1、直线与圆的位置关系一、选择题1. （2011湖北随州，13，3分）如图，AB为O的直径，PD切O于点C，交AB的延长线于D，且CO=CD，则PCA=（ ）A30B45C60D67.5CDAOPB第13题图【答案】D2. （2011广东深圳，11,3分）下列命题是真命题的个数有( )垂直于半径的直线是圆的切线 平分弦的直径垂直于弦 x = 1若 是方程x -ax = 3的一个解, 则a = -1 y = 2若反比例函数y = -的图像上有两点(,y1),(1, y2), 则y1y2A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个【答案】C3. （2011贵州遵义，9，3分）如图，AB是O的直径，B
2、C交O于点D，DEAC于点E，要使DE是O的切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确的是A. DEDO B. ABAC C. CDDB D. ACOD【答案】A4. （2011吉林，15，3分）如图，两个等圆A、B分别与直线l相切于点C、D，连接AB与直线l相交于点O，AOC30，连接AC、BD，若AB4，则圆的半径为( )（A） （B）1 （C） （D）2【答案】B5. （2011山东枣庄，7，3分）如图，PA是的切线，切点为A，PA=2,APO=30，则的半径为（ ）A.1 B. C.2 D.4【答案】C6. （2011四川眉山，11，3分）如图，PA、PB是OO的切线，AC是OO的直径
3、，LP =500，则BOC的度数为 A50 B25 C40 D60【答案】A7. （2011湖北鄂州，13，3分）如图，AB为O的直径，PD切O于点C，交AB的延长线于D，且CO=CD，则PCA=（ ）A30B45C60D67.5CDAOPB第13题图【答案】D8. （2011内蒙古包头，11，3分）已知AB是O的直径，点P是AB延长线上的一个动点，过点P作O的切线，切点为C，APC的平分线交AC于点D，则CDP等于（ ）A30B60C45D50【答案】C【思路分析】如图所示CDP=A+DPA，CED=ECP+CPD，由切线可得PCE=A，又DPA=CPD所以CDP=CED，又AB为直径，故A
4、CB=90所以CDP=45ABCDPOE 9. （2011福建漳州，8，3分）下列命题中，假命题是( )A经过两点有且只有一条直线 B平行四边形的对角线相等C两腰相等的梯形叫做等腰梯形 D圆的切线垂直于经过切点的半径【答案】B10（2011贵州黔南，2,4分）下列命题中，真命题是（ ）A.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形B.等腰梯形既是轴对称图形又是中心对称图形C.圆的切线垂直于经过切点的半径D.垂直于同一条直线的两条直线互相垂直【答案】C11.二、填空题1. （2011贵州毕节，20，5分）如图，已知PA、PB分别切O于点A、B，点C在O上，BCA，则P 。BCPOA(第20题)【答案】
5、2. 如图，CB切O于点B，CA交O于点D且AB为O的直径，点E是上异于点A、D的一点.若C=40，则E的度数为 .【答案】403. （2010湖南长沙，18，3分）如图，P是O的直径AB延长线上的一点，PC与O相切于点C，若P=20，则A=_.ODCBA（第18题）P【答案】354. （2011贵州遵义，16，4分）如图，O是边长为2的等边ABC的内切圆，则O的半径为 。【答案】5. （2011江苏徐州，18,3分）已知O的半径为5，圆心O到直线AB的距离为2，则O上有且只有 个点到直线AB的距离为3.【答案】36. （2011山东济南，21，3分）如图，ABC为等边三角形，AB=6，动点O
6、在ABC的边上从点A出发沿ACBA的路线匀速运动一周，速度为1个单位长度每秒，以O为圆心、为半径的圆在运动过程中与ABC的边第二次相切时是出发后第_秒第21题图【答案】47. （2011内蒙古赤峰，15，3分）如图，直线PA过半圆的圆心O，交半圆于A、B两点，PC切半圆于点C，已知PC=3，PB=1，则该半圆的半径为_。 【答案】48. （2011四川自贡，15，4分）在RtABC中，A=30,直角边AC=6cm，以C为圆心，3cm为半径作圆，则C与AB的位置关系是_.【答案】相切9. （2011年青海，4,2分）如图1所示，O的两条切线PA和PB相交于点P，与O相切于A、B两点，C是O上的一
7、点，若P=700，则ACB= 。【答案】55图110（2011广西玉林、防港，18，3分）如图，AB是半圆O的直径，以OA为直径的半圆O与弦AC交于点D，OE/AC,并交OC于点E，则下列四个结论：点D为AC的中点；SOOE=SAOC；四边形ODEO是菱形，其中正确的结论是_.【答案】11. （2011广西贵港，17，2分）如图所示，在ABC中，ACBC4，C90，O是AB的中点，O与AC、BC分别相切于点D、E，点F是O与AB的一个交点，连接DF并延长交CB的延长线于点G，则BG的长是 。ABCDEOFG【答案】12. 三、解答题1. （2011广东湛江，27,12分）如图，在中，点D是AC
8、的中点，且,过点作，使圆心在上，与交于点（1）求证：直线与相切；（2）若,求的直径【答案】（1）证明：连接OD，在中，OA=OD，所以，又因为，所以，所以，即，所以BD与相切；（2）由于AE为直径，所以,由题意可知,又点D是AC的中点，且，所以可得，即的直径为5.2. （2011广东珠海，21，9分）（本题满分9分）已知：如图，锐角三角形ABC内接于O，ABC=45；点D是上一点，过点D的切线DE交AC的延长线于点E，且DEBC；连结AD、BD、BE,AD的垂线AF与DC的延长线交于点F.（1）求证：ABDADE；（2）记DAF、BAE的面积分别为SDAF、SBAE，求证：SDAFSBAE.【
9、答案】证明：（1）连结OD，DE是O的切线，ODDE. DEBCODBC，= ，BAD=EAD，BDA=BCA,DEBC，BDA=DEA.BAD=EAD，ABDADE.（2）过B作BGAE于G，由（1）得=,即AD2=ABAE设ABE的AE边上的高为h，则SABE=AEh,hAB.由ABC=45，ADAF，ADF为等腰三角形.SADF= AD2 SDAFSBAE.3. （2011黑龙江省哈尔滨市，27，10分）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCD为菱形，AB边在x轴上，点D在y轴上，点A的坐标是（-6,0），AB=10。(1)求点C的坐标；(2)连接BD，点P是线段CD上一
10、动点（点P不与C、D重合），过点P作PEBC交BD于点E，过点B作BQPE交PE的延长线与点Q。设PC的长为x，PQ的长为y，求y与x之间的函数关系式（直接写出自变量x的取值范围）；(3)在（2）的条件下，连接AQ、AE，当x为何值时，SBQE+ SAQE= SDEP ?并判断此时以点P为圆心，以5为半径的P与直线BC的位置关系，请说明理由。【答案】解：（1）如图1，过点C作CNx轴，垂足为N，则四边形DONC为矩形ON=CD 四边形ABCD是菱形 AB=10 AB=BC=CD=AD=10 ON=10A(6,0) OA=6 OD= C(10,8) (2)如图1，过点P作PHBC,垂足为H，则P
11、HC=AOD=90四边形ABCD是菱形 PCB=DAOPHCDOA PH= PEBC BQPQPQB=QBC=PHB=90四边形PQBH为矩形 PQ= （3）如图2：过点P作PH BC,垂足为H,则四边形PQBH是矩形 BQ=PH=xPEBC PED=CBD CD=CB CBD=CDBCDB=PED PE=PD=10-x QE=PQ-PE=x过点D作DGPQ于点G , 过点A作AFPQ交PQ的延长线于点FDGF=AFG=90 PQ BC PQAD ADG=90四边形AFGD为矩形 AF=DG PQ BCDPG=C DGP=PHC=90 DGPPHC AF=DG=(10-x)=8-xSBQE+
12、SAQE=EQBQ+EQAF=xx+ x (8-x)= x SDEP,= PEDG=(10-x) （8-x）= SBQE+ SAQE= SDEP,x=（） 整理得 x2-25x+100=0 x1=5 x2=200x10 x2=20不符合题意舍去 x=5x=5时，SBQE+ SAQE= SDEP, PH=x=40,点P、Q同时从A点出发,其中点P沿射线AB运动,速度为每秒4个单位;点Q沿射线AO运动,速度为每秒5个单位.(1)写出A点的坐标和AB的长;(2)当点P、Q运动了t秒时,以点Q为圆心,PQ为半径的Q与直线、y轴都相切,求此时a的值.【答案】 (1)A(-4,0),AB=5.(2)由题意
13、得：AP=4t,AQ=5t,又PAQ=QAB,APQAOB.APQ=AOB=90。点P在上，Q在运动过程中保持与相切。当Q在y轴右侧与y轴相切时，设与Q相切于F，由APQAOB得 ,PQ=6,连接QF，则QF=PQ, QFCAPQAOB得.,QC=,a=OQ+QC=.当Q在y轴左侧与y轴相切时，设与Q相切于E, 由APQAOB得,PQ=.连接QE，则QE=PQ,由QECAPQAOB得，QC=,a=QC-OQ=.a的值为和。6. （2011辽宁大连，22,9分）如图9，AB是O的直径，CD是O的切线，切点为C，BECD，垂足为E，连接AC、BC（1）ABC的形状是_，理由是_；（2）求证：BC平
14、分ABE；（3）若A60，OA2，求CE的长【答案】（1）直角三角形；直径所对的圆周角是直角；（2）证明：连接OCCD切O于COCCDBECDOCBE OCBEBCOCOBOCBOBCEBCOBCBC平分ABE（3） 过A做CFAB于FAB是O的直径ACB90A60ABC30在RtACF中，A60，BC平分ABE，CFAB，CEBE7. （2011陕西，23,8分）如图，在ABC中，,O是ABC的外接圆，过点A 作O的切线，交CO的延长线于点P，CP交O于点D（1） 求证：AP=AC；（2） 若AC=3，求PC的长【解】（1）证明： 连接AO，则AOPA AOC=2B=120AOP=60，P=
15、30又OA=OC，ACP=30 P=ACP AP=AC （2）在RtPAO中，P=30,PA=3, CO=OA=,PC=PO+OC=8. （2011天津，22, 8分）已知AB与O相切于点C，OA=OB，OA、OB与O分别交于点D、E.（）如图，若O的直径为8，AB=10，求OA的长（结果保留根号）；（）如图，连接CD、CE，若四边形ODCE为菱形，求的值.答案：解：（）如图，连接OC，则OC=4，AB 与O相切于点COCAB在OAB中,OA=OB,AB=10AC=AB=5在RtCOA中,由勾股定理，得OA=()如图，连接OC,则OC=OD四边形ODCE是菱形OD=DCODC为等边三角形, 有
16、AOC=60由（）知OCA=90A=30，OC=OA=9. （2011北京市，20，5分）如图，在ABC，AB=AC，以AB为直径的O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且（1）求证：直线BF是O的切线；（2）若AB=5，求BC和BF的长G【答案】证明：（1）证明：连结AEAB是O的直径，AEB=901=2=90AB=AC1=CABCBF=CAB，1=CBFCBF+2=90即ABF=90AB是O的直径，直线BF是O的切线（2）解：过点C作CGAB于点GsinCBF=，1=CBF，sin1=AEB=90，AB=5，BE=ABsin1=AB=AC，AEB=90，BC=2BE=2在Rt
17、ABE中，由勾股定理AE=2sin2=，cos2=在RtCBG中，可求得GC=4，GB=2，AG=3GCBFAGCABF=BF=10（2011广东清远，22，8分）如图7，AB是O的直径，AC与O相切，切点为A，D为O上一点，AD与OC相交于点E，且DAB=C.（1）求证：OCBD；（2）若AO=5，AD=8，求线段CE的长.【答案】解：（1）AC与O相切，ACAB.DAB=C，DAB+CAE=90,CEA=90,即OCAD.又AB是O的直径，BDAD.OCBD.（2）DAB=C，CEA=ADB=90,CEAADB.又AO=5，AD=8，OCBD，AE=4，AD=8, BD=6，11. (20
18、11四川达州，21，6分)如图，在ABC中，A=90，B=60，AB=3，点D从点A以每秒1个单位长度的速度向点B运动(点D不与B重合)，过点D作DEBC交AC于点E以DE为直径作O，并在O内作内接矩形ADFE，设点D的运动时间为秒(1)用含的代数式表示DEF的面积S；(2)当为何值时，O与直线BC相切?【答案】解：（1）DEBC，ADE=B=60在ADE中，A=90AD=，AE= 又四边形ADFE是矩形，SDEF=SADE=（S=（ （2）过点O作OGBC于G，过点D作DHBC于H，DEBC，OG=DH，DHB=90在DBH中，B=60，BD=，AD=，AB=3，DH=，OG= 当OG=时，
19、O与BC相切，在ADE中，A=90，ADE=60，AD=，DE=2AD=，当时，O与直线BC相切12. （2011湖南娄底，25,10分） 在等腰梯形ABCD中，ADBC，且AD=2，以CD为直径作O1，交BC于点E，过点E作EFAB于F，建立如图12所示的平面直角坐标系，已知A，B两点的坐标分别为A(0，2)，B(-2，0). （1）求C，D两点的坐标. （2）求证：EF为O1的切线. （3）探究：如图13，线段CD上是否存在点P，使得线段PC的长度与P点到y轴的距离相等？如果存在，请找出P点的坐标；如果不存在，请说明理由.【答案】（1）连结DE，CD是O1的直径，DEBC，四边形ADEO为
20、矩形.OE=AD=2，DE=AO=2.在等腰梯形ABCD中，DC=AB.CE=BO=2，CO=4.C(4，0)，D(2，2).（2）连结O1E，在O1中，O1E=O1C，O1EC=O1CE，在等腰梯形ABCD中，ABC=DCB.O1EAB,又EFAB，O1EEF.E在AB上，EF为O1的切线（3）解法一：存在满足条件的点P.如右图，过P作PMy轴于M，作PNx轴于N，依题意得PC=PM,在矩形OMPN中，ON=PM，设ON=x，则PM=PC=x，CN=4-x，MNPtanABO=.ABO=60，PCN =ABO =60.在RtPCN中，cosPCN =，即,x=.PN=CNtanPCN=(4-
21、)=.满足条件的P点的坐标为(，).解法二：存在满足条件的点P，如右图，在RtAOB中，AB=.过P作PMy轴于M，作PNx轴于N，依题意得PC=PM,在矩形OMPN中，ON=PM，设ON=x，则PM=PC=x，CN=4-x，PCN=ABO，PCN=AOB=90.PNCAOB，即.解得x=.又由PNCAOB，得，PN= .满足条件的P点的坐标为(，).13. （2011内蒙古呼和浩特市，24,8分）如图所示，AC为O的直径且PAAC，BC是O的一条弦，直线PB交直线AC于点D，.（1）求证：直线PB是O的切线；（2）求cosBCA的值【答案】（1）证明：连接OB、OP （1分） 且D=D BD
22、CPDO DBC=DPO BCOP BCO=POA CBO=BOP OB=OC OCB=CBO BOP=POA又 OB=OA OP=OP BOPAOP PBO=PAO又 PAAC PBO=90 直线PB是O的切线 （4分）（2）由（1）知BCO=POA设PB，则又 又 BCOP cosBCA=cosPOA= （8分）14. （2011福建莆田，21，8分）如图，在RtABC中，C=90，O、D分别为AB、BC上的点，经过A、D两点的O分别交AB、AC于点E、F，且D为的中点。（1）（4分）求证：BC与O相切（2）（4分）当AD=2，CAD=30时，求的长。 【答案】（1）证明：连接OD，则OD
23、=OAOAD=ODA OAD=CAD ODA=CADOD/AC 又C=90 ODC=90 即BCODBC与O相切（2）解：连接DE，则ADE=90 OAD=ODA=CAD=30 AOD=120在RtADE中，AE=O的半径r=2的长l=15. （2011广西南宁，25，10分）如图11，已知CD是O的直径，ACCD，垂足为C，弦DEOA，直线AE、CD相交于点B (1)求证：直线AB是OO的切线；(2)如果AC =1，BE =2，求tanOAC的值(1) 【答案】证明：如图，连接OE，弦DEOA，COA=ODE, EOA=OED, OD=OE,ODE=OED, COA=EOA,又OC=OE,O
24、A=OA，OACOAE, OEA=OCA=90, OEAB，直线AB是OO的切线；(2) 由(1)知OACOAE, AE=AC=1,AB=1+2=3,在直角ABC中，B=B, BCA=BOE，BOEBAC,，在直角AOC中， tanOAC= .16. （2011广西梧州，25，10分）如图，AB是O的直径，CD是O的切线，切点为C延长AB交CD于点E连接AC，作DAC=ACD，作AFED于点F，交O于点G（1） 求证：AD是O的切线；（2） 如果O的半径是6cm，EC=8cm，求GF的长AOBECFGD【答案】解：（1）证明：连接OCCD是O的切线，OCD=90OCA+ACD=90OA=OC，
25、OCA=OACDAC=ACD，0AC+CAD=90OAD=90AD是O的切线（3） 连接BG；OC=6cm，EC=8cm，在RtCEO中，OE=10AE=OE+OA=1AFED，AFE=OCE=90，E=ERtAEFRtOEC=即：=AF=9.6AB是O的直径，AGB=90AGB=AFEBAG=EAF，RtABG RtAEF=即：=AG=7.2GF=AF-AG=9.6-7.2=2.4(cm) AOBECFGD17. （2011江西b卷，22,9分）如图，将ABC的顶点A放在O上，现从AC与O相切于点A（如图1）的位置开始，将ABC绕着点A顺时针旋转，设旋转角为（0120），旋转后AC，AB分别
26、与O交于点E,F，连接EF（如图2）. 已知BAC=60，C=90，AC=8，O的直径为8.(1)在旋转过程中，有以下几个量：弦EF的长 的长 AFE的度数 点O到EF的距离.其中不变的量是 （填序号）； (2)当BC与O相切时，请直接写出的值，并求此时AEF的面积.ABCOEF图2ABCO图1AO备用图【答案】解：（1），.（多填或填错得0分，少填酌情给分） 3分ABC（E）OF （2）=90. 5分 依题意可知，ACB旋转90后AC为O直径，且点C与点E重合，因此AFE=90. 6分AC=8，BAC=60, AF=,EF=, 8分SAEF=. 9分18. （2011吉林长春，21,6分）如
27、图，平面直角坐标系中，P与轴交于A、B两点，点P的坐标为（3，1），（1）求P的半径（4分）（2）将P向下平移,求P与轴相切时平移的距离（2分）21题图【答案】21.解：（！）作PCAB于点C，由垂径定理得在RtPAC中，由勾股定理得PA=2, P的半径为2 (2) 将P向下平移,当P与轴相切时点P到x轴的距离等于半径。所以平移的距离为19. （2011江苏徐州，24,8分）如图，PA、PB是的O两条切线，、切点分别A、B.OP交AB于点C,OP=13,sinAPC=.（1）求的O半径；（2）求弦AB的长.（第24题）【答案】解：（1）PA是O的切线，OAP=90在RtOAP中，sinAPO=
28、又OP=13,OA=5,即所求半径为5.（2）在RtOAP中，AP=.PA、PB是O的切线PA=PB,APO=BPOAC=BC=AB,PCAB（三线合一）法一：在RtOAP中，sinAPC=AC=AB=2AC=.法二： POAB=2(PAOA),故20（2011辽宁沈阳，21，10分）如图，点A、B在O上，直线AC是O的切线，OCOB，连接AB交OC于点D （1）求证：AC=CD （2）若AC=2，AO=，求OD的长度 ACAOABADA第21题图【答案】（1）AC是O的切线 OAAC OAC=90 OABCAB=90 OCOB COB=90 ODBB=90 AO=OB OAB=B CAB=O
29、DB ODB=ADC CAB =ADC AC=CD （2）在RtOAC中，OC=3 OD=OCCD=OCAC=32=121. （201四川广元，23，9分）如图，AB是O的直径，BC切O于点B，连接CO并延长，交O于点D、E，连接AD并延长，交BC于点F（1）试判断CBD与CEB是否相等，并证明你的结论；（2）求证：；（3）若BC，求tanCDF的值【答案】证明：（1）AB是O的直径，BC切O于点B，CBD90OBD又DE过O的圆心，DBE90，OBODCEB90OBD，ODB OBDCBDCEB（2）在CBD和CEB中，CBDCEB，CC，CBDCEB（3）CBDCEB，BC2CDCE，即B
30、C2CD（CDDE）而DEAB，BCAB，（AB）2 CD（CDAB），即4 CD24 ABCD9AB20CDCD或CD（不合题意舍去）又CDFADEABEBEDtanCDFtanBED而，BCAB，tanCDF 22. （2011年铜仁地区，23，10分）如图6，AB是O的直径，BCAB于点B，连接OC交O于 点E，弦ADOC(1)求证： ； (2)求证：CD是O的切线图6【答案】（1）证明：连接OD. 1分 ADOC DAO=COB ADO=DOC . 2分又OA=OD DAO=ADO 4分 COB=COD . 5分=6分（2）由（1）知DOE=BOE，.7分在COD和COB中 CO=CO
31、 DOC=BOCOD=OB CODCOB .9分 CDO=B . 10分又 BCAB CDO=B= .11分即 CD是O的切线 . 12分23. (2011云南省昆明市，24，9分)如图已知AB是O的直径，点E在O上，过点E的直线EF与AB的延长线交于点F，ACEF，垂足为C，AE平分FAC(1)求证：CF是O的切线： (2)当F=30时，求值第24题图CABOFE【答案】（1）证明：连结OEOA=OEOAE=OEAAE平分FACOAE=CAEOEA=CAEOEAC又ACEFOEF=ACE=90CF是O的切线。（2）解：设O的半径为r，由（1）知FAC与FOE都是直角三角形，且OEACFACF
32、OEF=30FO=2r，FA=3r，24. （2011昭通，29，10分）如图11（1）所示，AB是O的直径，AC是弦，直线EF和O相争于点C，ADEF，垂足为D。AOBCDEFAOBEGCDF （1） （2） 图11（1）求证：DACBAC;（2）若把直线EF向上平行移动，如图11（2）所示，EF交O于G、C两点，若题中的其它条件不变，这时与DAC相等的角是哪一个？为什么？AOBCDEFAOBEGCDF【答案】证明：连接OCEF与O相切OCEFADEFADOCOCADACOAOCOCABACDACBAC（2）BAG与DAC相等，理由如下：连接BCBAGDAB是直径，ADEFBCAGDA900
33、BBAC900，AGDDAG900BACDAGBACCAGDAGCAG即BAGDAC25. （2011内蒙古包头，25，12分）如图9，已知ABC=90，AB=BC，直线l与以BC为直径的圆O相切于点C，点F是圆O上异于B、C的动点，直线BF与l相交于点E，过点F作AF的垂线交直线BC于点D（1）如果BE=15，CE=9，求EF的长；（2）证明：CDFBAF；CD=CE（3）探求动点F在什么位置时，相应的点D位于线段BC的延长线上，且使BC=CD，请说明你的理由ABCEFOlD 图9【解】（1）直线l是O的切线，BCF=90又BC是直径，BFC=CFE=90RtCEFRtBEC，即EF=（2）
34、证明：FCB+FBC=90，ABF+FBC=90FCB=ABF，同理AFB=CFDCDFBAFCDFBAF，又CEFBCF，又AB=BC，CE=CD（3）如图CE=CD，BC=CD=CE，在RtBCE中，tanCBE=CBE=30故为60，F在O的下半圆上，且 ABOFCDEl26. （2011吉林长春，21，6分）如图，平面直角坐标系中，P与轴交于A、B两点，点P的坐标为（3，1），（1）求P的半径（4分）（2）将P向下平移,求P与轴相切时平移的距离（2分）21题图【答案】21.解：（！）作PCAB于点C，由垂径定理得在RtPAC中，由勾股定理得PA=2, P的半径为2 (2) 将P向下平移,当P与轴相切时点P到x轴的距离等于半径所以平移的距离为27. （2011四川自贡，26，12分）如图，在平面直角坐标系中，半径为1的B经过坐标原点O，
