1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第七节 函数的图像 考纲传真 会运用基本初等函数的图像分析函数的性质 (对应学生用书第 21 页 ) 基础知识填充 1利用描点法作函数的图像 方法步骤： (1)确定函数的定义域； (2)化简函数的解析式； (3)讨论函数的性质 (奇偶性、单调性、周期性、最值等 )； (4)描点连线 2利用图像变换法作函数的图像 (1)平移变换 (2)对称变换 y f(x)的图像 关于 x轴对称 y f(x)的图像； y f(x)的图像 关于 y轴对称 y f( x)的图像； y f(x)的图像 关于原点对称 y f( x)的图像； y ax(a 0 且 a1) 的图像 关于直
2、线 y x对称 y logax(a 0 且 a1) 的图像 (3)伸缩变换 y f(x)的图像 y f(ax)的图像； y f(x)的图像 a 1，纵坐标伸长为原来的 a倍，横坐标不变0 a 1，纵坐标缩短为原来的 a，横坐标不变y af(x)的图像 (4)翻转变换 =【 ;精品教育资源文库 】 = y f(x)的图像 x轴下方部分翻折到上方x轴及上方部分不变y |f(x)|的图像； y f(x)的图像 y轴右侧部分翻折到左侧原 y轴左侧部分去掉，右侧不变y f(|x|)的图像 知识拓 展 1一个函数图像的对称关系 (1)函数 f(x)满足关系 f(a x) f(b x)，则 f(x)的图像关
3、于直线 x a b2 对称； (2)函数 f(x)满足关系 f(a x) f(b x)，则 f(x)的图像关于点 ? ?a b2 ， 0 对称 2两个函数图像的对称关系 (1)函数 y f(x)与 y f(2a x)的图像关于直线 x a 对称 (2)函数 y f(x)与 y 2b f(2a x)的图像关于点 (a， b)中心对称 基本能力自测 1 (思考辨析 )判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) (1)函数 y f(1 x)的图像，可由 y f( x)的图像向左平移 1 个单位得到 ( ) (2)函数 y f(x)的图像关于 y 轴对称即函数 y f(x)与 y f(
4、x)的图像关于 y 轴对称 ( ) (3)当 x (0， ) 时，函数 y f(|x|)的图像与 y |f(x)|的图像相同 ( ) (4)若函数 y f(x)满足 f(1 x) f(1 x)，则函数 f(x)的图像关于直线 x 1 对称 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2 (教材改编 )甲、乙二人同时从 A 地赶往 B 地，甲先骑自行车到两地的中点再改为跑步，乙先跑步到中点再改为骑自行车，最后两人同时到达 B 地已知甲骑车比乙骑车的速度快，且两人骑车速度均大于跑步速度现将两人离开 A 地的距离 s 与所用时间 t 的函数关系用图像表示，则如图 271 的四个函数图像中，甲、乙的
5、图像应该是 ( ) 图 271 A甲是图 ，乙是图 B甲是图 ，乙是图 C甲是图 ，乙是图 D甲是图 ，乙是图 B 设甲骑车速度为 V 甲骑 ，甲跑步速度为 V 甲跑 ，乙骑车速度为 V 乙骑 ，乙跑步速度为 V 乙跑 ，依题意 V 甲骑 V 乙骑 V 乙跑 V 甲跑 ，故选 B =【 ;精品教育资源文库 】 = 3函数 f(x)的图像向右平移 1 个单位长度，所得图像与曲线 y ex关于 y 轴对称，则 f(x) ( ) A ex 1 B ex 1 C e x 1 D e x 1 D 依题意，与曲线 y ex关于 y 轴对称的曲线是 y e x，于是 f(x)相当于 y e x向左平移 1
6、个单位的结果， f(x) e (x 1) e x 1. 4 (2017 全国卷 )函数 y sin 2x1 cos x的部分图像大致为 ( ) 【导学号： 00090038】 C 令 f(x) sin 2x1 cos x， f(1) sin 21 cos 1 0， f() sin 21 cos 0， 排除选项 A， D 由 1 cos x0 得 x2 k( k Z)， 故函数 f(x)的定义域关于原点对称 又 f( x) 2x1 x sin 2x1 cos x f(x)， f(x)为奇函数，其图像关于原点对称， 排除选项 B故选 C 5若关于 x 的方程 |x| a x 只有一个解，则实数 a
7、 的取值范围是 _ (0， ) 在同一个坐标系中画出函数 y |x|与 y a x 的图像，如图所示由图像知当 a 0 时，方程 |x| a x 只有一个解 =【 ;精品教育资源文库 】 = (对应学生用书第 22 页 ) 作函数的图像 作出下列函数的图像： (1)y ? ?12 |x|； (2)y |log2(x 1)|； (3)y 2x 1x 1 ； (4)y x2 2|x| 1. 解 (1)先作出 y ? ?12 x的图像，保留 y ? ?12 x图像中 x0 的部分，再作出 y ? ?12 x的图像中 x 0 部分关于 y 轴的对称部分，即得 y ? ?12 |x|的图像，如图 实线部
8、分 . 3 分 (2)将函数 y log2x 的图像向左平移一个单位，再将 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折上去，即可得到函数 y |log2(x 1)|的图像，如图 . 6 分 (3) y 2 1x 1，故函数图像可由 y 1x图像向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位得到，如图 . 9 分 (4) y? x2 2x 1， x0 ，x2 2x 1， x 0， 且函数为偶函数，先用描点法作出 0， ) 上的图像，再根据对称性作出 ( ， 0)上的图像，得图像如图 . 12 分 规律方法 画函数图像的一般方法 (1)直接法当函数表达式 (或变形后的表达式 )是熟悉的基本函数时，就可根据这些函
9、数的特征直接作出； (2)图像变换法若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移、翻折、对称得到，可利用图像变换作出 =【 ;精品教育资源文库 】 = 易错警示： 注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响 变式训练 1 分别画出下列函数的图 像： (1)y |lg x|； (2)y sin|x|. 解 (1) y |lg x|? lg x， x1 ， lg x， 0 x 1. 函数 y |lg x|的图像，如图 . (2)当 x0 时， y sin|x|与 y sin x 的图像完全相同，又 y sin|x|为偶函数，图像关于 y 轴对称，其图像如图 . 识图与辨图 (1)(2017
10、全国卷 )函数 y 1 x sin xx2 的部分图像大致为 ( ) (2)已知定义在区间 0,2上的函数 y f(x)的图像如图 272 所示，则 y f(2 x)的图像为 ( ) 【导学号： 00090039】 =【 ;精品教育资源文库 】 = 图 272 (1)D (2)B (1)当 x 时， sin xx2 0,1 x ， y 1 x sin xx2 ，故排除选项 B 当 0 x 2 时， y 1 x sin xx2 0，故排除选项 A， C 故选 D (2)法一：由 y f(x)的图像知， f(x)? x x ， x 当 x 0,2时， 2 x 0,2， 所以 f(2 x)? x ，
11、2 x x ， 故 y f(2 x)? x ，x x 图像应为 B 法二：当 x 0 时， f(2 x) f(2) 1； 当 x 1 时， f(2 x) f(1) 1. 观察各选项，可知应选 B 法三：先作 y f(x)的图像关于 y 轴的对称图形 (作图过程略 )，得到 y f( x)的图像，再把所得图像向右平移两个单位，得到 y f(2 x)的图像，再把所得图像关于 x 轴对称得到 y f(2 x)的图像，可知应选 B =【 ;精品教育资源文库 】 = 规律方法 函数图像的识辨可从以下方面入手： (1)从函数的定义域，判断图像的左右位置；从函数的值域，判断图像的上下位置； (2)从函数的单
12、调性，判断图像的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图像的对称性； (4)从函数的周期性，判断图像的循环往复； (5)从函数的特征点，排除不合要求的图像 变式训练 2 (1)已知函数 f(x)的图像如图 273 所示，则 f(x)的解析式可以是 ( ) 图 273 A f(x) ln|x|x B f(x) exx C f(x) 1x2 1 D f(x) x 1x (2)(2017 河南驻马店二模 )函数 y a sin bx(b 0 且 b1) 的图像如图 274 所示，那么函数 y logb(x a)的图像可能是 ( ) 图 274 =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)A (2)C (
13、1)由函数图像可知，函数 f(x)为奇函数，应排除 B， C若函数为 f(x)x 1x，则 x 时， f(x) ，排除 D，故选 A (2)由题图可得 a 1，且最小正周期 T 2b ，所以 b 2，则 y logb(x a)是增函数，排除 A 和 B；当 x 2 时， y logb(2 a) 0，排除 D，故选 C 函数图像的应用 角度 1 研究函数的性质 已知函数 f(x) x|x| 2x，则下列结论正确的是 ( ) A f(x)是偶函数，递增区间是 (0， ) B f(x)是偶函数，递减区间是 ( ， 1) C f(x)是奇函数，递减区间是 ( 1,1) D f(x)是奇函数，递增区间是
14、 ( ， 0) C 将函数 f(x) x|x| 2x 去掉绝对值得 f(x)? x2 2x， x0 ， x2 2x， x0，2|x|， x0 ， 则函数 y 2f2(x) 3f(x) 1 的零点个数是_ 5 方程 2f2(x) 3f(x) 1 0 的解为 f(x) 12或 1.作出 y f(x)的图像， =【 ;精品教育资源文库 】 = 由图像知零点的个数为 5. 角度 3 求参数的值或取值范围 已知函数 f(x) |x 2| 1， g(x) kx，若方程 f(x) g(x)有 两个不相等的实根，则实数 k 的取值范围为 ( ) A ? ?0， 12 B ? ?12， 1 C (1,2) D (2， ) B 先作出函数 f(x) |x 2| 1 的图像，如图所示，当直线 g(x) kx 与直线 AB 平行时斜率为 1，当直线 g(x) kx 过 A 点时斜率为 12，故 f(x) g(x)有两个不相等的实根时， k的取值范围为
