1、数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法第三章第三章 行波法与积分变换法行波法与积分变换法一 行波法3 适用范围：无界域内波动方程，等1 基本思想：先求出偏微分方程的通解，然后用定解条件确定特解。这一思想与常微分方程的解法是一样的。2 关键步骤：通过变量变换，将波动方程化为便于积分的齐次二阶偏微分方程。数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法xxtxuxxutxxuatu),()0,(),()0,(0,222220122222tuaxu0122222utax0122utax011utax
2、taxtax1tax102uu)(fu)()(21ffuatx atx 2xat2ttxxttxx)()(21atxfatxfutax121tax121数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法xxtxuxxutxxuatu),()0,(),()0,(0,22222)()(21atxfatxfu)()()()0,(21xxfxfxu)()()()0,(21xxf axf atxuCaxfxfx021d)(1)()(2d)(21)(21)(01Caxxfx2d)(21)(21)(02Caxxfx2d)(21)(212d)(21)(2100Caa
3、txCaatxuatxatx11()()()d22x atx atuxatxata 一维波动方程的达朗贝尔公式 行波法 1t2t2f1f数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法11(,)()()()d22x atx atu x txatxata 结论：达朗贝尔解表示沿x 轴正、反向传播的两列波速为a波的叠加，故称为行波法。a.只有初始位移时，代表以速度a 沿x 轴正向传播的波 代表以速度a 沿x 轴负向传播的波1(,)()()2u x txatxat()xat()xat4 解的物理意义b.只有初始速度时：假使初始速度在区间 上是常数，而在此
4、区间外恒等于01(,)()d2x atx atu x ta 11(,)()()u x txatxat数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法222|,|,0002xttxtxxttaxeueuxuauatxatxsaatxatxdsaseeexu2222)(21)()(21解：将初始条件代入达朗贝尔公式atxatxsatxatxdseee221)()(21222atxatxsatxatxeee22221)()(212)(atxe11(,)()()()d22x atx atu x txatxata 5 达朗贝尔公式的应用数学物理方程与特殊函数
5、数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法11(,)()()()d22x atx atu x txatxata 1xx2xt2xxat影响区域1xxatx1xxatt1x决定区域2x2xxatxxatxat依赖区间t(,)P x txatC特征线特征变换行波法又叫特征线法atx atx 6 相关概念数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法22222(,),0(,0)(,0)(),(),uuaf x txttxu xu xxxxt 7 非齐次问题的处理222112211,0(,0)(,0)(),(),uuaxtt
6、xu xu xxxxt 222222222(,),0(,0)(,0)0,0,uuaf x txttxuxuxxt 利用叠加原理将问题进行分解：12uuu111(,)()()()d22x atx atu x txatxata 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法222222222(,),0(,0)(,0)0,0,uuaf x txttxuxuxxt 22222,(,)(,)0,(,),axttxxxf xxt 利用齐次化原理，若 满足：则：20(,)(,)dtux tx t令：1tt 22212211,0(,0)(,0)0,(,),axt
7、txxxf xxt 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法22212211,0(,0)(,0)0,(,),axttxxxf xxt 11()1()11(,)(,)d(,)d22x atx a tx atx a tx tffaa 20()0()(,)(,)d1(,)d d2ttx a tx a tux tx tfa 从而原问题的解为()0()11(,)()()()d221(,)d d2x atx attx a tx a tu x txatxatafa 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变
8、换法0)(22222yuAByxuBAxuyAxyBxxuxuxuxuBuAxuBuAxu22yuyuyuyuuyuuyu22yuBuAyuBuAyxu222222)(yuAByxuBAxu222222222222222222()()2uuuuuuAABBABAABBuuuAB uBA22)(uBuA22222222uBuABuAuu222222uuu22222)(uBuBAuA数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法0)(22222yuAByxuBAxuAxy Bxy 02u22(d)()d d(d)dddd0yABx yABxyA xy
9、B x044222BAABBAacb022222yuaxu222(d)(d)0yax04)(140222aa双曲型方程 02222yuxu22(d)(d)0yx011402椭圆型方程 222xuatu0014022(d)0y抛物型方程 2222220uuuuuABCDEFuxx yyxy 22(d)2 d d(d)0AyB x yCx特征方程数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法xyxuexuxyyuyxuxux,0)0,(,)0,(,0,03222222222d2d d3dyx yxxy3xy 02u)()(21ffu)()3()0,(
10、212xfxfexux)()3(0)0,(21xfxfyxuCxfxf)()3(3121Cexfx4343)3(21Cexfx4343)(9/12Cexfx4343)(22CeCeuxyxy43434343223(d3d)(dd)0yxyx)()3(21xyfxyf2243433xyxyee例1 解定解问题解数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法例2 求解2222222sin(cos)cos0uuuuxxxxx yyy 解：特征方程为222(d)2sin d d(cos)(d)0yx x yxx22(dsin d)(d)0yx xx(ds
11、in dd)(dsin dd)0yx xxyx xxdsin1ddsin1dyxxyxx 12coscosyxxCyxxC令：coscosxxyxxy20u (,)()()u (,)(cos)(cos)u x yxxyxxy数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法例3 求解Goursat问题2222,0(),0(0)(0)(),0txt xuutxt ttxuxxuxx 其中解：令xtxt200220,0,0(),0(),0uuu 2x2t)()(21ffu122()(0)()ff122()()(0)ff2122(,)()(0)()(0)u
12、ff 12(0)(0)(0)ff12(0)(0)(0)ff(,)()()(0)22xtxtu x y数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法补充作业：2222425,0,(,0)(,0)sin,3,uuyxtxu xu xxxxt 解定解问题数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法二 积分变换法1 傅立叶变换法(,)(,)d1(,)(,)d2j xj xUtu x t exu x tUt e傅立叶变换的性质()(j)()nnf(x)F微分性j()af(xa)Fe位移性积分性01()d()
13、jxfF1()()f axFaa相似性傅立叶变换的定义)(jF(x)f)(2F(x)f 偏微分方程变常微分方程数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法xxtxuxxutxxuatu),()0,(),()0,(0,22222)(Ff(x)(jF(x)f)(2F(x)f),(d)0,(d),()0,(0),(d),(d2222tUUttUattU例1 解定解问题解：利用傅立叶变换的性质taBtaAtUsincos),(,0)()UA()(,)()cossinUta ta ta()Baj)(eF)f(xj)(d0F)f(x数学物理方程与特殊函数数
14、学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法()(,)()cossinUta ta ta j2)(2)(jjjjtatatataeeaeetatatataeeaeejjjjj)(j)(21)()(21d)(d)(21)()(21),(00atxatxaatxatxtxud)(21)()(21atxatxaatxatxj)(eF)f(xj)(d0F)f(x数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法xxxutxxuatu),()0,(0,222,1)0,(0),(d),(d22UttUattUtaCetU22),(222
15、22221 eextatxeeta2222421txetatxu22421),(22(,)atUte例2 解定解问题解：利用傅立叶变换的性质1C xu数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法2 拉氏变换法00()()d()()dptptT pf t etf tT p ep拉普拉斯变换的性质()(1)(2)(1)()(0)(0)(0)nnnnnf(x)p F ppfpff微分性1()()f axFaa相似性拉普拉斯变换的定义偏微分方程变常微分方程()(0)f(x)pF pf2()(0)(0)f(x)p F ppff数学物理方程与特殊函数数学物
16、理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法0,),0(0,0)0,(0,0,222tNtuxxutxxuatupNpUxxpxUapxpU),0(0,d),(d),(222xapxapBeAepxU),(,)pxaNU x peppkeptk1)2(erfc(,)erfc()2xu x tNa tpaxeptax1)2(erfc例3 解定解问题解：对t求拉氏变换NABp数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法例4 解定解问题解：对x求傅氏变换xxxutxtxfxuatu),()0,(0,),(222),()0,(0)
17、,(),(d),(d22UttFtUattU22)(),(),(appFpUapeat1tataetFetU2222),()(),(2222()0()(,)dtatateFe 22122apeta),(),()(),(22pFpUappU对t求拉氏变换数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法22222221 eextatxeeta2222421d)(21),(21)(),(0)(442222ttxtxetaxfetaxtxu22224()4011()d(,)d d22()xxtttefeatat tataetFetU2222),()(),(
18、d),()()(02222tattaeFe数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法xxtxuxxutxxtxutu,sin)0,(,0)0,(0,sin22222222sin),(ddsin),(pxpxUxxpxUp)1()1(j1),()1()1(j),(222ppUpUp222)1()1(j11),(pppU例5 解定解问题解：对t求拉氏变换对x求傅氏变换数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法1)1()1(j1122ppxttxusin),(2)1()1(jp222)1()1(j
19、11),(pppU1 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法例6 求方程 0,1,22yxyxyxu满足边界条件 ，2)0,(xxuyyucos),1(的解。)(2122xgyxxu)()(612123yfxfyxu221)0()()0,(xfxfxuyyffyyucos)()1(61),1(212)0()(221fxxf)1(61cos)(122fyyyf32221211cos(1)(0)66ux yxyyff12(1,0)(1)(0)1uff322211cos166ux yxyy解法一：数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第
20、3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法0,1,22yxyxyxu2)0,(xxuyyucos),1(222),(ddpxxpxpUxpxpxpxUx2),(dd32CpxpxpxU2333),(1),1(2pppUpppppxpxpxU13113),(32233161cos61),(2223yyxyxyxu解法二：对y求拉氏变换231113pCppp数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法2222222,0(1)(,0)0,(,0)1,1uuxtxttxxu xxu xxtx 例7 解定解问题解：对t取拉氏变换222)(),()()
21、,(pGpxUFpUp2221(),()(1)1xGFxx1)()()()(),(222222pFpGpFpGpUx取傅立叶变换其中2222222)1(d),(d11),(pxxxpxUxpxUp数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法0200202111(,)()()sin()sin()()sin11()()sind()sin11()()dcos()sin11()()cos|cosd()sin11()sinttttUtGtFtGttFttGtFtGtFtGtFtGtt 221()sin11 1()()sin()sinFttGFtGt 1)
22、()()()(),(222222pFpGpFpGpU数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法tGtFGttUsin)(11sin)(1)(),(2222()(1)xGxd1j)(-22xG22j)()(1GG x-22dd1 x-2-22dd1121 x-2dd11212 x-d11d212x-2d1121xarctan21j-j()sin()2jtteeFtF2211112j1txtx11()sinj()sinjFtFtd11112j1j22xtt)arctan()arctan(21txtxj2()()1()1tf xtFeFx数学物理方
23、程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法tGtFGttUsin)(11sin)(1)(),(2222()(1)xGxxGarctan21)(12tFsin)(1)arctan()arctan(21txtxj-j2211()sin()2jtteeGtGtxtxarctanarctanj4121 11()sinjarctanarctand4jxGttt txtxxxxxxx|)1ln(21arctan41|)1ln(21arctan4122)1ln(21arctan)1ln(21arctan4122txtxtxtxtxtx 2211ln81arctana
24、rctan41txtxtxtxtxtx 2211ln81arctanarctan41)arctan()arctan(21arctan2txtxtxtxtxtxtxtxxtu2arctandarctanln(1)2xxxxxc数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法3 积分变换法求解问题的步骤对方程的两边做积分变换将偏微分方程变为常微分方程对定解条件做相应的积分变换，导出新方程变的为定解条件对常微分方程，求原定解条件解的变换式对解的变换式取相应的逆变换，得到原定解问题的解4 积分变换法求解问题的注意事项如何选取适当的积分变换定解条件中那些需要积分变换，那些不需取如何取逆变换思考利用积分变换方法求解问题的好处是什么？
