1、第五章 平面向量、数系的扩充 与复数的引入,-2-,5.1平面向量的概念及线性运算,-4-,知识梳理,双基自测,2,3,1,自测点评,1.向量的有关概念,大小,方向,模,长度等于零,同向,模为1,互相平行或重合,-5-,知识梳理,双基自测,2,3,1,自测点评,同向且等长,反向,-6-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,1,2.向量的线性运算,b+a,a+(b+c),-7-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,1,|a|,相同,相反,a,a+a,a+b,-8-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,1,3.共线向量定理向量a(a0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数,使得.,b=a,2
2、,-9-,知识梳理,双基自测,3,4,1,自测点评,1.下列结论正确的打“”,错误的打“”.(1)向量与有向线段是一样的,因此可以用有向线段表示向量. ()(3)若两个向量共线,则其方向必定相同或相反. ()(4)若向量 是共线向量,则A,B,C,D四点在一条直线上. ()(5)若ab,bc,则ac. (),答案,-10-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,答案,解析,2.(2017全国,文4)设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则()A.abB.|a|=|b|C.abD.|a|b|,-11-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,3.(2017北京海淀一模)在AB
3、C中,点D满足 ,则()A.点D不在直线BC上B.点D在BC的延长线上C.点D在线段BC上D.点D在CB的延长线上,答案,解析,-12-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,4.设向量a,b不平行,向量a+b与a+2b平行,则实数=.,答案,解析,-13-,知识梳理,双基自测,自测点评,1.向量常用有向线段表示,但向量与有向线段是两个不同的概念,有向线段由起点、终点唯一确定,而向量是由大小和方向来确定的.向量不能比较大小,但它们的模可以比较大小.2.两个向量共线与共线向量不同,零向量的方向是任意的,它与任何向量都平行(共线).而只有方向相同或相反的两个非零向量才是共线向量.3.向量共
4、线与线段共线不同,前者可以不在同一条直线上,而后者必须在同一条直线上.同样,两个平行向量与两条平行直线也是不同的,因为两个平行向量可以移到同一直线上,而两条平行直线不能平移到同一直线上.,-14-,考点1,考点2,考点3,例1(1)对于非零向量a,b,“a+b=0”是“ab”的 ()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)给出下列命题:若|a|=|b|,则a=b或a=-b;若A,B,C,D是不共线的四点,则 是四边形ABCD为平行四边形的充要条件;若两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同;a=b的充要条件是|a|=|b|,且ab.其中真命题的序号是.思考
5、学习了向量的概念后,你对向量有怎样的认识?,答案,-15-,考点1,考点2,考点3,解析: (1)若a+b=0,则a=-b,所以ab.若ab,则a+b=0不一定成立,故前者是后者的充分不必要条件.(2)不正确.两个向量的长度相等,方向可以是任意的.又A,B,C,D是不共线的四点,四边形ABCD为平行四边形.反之,若四边形ABCD为平行四边形,-16-,考点1,考点2,考点3,不正确.相等向量的起点和终点可以都不同;不正确.当ab且方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到a=b.综上所述,正确命题的序号是.,-17-,考点1,考点2,考点3,解题心得对于向量的概念应注意以下几条:(1)向量的两
6、个特征为大小和方向.向量既可以用有向线段和字母表示,也可以用坐标表示;(2)相等向量不仅是模相等,而且方向要相同,所以相等向量一定是平行向量,而平行向量未必是相等向量;(3)向量与数量不同,数量可以比较大小,向量则不能,所以向量只有相等与不相等,不可以比较大小.,-18-,考点1,考点2,考点3,对点训练1(1)设a0为单位向量,若a为平面内的某个向量,则a=|a|a0;若a与a0平行,则a=|a|a0;若a与a0平行,且|a|=1,则a=a0.上述命题中,假命题的个数为.(2)给出下列命题:两个具有公共终点的向量,一定是共线向量;两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小;若a=0(为实数)
7、,则必为零;已知,为实数,若a=b,则a与b共线.其中错误命题的个数为()A.1B.2C.3D.4,答案,解析,-19-,考点1,考点2,考点3,答案,解析,-20-,考点1,考点2,考点3,解题心得1.进行向量运算时,要尽可能地将有关向量转化到三角形或平行四边形中,充分利用相等向量、相反向量,三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质,把未知向量用已知向量表示出来.2.向量的线性运算类似于代数多项式的运算,实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用.,-21-,考点1,考点2,考点3,答案,-22-,考点1,考点2,考点3,-23-,考点1,考点2,考点
8、3,-24-,考点1,考点2,考点3,例3设两个非零向量a与b不共线.(2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.思考如何用向量的方法证明三点共线?,答案,-25-,考点1,考点2,考点3,解题心得1.证明三点共线问题,可用向量共线解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.2.向量a,b共线是指存在不全为零的实数1,2,使1a+2b=0成立;若1a+2b=0,当且仅当1=2=0时成立,则向量a,b不共线.,-26-,考点1,考点2,考点3,答案,解析,-27-,考点1,考点2,考点3,1.平面向量的重要结论:A,B,C三点共线.(2)相等向量具
9、有传递性,非零向量的平行具有传递性.(3)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量,平行向量与起点无关.2.向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则,做题时,要注意三角形法则与平行四边形法则的要素,向量加法三角形法则的要素是“首尾相接,指向终点”;向量减法三角形法则的要素是“起点重合,指向被减向量”;平行四边形法则要素是“起点重合”.,-28-,考点1,考点2,考点3,1.若两向量起点相同,终点相同,则这两个向量相等;但两个相等向量不一定有相同的起点和终点.2.零向量和单位向量是两个特殊的向量.它们的模确定,但方向不确定.3.注意区分向量共线与向量所在的直线平行之间的关系.向量 是共
10、线向量,但A,B,C,D四点不一定在同一条直线上.4.在向量共线的充要条件中要注意“a0”,否则可能不存在,也可能有无数个.,-29-,易错警示都是零向量“惹的祸”典例下列命题正确的是 (填序号).向量a,b共线的充要条件是有且仅有一个实数,使b=a;在ABC中, ;不等式|a|-|b|a+b|a|+|b|中两个等号不可能同时成立;只有方向相同或相反的向量是平行向量;若向量a,b不共线,则向量a+b与向量a-b必不共线.答案,解析因为向量a与b不共线,所以向量a,b,a+b与a-b均不为零向量.若a+b与a-b平行,则存在实数使a+b=(a-b),即(-1)a=(1+)b,故 此时无解,故假设不成立,即a+b与a-b不共线.故正确;显然错误.,-30-,反思提升在向量的有关概念中,定义长度为0的向量叫做零向量,其方向是任意的,并且规定:0与任一向量平行.由于零向量的特殊性,在两个向量共线或平行问题上,如果不考虑零向量,那么往往会得出错误的结论.在向量的运算中,很多学生也往往忽视0与0的区别,导致结论错误.,
