1、第十一章第十一章 随机变量与数字特征随机变量与数字特征 一、随机变量一、随机变量 二、离散型随机变量及其概率分布二、离散型随机变量及其概率分布 三、连续型随机变量及其分布三、连续型随机变量及其分布 四、数字特征四、数字特征一、随机变量的概念一、随机变量的概念在随机试验中，由于随机因素的作用，试在随机试验中，由于随机因素的作用，试验的结果有多个（甚至是无穷多个）验的结果有多个（甚至是无穷多个）。如果对于试验的每一个可能结果（也就是一如果对于试验的每一个可能结果（也就是一个样本点个样本点），都让其对应着一个实数，都让其对应着一个实数 X，这样这样 X 是一个随着试验结果不同而变化的是一个随着试验结
2、果不同而变化的变量，称它为随机变量。变量，称它为随机变量。随机变量一般用希腊字母随机变量一般用希腊字母、或大写拉丁字母或大写拉丁字母 X、Y、Z 等表示。等表示。例例1 从从0，1，2，9 十个数字中任取一个。十个数字中任取一个。用用 X 表示取得的数字表示取得的数字,X所有可能取的值为：所有可能取的值为：0，1，2，3，9X 就是一个随机变量。就是一个随机变量。X 的所有可能取值为：的所有可能取值为：0 ,1,2 ,k,X是一个随机变量。是一个随机变量。例例2 一个局域网中在一小时内上网的人数一个局域网中在一小时内上网的人数X。例例3 用用 X 表示表示电脑的使用寿命电脑的使用寿命其可能的取
3、值为其可能的取值为 0,+)X 是一个随机变量，是一个随机变量，二、离散型随机变量二、离散型随机变量如果一个随机变量的所有可能的取值只有有如果一个随机变量的所有可能的取值只有有限个或虽有无穷多个可能的值，但这些值可以无遗限个或虽有无穷多个可能的值，但这些值可以无遗漏地一个接一个地排列出来（即可列的），则称随漏地一个接一个地排列出来（即可列的），则称随机变量为机变量为离散型随机变量离散型随机变量.如例如例1、例、例2 中的随机变量中的随机变量X都是离散型随机变量。都是离散型随机变量。例例3 中的随机变量中的随机变量X就不是离散型随机变量。就不是离散型随机变量。1、离散型随机变量及其分布律、离散型
4、随机变量及其分布律 对离散型随机变量，首先列出它的所有可能对离散型随机变量，首先列出它的所有可能取的值取的值 xi，其次要分别求出以怎样的概率取其其次要分别求出以怎样的概率取其中的每一个数。中的每一个数。,3,2,1,)(ipxXPii,3,2,1,)(ipxXPii称称 为为 X 的概率分布的概率分布简称分布律，一般用下表表简称分布律，一般用下表表示示X x1 x 2 xn p p1 p 2 pn 满足如下两个性质：满足如下两个性质：(1).0,1,2,3,ipi121(2).1inippppX x1 x 2 xn p p1 p 2 pn 例例1 设已知离散型随机变量设已知离散型随机变量 的
5、概率分布为的概率分布为：求其中的常数求其中的常数 a.解：解：13.01021016.02aaa054.03.02aa解得解得 a=0.6 ,a=-0.9 -1 0 1 2 3 p220.160.31010aaa（舍去）舍去）例例2 重复独立地抛掷一颗骰子，出现点数重复独立地抛掷一颗骰子，出现点数4向上向上为止，为止，求抛掷次数求抛掷次数 X 的分布律。的分布律。解：解：X p 123k)(kXP 1)65(k61 kk651 612653265kk651 例例 3 抛掷一枚匀称的骰子，设出现的点数为抛掷一枚匀称的骰子，设出现的点数为 X 。（1）.求求 X 的分布律；的分布律；（2）.求求“
6、点数不小于点数不小于3”的概率；的概率；（3）求）求“点数不超过点数不超过3”的概率的概率.解：解：（1）124356（2）Xp616161616161 3XP6543 XXXXP或或或或或或6543 XPXPXPXP3264例例 3 抛掷一枚匀称的骰子，出现的点数为抛掷一枚匀称的骰子，出现的点数为 X 。（3）求）求“点数不超过点数不超过3”的概率；的概率；（3）3XP321 XXXP或或或或321 XPXPXP21124356Xp6161616161612、几种常用的离散型分布、几种常用的离散型分布 设事件设事件 A 在一次试验中发生的概率为在一次试验中发生的概率为 p(1)kknknP
7、XkCpp用用 X 表示在表示在 n 次试验中事件次试验中事件A发生的次数，则发生的次数，则（1）、二项分布）、二项分布若一个随机变量若一个随机变量 X 的概率分布律是：的概率分布律是：(1)kkn kkkn kknnPC ppC p q其中称这样的随机变量称这样的随机变量 X 服从二项分布服从二项分布,记为记为X B(n,p)用用 X表示表示 n 次重复独立试验中事件次重复独立试验中事件 A 发生发生的次数，则的次数，则 X 服从二项分布服从二项分布 B(n,p)，其中其中 p 是事件是事件A在一次试验中发生的概率。在一次试验中发生的概率。012012knknpppppXp例例4 医生对医生
8、对 5 人作某疫苗接种试验，已知对试验呈人作某疫苗接种试验，已知对试验呈阳性的概率为阳性的概率为 p=0.45，且各人的反应相互独立，若且各人的反应相互独立，若以以 X 记反应为阳性的人数。记反应为阳性的人数。（1）写出）写出 X 的分布律；的分布律；（2）求恰有）求恰有 3 人反应为阳性的概率；人反应为阳性的概率；（3）求至少有）求至少有 2 人反应为阳性的概率。人反应为阳性的概率。解解 观察一个人对接种疫苗的反应看成是一次试验。观察一个人对接种疫苗的反应看成是一次试验。用用X表示表示5次这样的试验中反应为阳性的人数。次这样的试验中反应为阳性的人数。则则 X 服从二项分布，服从二项分布，即即
9、 X B(5,0.45)5,4,3,2,1,0,55.045.055 kCPkkkk(1)012345012345ppppppXp由于由于 X B(5,0.45)（2）恰有）恰有 3 人反应为阳性的概率。人反应为阳性的概率。335 335(3)0.450.55P XPC275653.02345(2)P XPPPP(2)1(1)P XP X 1(0)(1)P XP X 4115500555.045.055.045.01CC914.0至少有至少有 2 人反应为阳性的概率人反应为阳性的概率例例4 （3）求至少有）求至少有 2 人反应为阳性的概率。人反应为阳性的概率。X B(5,0.45)(2)、泊松
10、分布、泊松分布,0,0 1 2!kkPekk其中，若随机变量若随机变量 X 的概率分布为：的概率分布为：称称 X 服从泊松分布，记为服从泊松分布，记为 X P()012012kkppppXp例例5 设随机变量设随机变量 X 服从参数是服从参数是 的泊松分布的泊松分布，且已知，且已知 ，求，求 。12P XP X5P X 解：解：由于由于 XP()，且且12P XP X则则21!2!ee解得解得=2 所以所以555!P Xe5225!e0.0360894解：解：由于由于 XP(10)，所求概率为所求概率为3P X 0123P XP XP XP X02310101010101010100!1!2!
11、3!eeee0.0103例例6 设每分钟到达某交通收费站的汽车数设每分钟到达某交通收费站的汽车数 X 是是随机变量，且随机变量，且 ，求在一分钟内到达收，求在一分钟内到达收费站的汽车数不超过费站的汽车数不超过3辆的概率。辆的概率。(10)XP三、连续型随机变量三、连续型随机变量若随机变量若随机变量 X，存在非负函数存在非负函数 f(x)，有有 1、连续型随机变量及其分布密度、连续型随机变量及其分布密度 则称则称 X 为连续型为连续型随机变量随机变量，称函数，称函数 f(x)为为 X 的概率密度函数的概率密度函数，简称概率密度或密度函数。，简称概率密度或密度函数。(),()baP aXbP Xa
12、 bf x dx密度函数密度函数 f(x)的性质：的性质：(1).()1f x dx(2).()()baP aXbf x dxP abP abP abP ab(3).0P Xb()()baP aXbf x dx概率的计算概率的计算概率概率()P aXb就是面积值就是面积值()f t作为连续型随机变量作为连续型随机变量 X 注意如下特性：注意如下特性：例例1 设随机变量设随机变量 X 有概率密度有概率密度其它0)()(babxaAxf则称则称 X 服从区间服从区间a，b 上的均匀分布（常用分布），上的均匀分布（常用分布），试求常数试求常数A。解解 由密度函数的性质可得：由密度函数的性质可得：1)
13、(dxxf()f x dx得baA x1)(abA1.Aba其它01)(bxaabxfbaAdx例例2 设随机变量设随机变量 X 的概率密度为的概率密度为xxAxf21)(求（求（1）.系数系数 A；（2）.P(-2 X 3)解（解（1）1)(dxxf1A（2）(23)PX 75.03arctan2arctan3221(1)dxx2、正态分布、正态分布若随机变量若随机变量 X 的概率密度为：的概率密度为：22()21()0,2xf xex ，则称随机变量则称随机变量 X 服从正态分布，记为服从正态分布，记为 X N(，2)特别地，若随机变量特别地，若随机变量 X 的概率密度为的概率密度为xex
14、x2221)(则称则称 X 服从标准正态分布，记为服从标准正态分布，记为 X N(0，1)-4-2240.10.20.30.40.5)(x例例3 设随机变量设随机变量 X N(3,42)，求：求：.95.0)().2();105.2().1(xxXPXP的的满足满足 解解（1）-2.510-132H Hx-3L L242p p x0.875375 105.242)3(22241)105.2(dxeXPx875357.0()0.95P Xx22(3)2 410.954 2xxxedx即61097.9 x得得例例3 设随机变量设随机变量 X N(3,42)，求：求：.95.0)().2(xxXP的
15、的满足满足 FindRootxxt3224242t0.95,x,2x9.61097四、随机变量的数字特征四、随机变量的数字特征1、数学期望、数学期望例例 设有设有10个学生的某考试成绩分别是个学生的某考试成绩分别是66，76，80，92，80，52，80，76，80，92。则他们。则他们的的平均成绩为：平均成绩为：4771092807680528092807666.（1）、离散型随机变量的数学期望）、离散型随机变量的数学期望现在我们把每一个同学的成绩分别写在现在我们把每一个同学的成绩分别写在10个相同的球上，这样就得到个相同的球上，这样就得到10个带有数字的球。个带有数字的球。我们做随机试验：
16、在这我们做随机试验：在这10个写有数字的个写有数字的球中，随机地任取一个球，用球中，随机地任取一个球，用X表示所取得的表示所取得的球上的数字，则球上的数字，则 X是一个离散型随机变量。是一个离散型随机变量。由数据由数据 66，76，80，92，80，52，80，76，80，92观察：观察：11242526676809277.41010101010101101102104102X p且且X是个离散型随机变量，其概率分布律为：是个离散型随机变量，其概率分布律为：52667680924771092807680528092807666.平均成绩为：平均成绩为：设离散型随机变量设离散型随机变量 X的概率
17、分布为：的概率分布为：定义：离散型随机变量定义：离散型随机变量 X 的数学期望的数学期望1122nnEXx px px p1nnnEXx pEX 就是就是 X 的平均值的平均值1212nnxxxpppXp例例1：离散型随机变量：离散型随机变量 X 的概率分布是：的概率分布是：112680.20.30.10.20.2求它的数学期望求它的数学期望EX.解：解：1122nnEXx px px pEX13.XP1 0.2 1 0.3 2 0.1 6 0.2 8 0.2 例例2：设想有这样一种博彩游戏，博彩者将本：设想有这样一种博彩游戏，博彩者将本金金 1 元压注在元压注在 1 到到 6 的某个数字上，
18、然后掷三颗的某个数字上，然后掷三颗骰子，若所压的数字出现骰子，若所压的数字出现 n 次（次（n=1，2，3），），则博彩者赢则博彩者赢 n 元，否则没收元，否则没收 1 元本金，试问这样元本金，试问这样的游戏规则对博彩者是否公平？的游戏规则对博彩者是否公平？解：设解：设 1 元本金所带来的赢利为元本金所带来的赢利为 X 元，元，则则 X 的分布为：的分布为：XP-112303031566C 12131566C 21231566C 30331566C 平均赢利为平均赢利为 EX0787037.021617 EX031221310123333311231515151566666666CCCC XP
19、11231 2 52 5512 1 67 27 22 1 6XP（2）、连续型随机变量的数学期望）、连续型随机变量的数学期望设连续型随机变量设连续型随机变量 X 的概率密度函数为的概率密度函数为)(xf定义：连续型随机变量定义：连续型随机变量 的数学期望的数学期望X()EXx f x dxEX 就是就是 X 的平均值的平均值例例3：设随机变量：设随机变量 X 的概率密度是的概率密度是xCexfx|)(（2）.求求 X 落在（落在（-1，1）内的概率；）内的概率；（3）.求求 X 的数学期望的数学期望E(X)。（1）.求常数求常数C；解：解：1)()1(dxxf由由CdxCex2 21 C|1(
20、)2xf xe得1由概率密度函数与概率的关系可得：由概率密度函数与概率的关系可得：(1,1)P X 1121dxexe11例例3：设随机变量：设随机变量 X 的概率密度是的概率密度是|1()2xf xex （2）.求求 X 落在（落在（-1，1）内的概率；）内的概率；11()f x dx由数学期望的定义可知：由数学期望的定义可知：()()E Xx f x dx12xxedx0例例3：设随机变量：设随机变量 X 的概率密度是的概率密度是|1()2xf xex （3）.求求 X的数学期望的数学期望 E(X)。设随机变量设随机变量 X 服从正态分布服从正态分布),(2N其数学期望其数学期望 EX（3
21、）数学期望的性质）数学期望的性质性质性质1、E(C)=C性质性质2、E(aX+b)=aE(X)+b例例4 设随机变量设随机变量X的分布律为的分布律为X 0 1 2 3 p 0.4 0.3 0.2 0.1求求 E(X)，E(3X+2).()E X解解12)(3)23(XEXE50 0.4 1 0.32 0.23 0.1 2、方差、方差（1）定义：设）定义：设 X 是一个随机变量，若是一个随机变量，若 EX-E(X)2 存在，则称存在，则称 EX-E(X)2 为为 X 的方差，记为的方差，记为 D(X)。的标准差或均方差。的标准差或均方差。为为称称XDX2()()D XE XEX（2）计算）计算(
22、只要求连续型只要求连续型)设连续型随机变量设连续型随机变量 X 的概率密度为的概率密度为 f(x)：2()()()D XxE Xf x dx例例5 设设 X 在在 a,b 上服从均匀分布，求上服从均匀分布，求D X.其它01)(bxaabxf解解 随机变量随机变量 X 的密度函数为：的密度函数为：2()()DXxEXf x dx()EXx f x dx1baxdxba212baxba2ba例例5 设设 X 在在 a,b 上服从均匀分布，求上服从均匀分布，求D X.其它01)(bxaabxf2()()2baDXxf x dx21()2babaxdxbaSimplifyabxab22bax112ab22()12abDX 设设 X 服从正态分布服从正态分布 N(,2)，2DX其方差其方差（3）方差的性质）方差的性质性质性质1、D(C)=0性质性质2、D(aX+b)=a2 D(X)
