1、小升初 公因数和公倍数内容分析-（）公因数和公倍数是六年级数学上学期第一章内容，是小升初考试考察内容之一.本节重点是掌握公因数和公倍数的概念，以及求最大公因数和最小公倍数的方法，难点是求2个或3个整数的最大公因数或最小公倍数，以及利用最大公因数和最小公倍数的知识解决实际问题，加强学生对数学学习的兴趣知识结构 公因数和最大公因数公因数和公倍数公倍数和最小公倍数模块一：公因数和最大公因数知识精讲1、公因数几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数2、最大公因数几个数的公因数中，最大的一个叫做这几个数的最大公因数3、两个数互素如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素4、求最大公因数方法（总结） （1
2、）列举法：分别列出两个数的因数，从公因数中找出它们的最大公因数 （2）分解素因数法：把两个数分解素因数，最大公因数就是它们共有素因数的乘积 （3）短除法：用两个数的公因数去除，除到商是互素为止，所有除数的乘积就是这两个数的最大公因数（一般用它们的公有素因数去除，为了计算更加灵活简便除数不一定非得是素数，可用较大的公因数去除）例： 2 18 24 3 9 12 3 4 所以，18和24的最大公因数为 （4）特征法：如果两个数是互素，它们的最大公因数是1；如果两个数之间存在倍数关系，则它们的最大公因数是其中较小的一个数注：如果两个数既不互素，也不存在倍数关系，一般可用短除法或者分解素因数法例题解析
3、【例1】 求出下列各组数的公因数（1）14和42；（2）121和44；（3）28和56；（4）17和9【难度】【答案】（1）14； （2）11； （3）28； （4）1【解析】（1）两个数是倍数关系，最大公因数是较小数； （2）两个数既不是倍数关系，也不是互素关系，用短除法； （3）两个数是倍数关系，最大公因数是较小数； （4）两个数互素，最大公因数是1；【例2】 指出下列哪组中的两个数互素（1）3和5；（2）6和9；（3）14和15；（4）18和1【难度】【答案】（1）（3）（4）【解析】如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素【总结】互素两数的几种常见类型：（1）两个数都是素数；（2）
4、一个素数，一个合数；（3）1和其它的任意正整数【例3】 用短除法求56和36的最大公因数【难度】【答案】4【答案】【解析】 2 56 36 2 28 18 14 9 56与36的最大公因数是22=4【例4】 用分解素因数的方法求24和90的最大公因数【难度】【答案】6； 360【解析】因为24=2223，90=2335； 所以18与24的最大公因数是23=6；最小公倍数是222335=360【总结】本题考察了用分解素因数法求两个数的最大公因数【例5】 已知都为自然数，且，那么的最大公因数是多少？【难度】【答案】p【解析】m是n的倍数，n是p的倍数，因此m是p的倍数；所以最大公因数是p【总结】若
5、三个数都是倍数关系，则它们的最大公因数是最小的那个数【例6】 求出下列各组数的最大公因数（1）48和60 （2）和 （3）410和 123 （4）96、128和160【难度】【解析】略【答案】（1）12；（2）14；（3）41；（4）32【例7】 一张长方形的纸片，长为36cm，宽为21cm，要把这张纸片裁成同样大小的正方形小纸片而且没有任何剩余，则裁成的正方形纸片的边长最大可以是多少厘米？至少有多少个小正方形？【难度】【解析】没有任何纸片剩余，所以小正方形的边长一定要整除36和21，同时还要求小正方形的边长尽可能地长，因此正方形的边长就是36和21的最大公因数。【答案】36和21的最大公因数
6、是3，正方形纸片的边长最大是3厘米。（363）（213）=127=84（个），所以至少有84个小正方形。模块二：公倍数和最小公倍数知识精讲1、公倍数与最小公倍数公倍数：几个整数公有的倍数叫做它们的公倍数；最小公倍数：几个整数公有的倍数中，最小的一个叫做它们的最小公倍数2、求最小公倍数的方法（1）列举法：分别列出两个数的倍数，找出它们共有的倍数，其中最小的数就是这两个数的最小公倍数（2）分解素因数法：把两个数分解素因数，把它们公有的素因数和它们各自独有的素因数连乘，所得的积就是它们的最小公倍数（3）短除法：用两个数的公因数去除，除到商是互素为止，所有除数和商的乘积就是这两个数的最小公倍数（4）特
7、征法：如果两个数是互素，它们的最小的公倍数是它们的乘积；如果较大的数是较小的数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数（5） 大数翻倍法：把几个数中最大的一个数依次乘正整数2、3、4所得到的积最先是其他各数的倍数时，那个积就是它们的最小公倍数。例题解析 【例8】 （1）如果数能被数整除，则和的最大公约数是_，最小公倍数是_（2）自然数的最小倍数_它的最大约数（填大于、小于或等于）【难度】【答案】b， a ；等于【解析】两个数成倍数关系，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数；【总结】本题考察了成倍数关系的两个数的最大公因数和最小公倍数的求法【例9】 用短除法求下列各组数的最小公倍数（1）63
8、和42 （2）54和36 （3）15、18和30 （4）42、105和56【难度】【解析】略【答案】（1）126；（2）108；（3）90；（4）840【例10】 两个数的最大公因数是4，最小公倍数是252，其中一个是28，另一个是多少？【难度】【答案】另一个数是36【解析】 设另一个数是x，则：28x=4252 解得：x=36 答：乙数是36【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数和它们乘积的关系：两个数的最小公倍数与最大公倍数的乘积等于这两个数的乘积【例11】 已知两个互素的数的最小公倍数是33，求这两个数的和【难度】【答案】34或14【解析】因为33=133=311 （1）这两个
9、数可能是1和33，此时和为34； （2）这两个数可能是3和11，此时和为14；【总结】本题考察了互素的两个数的最小公倍数的求法【例12】 运动会团体操表演过程中，要求在队伍变换成10行、15行、18行、24行时，队形都为长方形，问参加团体操表演最少需要有多少人？【难度】【答案】360人【解析】由题意可得人数是10、15、18、24的最小公倍数时，满足题意。10、15、18、24的最小公倍数是360所以参加团体操表演最少需要360人。【例13】 在长15千米的公路一边，等距离种树（两端都种），开始每隔10米种一棵，后来改成每隔12米种一棵，不用改种的树有多少棵？【难度】【答案】26棵【解析】1.
10、5千米=1500米， 10与12的最小公倍数是60， 150060+1=26棵 答：有26棵树不需要移动【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用【例14】 某工厂承包了学校的桌椅制作任务，一张桌子配一把椅子，某车间有甲、乙两组，甲组人员做桌子，每人每天可以做6张桌子；乙组每人每天可以做9把椅子，为了使生产均衡，每天的桌子、椅子数量刚好配套该车间至少安排多少人员？（不考虑其他因素）【难度】【答案】5人【解析】因为6与9的最小公倍数是18，所以186+189=5人 答：该车间至少安排5个人【总结】本题考察了两个数的最大公因数最小公倍数的应用关隐含条件，去绝对值解题随堂检测【习题1】 下列说法中，
11、正确的个数有（ ）个2是4和16的一个公因数；12是24和36的最大公因数；如果两个数互素，那么这两个数一定都是素数；1和任何正整数互素A0B1C2D3【难度】【答案】D【解析】正确；错误，两个数互素要求两个数只有公因数1【总结】常见的两个互素的数有：（1）两个数都是素数；（2）一个素数，一个合数；（3）1和任何正整数；（4）任意两个连续的整数等【习题2】 已知甲数，乙数，若甲、乙两数的最大公因数是42，求的值【难度】【答案】2【解析】由已知得：甲数和乙数的最大公因数是：37A=42， 解得：A=2【总结】本题考察用分解素因数法求两个数最大公因数【习题3】 求下列各组数的最大公因数和最小公倍数
12、(1)17和64；（2）6和54；（3）45和69【难度】【答案】（1）17和64的最大公因数是1；17和64的最小公倍数是1088； （2）6和54的最大公因数是6；6和54的最小公倍数是54； （3）45和69的最大公因数是3；45和69的最小公倍数是1035【习题4】 两个正整数的和是50，他们的最大公因数是5，这两个数的差的最大值是几？【难度】【答案】40【解析】设这两个数是5a，5b(a、b互素)，则：5a+5b=50 所以a+b=10 a=1，b=9时，两个数是5、45；45-40=5； a=3，b=7时，两个数是15、3535-15=20； 所以这两个数的差的最大值是40【总结】
13、本题主要考查素数在数字计算中的运用【习题5】 王老师带领一班同学去植树，学生恰好分成4组如果王老师和学生每人植树一样多，那么他们一共植了539棵这个班有多少个学生？每人植树多少棵？【难度】【答案】48个，11棵【解析】因为539=7711=4911，所以学生数是48人，每人植树11棵【总结】本题是对分解素因数的综合运用【习题6】 有四个数，已知的最大公因数是60，的最大公因数是96，这四个数的最大公因数是多少？【难度】【答案】12【解析】由已知得：a、b是60的倍数，c、d是96的倍数， 因此60和96的最大公因数即是四个数的最大公因数 而60和96的最大公因数是12答：这四个数的最大公因数是
14、12【总结】本题主要是考查学生对最大公因数的概念的准确理解和运用【习题7】 甲每隔3天去一次书店，乙每隔5天去一次，丙每隔7天去一次，如果6月1日，甲乙丙同时去了书店，则下次同时去书店的日期是哪一天？【难度】【答案】9月14日.【解析】 因为甲每隔3天去一次书店，乙每隔5天去一次，丙每隔7天去一次，所以下次去书店距离上次同时去书店的天数要能同时被3、5、7整除，短除法可得3、5、7的最小公倍数为105， 则经过105天（6月30天，7月31天，8月31天，即9月14日甲乙丙同时去书店.【总结】本题主要考察利用最小公倍数解决实际问题课后作业【作业1】判断下列说法是否正确，对的打“”，错的打“”，
15、并说明理由（1） 两个数的公倍数的个数是有限的()（2） 30是15和10的最小公倍数()（3） 如果较大数能被较小数整除，那么较小数就是这两个数的最大公因数，较大数就是这两个数的最小公倍数()（4） 不相同的两个数的最小公倍数一定比它们的最大公因数大()【难度】【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】（1）错误，两个数的倍数就是这两个数最小公倍数的倍数，有无限个； （2）正确； （3）正确； （4）正确；【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数的相关概念【作业2】用分解素因数的方法求18和30的最大公因数和最小公倍数【难度】【答案】6， 90【解析】因为18=233； 30=2
16、35； 所以18与30的最大公因数是23=6，最小公倍数是2335=90；【总结】本题考察用分解素因数法求两个数最大公因数和最小公倍数【作业3】求下列各组数求的最小公倍数和最大公因数（1）48和72；（2）104和182；（3）13和52；（4）160和185【难度】【答案】（1）24；（2）26；（3）13；（4）5【解析】（1）短除法得： 48与72的最大公因数是24； （2）短除法得：104与182的最大公因数是26； （3）13和52是倍数关系，最大公因数是较小数，13与52的最大公因数是13； （4）短除法得：160与185的最大公因数是5【总结】本题主要是考查求两个数的最大公因数【
17、作业4】已知四个小于10的自然数，它们的积是360已知这四个数中只有一个是合数，求这四个数【难度】【答案】3、3、5、8【解析】因为360=222335，又四个数中只有一个合数，且小于10，所以只能是8所以这四个数是3、3、5、8；【总结】本题还是考查分解素因数的运用【作业5】若一个正整数加上3能被15和20整除，那么符合条件的数中最小的数是多少？【难度】【答案】57【解析】因为15与20的最小公倍数是60， 所以603=57答：符合条件的数中最小的数是57【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用 【作业6】两个数的最大公因数是42，最小公倍数是2940，且这两个数的和是714，这两个数各是
18、多少？【难度】【答案】这两个数是420和294【解析】设这两个数是42a，42b(a、b互素)， 则：42ab=2940，42（a+b）=714 ab=70，a+b=17 a=7，b=10，这两个数是420、294【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数的相关概念【作业7】若一个正整数加上3能被15和20整除，那么符合条件的数中最小的数是多少？【难度】【答案】57【解析】因为15与20的最小公倍数是60， 所以603=57 答：符合条件的数中最小的数是57 【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用【作业8】小明7月和8月参加了钢琴和美术的培训，两项培训都是从7月1日开始，钢琴课每上一
19、次休息4天，美术课每上一次休息6天，请问整个暑假中有几天是两项培训在同一天进行的？【难度】【答案】12天【解析】4与6的最下公倍数是12，31212=52 答：整个暑假中有5天是两项培训在同一天进行的【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用【作业9】甲、乙、丙三人绕操场竞走，他们走一圈分别需1分钟、1分15秒、1分30秒问：三人同时从起点出发，多长时间后他们又在起点相会？（从起点出发后最近的一次相会）【难度】【答案】15分钟【解析】1分钟=60秒，1分15秒=75秒，1分30秒=90秒； 60、75、90的最小公倍数为900，而900秒=15分钟 答：15分钟后他们又在起点相会 【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用 10 / 11 10 / 11 10 / 1110 / 11
