得 【跟踪训练】1 解：因为sin B，所以B30或150.当B30
8、时，由A60得C90；所以由正弦定理，得ba3，ca32.当B150时，不合题意，舍去例2 解：由正弦定理，得 因为c b，B30，所以30C180.于是C45，或C135.（1）当C45时，A105此时（2）当C105时，A15此时【跟踪训练】2(1)a7，b8，a90，本题无解(2)b10，c5，bc，C6090，本题有一解sinB，B45，A180(BC)75.a5(1)(3)a2，b6，ab，A30bsinA，本题有两解由正弦定理得：sinB，B60或120，当B60时，C90，c4；当B120时，C30，c2.B60，C90，c4或B120，C30，c2.例3 2 解析：由正弦定理，
9、可得2. 【跟踪训练】3 D 解析：在ABC中，因为ABC123，所以B2A，C3A，又ABC180，所以A30，B60，C90，所以abcsin Asin Bsin Csin 30sin 60sin 9012.例4 C 解析：方法一：由正弦定理得，又，得，即tanAtanBtanC，所以ABC，即ABC为等边三角形【跟踪训练】4 D 解析：选D.将a2Rsin A，b2Rsin B(R为ABC外接圆的半径)代入已知条件，得sin2Atan Bsin2Btan A，则.因为sin Asin B0，所以，所以sin 2Asin 2B，所以2A2B或2A2B，所以AB或AB，故ABC为等腰三角形或
10、直角三角形【当堂达标】1.C 解析：由正弦定理，得sin A2sin Bsin A，所以sin A(2sin B)0.因为0A，0Bb可判断只有一解；对于D,810sin 605可知无解；对于B,10sin 4558b，A60或A120，C75或15.5. 2 解析：由三角形内角和定理，得C60，根据正弦定理，得，所以AC2.6.解析：(1)由acos Ccb和正弦定理，得sin Acos Csin Csin B.sin Bsin (AC)sin Acos Ccos Asin C，sin Ccos Asin C.sin C0，cos A.0A，A.(2)由正弦定理，得sin B.B或.当B时，由A，得C，c2.当B时，由A，得C，ca1.综上可得c1或2.
