1、1.1 数学模型 Mathematical Model 2022-8-61.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP 线性规划通常研究资源的最优利用、设备最佳运行等问题。例如，当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用最少的资源（如资金、设备、原标材料、人工、时间等）去完成确定的任务或目标；企业在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最好的经济效益（如产品量最多、利润最大）。线性规划（Linear Programming,缩写为LP）是运筹学的重要分支之一，在实际中应用得较广泛，其方法也较成熟，借助计算机，使得计算更方便，应用领域更广泛和深入。2022-
2、8-6【例1.1】最优生产计划问题。某企业在计划期内计划生产甲、乙、丙三种产品。这些产品分别需要要在设备A、B上加工，需要消耗材料C、D，按工艺资料规定，单件产品在不同设备上加工及所需要的资源如表1.1所示。已知在计划期内设备的加工能力各为200台时，可供材料分别为360、300公斤；每生产一件甲、乙、丙三种产品，企业可获得利润分别为40、30、50元，假定市场需求无限制。企业决策者应如何安排生产计划，使企业在计划期内总的利润收入最大？1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP1.1.1 应用模型举例2022-8-6表1.1 产品资源消耗1.1 线性规划的数学
3、模型 Mathematical Model of LP2022-8-6321503040maxxxxZ0003005323605420042220023321321321321321xxxxxxxxxxxxxxx，【解】设x1、x2、x3 分别为甲、乙、丙三种产品的产量数学模型为：1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP最优解X=(50,30,10);Z=34002022-8-6线性规划的数学模型由决策变量 Decision variables 目标函数Objective function及约束条件Constraints构成。称为三个要素。n其特征是：n1解
4、决问题的目标函数是多个决策变量的 线性函数，通常是求最大值或 最小值；n2解决问题的是一组多个决策变量 的线性不等式或等式。怎样辨别一个模型是线性规划模型？1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP2022-8-6【例1.2】某商场决定：营业员每周连续工作5天后连续休息2天，轮流休息。根据统计，商场每天需要的营业员如表1.2所示。表1.2 营业员需要量统计表商场人力资源部应如何安排每天的上班人数，使商场总的营业员最少。1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP2022-8-6【解】设xj(j=1，2，7)为休息2天后星期一到星
5、期日开始上班的营业员，则这个问题的线性规划模型为 7,2,1,0550600480400350300300min765436543254321743217632176521765417654321jxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxZj1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP2022-8-6最优解：Z617（人）2022-8-6【例1.3】合理用料问题。某汽车需要用甲、乙、丙三种规格的轴各一根，这些轴的规格分别是1.5，1，0.7（m），这些轴需要用同一种圆钢来做，圆钢长度为4 m。现在要制造1000辆汽车
6、，最少要用多少圆钢来生产这些轴？【解】这是一个条材下料问题，设切口宽度为零。设一根圆钢切割成甲、乙、丙三种轴的根数分别为y1，y2，y3,则切割方式可用不等式1.5y1+y2+0.7y34表示，求这个不等式关于y1，y2，y3的非负整数解。象这样的非负整数解共有10组，也就是有10种下料方式，如表1.3所示。表13 下料方案1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP2022-8-6设设xj(j=1,2,10)为第为第j种下料方案所用圆钢的根数。则用料最少种下料方案所用圆钢的根数。则用料最少数学模型数学模型求下料方案时应注意，余料不能超过最短毛坯的长度；最好将毛
7、坯长度按降的次序排列，即先切割长度最长的毛坯，再切割次长的，最后切割最短的，不能遗漏了方案。如果方案较多，用计算机编程排方案，去掉余料较长的方案，进行初选。102,1,010005423210002342100022min10987542987643154321101，jxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxZjjj1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP2022-8-6Z812.52022-8-6【例1.4】配料问题。某钢铁公司生产一种合金，要求的成分规格是：锡不少于28%，锌不多于15%，铅恰好10%，镍要界于35%55%之间，不允许有其他成分。钢铁
8、公司拟从五种不同级别的矿石中进行冶炼，每种矿物的成分含量和价格如表1.4所示。矿石杂质在治炼过程中废弃，现要求每吨合金成本最低的矿物数量。假设矿石在冶炼过程中，合金含量没有发生变化。表1.4 矿石的金属含量1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP2022-8-6解:设xj（j=1,2，5）是第j 种矿石数量，得到下列线性规划模型 注意，矿石在实际冶炼时金属含量会发生变化，建模时应将这种变化考虑进去，有可能是非线性关系。配料问题也称配方问题、营养问题或混合问题，在许多行业生产中都能遇到。1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of L
9、P1234512451345135123451234512min3402601802301900.250.40.20.080.280.10.150.20.050.150.10.050.150.10.250.30.20.40.170.550.250.30.20.40.170.350.70.7Zxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx3450.40.80.4510,1,2,5jxxxxj2022-8-6最优解：Z=347.51.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP2022-8-6【例1.5】投资问题。某投资公司在第一年有200万元资金，每年都有如
10、下的投资方案可供考虑采纳：“假使第一年投入一笔资金，第二年又继续投入此资金的50%，那么到第三年就可回收第一年投入资金的一倍金额”。投资公司决定最优的投资策略使第六年所掌握的资金最多。第五年：(x7/2+x9)=x8+2x5第一年：x1+x2=200(万元)第二年：(x1/2+x3)+x4=x2第三年(x3/2+x5)+x6=x4+2x1第四年：(x5/2+x7)+x8=x6+2x3到第六年实有资金总额为x9+2x7，整理后得到下列线性规划模型 1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP【解】设 x1：第一年的投资；x2：第一年的保留资金 x3：第二年新的投资
11、；x4：第二年的保留资金 x5：第三年新的投资；x6：第三年的保留资金 x7：第四年新的投资 x8：第四年的保留资金 x9：第五年的保留资金 2022-8-67912123413456356785789max22002220422204222042200,1,2,9jZxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxj1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP最优解：Z 416.26万元x1：第一年的投资；x2：第一年的保留资金 x3：第二年新的投资；x4：第二年的保留资金 x5：第三年新的投资；x6：第三年的保留资金 x7：第四年新的投资 x8：第四年的保留资
12、金 x9：第五年的保留资金 2022-8-6【例1.6】均衡配套生产问题。某产品由2件甲、3件乙零件组装而成。两种零件必须经过设备A、B上加工，每件甲零件在A、B上的加工时间分别为5分钟和9分钟，每件乙零件在A、B上的加工时间分别为4分钟和10分钟。现有2台设备A和3台设备B，每天可供加工时间为8小时。为了保持两种设备均衡负荷生产，要求一种设备每天的加工总时间不超过另一种设备总时间1小时。怎样安排设备的加工时间使每天产品的产量最大。【解】设x1、x2为每天加工甲、乙两种零件的件数，则产品的产量是)31,21min(21xxy 设备A、B每天加工工时的约束为60831096082452121xx
13、xx要求一种设备每台每天的加工时间不超过另一种设备1小时的约束为 60)109()452121xxxx（1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP2022-8-6目标函数线性化。产品的产量y等价于2131,21xyxy整理得到线性规划模型 约束线性化。将绝对值约束写成两个不等式60)109()45(60)109()45(21212121xxxxxxxx1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP121212121212m a x1213549 6 091 01 4 4 0466 0466 00Zyyxyxxxxxxxxxyxx、
14、2022-8-61.1.2 线性规划的一般模型一般地，假设线性规划数学模型中，有m个约束，有n个决策变量xj,j=1,2,n，目标函数的变量系数用cj表示,cj称为价值系数。约束条件的变量系数用aij表示，aij称为工艺系数。约束条件右端的常数用bi表示，bi称为资源限量。则线性规划数学模型的一般表达式可写成1 1221111221121 1222221 122max(min)(,)(,)(,)0,1,2,nnnnnnmmmnnmjZc xc xc xa xa xa xba xa xa xba xaxaxbxjn 或或或为了书写方便，上式也可写成：1.1 线性规划的数学模型 Mathemati
15、cal Model of LP2022-8-611max(min)(,)1,2,0,1,2,njjjnijjijjZc xa xbinxjn 或在实际中一般xj0,但有时xj0或xj无符号限制。1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP2022-8-61.什么是线性规划，掌握线性规划在管理中的几个应用例子2.线性规划数学模型的组成及其特征3.线性规划数学模型的一般表达式。作业：教材P31 T 2，3，4，5，61.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP下一节：图解法1.2 图解法 Graphical Method2022-8-
16、6图解法的步骤：1.求可行解集合。分别求出满足每个约束包括变量非 负要求的区域，其交集就是可行解集合，或称为可行域；2.绘制目标函数图形。先过原点作一条矢量指向点（c1,c2)，矢量的方向就是目标函数增加的方向，称为梯度方向，再作一条与矢量垂直的直线，这条直线就是目标函数图形；3.求最优解。依据目标函数求最大或最小移动目标函数直线，直线与可行域相交的点对应的坐标就是最优解。一般地，将目标函数直线放在可行域中 求最大值时直线沿着矢量方向移动 求最小值时沿着矢量的反方向移动1.2 图解法The Graphical Method2022-8-6x1x2O1020304010203040(3,4)(1
17、5,10)最优解X=(15,10)最优值Z=8540221xx305.121xx0,0305.1402212121xxxxxx例1.72143maxxxZ1.2 图解法The Graphical Method2022-8-6246x1x2246最优解X=(3,1)最优值Z=5(3,1)006346321212121xxxxxxxx、min Z=x1+2x2例1.8(1,2)1.2 图解法The Graphical Method2022-8-6246x1x2246X（2）（3,1）X（1）（1,3）(5,5)006346321212121xxxxxxxx、min Z=5x1+5x2例1.9有无穷
18、多个最优解即具有多重解,通解为 01,)1()2()1(XXX 当=0.5时=(x1,x2)=0.5(1,3)+0.5(3,1)=(2,2)1.2 图解法The Graphical Method2022-8-6246x1x2246(1,2)006346321212121xxxxxxxx、无界解(无最优解)max Z=x1+2x2例1.102022-8-6x1x2O102030401020304050500,050305.140221212121xxxxxxxx无可行解即无最优解max Z=10 x1+4x2例1.111.2 图解法The Graphical Method2022-8-6由以上例
19、题可知，线性规划的解有4种形式：1.有唯一最优解(例1.7例1.8)2.有多重解(例1.9)3.有无界解(例1.10)4.无可行解(例1.11)1、2情形为有最优解3、4情形为无最优解1.2 图解法The Graphical Method2022-8-61.通过图解法了解线性规划有几种解的形式2.作图的关键有三点 (1)可行解区域要画正确 (2)目标函数增加的方向不能画错 (3)目标函数的直线怎样平行移动作业：教材P34 T7 1.2 图解法The Graphical Method下一节：线性规划的标准型1.3 线性规划的标准型Standard form of LP2022-8-6 在用单纯法
20、求解线性规划问题时，为了讨论问题方便，需将线性规划模型化为统一的标准形式。1.3 线性规划的标准型Standard form of LP线性规划问题的标准型为:1目标函数求最大值（或求最小值）2约束条件都为等式方程3变量xj非负4常数bi非负2022-8-6mibnjxbxaxaxabxaxaxabxaxaxaijmnmnmmnnnn,2,1,0,2,1,02211222222111212111max(或min)Z=c1x1+c2x2+cnxn1.3 线性规划的标准型Standard form of LP注：本教材默认目标函数是 max2022-8-6njjjxcZ1maxminjxbxajn
21、jijij,2,1,2,1,010maxXbAXCXZ或写成下列形式：或用矩阵形式1.3 线性规划的标准型Standard form of LP2022-8-6111211121222221212,)nnnmmm nnmaaaxbaaaxbAXbCc ccaaaxb ；(通常X记为：称为约束方程的系数矩阵，m是约束方程的个数，n是决策变量的个数，一般情况mn，且r()m。TnxxxX),21（m ax0ZC XA XbX其中:1.3 线性规划的标准型Standard form of LP2022-8-6【例1.12】将下列线性规划化为标准型 3213minxxxZ无符号要求、321321321
22、32100)3(523)2(3)1(82xxxxxxxxxxxx【解】（）因为x3无符号要求，即x3取正值也可取负值，标准型中要求变量非负，所以令 0,33333 xxxxx其中1.3 线性规划的标准型Standard form of LP2022-8-6(3)第二个约束条件是号，在号 左端减去剩余变量(Surplus variable)x5，x50。也称松驰变量3213minxxxZ无符号要求、32132132132100)3(523)2(3)1(82xxxxxxxxxxxx1.3 线性规划的标准型Standard form of LP(2)第一个约束条件是号，在左端加入松驰变量(slack
23、 variable)x4，x40,化为等式；(4)第三个约束条件是号且常数项为负数，因此在左边加入松驰变量x6，x60，同时两边乘以1。（5）目标函数是最小值，为了化为求最大值，令Z=Z,得到max Z=Z，即当Z达到最小值时Z达到最大值，反之亦然。2022-8-6综合起来得到下列标准型 332133maxxxxxZ 05)(233826543321633215332143321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx、1.3 线性规划的标准型Standard form of LP2022-8-6 当某个变量xj0时,令x/j=xj。当某个约束是绝对值不等式时，将绝对值不等式化为两个不等式
24、，再化为等式，例如约束 974321xxx将其化为两个不等式 974974321321xxxxxx再加入松驰变量化为等式。1.3 线性规划的标准型Standard form of LP2022-8-6【例1.13】将下例线性规划化为标准型无约束、211212145|maxxxxxxxxZ【解】此题关键是将目标函数中的绝对值去掉。令 0000000000002222222211111111xxxxxxxxxxxxxxxx，222222111111,|,|xxxxxxxxxxxx 则有1.3 线性规划的标准型Standard form of LP2022-8-6得到线性规划的标准形式 112211
25、223114112234max()()540Zxxxxxxxxxxxxxxxxxx、1.3 线性规划的标准型Standard form of LP对于axb(a、b均大于零)的有界变量化为标准形式有两种方法，一种方法是增加两个约束xa及xb，另一种方法是令=xa，则axb等价于0ba，增加一个约束ba并且将原问题所有x用x=+a替换。2022-8-61.如何化标准形式？可以对照四条标准逐一判断！标准形式是人为定义的，目标函数可以是求最小值。2.用WinQSB软件求解时，不必化成标准型。图解法时不必化为标准型。3.单纯形法求解时一定要化为标准型。作业：教材P34 T 81.3 线性规划的标准型S
26、tandard form of LP下一节：基本概念1.4 线性规划的有关概念Basic Concepts of LP2022-8-6 设线性规划的标准型 max Z=CX （1.1）AX=b （1.2）X 0 （1.3）式中A 是mn矩阵，mn并且r（A）=m，显然A中至少有一个mm子矩阵B，使得r（B）=m。1.4 基本概念Basic Concepts 基 (basis)A中mm子矩阵B并且有r（B）=m，则称B是线性规划的一个基（或基矩阵basis matrix）。当m=n时，基矩阵唯一，当mn时，基矩阵就可能有多个，但数目不超过mnC2022-8-6【例1.14】线性规划 32124m
27、axxxxZ5,1,0226103553214321jxxxxxxxxxj 求所有基矩阵。【解】约束方程的系数矩阵为25矩阵 10261001115A,610151B,010152B,110053B26114B10019B,12017B,02118B,16016B,06115B容易看出r(A)=2，2阶子矩阵有C52=10个，其中第1列与第3列构成的2阶矩阵不是一个基，基矩阵只有9个，即1.4 基本概念Basic Concepts 2022-8-6由线性代数知，基矩阵B必为非奇异矩阵并且|B|0。当矩阵B的行列式等式零即|B|=0时就不是基 当确定某一矩阵为基矩阵时，则基矩阵对应的列向量称为基
28、向量(basis vector)，其余列向量称为非基向量 基向量对应的变量称为基变量(basis variable)，非基向量对应的变量称为非基变量 在上例中B2的基向量是A中的第一列和第四列，其余列向量是非基向量，x1、x4是基变量，x2、x3、x5是非基变量。基变量、非基变量是针对某一确定基而言的，不同的基对应的基变量和非基变量也不同。010152B10261001115A1.4 基本概念Basic Concepts 2022-8-6可行解(feasible solution)满足式（1.2）及（1.3）的解X=（x1,x2，xn)T 称为可行解。基本可行解(basis feasible
29、solution)若基本解是可行解则称为是基本可行解（也称基可行解）。例如，与X=（0，0，0，3，2，）都是例1 的可行解。TX)1,27,21,0,0(基本解(basis solution)对某一确定的基B，令非基变量等于零，利用式（1.）解出基变量，则这组解称为基的基本解。最优解(optimal solution)满足式 （1.1）的可行解称为最优解，即是使得目标函数达到最大值的可行解就是最优解，例如可行解 是例2的最优解。TX)8,0,0,0,53(非可行解(Infeasible solution)无界解(unbound solution)1.4 基本概念Basic Concepts
30、2022-8-6显然，只要基本解中的基变量的解满足式（1.）的非负要求，那么这个基本解就是基本可行解。在例1.13中，对来说，x1,x2是基变量，x3,x4，x5是非基变量，令x3=x4=x5=0，则式（1.）为2610352121xxxx,610151B对B2来说，x1,x4,为基变量，令非变量x2,x3,x5为零，由式（1.2）得到 ，x4=4，511x因|B1|，由克莱姆法则知，x1、x2有唯一解x12/5,x2=1则 基本解为TX)0,0,0,1,52()1(1.4 基本概念Basic Concepts 2022-8-6由于 是基本解，从而它是基本可行解，在 中x10i表1-4(1)X
31、Bx1x2x3x4bx3211040 x4130130j3400 (2)x3x2j (3)x1 x2 j 基变量110001/301/3105/31-1/3405/30-4/330103/5-1/51801-1/5 2/5400-1-1将3化为1乘以1/3后得到1.5 单纯形法 Simplex Method30182022-8-6最优解X=(18，4，0，0)T，最优值Z=70O20301040(3,4)X(3)=(18,4)最优解X=(18,4)最优值Z=7040221xx305.121xx0,30340243max432142132121xxxxxxxxxxxxZX(1)=(0,0)201
32、0 x2x1301.5 单纯形法 Simplex Method0,0305.1402212121xxxxxxX(2)=(0,10)2022-8-6单纯形法全过程的计算，可以用列表的方法计算更为简洁，这种表格称为单纯形表（表1.4）。计算步骤：1.求初始基可行解，列出初始单纯形表，求出检验数。其中基变量的检验数必为零；2.判断：（a）若j（j，n）得到最解；（b）某个k0且aik（i=1，2,m）则线性规划具有无界解(见例1.18)。（c）若存在k0且aik(i=1,m)不全非正，则进行换基；1.5 单纯形法 Simplex Method2022-8-6min0,0,iiLikikikikbba
33、aM Maa当 时为任意大的正数第个比值最小，选最小比值对应行的基变量为出基变量，若有相同最小比值，则任选一个。aLk为主元素；(c）求新的基可行解：用初等行变换方法将aLk 化为,k列其它元素化为零（包括检验数行）得到新的可行基及基本可行解，再判断是否得到最优解。（b）选出基变量，求最小比值：1.5 单纯形法 Simplex Method3.换基：（a）选进基变量设k=max j|j 0,xk为进基变量2022-8-6【例1.16】用单纯形法求解3212maxxxxZ02053115232321321321xxxxxxxxx、【解】将数学模型化为标准形式：3212maxxxxZ5,2,1,0
34、205311523253214321jxxxxxxxxxj不难看出x4、x5可作为初始基变量，单纯法计算结果如表 1.所示。1.5 单纯形法 Simplex Method2022-8-6Cj12100bCBXBx1x2x3x4x50 x423210150 x51/3150120j12100 0 x42x2j 1x1 2x2 j 表151/3150120301713751/30902M2025601017/31/31250128/91/92/335/30098/91/97/3最优解X=(25，35/3，0，0，0)T，最优值Z=145/31.5 单纯形法 Simplex Method2022-8
35、-6【例1.17】用单纯形法求解 42122minxxxZ5,1,0212665521421321jxxxxxxxxxxj【解】这是一个极小化的线性规划问题,可以将其化为极大化问题求解,也可以直接求解,这时判断标准是：j0(j=1，n)时得到最优解。容易观察到,系数矩阵中有一个3阶单位矩阵,x3、x4、x5为基变量。目标函数中含有基变量x4,由第二个约束得到x4=6+x1x2，并代入目标函数消去x4得12121222(6)6Zxxxxxx 1.5 单纯形法 Simplex Method2022-8-6XBx1x2x3x4x5bx3x4x51-1611210001000156215621/2j1
36、-1000 x2x4x51-241001-1-20100015111 j20100 表中j0,j=1,2,5所以最优解为X=(0,5,0,1,11,)最优值 Z=2x12x2x4=251=11极小值问题,注意判断标准,选进基变量时,应选j0,x2进基，而a120，a220且aik（i=1，2,m）则线性规划具有无界解退化基本可行解的判断:存在某个基变量为零的基本可行解。1.5 单纯形法 Simplex Method2022-8-6在实际问题中有些模型并不含有单位矩阵，为了得到一组基向量和初基可行解，在约束条件的等式左端加一组虚拟变量，得到一组基变量。这种人为加的变量称为人工变量，构成的可行基称
37、为人工基，用大M法或两阶段法求解，这种用人工变量作桥梁的求解方法称为人工变量法。【例1.20】用大M法解 下列线性规划012210243423max321321321321321xxxxxxxxxxxxxxxZ、1.大M 单纯形法1.5.2大M和两阶段单纯形法1.5 单纯形法 Simplex Method2022-8-6【解】首先将数学模型化为标准形式5,2,1,012210243423max32153214321321jxxxxxxxxxxxxxxxZj式中x4，x5为松弛变量，x5可作为一个基变量，第一、三约束中分别加入人工变量x6、x7，目标函数中加入Mx6Mx7一项，得到人工变量单纯形
38、法数学模型用前面介绍的单纯形法求解，见下表。7,2,1,012210243423max732153216432176321jxxxxxxxxxxxxxxMxMxxxxZj1.5 单纯形法 Simplex Method2022-8-6（1）初始表中的检验数有两种算法，第一种算法是利用第一、三约束将x6、x7的表达式代入目标涵数消去x6和x7，得到用非基变量表达的目标函数，其系数就是检验数；第二种算法是利用公式计算，如（2）M是一个很大的抽象的数，不需要给出具体的数值，可以理解为它能大于给定的任何一个确定数值；MMM232)(10)4()(31最优解X（31/3，13，19/3，0，0)T；最优值
39、Z152/3注意：1.5 单纯形法 Simplex Method2022-8-6【例1.21】求解线性规划 0,426385min21212121xxxxxxxxZ【解】加入松驰变量x3、x4化为标准型4,2,1,0426385min42132121jxxxxxxxxxZj在第二个方程中加入人工变量x5，目标函数中加上M x5一项，得到 1.5 单纯形法 Simplex Method2022-8-65,2,1,0426385min5421321521jxxxxxxxxMxxxZj用单纯形法计算如下表所示。Cj5800MbCBXBx1x2x3x4x50Mx3x5311210010164j5M8+
40、2M0M0 5Mx1x5101/37/31/31/3010122j029/3+7/3M5/3+1/3MM0 1.5 单纯形法 Simplex Method2022-8-6表中j0，j=1，2，5，从而得到最优解X=（2，0，0，0，2），Z=10+2M。但最优解中含有人工变量x50说明这个解是伪最优解，是不可行的，因此原问题无可行解。两阶段单纯形法与大M单纯形法的目的类似，将人工变量从基变量中换出，以求出原问题的初始基本可行解。将问题分成两个阶段求解，第一阶段的目标函数是miiRw1min约束条件是加入人工变量后的约束方程，当第一阶段的最优解中没有人工变量作基变量时，得到原线性规划的一个基本可
41、行解，第二阶段就以此为基础对原目标函数求最优解。当第一阶段的最优解w0时，说明还有不为零的人工变量是基变量，则原问题无可行解。1.5 单纯形法 Simplex Method2.两阶段单纯形法2022-8-6【例1.22】用两阶段单纯形法求解例19的线性规划。【解】标准型为5,2,1,012210243423max32153214321321jxxxxxxxxxxxxxxxZj在第一、三约束方程中加入人工变量x6、x7后，第一阶段问题为7,2,1,0122102434min732153216432176jxxxxxxxxxxxxxxxxwj用单纯形法求解，得到第一阶段问题的计算表如下：1.5 单
42、纯形法 Simplex Method2022-8-6Cj0000011 bCBXBx1x2x3x4x5x6x7101x6x5x74123121211000101000014101j2121000 100 x6x5x3632532001100010100 381j650100 000 x2x5x36/53/52/51000011/53/52/5010 3/531/511/5j00000 1.5 单纯形法 Simplex Method2022-8-6最优解为 最优值w=0。第一阶段最后一张最优表说明找到了原问题的一组基可行解，将它作为初始基可行解，求原问题的最优解，即第二阶段问题为)5310,51
43、1,53,0(X123124145134max32613555333155522115550,1,2,5jZxxxxxxxxxxxxxj1.5 单纯形法 Simplex Method2022-8-6Cj32100bCBXBx1x2x3x4x5201x2x5x36/53/52/51000011/53/52/50103/531/5 11/5j5 0000 231x2x1x301010000111025/32/31331/319/3j000525/3 用单纯形法计算得到下表最优解X（31/3，13，19/3，0，0)T；最优值Z152/31.5 单纯形法 Simplex Method2022-8-6
44、【例1.23】用两阶段法求解例1.21的线性规划。【解】例1.21的第一阶段问题为5,2,1,04263min54213215jxxxxxxxxxwj用单纯形法计算如下表：1.5 单纯形法 Simplex Method2022-8-6Cj00001bCBXBx1x2x3x4x501x3x5311210010164j 12010 01x1x5101/37/31/31/3010122j 07/31/310 j0,得到第一阶段的最优解X=(2,0,0,0,2)T,最优目标值w=20,x5仍在基变量中,从而原问题无可行解。1.5 单纯形法 Simplex Method2022-8-6解的判断唯一最优解
45、的判断：最优表中所有非基变量的检验数非零,则线 规划具有唯一最优解 多重最优解的判断:最优表中存在非基变量的检验数为零,则线则性规划具有多重最优解。无界解的判断:某个k0且aik（i=1，2,m）则线性规划具有无界解退化基本可行解的判断:存在某个基变量为零的基本可行解。无可行解的判断：(1)当用大M单纯形法计算得到最优解并且存在Ri0时，则表明原线性规划无可行解。(2)当第一阶段的最优值w0时，则原问题无可行解。1.5 单纯形法 Simplex Method2022-8-6设有线性规划0maxXbAXCXZ其中Amn且r(A)=m,),21ncccC（Tmbbbb),(21X0应理解为X大于等
46、于零向量，即xj0,j=1,2,n。TnxxxX),(211.5.3 计算公式1.5 单纯形法 Simplex Method2022-8-6不妨假设A（P1，P2，Pn）中前m个列向量构成一个可行基，记为B=(P1，P2，Pm)。矩阵A中后nm列构成的矩阵记为N（Pm+1,Pn）,则A可以写成分块矩阵A=（B，N）。对于基B，基变量为XB=（x1,x2，xm）T,非基变量为XN=(xm+1,xm+2,xn)T。则X可表示成 同理将C写成分块矩阵C=（CB，CN），NBXXXCB=(C1,C2,Cm),CN=(Cm+1Cm+2，cn)则AX=b可写成bNXBXXXNBNBNB)(，1.5 单纯形
47、法 Simplex Method2022-8-6因为r（B）=m（或|B|0）所以B 1存在，因此可有 NnBNBNXBbBNXbBXNXbBX111)(令非基变量XN=0，XB=B1b，由 B是 可行基的假设，则得到基本可行解X=(B1b，0)T将目标函数写成 NNBBNBNBXCXCXXCCZ),(NBNBNNNBXNBCCbBCXCNXBbBC)()(11111.5 单纯形法 Simplex Method2022-8-6NBNBXNBCCbBCZ)(11得到下列五个计算公式：104.BZC B b13.NNBCC B NiijijjaccjijNBa)(1其中ABCCB111.BXB b
48、12.NB N称为单纯形算子1.5BCB(令XN=0)1.5 单纯形法 Simplex Method2022-8-6上述公式可用下面较简单的矩阵表格运算得到，设初始矩阵单纯形表1-15 将B化为I（I为m阶单位矩阵）,CB化为零,即求基本可行解和检验数。用B1左乘表中第二行,得到表1-16表115表1161.5 单纯形法 Simplex Method2022-8-6再将第二行左乘CB后加到第三行,得到XBZ0N表1171.5 单纯形法 Simplex Method2022-8-6五个公式的应用【例1.24】线性规划3212maxxxxZ5,1,0205311523253214321jxxxxx
49、xxxxj已知可行基 131321B求(1)单纯形乘子;(2)基可行解及目标值;(3)求3;(4)B1是否是最优基,为什么;(5)当可行基为 时求1及3。10312B1.5 单纯形法 Simplex Method2022-8-6【解】(1)因为B1由A中第一列、第二列组成,故x1、x2为基变量，x3、x4、x5为非基变量,有关矩阵为CB=(c1,c2)=(1,2)CN=(c3,c4,c5)=(1,0,0)329113111B故单纯形乘子)3791(3291131)2,1(1，BCB1.5 单纯形法 Simplex Method2022-8-6(2)基变量的解为bBxxXB12133525201
50、53291131故基本可行解为314533525)21(,),0,0,0,335,25(10，BBBTXCbBCZX目标函数值为1.5 单纯形法 Simplex Method2022-8-6(3)求3910752)3791(,523313，PPBCPB998910713133PBCcB1.5 单纯形法 Simplex Method2022-8-6(4)要判断B1是不是最优基,亦是要求出所有检验数则否满足j0,j=1,5。x1,x2是基变量,故1=0,2=0,而 剩下来求4,5，由N计算公式得,09983)37,91(1001)37,91()0,0()(),(),(5415454PPBCccB因
