1、课时过关检测(四十八) 圆的方程A级基础达标1圆心为(2,1)且和x轴相切的圆的方程是()A(x2)2(y1)21B(x2)2(y1)21C(x2)2(y1)25D(x2)2(y1)25解析：A圆心为(2,1)且和x轴相切的圆，它的半径为1，故它的方程是(x2)2(y1)21，故选A2设aR，则“a2”是“方程x2y2ax2y20的曲线是圆”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：A方程x2y2ax2y20的曲线是圆，则有D2E24Fa2480，解得a2或a2，则“a2”是“a2或a2”的充分不必要条件，所以“a2”是“方程x2y2ax2y20的曲线是圆”的
2、充分不必要条件故选A3(2022黄冈模拟)若x2y28，则2xy的最大值为()A8B4 C2D5解析：C设2xyt，则yt2x，当直线yt2x与x2y28相切时，t取到最值，所以2，解得2t2，所以2xy的最大值为2，故选C4已知圆C：(x)2(y1)21和两点A(t,0)，B(t,0)(t0)，若圆C上存在点P，使得APB90，则t的取值范围是()A(0,2B1,2 C2,3D1,3解析：D圆C：(x)2(y1)21的圆心C(，1)，半径为1，因为圆心C到O(0,0)的距离为2，所以圆C上的点到O(0,0)的距离最大值为3，最小值为1，又因为APB90，则以AB为直径的圆和圆C有交点，可得|
3、PO|AB|t，所以有1t3，故选D5(2022青岛质检)点M为圆C：(x2)2(y1)21上任意一点，直线(13)x(12)y25过定点P，则|MP|的最大值为()A2BC21D1解析：D整理直线方程得：(xy2)(3x2y5)0，由得P(1,1)，由圆的方程知圆心C(2，1)，半径r1，|MP|max|CP|r11故选D6(多选)已知圆x2y24x10，则下列关于该圆说法正确的有()A关于点(2,0)对称B关于直线y0对称C关于直线x3y20对称D关于直线xy20对称解析：ABCx2y24x10(x2)2y25，所以圆心的坐标为(2,0)，半径为A项，圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点(
4、2,0)是圆心，所以本选项正确；B项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线y0过圆心，所以本选项正确；C项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线x3y20过圆心，所以本选项正确；D项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线xy20不过圆心，所以本选项不正确故选A、B、C7(多选)已知圆C关于y轴对称，经过点(1,0)且被x轴分成两段，弧长比为12，则圆C可能的方程为()Ax22Bx22C(x)2y2D(x)2y2解析：AB由题意知圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对圆心角为，设圆心C(0，a), 半径为r，则rsin1，rcos|a|，解得r，即r2，|a|，即a，故圆C的方程为
5、x228(2022东莞模拟)已知三个点A(0,0)，B(2,0)，C(4，2)，则ABC的外接圆的圆心坐标是_解析：设圆的方程为x2y2DxEyF0，则解得所以圆的方程为x22xy26y0，即(x1)2(y3)210，所以圆心坐标为(1,3)答案：(1,3)9已知点P为圆C：x2y24x2y10上任意一点，A，B为直线3x4y50上的两动点，且|AB|2，则ABP的面积的取值范围是_解析：圆C的标准方程为(x2)2(y1)24，圆心C(2，1)，半径r2，圆心C到直线3x4y50的距离d3，设P到直线AB的距离为h，则SABP|AB|hh，drhdr，1h5，SABP1,5，即ABP的面积的取
6、值范围为1,5答案：1,510已知以点P为圆心的圆经过点A(1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|4(1)求直线CD的方程；(2)求圆P的方程解：(1)直线AB的斜率k1，AB的中点坐标为(1,2)所以直线CD的方程为y2(x1)，即xy30(2)设圆心P(a，b)，则由点P在CD上得ab30又直径|CD|4，所以|PA|2所以(a1)2b240由解得或所以圆心P(3,6)或P(5，2)，所以圆P的方程为(x3)2(y6)240或(x5)2(y2)240B级综合应用11瑞士数学家欧拉在其所著的三角形的几何学一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上
7、，后人称这条直线为欧拉线若已知ABC的顶点A(4,0)，B(0,4)，其欧拉线方程为xy20，则顶点C的坐标可以是()A(1,3)B(3,1)C(2,0)D(0，2)解析：DA(4,0)，B(0,4)，AB的垂直平分线方程为xy0，又外心在欧拉线xy20上，联立解得三角形ABC的外心为G(1,1)，又r|GA|，ABC外接圆的方程为(x1)2(y1)210设C(x，y)，则三角形ABC的重心在欧拉线上，即20整理得xy20联立解得或顶点C的坐标可以是(0，2)故选D12写出一个关于直线xy10对称的圆的方程_解析：设圆心坐标为C(a，b)，因为圆C关于xy10对称，所以C(a，b)在直线xy1
8、0上，则ab10，取a1b0，设圆的半径为1，则圆的方程(x1)2y21答案：(x1)2y21(答案不唯一)13已知A(2,0)，B(2,0)，动点M满足|MA|2|MB|，则点M的轨迹方程是_；又若0，此时MAB的面积为_解析：设M(x，y)，由|MA|2|MB|，得2，整理得3x23y220x120以AB为直径的圆的方程为x2y24，联立解得|y|即M点的纵坐标的绝对值为此时MAB的面积为S4答案：3x23y220x12014已知点P(2,2)，圆C：x2y28y0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点(1)求点M的轨迹方程；(2)当|OP|OM|时，求l
9、的方程及POM的面积解：圆C：x2(y4)242，故圆心为C(0,4)，半径为4(1)当C，M，P三点均不重合时，CMP90，所以点M的轨迹是以线段PC为直径的圆(除去点P，C)，线段PC中点为(1,3)，|PC|，故M的轨迹方程为(x1)2(y3)22(x2，且y2或x0，且y4)当C，M，P三点中有重合的情形时，易求得点M的坐标为(2,2)或(0,4)综上可知，点M的轨迹是一个圆，轨迹方程为(x1)2(y3)22(2)由(1)可知点M的轨迹是以点N(1,3)为圆心，为半径的圆法一(几何法)：由于|OP|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上又P在圆N上，从而ONPM因为ON的斜率为3，所以直
10、线l的斜率为，故直线l的方程为yx，即x3y80又易得|OM|OP|2，点O到直线l的距离为，|PM| 2，所以POM的面积为法二(代数法)：设M(x，y)，由|OM|OP|2得x2y28，联立方程组得直线l方程为x3y80，将x83y代入得5y224y280，解得y1，y22从而x1，x22所以M点坐标为，|PM| 又点O到l距离d，所以POM的面积S|PM|dC级迁移创新15(多选)设有一组圆Ck：(xk)2(yk)24(kR)，下列命题正确的是()A不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上B所有圆Ck均不经过点(3,0)C经过点(2,2)的圆Ck有且只有一个D所有圆的面积均为4解析：ABD
11、圆心坐标为(k，k)，在直线yx上，A正确；令(3k)2(0k)24，化简得2k26k50，364040，2k26k50无实数根，B正确；由(2k)2(2k)24，化简得k24k20，16880，有两不等实根，经过点(2,2)的圆Ck有两个，C错误；由圆的半径为2，得圆的面积为4，D正确故选A、B、D16已知曲线T：F(x，y)0，对坐标平面上任意一点P(x，y)，定义FPF(x，y)，若两点P，Q满足FPFQ0，称点P，Q在曲线T同侧；FPFQ0的面积解：(1)由题意，显然直线l斜率存在，设方程为ykx，则F(x，y)kxy0，因为A(1,1)，B(2,3)，线段AB上所有点都在直线l同侧，则FAFB(k1)(2k3)0，解得1k(2)因为FO0，所以FP(3x4y5)0，故点集S为圆x2y24在直线3x4y50下方内部，如图所示，设直线与圆的交点为A，B，则O到AB的距离为1，故AOB，因此，所求面积为S2222
