1、4.2 应用留数定理应用留数定理 计算实变函数定积分计算实变函数定积分在自然科学中常常需要计算一些实积分，特别是计在自然科学中常常需要计算一些实积分，特别是计算一些在无穷区间上的积分。例如：光学问题中需算一些在无穷区间上的积分。例如：光学问题中需要计算菲涅尔积分要计算菲涅尔积分 ；热传导问；热传导问题中需要计算题中需要计算 ；阻尼振动问题中需要；阻尼振动问题中需要计算积分计算积分 等。我们在高等数学中已经知等。我们在高等数学中已经知道这些实变函数的积分需要特殊的技巧才能计算，道这些实变函数的积分需要特殊的技巧才能计算，有的很难，甚至不能计算。原因在于被积函数往往有的很难，甚至不能计算。原因在于
2、被积函数往往不能用初等函数的有限形式表示，因而就不能用牛不能用初等函数的有限形式表示，因而就不能用牛顿顿莱布尼兹公式计算。莱布尼兹公式计算。0202)sin()cos(dxxdxx，0)cos(2dxbxeax0/)(sinxdxx可是通过本节的学习我们会发现，这些实积分可可是通过本节的学习我们会发现，这些实积分可以转化为复变函数的环路积分以转化为复变函数的环路积分(注意到当积分路注意到当积分路径沿实轴时，径沿实轴时，z z=x即对应于实积分即对应于实积分)，再利用留数，再利用留数定理，则积分显得方便易求。定理，则积分显得方便易求。利用留数定理计算实积分利用留数定理计算实积分 一般可采用如下一
3、般可采用如下步骤：步骤：(1)添加辅助曲线，使积分路径构成闭合曲线；添加辅助曲线，使积分路径构成闭合曲线；(2)选择一个在曲线内除了一些孤立奇点外都解选择一个在曲线内除了一些孤立奇点外都解析的被积函数析的被积函数F(z z)，使得满足，使得满足F(x)=f(x)，通常，通常选用选用F(z z)=f(z z)，只有少数例外；，只有少数例外；dxxf)(3)计算被积函数计算被积函数F(z z)在闭合曲线内的每个孤立在闭合曲线内的每个孤立奇点的留数，然后求出这些留数之和；奇点的留数，然后求出这些留数之和；(4)计算辅助曲线上函数计算辅助曲线上函数F(z z)的积分值，通常选的积分值，通常选择辅助线使
4、得积分简单易求，甚至直接为零。择辅助线使得积分简单易求，甚至直接为零。设法将实积分设法将实积分 与复变函数回路积分相联与复变函数回路积分相联系。系。基本思想：基本思想：(1)补上一段补上一段l2，使得，使得l2上上 的积分容易计算；的积分容易计算；badxxf)(2)自变数变换，把自变数变换，把l1变成变成 另一复平面上的回路。另一复平面上的回路。类型一：类型一：条件：条件：被积函数是三角函数的有理式；被积函数是三角函数的有理式；区间是区间是 0，2 变数代换令变数代换令z z=eix，x 0，2，作作变换变换20)sin(cosdxxxRI，dzizdxzzixzzx1)(21sin)(21
5、cos111|1122zizdzizzzzRI，izzzzRizzf221)(11，令令由留数定理得：由留数定理得：z zk为为f(z z)在单位圆内的奇点在单位圆内的奇点例例1：计算计算 该积分在力学和量子力学中很重要该积分在力学和量子力学中很重要 nkkzsfidxxxR120)(Re2)sin(cos，)10(cos120 xdxI1|12/)(1/zzzizdzI1|222zzzdzi221212ii例例2：计算计算 解：令解：令z z=eix，则，则 f(z z)有两个有两个2阶极点，阶极点，其中其中 在在|z z|=1内，则内，则z z1 处的留数为处的留数为)10()cos1(2
6、1202xdxI1|212/)(1/21zzzizdzI)11(12z)11(121z1|21|22)(2)1/2(21zzdzzfizzzdzi2/3222)1(4)11(1Resf2/3212)1(1)(Re22zsfiiI例例3：计算计算 解：令解：令z z=eix，则，则 在在|z z|=1内，内，)10(cos21202xdxIzzzx)1)(cos2121|)1)(1zzzdziI)1)()(zzdzzf ，以，以z z=为一阶极点为一阶极点例例4：求求 的值的值解：令解：令z z=ei，则，则21111)(Rezzsf20cos2dI1|21|214122121zzdzzziiz
7、dzzzI22121121 iiI被积函数被积函数 在在|z z|=1内只有单极内只有单极点点 ，故，故类型二类型二：(反常积分反常积分)条件：条件：区间区间(-(-，)；f(z z)在实轴上无奇点，在上半平面上在实轴上无奇点，在上半平面上141)(2zzzf32z32 141)32(lim4 )32(Re22232zzzsfiiIzdxxfI)(除有限个奇点外是解析的；除有限个奇点外是解析的；当当z z在上半平面和实轴上在上半平面和实轴上时，时，z zf(z z)一致地一致地00 若若 ，和和 为互质多为互质多 项式，上述条件意味着项式，上述条件意味着 无实的零无实的零 点，点，的次数至少比
8、的次数至少比 高两阶。高两阶。所求积分通常理解为下列极限：所求积分通常理解为下列极限：)()()(xxxf)()(xx)(x2121)(lim)(RRRRdxxfdxxfI)()(xx若上述极限存在，这一极限便称为若上述极限存在，这一极限便称为 的值。的值。而当而当R1=R2时极限存在的话，该极限称为积分时极限存在的话，该极限称为积分 的的主值，记为：主值，记为：P 上下限相等并同时上下限相等并同时本类型积分计算的是本类型积分计算的是积分主值积分主值，如，如何计算？作如图所示半圆形回路何计算？作如图所示半圆形回路ldxxf)(RRRdxxfdxxf)(lim)(RCRRldzzfdzzfdzz
9、f)()()(RCRRdzzfdxxf)()()(2数之和所围半圆内各奇点的留在lzfidxxf)(只需证明只需证明0)(limRCRdzzf0|)(|maxlim|)(|maxlim|)(|lim )(lim)(limzzfRRzzfzdzzzfzdzzzfdzzfRRCRCRCRRRR所有奇点的留数和在上半平面内)(2)(zfidxxfI例例4：计算计算 解解：=1，=1+x2，在实轴上无零点，在实轴上无零点，而而 ，具有单，具有单 极点极点i，+i在上半平面，则在上半平面，则21xdx)()(xx)(111)(2izizzzfiizzfizisfiziz211lim )()(lim)(R
10、eiixdx21212例例5：计算计算 ，（，（n为正整数）为正整数）解解：是偶函数是偶函数 而而 在上半在上半 平面具有平面具有n阶极点阶极点+i，则，则02)1(nxdxInxxf)1(1)(21111)()!1(1lim )()()!1(1lim)(RennniznnnizdzizdndzzfizdnisfnxdxI)1(212nnnizizzzf)()(1)1(1)(2inninnnnnnnniiinnnnnnnnnn122121221122)!1()!22(2)!1()22).(1()22).(1(2)!1()1()2()!1()22).(1)(212202)!1()!22(2)1(
11、21 )1(nnxdxxdxInnn例例6：计算计算 解解：f(x)是偶函数是偶函数 令令z z4+a4=0，则，则z z4=-a4，即，即 也就是说也就是说 有有4个单极点，其个单极点，其 中，中，和和 在上半平面在上半平面044axdxI441)(azzf3)210()2/4/(，kaezki4404421axdxaxdxI4/324/1 iiaezaez)(Re)(Re212144zsfzsfiaxdxI4/333444/4/4141lim 1lim)(Re11izzizzieazazaezaesf4/933444/34/34141lim 1lim)(Re22izzizzieazazae
12、zaesf34/934/3321224141 )(Re)(ReaeaeaizsfzsfiIii例例7：计算计算 ,(,(a0,b0)的值。的值。解解：的分母多项式的分母多项式 的次数高于分子多项式次数两次，它的次数高于分子多项式次数两次，它 在上半平面有在上半平面有z z1=ai和和z z2=bi两个单极点两个单极点 所以所以dxbxaxxI)(22222)/()(2)(22 )(Re)(Re22222baabibbaiaibisfaisfiI)()(22222bzazzzf例例8：计算计算 的值。的值。解解：为偶函数，且分母多项为偶函数，且分母多项 式的次数高于分子多项式次数两次，式的次数高
13、于分子多项式次数两次，它在上半平面有它在上半平面有 和和 两个单极点，所以两个单极点，所以0411dxxI42)(4 4141 )(Re)(Re4/94/34/94/34/34/iiiiiieeieeiesfesfiI11)(4zzf4/324/1 iiezez类型三：类型三：条件：条件：F(x)是偶函数，是偶函数，G(x)是奇函数，积分是奇函数，积分 区间是区间是 0，；F(x)，G(x)在实轴上无奇点，在上半在实轴上无奇点，在上半 平面除有限个奇点外是解析的；平面除有限个奇点外是解析的；当当z z在上半平面或实轴上在上半平面或实轴上时，时，F(x)和和G(x)一致地一致地0。00sin)(
14、cos)(mxdxxGmxdxxFdxexGimxdxxGdxexFmxdxxFimximx)(21sin)()(21cos)(000sin0cossin|)(|maxRe)(ReRdezFideeFmRiimRmRi0)(limRCimzRdzezF要计算右边的积分，需要用到约当引理。要计算右边的积分，需要用到约当引理。约当引理约当引理如果如果m为正数，为正数，CR是以原点为圆心而位于上半平是以原点为圆心而位于上半平面的半圆周，又设当面的半圆周，又设当z z在上半平面及实轴上在上半平面及实轴上时，时，F(z z)一致地一致地0，则，则证明：证明：RRCmyimxCimzdzezFdzezF)
15、()(2/0sin0sinlim2 limRdeRdemRRmRRsin/20 2/0当当z z在上半平面及实轴上在上半平面及实轴上时，时，F(z z)一致地一致地0，所以所以max|F(z z)|)|0，从而只需证明，从而只需证明 即即是有界的。是有界的。在在 范围内，有范围内，有 ，当当R 时，上式时，上式有限值，则约当引理成立。有限值，则约当引理成立。如果如果m为负数，则约当引理为为负数，则约当引理为CR是是CR对于实轴的映像。对于实轴的映像。)1(22/0/22/0sinmRmRmRemRdeRde0)(limRCimzRdzezF以上两式均已化为类型二，其中条件以上两式均已化为类型二
16、，其中条件3已放宽，已放宽，由由约当引理约当引理保证，所以保证，所以例：计算例：计算 (a0)的值。的值。解：解：有两个单极点有两个单极点ai，其中，其中 ai在上半平面，则在上半平面，则)(cos)(0在上半平面留数和imzezFimxdxxF)(sin)(0在上半平面留数和imzezGmxdxxG022cosdxaxmx22)(azeezFimzimzaieaizeazeaizmaimzaizimzaiz2limlim22mamaeaaieidxaxmx22cos022特殊情形：实轴上有单极点的情形特殊情形：实轴上有单极点的情形条件：条件：f(x)在实轴上有有限个单极点在实轴上有有限个单极
17、点；满足类型二的满足类型二的其它其它条件条件；结果：结果：的求和范围是的求和范围是上半平面上半平面 的求和范围是的求和范围是在实轴上在实轴上dxxf)(21)(Re)(Re2)(zsfizsfidxxf21)(Re)(Rezsfzsf例例8 8：计算计算 (m0,a0)的值。的值。解：解：且且022)(sindxaxxmx)(1)(1222222axaxxaaxx2sin0dxxmx022202022sin1sin1)(sindxaxmxadxxmxadxaxxmx0222sin21dxaxmxa2)(lim)(Re22maimziazeazzeiaziasfsin22022数和在上半平面所有奇点留azzedxaxmxximz而而)1(222122mamaeaeaI作业：作业：P63-64：11，6 22、6 33、5
