1、小升初 方程与方程组的解法内容分析-（）方程和解方程是小初阶段计算方面的基础，同时也是代数学习的基本要求，相关应用也极广，目前主要学习一元一次方程及二元一次方程组的解法和简单应用，要求掌握方程或方程组的基本概念、基本解法及步骤，重点是列方程及方程组的解法，难点是方程和方程组的应用模块一：方程（组）与方程（组）的解知识精讲不需要精确的概念辨析，重点在于会解，能解对，前面的部分例题可以去掉。知识精讲也放入如何解一元一次的操作增加解方程的题量，分清层次方程与方程的解：（1）表示两边相等关系的式子叫等式；含有未知数的等式叫做方程. （2）使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解. （3）求未知数的
2、值的过程，叫做解方程.二元一次方程：1、 含有两个未知数的一次方程叫做二元一次方程。2、 使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。3、 二元一次方程的解有无数个，二元一次方程的解得全体叫做这个二元一次方程的解集。二元一次方程组：1、 有几个方程组成的一组方程叫做方程组。如果方程组中含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次，那么这样的方程组叫做二元一次方程组。2、 在二元一次方程组中，使每个方程都适合的解，叫做二元一次方程组的解。例题解析【例1】判断：（1）等式中不含有，就不是方程。 （ ） （2）不是方程 。 （ ）（3）是方程。 （ ）（4）是方程的解。 （
3、） 【难度】【答案】错对对对【解析】方程是含有未知数的等式，未知数可以是任意一个字母；判断未知数的值是不是方程的解，只需代入等式两边验证等号是否成立即可。【总结】本题依然是方程概念的考查，注意抓住关键字，等式和未知数【例2】下列方程中，是二元一次方程的是（ D ）A3x2y=4z B6xy+9=0 C+4y=6 D4x=【难度】【答案】D【解析】概念考查【总结】关键是把握概念，两个未知数和一次【例3】下列方程组中，是二元一次方程组的是（ A ） A【难度】【答案】A【解析】概念考查【总结】二元一次方程组的判定关键是未知数和次数的判定，主要C,D是二次的【例4】解方程：（带的要检验）（1） （2
4、）（3） （4）（5） （6）【难度】【答案】（1） （2） 检验：把代入方程，左边=1.2111=1.1 右边=1.，左边=右边； 所以是原方程的解。 （3） （4） 检验：把代入方程，左边=18， 右边=18，左边=右边； 所以是原方程的解。 （5） （6） 【解析】（1）根据被减数、减数和差之间的关系。 （2）根据被除数、除数和商的关系。 （3）先求，再求。 （4）把当成一个整体；也可以用乘法分配律先去掉括号。 （5）方程两边都有未知数时需要将未知数放在等式的一边。 （6）整体法，将除法转化为乘法。【总结】重点理解未知数的位置和运算顺序，注意整体法的应用【例5】利用方程解答：（1）56比
5、大28，求.（2）甲数是，甲数比乙数小4，甲数的3倍与乙数的2倍的和是43，求乙数.【难度】【答案】（1） （2） 乙数为：【解析】利用倍差关系列出方程【总结】关键是等量关系的理解和转化，理解字母表示数后并未改变原有的数量关系【例6】解下列方程 （1） （2） （3） （4） 【难度】【答案】 【解析】如答案详解【总结】特别注意解含分数方程的五个，最后系数化为1时不要把分子、分母搞颠倒【例7】二元一次方程5a11b=21 （ B ）A有且只有一解 B有无数解 C无解 D有且只有两解【难度】【答案】B【解析】一个二元一次方程有无数解【总结】理解方程未知数的个数、方程的个数与解的个数关系1、 你能
6、总结不是方程的不同类型的例子吗？2、 方程有无数解的条件分析？师生总结模块二：二元一次方程组的的解法知识精讲解二元一次方程组的一般方法：解二元一次方程的关键的步骤：是消元，即将二元一次方程或多元一次方程化为一元一次方程。消元方法：代入消元法和加减消元法代入消元法： 取一个方程，将它写成用一个未知数表示另一个未知数，记作方程； 将代入另一个方程，得一元一次方程； 解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； 将这个未知数的值代入，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解加减消元法： 变形、调整两条方程，使某个未知数的系数绝对值相等（类似于通分）； 将两条方程相加或相减消元； 解一元一次方程；特别注意
7、的灵活消元： （1）整体代入法 （2）先消常数法 （3）设参代入法 （4）换元法 （5）简化系数法例题解析【例1】解下列方程组（1） （2）（3） （4）【难度】【答案】（1） 将代入中，得： （2）+ 得： 解这个方程得： 解这个方程得：把代入中得： 把代入中得：所以原方程组的解是 所以原方程组的解是（3） 由得： （4）2得： 把代入中，得： 得：解这个方程得： 把代入中，得： 解这个方程得： 所以原方程组的解是 把 代入中，得： 所以原方程组的解是【解析】代入消元法和加减消元法。【总结】注意代入消元和加减消元这两种方法的选择，代入法适合于能数字小或直接可以用一个未知数表示另一个未知数的情
8、况【例2】解方程组【难度】【答案】原方程组等价于 +得； 把代入中，得： 所以原方程组的解是【解析】将和当成整体，先将方程组进行化简整理。【总结】再一次总结整体法的灵活应用【例3】二元一次方程有一个公共解,则m=_,n=_。【难度】【答案】m=1. n=-2【解析】把公共解代入得到新的方程组，进而再求解即可【总结】熟练理解方程组的解【例4】方程组的解是_。【难度】【答案】【解析】讲等式化为两个方程组求解即可【总结】灵活转化方程组【例5】关于x、y的二元一次方程组 （1） （2） 【难度】【答案】 （1）解： （2）解：设，则原方程组可变形为 ，解得 所以 解这个方程组，得： 所以原方程组的解是
9、 【解析】见答案详解【总结】含有多个字母时注意分清题意中谁是真正的字母参数以及换元法的应用【例6】m取什么整数值时，方程组的解： （1）是正数； （2）是正整数？并求它的所有正整数解。【难度】【答案】（1）当时，值为正数。 （2）当，当，当，【解析】把m看成已知数，求出方程组的解，当解为正数时分析m的值【总结】初步理解参数的概念及简单应用师生总结你是如何理解整体法解方程的？模块三：方程及方程组的应用知识精讲知识归纳：列方程解应用题的步骤：1设：设未知数2找：找等量关系3列：列方程4解：解方程5检、答：检验并写答句例题解析添加几道列方程组解决的问题【例1】图书馆里故事书的本数除以8再加上16本，
10、就是科技书的本数。科技书有120本，故事书有多少本？【难度】【答案】832【解析】设故事书有本。 解得： 答：故事书有832本。【总结】故事书的本数除以8再加上16等于120。【例2】一个长方形的周长是30厘米，长是宽的2倍，求长方形的长与宽。【难度】【答案】10,5【解析】设长方形的宽为厘米，则长为厘米。 解得： 厘米答：长方形的长为10厘米，宽为5厘米。【总结】设宽为厘米，则长为厘米，再利用长方形的周长等于长与宽的和的2倍列方程。【例3】师、徒两人合作加工机器零件，师傅比徒弟多加工450个，且师傅加工零件的个数是徒弟的2.5倍，徒弟加工了多少个零件？【难度】【答案】300【解析】设徒弟加工
11、了个零件，则师傅加工了个零件。 解得：答：徒弟加工了300个零件。【总结】设徒弟加工了个零件，则师傅加工了个零件，再利用师傅加工的零件个数徒弟加工的零件个数=450来列方程。【例4】一批机器零件共840个，如果甲先做4天，乙加入合做，那么再做8天才能完成；如果乙先做4天，甲加入合做，那么再做9天才能完成，问两人每天各做多少个机器零件？【难度】【答案】50.30【解析】设甲每天做x个机器零件，乙每天做y个机器零件，根据题意，得 答：甲每天做50个机器零件，乙每天做30个机器零件【总结】由题意得甲做12天，乙做8天能够完成任务；而甲做9天，乙做13天也能完成任务，由此关系我们可列方程组求解【例5】
12、师傅对徒弟说“我像你这样大时，你才4岁，将来当你像我这样大时，我已经是52岁的人了”问这位师傅与徒弟现在的年龄各是多少岁？【难度】【答案】36.20【解析】设现在师傅x岁，徒弟y岁，根据题意，得答：现在师傅36岁，徒弟20岁【总结】由“我像你这样大时，你才4岁”可知师傅现在的年龄等于徒弟现在的年龄加上徒弟现在的年龄减4，由“当你像我这样大时，我已经是52岁的人了”可知52等于师傅现在的年龄加上师傅现在的年龄减去徒弟的年龄由这两个关系可列方程组求解【例6】铁路旁的一条与铁路平行的小路上，有一行人与骑车人同时向南行进，行人速度为3.6千米/时，骑车人速度为10.8千米/时，这时有一列火车从他们背后
13、开过来，火车通过行人用22秒，通过骑车人用26秒，这列火车的车身总长是多少？【难度】【答案】286【解析】本题属于追及问题，行人的速度为3.6千米/时=1米/秒，骑车人的速度为10.8千米/时=3米/秒。火车的车身长度既等于火车车尾与行人的路程差，也等于火车车尾与骑车人的路程差。如果设火车的速度为x米/秒，那么火车的车身长度可表示为（x-1）22或（x-3）26，由此不难列出方程。解：设这列火车的速度是x米/秒，依题意列方程，得（x-1）22=（x-3）26。解得x=14。所以火车的车身长为（14-1）22=286（米）。答：这列火车的车身总长为286米。【总结】本题画图分析是关键，理解追击过
14、程中等量关系【例7】一辆汽车在上坡路上行驶的速度是每小时40千米,在下坡路上行驶的速度是每小时50千米,在平路上行驶的速度是每小时45千米.某日这辆汽车从甲地开往乙地,先是用了的时间走上坡路,然后用了的时间走下坡路,最后用了的时间走平路.已知汽车从乙地按原路返回甲地时,比从甲地开往乙地所用的时间多15分钟,求甲、乙两地的距离.【难度】【答案】675【解析】解：设汽车从甲到乙所用时间为3x小时,依题意,得,解得x=5, 故甲、乙两地的距离为40x+50x+45x=135x=675(千米).【总结】本题涉及分数，所以可以画图分析上下坡的过程图及上下坡的转化，及其时间关系【例8】甲、乙两人分别从相距
15、30千米的A、B两地同时相向而行，经过3小时后相距3千米，再经过2小时，甲到B地所剩路程是乙到A地所剩路程的2倍，求甲、乙两人的速度【难度】【答案】4；5或；【解析】设甲、乙的速度分别为x千米/时和y千米/时第一种情况：甲、乙两人相遇前还相距3千米根据题意，得第二种情况：甲、乙两人是相遇后相距3千米根据题意，得 答：甲、乙的速度分别为4千米/时和5千米/时；或甲、乙的速度分别为千米/时和千米/时【总结】见解析详解，特别注意两种情况都要考虑到随堂检测【习题1】判断题：1含有未知数的式子叫做方程（ ） 24x+5 、6x=8 都是方程（ ）318x=6 的解是x3（ ） 4 等式不一定是方程，方程
16、一定是等式（ ）【难度】【答案】【解析】略【总结】方程的概念判定【习题2】方程2x=0，3x+y=0，2x+xy=1，3x+y2x=0，x2x+1=0中，二元一次方程的个数是（ ）A1个 B2个 C3个 D4个【难度】【答案】B【解析】主要注意方程的次数判断【总结】熟练掌握二元一次方程的概念【习题3】在方程组、 、中，是二元一次方程组的有（ ）A、2个 B、3个 C、4个 D、5个【难度】【答案】C【解析】注意常见的二次方程的形式并进行排除【总结】分母含字母的方程不是一次方程【习题4】当m=_时，xm-1+(m-3)x+y=3是二元一次方程。【难度】【答案】1【解析】根据一次概念判定第一项不存
17、在，进而判定参数的值【总结】依然是概念考查，会灵活应用【习题5】解下列方程 ( 其中为常数) 【难度】【答案】 【解析】加减消元与整体法应用【总结】根据整体法特征，熟练应用【例6】五（1）班要在植树节种树苗185棵，每人平均种6棵，还剩下5棵，五（1）班有多少同学？【难度】【答案】30【解析】设五（1）班有个同学。 解得：答：五（1）班有30个同学。【总结】人数6剩下的棵数总棵数。【例7】停车场停放着一些客车和货车，其中货车有42辆，如果客车开走10辆后，剩下的客车就比货车多2辆，那么客车原来有多少辆？【难度】【答案】54【解析】设客车原来有辆。 解得：答：客车原来有54辆。【总结】剩下的客车
18、辆数货车辆数2【例8】A、B两地相距36千米.甲从A地出发步行到B地,乙从B地出发步行到A地.两人同时出发，4小时相遇，6小时后，甲所余路程为乙所余路程的2倍，求两人的速度。【难度】【答案】4,5【解析】 【总结】根据路程速度时间关系列二元一次方程组求解课后作业【作业1】列方程并求解：1、 一个数的4倍减去8，差是10，求这个数？ 2、一个数的6倍加上4乘0.7的积，和是11.8，求这个数？【难度】【答案】1/4.5 2/1.5【解析】1、4x-8=10 x=4.5 2、6 x+4*0.7=11.8 x=1.5【总结】根据题意列方程求解【作业2】下列方程中，是二元一次方程的有（ ） mn+m=
19、7 x+y=6 A、1个 B、2个 C、3个 D、4个【难度】【答案】A【解析】根据概念判定【总结】主要识记几种不是二元一次方程的类型【作业3】下列方程中，是二元一次方程组的是 （ ） A、 B、 C、 D、【难度】【答案】C【解析】根据概念判定【总结】依然是识记几种不是二元一次方程的类型【作业4】某校初三（2）班40名同学为“希望工程”捐款，共捐款100元.捐款情况如下表：捐款（元）1234人数67表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已经看不清楚.若设捐款2元的有名同学，捐款3元的有名同学，根据题意，可得方程组（ A ）.（A）（B）（C）（D）【难度】【答案】A【解析】根据题意列方程
20、求解【总结】学会转化方程组【作业5】二元一次方程x+2y=12在正整数解有( C )组.A. 3 B. 4 C. 5 D. 无数【难度】【答案】C【解析】根据和为12，带人具体数字尝试得出【总结】二元一次方程的解的个数无限性和整数解是有限个的【作业6】解下列方程组 【难度】【答案】 【解析】略【总结】熟练掌握二元一次方程组的两种解法，计算过程中适当的运用巧算【作业7】修路队修两条路，第一条长35.6千米，比第二条路的2倍多5.6千米，第二条路长多少千米？【难度】【答案】15【解析】设第二条长千米。 解得：答：第二条长15千米。【总结】第一条的长度第二条的长度的2倍5.6【作业8】水果店运来桔子
21、150千克，比香蕉的一半还多65千克。运来香蕉多少千克？【难度】【答案】170【解析】设运来香蕉千克。 解得：答：运来香蕉170千克。【总结】桔子的重量香蕉重量的一半6【作业9】小红买了面值为50分和230分的邮票共8枚，共用去9元4角问50分和230分的邮票各买几枚？【难度】【答案】50分的邮票买了5枚，230分的邮票买了3枚。【解析】解：设共买了枚50分的邮票，枚230分的邮票，根据题意得。将化简得 5得把代入得原方程组的解是答：50分的邮票买了5枚，230分的邮票买了3枚。【总结】本题有两个未知数，即50分邮票的枚数和230分的邮票的枚数，有两个等量关系，即两种面值的邮票数的和等于8，两
22、种邮票的总价值是9.4元。【作业10】甲、乙、丙三人同乘汽车到外地旅行，三人所带行李的重量都超过了可免费携带行李的重量，需另付行李费，三人共付4元，而三人行李共重150千克如果一个人带150千克的行李，除免费部分外，应另付行李费8元求每人可免费携带的行李重量？【难度】【答案】30【解析】设每人可免费携带X千克行李，可列方程： 所以每人可免费携带的行李重量为30千克【总结】一方面，三人可免费携带3X 千克行李，三人携带150千克行李超重(150-3X)千克，超重行李共付4元行李费；另一方面，一人携带150千克行李超重 (150-X)千克，超重行李需付行李费8元根据超重行李每千克应付的钱数相同 21 / 21 21 / 21
