1、2012年全国高中数学联合竞赛一试题一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。1、设是函数（）的图像上任意一点，过点分别向直线和轴作垂线，垂足分别为，则的值是 2、设的内角的对边分别为，且满足，则的取值为 3、设，则的最大值为 4、在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为，是抛物线上的两个动点，且满足，设线段的中点在准线上的投影为，则的最大值为 5、设同底的两个正三棱锥和内接于同一个球.若正三棱锥的侧面与底面所成角为，则正三棱锥的侧面与底面所成角的正切值为 6、设函数是定义在上的奇函数，且当时，.若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 7、满足的所有正整数的和为 8、某情报站
2、有四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种。设第周使用密码，那么第周也使用密码的概率为 二、解答题：本大题共3小题，共56分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9、（本题满分16分）已知函数，.若对任意,都有，求实数的取值范围；若，且存在,使得，求实数的取值范围；10、（本题满分20分）已知数列的各项均为非零实数，且对于任意的正整数，都有当时，求所有满足条件的三项组成的数列；是否存在满足条件的无穷数列，使得？若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由。11、（本题满分20分）如图所示，在平面直角坐标系中，菱形的边长为，且.求证：为定值；当点在半圆（）上运动时，求点的轨迹。
