1、大家好大家好第1页，共27页。第二章导数与微分2.1导数的概念第2页，共27页。一、问题的提出1.自由落体运动的瞬时速度问题0tt,0时时刻刻的的瞬瞬时时速速度度求求tt如图,0tt 的时刻的时刻取一邻近于取一邻近于,t 运动时间运动时间tsv 平均速度平均速度00ttss ,0时时当当tt 取极限得000()()vlimtts ts ttt瞬时速度第3页，共27页。T0 xxoxy)(xfy CNM2如图,如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.极限位置即.0,0 NMTMN).,(),(00yxNyxM设设的斜率为的斜率为割线割线MN00tanxxyy
2、 ,)()(00 xxxfxf ,0 xxMNC沿曲线沿曲线的斜率为的斜率为切线切线MT.)()(limtan000 xxxfxfkxx 第4页，共27页。3.产品总成本的变化率()CxCf x总成本是产量 的函数：00 xxxx产量：00()()Cf xxf x总成本相应的改变量：00()()f xxf xCxx总成本平均变化率0000()()limlimxxf xxf xCxx平均变化率的极限：0 x表示产量为时的边际成本。第5页，共27页。二、导数的定义,)(,)(,0);()(,)(,)(00000000 xxyxxfyxxfyxxyxfxxfyyxxxxxxxfy 记为记为处的导数处
3、的导数在点在点数数并称这个极限为函并称这个极限为函处可导处可导在点在点则称函数则称函数时的极限存在时的极限存在之比当之比当与与如果如果得增量得增量取取相应地函数相应地函数时时仍在该邻域内仍在该邻域内点点处取得增量处取得增量在在当自变量当自变量有定义有定义的某个邻域内的某个邻域内在点在点设函数设函数定义第6页，共27页。.)()(lim)(0000hxfhxfxfh 其它形式.)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx xxfxxfxyyxxxx )()(limlim00000,)(00 xxxxdxxdfdxdy 或或即第7页，共27页。.,0慢程度慢程度而变化的快而变化的快因变量随自变
4、量的变化因变量随自变量的变化反映了反映了它它处的变化率处的变化率点导数是因变量在点点导数是因变量在点 x.)(,)(内可导内可导在开区间在开区间就称函数就称函数处都可导处都可导内的每点内的每点在开区间在开区间如果函数如果函数IxfIxfy 关于导数的说明：第8页，共27页。.)(),(,.)(.)(,dxxdfdxdyxfyxfxfIx或或记作记作的导函数的导函数这个函数叫做原来函数这个函数叫做原来函数导数值导数值的一个确定的的一个确定的都对应着都对应着对于任一对于任一 xxfxxfyx )()(lim0即即.)()(lim)(0hxfhxfxfh 或或注意:.)()(.100 xxxfxf
5、第9页，共27页。2.右导数:单侧导数1.左导数:;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx ;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx 函数函数)(xf在点在点0 x处可导处可导左导数左导数)(0 xf 和右和右导数导数)(0 xf 都存在且相等都存在且相等.第10页，共27页。如果如果)(xf在开区间在开区间 ba,内可导，且内可导，且)(af 及及)(bf 都存在，就说都存在，就说)(xf在闭区间在闭区间 ba,上可导上可导.,),(),()(000可导性可导性的的讨论在点讨论在点设函数设函数xxxx
6、xxxxf xxfxxfx )()(lim000若若xxxxx )()(lim000 ,)(0存在存在xf 第11页，共27页。则则)(xf在在点点0 x可可导导，,)(0存存在在xf xxfxxfx )()(lim000若若xxxxx )()(lim000 ,)()(00axfxf 且且.)(0axf 且且第12页，共27页。三、由定义求导数三、由定义求导数步骤:);()()1(xfxxfy 求增量求增量;)()()2(xxfxxfxy 算比值算比值.lim)3(0 xyyx 求极限求极限例1.)()(的导数的导数为常数为常数求函数求函数CCxf 解hxfhxfxfh)()(lim)(0 h
7、CCh 0lim.0.0)(C即即第13页，共27页。例2.)(sin)(sin,sin)(4 xxxxxf及及求求设函数设函数解hxhxxhsin)sin(lim)(sin0 22sin)2cos(lim0hhhxh .cos x.cos)(sinxx 即即44cos)(sin xxxx.22 第14页，共27页。例33.yx求函数的导数解3330()()limhxhxxh 220lim33hxxhh23x1().nnxnx 更一般的有：)(.)(1Rxx )(x例如,12121 x.21x)(1 x11)1(x.12x 第15页，共27页。例4.)1,0()(的导数的导数求函数求函数 aa
8、axfx解haaaxhxhx 0lim)(haahhx1lim0 .lnaax.ln)(aaaxx 即即.)(xxee 第16页，共27页。例5.)1,0(log的导数的导数求函数求函数 aaxya解hxhxyaahlog)(loglim0 111(log)log.lnaaxexxa 即.1)(lnxx xxhxhah1)1(loglim0 hxahxhx)1(loglim10 .log1exa 第17页，共27页。例6.0)(处的可导性处的可导性在在讨论函数讨论函数 xxxf解xy xyo,)0()0(hhhfhf hhhfhfhh 00lim)0()0(lim,1 hhhfhfhh 00l
9、im)0()0(lim.1 ),0()0(ff即即.0)(点不可导点不可导在在函数函数 xxfy第18页，共27页。四、导数的几何意义四、导数的几何意义oxy)(xfy T0 xM1.几何意义0000()()(,(),()tan,()fxyf xM xf xfxx表示曲线在点处的切线的斜率 即为切线与 轴正向的夹角第19页，共27页。切线方程为法线方程为).)(000 xxxfyy 00001()()0).()yyxxfxfx 000000()()()lim().()xxf xxf xf xxxf xxf xx 如果函数在点 处连续，但极限不存在，在点 处不可导为方便起见，称之为无穷大（含正无
10、穷大和负无穷大），也就是说：在点 处有无穷导数。第20页，共27页。例7.,)2,21(1方程和法线方程方程和法线方程并写出在该点处的切线并写出在该点处的切线斜率斜率处的切线的处的切线的在点在点求等边双曲线求等边双曲线xy 解由导数的几何意义,得切线斜率为21 xyk21)1(xx2121 xx.4 所求切线方程为法线方程为),21(42 xy),21(412 xy.044 yx即即.01582 yx即即第21页，共27页。五、可导与连续的关系五、可导与连续的关系定理 凡可导函数都是连续函数.证,)(0可导可导在点在点设函数设函数xxf)(lim00 xfxyx )(0 xfxyxxxfy )
11、(0)(limlim000 xxxfyxx 0.)(0连续连续在点在点函数函数xxf)0(0 x 第22页，共27页。连续函数不存在导数举例.,)()()(,)(.1000函数在角点不可导函数在角点不可导的角点的角点为函数为函数则称点则称点若若连续连续函数函数xfxxfxfxf xy2xy 0 xy 例如,0,0,)(2 xxxxxf.)(0,0的角点的角点为为处不可导处不可导在在xfxx 注意:该定理的逆定理不成立.第23页，共27页。1sin,0()00,0 xxf xxxx练习：讨论函数在处的连续性和可导性。0()f xx函数在 点连续：00lim()()xxf xf x000lim()
12、lim()()xxxxf xf xf x0()f xx函数在 点可导：000()()limxf xxf xx 存在000000()()()()limlimxxf xxf xf xxf xxx 第24页，共27页。六、小结1.导数的实质:增量比的极限;2.axf )(0 )(0 xf;)(0axf 3.导数的几何意义:切线的斜率;4.函数可导一定连续，但连续不一定可导;5.求导数最基本的方法:由定义求导数.6.判断可导性不连续,一定不可导.连续直接用定义;看左右导数是否存在且相等.第25页，共27页。思考题 函函数数)(xf在在某某点点0 x处处的的导导数数)(0 xf 与与导导函函数数)(xf 有有什什么么区区别别与与联联系系？第26页，共27页。思考题解答 由导数的定义知，由导数的定义知，)(0 xf 是一个具体的是一个具体的数值，数值，)(xf 是由于是由于)(xf在某区间在某区间I上每一上每一点都可导而定义在点都可导而定义在I上的一个新函数，即上的一个新函数，即Ix ，有唯一值，有唯一值)(xf 与之对应，所以两与之对应，所以两者的者的区别区别是：一个是数值，另一个是函数两是：一个是数值，另一个是函数两者的者的联系联系是：在某点是：在某点0 x处的导数处的导数)(0 xf 即是导即是导函数函数)(xf 在在0 x处的函数值处的函数值第27页，共27页。
