1、小升初 公因数和公倍数的综合应用内容分析-（）公因数和公倍数是六年级数学上学期第一章内容，是小升初考试考察内容之一.本节重点利用最大公因数和最小公倍数的知识解决实际问题，加强学生对数学学习的兴趣模块一：公因数和公倍数综合应用知识精讲两数的最大公因数与最小公倍数的关系已知数a和数b，两数的最大公因数为m，最小公倍数为n，则：例题解析【例1】 求出下列各组数的最大公因数（1）24和72 （2）54和90 （3）28、42和70 （4）240、80和96【难度】【解析】略【答案】（1）24；（2）；18（3）14；（4）16【例2】 求出下列各组数的最小公倍数（1）63和42 （2）54和36 （3
2、）15、18和30 （4）42、105和56【难度】【解析】略【答案】（1）126；（2）108；（3）90；（4）840【例3】 已知两数的最大公因数是21，最小公倍数是126，求这两个数的和是多少？【难度】【解析】假设这两个数是和（其中a，b互质），根据最小公倍数性质得，所以，由和互质，那么就有两种情况所以它们是：，或，两种情况它们的和是147或105【答案】147或105【例4】 两个自然数的和是125，它们的最大公约数是25，试求这两个数【难度】【解析】根据题意不妨设这两个数分别为 ，（其中、互质）得，又因为、 互质 ，两数可以为25、100或者50、75【答案】25、100或50、7
3、5【例5】 把一张长1米3分米5厘米、宽1米5厘米的纸裁成同样大小的正方形纸块，而没有剩余，问：能裁成最大的正方形纸块的边长是多少？共可裁成几块？【难度】【解析】要把一张长方形的纸裁成同样大小的正方形纸块，还不能有剩余，这个正方形纸块的边长应该是长方形的长和宽的公约数由于题目要求的是最大的正方形纸块，所以正方形纸块的边长是长方形的长和宽的最大公约数1米3分米5厘米135厘米，1米5厘米105厘米，【答案】边长15厘米；63块【例6】 有336个苹果，252个桔子，210个梨，用这些水果最多可以平均分给多少人？在每人礼物中，三样水果各多少？【难度】【解析】此题由于要把3样水果平均分给人，也就是说
4、人数是三种水果的因数， 又因为要求最多多少人，本质上就是要求出这三种水果的最大公约数， ，即可以分42人，每人分苹果8个，桔子6个，梨5个【答案】42人；苹果8个；桔子6个；梨5个【例7】 动物园的饲养员给三群猴子分花生，如只分给第一群，则每只猴子可得12粒；如只分给第二群，则每只猴子可得15粒；如只分给第三群，则每只猴子可得20粒已知花生的数目不超过100粒，那么三群猴子各有多少只？【难度】【解析】依题意得: 花生总粒数第一群猴子只数第二群猴子只数第三群猴子只数.由此可知，花生总粒数是12，15，20的公倍数，其最小公倍数是60，又因为花生数目不超过100粒，所以花生的总数只能是60粒，第一
5、群猴子共（只），第二群猴子，第三群猴子（只）【答案】5只；4只；3只【例8】 有一个商店今年7月1日开业，有三个批发商从这个商店批货，甲每6天来一次，乙每8天来一次，丙每9天来一次，问这三个批发商在7月1日碰面后，下次碰面的是几月几号？到明年7月1日，他们一共碰面多少次？【难度】【解析】由题可知这三个商人下次到商店的时间分别为6、8、9的倍数.又因为要一起出现碰面，所以下次一起出现的时间一定为6、8、9的公倍数，所以再过72天他们在这家店碰面，即9月11日到明年7月1日，一共过了365或366日，所以到明年7月1日他们一共碰面5次【答案】9月11日；5次【例9】 从小明家到学校原来每隔米安装一
6、根电线杆，加上两端的两根一共是根电线杆，现在改成每隔米安装一根电线杆，除两端的两根不用移动外，中途还有多少根不必移动？【难度】【解析】从小明家到学校的距离为（米）50和60的最小公倍数为（米）途中还有（根）不必移动【答案】8跟 【例10】 某茶叶商销售三级别的茶叶，已知一级茶叶150克，二级大米180克，三级大米210克的价格都是450元，现需将这三种茶叶分别按整斤数装袋，要求每袋的价格都相等，那么每袋的价格最低是多少元？【难度】【答案】15元【解析】因为150、180、210的最大公因数是30，所以每种茶叶最多分30小份，即每份最低：45030=15元答：每袋的价格最低是15元【总结】本题是
7、利用最大公因数的思想解决实际问题【例11】 公共汽车总站有三条线路，第一条每8分钟发一辆车，第二条每10分钟发一辆车，第三条每16分钟发一辆车，早上6:00三条路线同时发出第一辆车，该总站发出最后一辆车是20:00求该总站最后一次三辆车同时发出的时刻【难度】【答案】19:20【解析】8、10、16这三个数的最小公倍数是80 （20-6）60=840分钟 84080=1040分钟 答：该总站最后一次三辆车同时发出的时刻是19:20 【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用随堂检测【习题1】 求下列各组数求的最小公倍数和最大公因数（1） 36和84；（2）12，15和18【难度】【答案】（1）3
8、6与84的最大公因数是12，最小公倍数是252； （2）12、15、18的最大公因数是3，最小公倍数是180【习题2】 一个房间长450厘米，宽330厘米现计划用方砖铺地，问需要用边长最大为多少厘米的方砖多少块(整块)，才能正好把房间地面铺满？【难度】【解析】要使方砖正好铺满地面，不能剩余，方砖的边长为房间的长和宽的公因数 由于题中要求方砖边长尽可能大，所以方砖边长应为房间长与宽的最大公约数 ， ，共需（块）【答案】165块【习题3】 已知两个自然数的最大公约数为4，最小公倍数为120，求这两个数【难度】【解析】，将30分解成两个互质的数之积：1和30，2和15，3和10，5和6，所以这两个数
9、为4与120，或8与60，或12与40，或20与24【答案】4与120，或8与60，或12与40，或20与24【习题4】 两个自然数的和是50，它们的最大公约数是5，试求这两个数的差【难度】【解析】设这两个自然数为：，其中与互质，经检验，9与1或者7与3于是，所要求的两个自然数也有两组：45与5，35与15它们的差分别是：45540，351520【答案】40或20【习题5】 把20个梨和25个苹果平均分给小朋友，分完后梨剩下2个，而苹果还缺2个，一共最多有多少个小朋友？【难度】【解析】此题相当于梨的总数是人数的整数倍还多2个，苹果数是人数的整数倍还缺2个，所以减掉2个梨，补充2个苹果后，18个
10、梨和27个苹果就都是人数的整数倍了，即人数是18和27的公约数，要求最多的人数，即求18和27的最大公约数【答案】9人【习题6】 加工某种机器零件，要经过三道工序，第一道工序每名工人每小时可完成6个零件，第二道工序每名工人每小时可完成10个零件，第三道工序每名工人每小时可完成15个零件.要使加工生产均衡，三道工序最少共需要多少名工人?（假设这三道工序可以同时进行）【难度】【解析】为了使生产均衡，则三道工序每小时生产的零件个数应相等，设第一、二、三道工序上分别有、个工人，有，那么k的最小值为6，10，15的最小公倍数所以，则三道工序最少共需要名工人【答案】10人【习题7】 甲乙丙三人去图书馆借书
11、，甲每6天去一次，乙每10天去一次，丙每12天去一次，如果2016年2月14日他们在图书馆相遇，那么下一次都到图书馆是几月几日？【难度】【解析】由题可知甲乙丙下次相见的时间为6、10、12的最小公倍数，4月14日【答案】4月14日【习题8】 3月12日植树节，六（2）班同学在400米跑道的一侧每隔4米种一棵树，当种好第31棵树时，觉得树与树之间隔太密，于是改为每隔6米种一棵树，那么有多少棵树不需要移动呢？【难度】【解析】（米），而4与6的最小公倍数是12，（颗）【答案】11颗课后作业【作业1】求下列各组数的最大公因数（1）256和112 （2）30和48【难度】【答案】（1）16；（2）6【作
12、业2】求下列各组数的最小公倍数（1）42和108（2）30和48【难度】【答案】（1）756；（2）240【作业3】一块长方形的纸，长厘米，宽厘米，要把这张纸裁成面积相等的小正方形，而纸无剩余，且使边长最长，问可裁成几张？【难度】【解析】要使这些面积相等的小正方形纸的边长最长，就是要求75与60的最大公约数， 【答案】20张【作业4】有三根铁丝，一根长54米，一根长72米，一根长36米，要把它们截成同样长的小段，不许剩余，每段最长是多少米？【难度】【解析】，所以它们的最大公约数是18【答案】18米【作业5】两个自然数的最大公约数是6，最小公倍数是540这样的自然数一共有_组【难度】【解析】设这
13、两个数是，且，那么，可得，或，或，或，共4组【答案】4组【作业6】教师节那天，某校工会买了320个苹果、240个桔子、200个鸭梨，用来慰问退休的教职工，问用这些果品，最多可以分成多少份同样的礼物(同样的礼物指的是每份礼物中苹果、桔子、鸭梨的个数彼此相等)？在每份礼物中，苹果、桔子、鸭梨各多少个？【难度】【解析】因为，所以最多可分40份，每份中有8个苹果6个桔子，5个鸭梨【答案】苹果8个；桔子6个；鸭梨5个【作业7】一个公共汽车站，发出五路车，这五路车分别为每隔3、5、9、15、10分钟发一次，第一次同时发车以后，_分钟后又同时发第二次车【难度】【解析】、的最小公倍数是，所以分钟后又同时发第二
14、次车【答案】90分钟【作业8】马鹏和李虎计算甲、乙两个两位数的乘积，马鹏把甲数的个位数字看错了，得乘积473；李虎把甲数的十位数字看错了，得乘积407，那么甲、乙两数的乘积应是多少？【难度】【解析】乙数是473与407的公约数.473与407的最大公约数是11，11是质数，它的两位数约数只有11，所以乙数是11，又，所以甲数是47，甲、乙两数的乘积应为：【答案】517【作业9】一位妇女在河边洗碗，邻居问家里来了多少人？她回答说：“客人每人用一只饭碗，每两个合用一只菜碗、每三个合用一只汤碗，共用只碗”她家里究竟来了多少客人？【难度】【解析】由题目的条件可知客人的人数应该是、的公倍数，因为，所以客
15、人的人数为的倍数又因为个人只用只饭碗、只菜碗、只汤碗，即只用只碗，而客人共用只碗，是只碗的倍，所以人数也是人的倍，即共有位客人.【答案】36位客人【作业10】在一根长90厘米的木棍上，自左到右每隔6厘米染一个红点，同时自右到左每隔5厘米染一个红点，染后沿红点将木棍逐段锯开，那么共锯了短木棍有多少根？【难度】【解析】由于每6厘米染一个红点，则染了（个）同理每5厘米也染一个点，所以染了（个），由于5，6的最小公倍是30，所以每隔30厘米就有一个点重复，共重复了（个），所以最终木棍上共有点（个），可以锯成（根）【答案】30根【作业11】甲、乙、丙三人每隔不同天数到图书馆去一次，甲每隔3天去一次，乙每隔4天去一次，丙每隔5天去一次4月7日他们三人都去了图书馆，下次他们都去图书馆是在几月几日？【难度】【解析】每隔3天一次实际就是每4天去一次图书馆，其他依次类推所以我们要求的就是4、5、6的最小公倍数4、5、6的最小公倍数2253=60（天）4月7日过60天是6月6日【答案】6月6日 8 / 9 8 / 9
