1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第九节 函数模型及其应用 考纲传真 (教师用书独具 )1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义 .2.了解函数模型 (如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型 )的广泛应用 (对应学生用书第 29 页 ) 基础知识填充 1常见的几种函数模型 (1)一次函数模型： y kx b(k0) (2)反比例函数模型： y kx b(k， b 为常数且 k0) (3)二次函数模型： y ax2 bx c(a， b， c 为常数， a0) (4)指数函数模型： y a b
2、x c(a， b， c 为常数， b 0， b1 ， a0) (5)对数函数模型： y mlogax n(m， n， a 为常数， a 0， a1 ， m0) (6)幂函数模型： y a xn b(a0) 2三种函数模型之间增长速度的比较 函数 性质 y ax(a 1) y logax(a 1) y xn(n 0) 在 (0， ) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 因 n 而异 图像的变化 随 x 的增大逐渐表现为与 y 轴 平行 随 x 的增大逐渐表现为与 x 轴 平行 随 n 值变化而各有不同 值的比较 存在一个 x0，当 x x0时，有 logax
3、xn ax 3.解函数应用问题的步骤 (四步八字 ) (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； (3)解模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题 以上过程用框图 291 表示如下： =【 ;精品教育资源文库 】 = 图 291 知识拓展 “ 对勾 ” 函数 形如 f(x) x ax(a 0)的函数模型称为 “ 对勾 ” 函数模型： (1)该函数在 ( ， a和 a， ) 上单调递增，在 a， 0)和 (0， a上单调递减 (2)当 x
4、0 时， x a时取最小值 2 a， 当 x 0 时， x a时取最大值 2 a. 基本能力自测 1 (思考辨析 )判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) (1)函数 y 2x的函数 值比 y x2的函数值大 ( ) (2)幂函数增长比直线增长更快 ( ) (3)不存在 x0，使 ax0 xn0 logax0.( ) (4)f(x) x2， g(x) 2x， h(x) log2x，当 x(4 ， ) 时，恒有 h(x) f(x)g(x) ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2 (教材改编 )已知某种动物繁殖量 y(只 )与时间 x(年 )的关系为 y alog3(x
5、 1)，设这种动物第 2 年有 100 只，到第 8 年它们发展到 ( ) A 100 只 B 200 只 C 300 只 D 400 只 B 由题意知 100 alog3(2 1)， a 100， y 100log3(x 1)，当 x 8时， y 100log3 9 200. 3某商品价格前两年每年递增 20%，后两年每年递减 20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化的情况是 ( ) A减少 7.84% B增加 7.84% C减少 9.5% D不增不减 A 设某商品原来价格为 a，依题意得： a(1 0.2)2(1 0.2)2 a1.2 20.8 2 0.921 6a， (0.921 6
6、1)a 0.078 4a， =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以四年后的价格与原来价格比较，减少 7.84%. 4若一根蜡烛长 20 cm，点燃后每小时燃烧 5 cm，则燃烧剩下的高度 h(cm)与燃烧时间 t(h)的函数关系用图像表示为 ( ) B 由题意 h 20 5t(0 t4) ，其图像为 B 5某市生产总值连续两年持续增加第一年的增长率为 p，第二年的增长率为 q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为 _ (1 p)(1 q) 1 设年平均增长率为 x，则 (1 x)2 (1 p)(1 q)， 所以 x (1 p)(1 q) 1. (对应学生用书第 30 页 ) 用函数图像刻画变化
7、过程 (1)某工厂 6 年来生产某种产品的情况是：前 3 年年产量的增长速度越来越快，后 3年年产量保持不变，则该厂 6 年来这种产品的总产量 C 与时间 t(年 )的函数关系图像正确的是 ( ) (2)如图 292 所示的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止用容器下面所对的图像表示该容器中水面的高度 h 和时间 t之间的关系，其中正确的有 ( ) 图 292 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 (1)A (2)C (1)前 3 年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有 A、 C 图=【 ;精品教育资源文库 】 = 像符合要求，而后 3
8、年年产量保持不变，产品的总产量应呈直线上升，故选 A (2)将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，容器中水面的高度 h 和时间 t之间的关系可以从高度随时间的增长速度上反映出来， (1)中的增长应该是匀速的，故下面的图像不正确； (2)中的增长速度是越来越慢的，正确； (3)中的增长速度是先快后慢再快，正确； (4)中的增长速度是先慢后快再慢，也正确， 故 (2)(3)(4)正确选 C 规律方法 判断函数图像与实际问题中两变量变化过程相吻合的两种方法 构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图像 . 验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两
9、变量的变化特点，结合图像的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案 . 跟踪训练 设甲、乙两地的距离为 a(a0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了 20 分钟，在乙地休息 10 分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了 30 分钟， 则小王从出发到返回原地所经过的路程 y 和其所用的时间 x 的函数图像为 ( ) 【导学号： 79140066】 D y 为 “ 小王从出发到返回原地所经过的路程 ” 而不是位移，故排除 A， C又因为小王在乙地休息 10 分钟，故排除 B，故选 D 应用所给函数模型解决实际问题 (1)某航空公司规定，乘飞机所携带行李的重量 (
10、kg)与其运费 (元 )由如图 293 所示的一次函数图像确定，那么乘客可免费携带行李的重量最大为 _ kg. 图 293 =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)一个容器装有细沙 a cm3，细沙从容器底下一 个细微的小孔慢慢地匀速漏出， t min后剩余的细沙量为 y ae b t(cm3)，经过 8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过 _ min，容器中的沙子只有开始时的八分之一 (1)19 (2)16 (1)由图像可求得一次函数的解析式为 y 30x 570，令 30x 570 0，解得 x 19. (2)当 t 0 时， y a，当 t 8 时， y ae 8b 12a，
11、所以 e 8b 12，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即 y ae b t 18a， e b t 18 (e 8 b)3 e 24b，则 t 24，所以再经过 16 min. 规律方法 求解所给函数模型解决实际问题的关注点 认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数 . 根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数 . 利用该模型求解实际问题 . 易错警示：解决实际问题时要注意自变量的取值范围 . 跟踪训练 (2017 西城区二模 )某市家庭煤气的使用量 x(m3)和煤气费 f(x)(元 )满足关系f(x)? C， 0 x A，C B(x A)， x A. 已知某家庭 2017 年前三个月的煤
12、气费如下表： 【导学号： 79140067】 月份 用气量 煤气费 一月份 4 m3 4 元 二月份 25 m3 14 元 三月份 35 m3 19 元 若四月份该家庭使用了 20 m3的煤气，则其煤气费为 ( ) A 11.5 元 B 11 元 C 10.5 元 D 10 元 A 根据题意可知 f(4) C 4， f(25) C B(25 A) 14， f(35) C B(35 A) 19，解得 A 5， B 12， C 4，所以 f(x)? 4， 0 x5 ，4 12(x 5)， x 5， 所以 f(20) 412(20 5) 11.5，故选 A 构建函数模型解决实际问题 =【 ;精品教育
13、资源文库 】 = (2017 山西孝义模考 )为了迎接世博会，某旅游区提倡低碳生活，在景区提供自行车出租该景区有 50 辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日 115 元根据经验，若每辆自行车的日租金不超过 6 元，则自行车可以全部租出；若超过 6 元，则每超出 1 元，租不出的自行车就增加 3 辆为了便于结算，每辆自行车的日租金 x(元 )只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用 y(元 )表示出租自行车的日净收入 (即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得 ) (1)求函数 y f(x)的解析式及其定义域； (2)试问当每辆自行车的日租金定为多
14、少元时，才能使一日的净收入最多？ 解 (1)当 x6 时， y 50x 115. 令 50x 115 0，解得 x 2.3. x N ， 3 x6 ， x N . 当 x 6 时， y 50 3(x 6)x 115. 令 50 3(x 6)x 115 0，有 3x2 68x 115 0. 又 x N ， 6 x20( x N )， 故 y? 50x 115(3 x6 ， x N )， 3x2 68x 115(6 x20 ， x N ). (2)对于 y 50x 115(3 x6 ， x N )，显然当 x 6 时， ymax 185. 对于 y 3x2 68x 115 3? ?x 3432 8113 (6 x20 ， x N )， 当 x 11 时， ymax 270.又 270 185， 当每辆自行车的日租金定为 11 元时，才能使一日的净收入最多 规律方法 构建函数模型解决实际问题的常见类型与求解方法 构建二次函数模型，常用配方法、数形结合、分类讨论思想求解 . 构建分段函数模型，应用分段函数分段求解的方法 . 构建 f x x ax a 模型，常用基本不等式、导数等知识求解 . 易错警示：求解过程中不要忽视 实际问题是对自变量的限制 . 跟踪训练 (2016 四川高考 )某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投
