1、 牛吃草问题是牛顿问题，因牛顿提出而得名的。“一堆草可供10头牛吃3天，供6头牛吃几天？”这题很简单，用3106=5（天），如果把“一堆草”换成“一片正在生长的草地”，问题就不那么简单了。因为草每天走在生长，草的数量在不断变化。这类工作总量不固定（均匀变化）的问题就是“牛吃草”问题。 解答这类题的关键是要想办法从变化中找到不变的量。牧场上原有的草是不变的，新长出的草虽然在变化，因为是匀速生长，所以每天新长出的草是不变的。正确计算草地上原有的草及每天长出的草，问题就容易解决了。 即找出“原有草”、“新生草”及他们之间的关系是解决“牛吃草”问题的关键。【例1】一片青草地，每天都匀速长出青草，这片青
2、草可供27头牛吃6周或23头牛吃9周，那么这片草地可供21头牛吃几周？【难度】【解析】这片草地上的草的数量每天都在变化，解题的关键应找到不变量即原来的草的数量。因为总草量可以分成两部分：原有的草与新长出的草。新长出的草虽然在变，但应注意到是匀速生长，因而这片草地每天新长出的草的数量也是不变的。假设1头牛一周吃的草的数量为1份，那么27头牛6周需要吃276=162（份），此时新草与原有的草均被吃完；23头牛9周需吃239=207（份），此时新草与原有的草也均被吃完。而162份是原有的草的数量与6周新长出的草的数量的总和；207份是原有的草的数量与9周新长出的草的数量的总和，因此每周新长出的草的份
3、数为：（207-162）（9-6）=15（份），所以，原有草的数量为：162-156=72（份）。这片草地每周新长草15份相当于可安排15头牛专吃新长出来的草，于是这片草地可供21 头牛吃72（21-15）12（周）【答案】见解析。12周。【例2】一块1000平方米的牧场里的草能够让12头牛吃16个星期，或让18头牛吃8个星期，如果在全部时间内草能够匀速生长，那么一块1000平方米的牧场在8个星期能养活多少头牛？【难度】【解析】假设1头牛1个星期吃1份草，那么12头牛16周需要吃1216=192（份），18头牛8周需吃188=144（份），此时新草与原有的草也均被吃完。而192份是原有的草的数
4、量与16周新长出的草的数量的总和；144份是原有的草的数量与8周新长出的草的数量的总和，因此每周新长出的草的份数为：（192-144）（16-8）=6（份），所以，原有草的数量为：192-166=96（份）。这片草地每周新长草6份相当于可安排6头牛专吃新长出来的草，而这片草地原有草8 周可供96812（头），综上，可供12+6=18头牛【答案】18头.【例3】一块草地，每天牧草生长的速度相同，现在这片牧草可供16头牛吃20天，或者供80只羊吃12天，如果一头牛一天的吃草量等于4只羊一天的吃草量，那么10头牛与60只羊一起吃这块草地，可以吃多少天？【难度】【解析】假设1头牛1天吃1份草，则4只羊
5、1天吃1份草，16头牛20天池1620=320份草,这是原有草和20天新长草之和，80只羊吃12天共吃掉(804)12=240份草,这是原有草和12天新长草之和,则每天新长草(320-240)(20-12)=10份,原有草320-2010=120份,10头牛和60只羊每天吃101+604=25份草,其中每天新长的草10份刚好购10牛吃,另外所需的15份草由原有草120份来提供,可以吃12015=8天.【答案】8天.【例4】由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定速度在减少。已知某块草地上的草可供20头牛吃5天或可供15头牛吃6天。照此计算，可供多少头牛吃10天？【难度】【解析】与例
6、1不同的是，不仅没有新长出的草，而且原有的草还在减少，但是，我们同样可以利用与例1类似的方法求出每天减少的草和原来的草的总量。设1头牛1天吃的草为1份，20头牛5天吃100份，15头牛6天吃90份，100-90=10（份），说明寒冷的天气使牧场1天减少青草10份，也就是寒冷导致的每天减少的草量相当于10头牛在吃草。由“草地上的草可供20头牛吃5天”，再加上寒冷导致的每天减少的草量相当于10头牛同时在吃草，所以原有草两有（20+10）5=150（份），由15010=15知道，牧场原有的草可供15头牛吃10天。由寒冷导致的原因占去10头牛吃的草，所以可供5头牛吃10天。【答案】见解析，5头牛。【例
7、5】一块1000平方米的牧场里的草能够让12头牛吃16个星期，或让18头牛吃8个星期，如果在全部时间内草能够匀速生长，那么一块4000平方米的牧场在6个星期能养活多少头牛？【难度】【解析】先把两块牧场统一成面积相等的，4000平方米是1000平方米的四倍，所以4000平方米的牧场能够让124=48头牛吃16个星期，或者能让184=72头牛吃8个星期，假设1头牛1个星期吃1份草，那么48头牛16周需要吃4816=768（份），72头牛8周需吃728=576（份），此时新草与原有的草也均被吃完。而768份是原有的草的数量与16周新长出的草的数量的总和；576份是原有的草的数量与8周新长出的草的数量
8、的总和，因此每周新长出的草的份数为：（768-576）（16-8）=24（份），所以，原有草的数量为：768-162=384（份），每周新长草可安排24头牛专吃新长出来的草，而这片草地原有草6 周可供384664（头），综上，可供64+24=88头牛。【答案】88头.【例6】有三块草地，面积分别为5，6，和8公顷。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草荐地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天。问第三块草地可供19头牛吃多少天？【难度】【解析】把三块地统一成面积相等的。5，6，8的最小公倍数是120.这样，第一块5公顷可供11头牛吃10天，1205=24，变为120公顷草地可
9、供1124=264（头）牛吃10天。第二块6公顷可供12头牛吃14天，1206=20，变为120公顷草地可供1220=240（头）牛吃14天。1208=15。问题变成：120公顷草地可供1915=285（头）牛吃几天？因为草地面积相同，可忽略具体公顷数，原题可变为：一块草地匀速生长，可供264头牛吃10天或供240头牛吃14天， 那么可供285头牛吃几天？即每天新长出的草：（2401426410）（1410）=180（份）草地原有草：（264180）10=840（份）可供285头牛吃的时间：840（285180）=8（天）【答案】第三块草地可供19头牛吃8天。【例7】一个水库原有存水量一定，河
10、水每天均匀入库，用5台抽水机连续20天可将水库抽干，用6台同样的抽水机连续15天可抽干，若要求6天抽干水库，问：需要多少台同样的抽水机？【难度】【解析】假设1台抽水机一天可以抽走1份水,则5台抽水机20天可以抽走5120=100份水,这是原有水和20天的新入库水之和.6台抽水机15天抽走6115=90份水,这是原有水和15天的新入库水之和.每天新入库的水为(100-90)(20-15)=2份,原有水100-202=60份水.则每天新入库的水需要2台抽水机抽走,原有水需要606=10台抽水机,所以共需要10+2=12台抽水机.【答案】12台.【例8】某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅
11、客人数一样多，若同时开4个检票口，需30分钟检完票，同时开5个检票口需20分钟检完票，如果同样开7个检票口，那么需要多少分钟检完票?【难度】【解析】假设一个检票口1分钟能检1份人,则4个检票口30分钟能检430=120份人,这是原有人和30分钟新来人的总和.5个检票口20分钟能检520=100份人,这是原有人和20分钟新来人的总和.每分钟新来人为(120-100)(30-20)=2份,这部分人需要2个检票口来检票,还剩7-2=5个检票口来消化原有人,原有人为100-202=60份,605=12分钟.【答案】12分钟.【习题1】一片草地，每天都匀速长出青草，如果可供24头牛吃6天，20头牛吃10
12、天，那么可供19头牛吃几天？【难度】【解析】假设1头牛1天吃1份草,24头牛6天吃246=144份草,这是原有草和6天新长草之和,20头牛10天吃2010=200份草,这是原有草和10天新长草之和,可求出每天新长草(200-144)(10-6)=14份草,则原有草为144-614=60份草.每天新长的14份草够14头牛吃,剩下19-14=5头牛只能吃原有草,605=12天.【答案】12天.【习题2】牧场上一片草地，每天牧草都匀速生长，这片牧草可供10头牛吃20天，或者可供15头牛吃10天，问5天可供多少头牛？【难度】【解析】假设1头牛1天吃1份草,10头牛20天吃1020=200份草,这是原有
13、草和20天新长草之和,15头牛10天吃1510=150份草,这是原有草和10天新长草之和,可求出每天新长草(200-150)(20-10)=5份草,则原有草为200-520=100份草.每天新长的5份草够5头牛吃,原有草5天够1005=20头牛吃，所以共20+5=25头牛【答案】25头.【习题3】由于天气逐渐冷起来，牧场上的草每天以均匀的速度在减少。经计算，牧场上的草可供20头牛吃5天或可供16头牛吃6天。那么，可供11头牛吃几天？【难度】【解析】假设1头牛1天吃1份草,20头牛5天吃205=100份草,这是原有草和5天减少草之差,16头牛6天吃166=96份草,这是原有草和6天减少草之差,可
14、求出每天减少草(100-96)(6-1)=4份草,则原有草为100+54=120份草.每天减少的4份草假设有额外4头牛吃，即有11+4=15头吃，那么原有草够12015=8天。【答案】8天。【习题4】由于天气逐渐冷起来，牧场上的草以固定速度在减少。已知牧场上的草可供33头牛吃5天或可供24头牛吃6天。照此计算，这个牧场可供多少头牛吃10天？【难度】【解析】假设1头牛1天吃1份草,33头牛5天吃335=165份草,这是原有草和5天减少草之差,24头牛6天吃246=144份草,这是原有草和6天减少草之差,可求出每天减少草(165-144)(6-1)=21份草,则原有草为165+521=270份草.
15、每天减少的21份草假设有额外21头牛吃，那么原有草够27010=27头，27-21=6头。【答案】6头【习题5】一片牧草，可供9头牛吃12天，也可供8头牛吃16天，开始只有4头牛吃，从第7天起又增加了若干头牛吃，再吃6天吃完了所有的草，问：从第7天起增加了多少头牛？【难度】【解析】假设1头牛1天吃1份草,9头牛12天吃912=108份草,这是原有草和12天新长草之和,8头牛16天吃816=128份草,这是原有草和16天新长草之和,可求出每天新长草(128-108)(16-12)=5份草,则原有草为108-512=48份草.原有草加上12天新长草共48+125=108份，其中4头牛从头吃到尾，共
16、吃了7-1+6=12天，412=48份，108-48=60份草，606=10头【答案】10头【习题6】一个农夫有2公顷4公顷两块牧场，俩了那两块牧场上的草长得一样密，而且长得一样快，农夫将8头牛赶到2公顷的牧场，5天吃完了或者农夫将4头牛赶到2公顷的牧场，15天又吃完；最后，农夫把6头牛赶到4公顷的牧场，这块牧场够吃多少天？【解析】把两块地统一成面积相等的。2，4的最小公倍数是4.这样，第一块2公顷可供8头牛吃5天，82=4，变为4公顷草地可供82=16（头）牛吃5天；或者可供42=8（头）牛吃15天。因为草地面积相同，可忽略具体公顷数，原题可变为：一块草地匀速生长，可供16头牛吃5天或供8头
17、牛吃15天， 那么可供6头牛吃几天？即每天新长出的草：（815165）（155）=4（份）草地原有草：815415=60（份）可供6头牛吃的时间：60（64）=30（天）【答案】30天。【习题7】一个农夫有2公顷4公顷和6公顷三块牧场，三块牧场上的草长得一样密，而且长得一样快，农夫将8头牛赶到2公顷的牧场，5天吃完了；农夫又将这8头牛赶到4公顷的牧场，15天又吃完了；最后，这8头牛又被赶到6公顷的牧场，这块牧场够吃多少天？【难度】【解析】把三块地统一成面积相等的。2，4，6的最小公倍数是12.这样，第一块2公顷可供8头牛吃5天，122=6，变为8公顷草地可供86=48（头）牛吃5天。第二块4公
18、顷可供12头牛吃14天，124=3，变为8公顷草地可供83=24（头）牛吃15天。第三块土地126=2，问题变成：12公顷草地可供82=16（头）牛吃几天？因为草地面积相同，可忽略具体公顷数，原题可变为：一块草地匀速生长，可供48头牛吃5天或供24头牛吃15天， 那么可供16头牛吃几天？即每天新长出的草：（2415485）（155）=12（份）草地原有草：485125=180（份）可供16头牛吃的时间：180（16-12）=45（天）【答案】第三块草地可供16头牛吃45天。【习题8】有一水池，池底有泉水不断涌出。用10部抽水机20小时可以把水抽干，用15部相同的抽水机10小时可以把水抽干。那么
19、用25部这样的抽水机多少小时可以把水抽干？【难度】【解析】假设1台抽水机一小时可以抽走1份水,则10台抽水机20小时可以抽走10120=200份水,这是原有水和20小时的新涌出水之和.15台抽水机10小时抽走15110=150份水,这是原有水和10小时的新涌入水之和.每天新涌入的水为(200-150)(20-10)=5份,原有水200-205=100份水.则每天新涌入的水需要5台抽水机抽走,原有水需要100（25-5）=5小时。【答案】5小时【作业1】有一片牧草，每天生长的速度相同，现在这片牧草可供48头牛吃20天，或者可供80头牛吃10天，那么32头牛一起吃草可以吃多少天？【难度】【解析】假
20、设1头牛1天吃1份草，48头大牛20天吃4820=960份，这是原有草和20天新长草之和.80头牛10天吃8010=800份草，这是原有草和10天新长草之和，可求出每天新长草（960-800）（20-10）=16份，原有草800-1610=640份草，每天新长草够16头牛吃，还剩32-16=16头小牛，只能吃原有草了，可以吃64016=40天【答案】40天。【作业2】经测算，地球上的资源可供100亿人生活100年，或可供80亿人生活300年。假设地球新生成的资源增长速度是一样的，那么，为满足人类不断发展的需要，地球最多能养活多少亿人？【难度】【解析】假设1亿人1万年消耗1份资源,100亿人10
21、0年消耗100100=10000份资源,这是原有资源和100年新长资源之和,80亿人300年消耗80300=24000份资源,这是原有资源和300年新长资源之和,可求出每年新长资源(24000-10000)(300-100)=70份资源,则原有资源为10000-10070=3000份资源.每年新长的70份资源够70亿人消耗。这样地球才能永远活下去。【答案】70亿。【作业3】一片草地，草每天生长的速度相同，这片草地可供5头牛吃40天，或者可供6头牛吃30天，如 果4头牛吃了30天以后，又增加2头牛一起吃，问：这片草地还可以吃几天？【难度】【解析】假设1头牛1天吃1份草,5头牛40天吃540=20
22、0份草,这是原有草和40天新长草之和,6头牛30天吃630=180份草,这是原有草和30天新长草之和,可求出每天新长草(200-180)(40-30)=2份草,则原有草为200-240=120份草.每天新长草够2只牛吃，所以还有4-2=2只牛来吃原有草，120-230=60份草，60（2+2）=15天。【答案】15天。【作业4】一个牧场上的青草每天都匀速生长。这片青草可供17头牛吃30天，或供19头牛吃24天。现有一群牛吃了6天后卖掉4头，余下的牛又吃了2天将草吃完。这群牛原来有多少头？【难度】【解析】假设1头牛1天吃1份草,17头牛30天吃1730=510份草,这是原有草和30天新长草之和,
23、19头牛24天吃1924=456份草,这是原有草和24天新长草之和,可求出每天新长草(510-456)(30-24)=9份草,则原有草为510-930=240份草.每天新长的9份草够9头牛吃,原有草240份草被卖掉的4头吃掉6天后还剩240-46=216分，其余的牛都是吃路6+2=8天，则这部分牛2168=27头，则原来共有27+4+9=40头牛。【答案】40头【作业5】有一水井，连续不段涌出泉水，每分钟涌出的水量相等。如果用3台抽水机来抽水，36分钟可以抽完；如果使用5台抽水机，20分钟抽完。现在12分钟内要抽完井水，需要抽水机多少台？【难度】【解析】假设1台抽水机一分钟可以抽走1份水,则3
24、台抽水机36分钟可以抽走3136=108份水,这是原有水和36分钟的新涌出水之和.5台抽水机20分钟抽走5120=100份水,这是原有水和20分钟的新涌入水之和.每天新涌入的水为(108-100)(36-20)=0.5份,原有水108-360.5=90份水.则每天新涌入的水需要0.5台抽水机抽走,原有水需要9012=7.5台，共需要7.5+0.5=8台抽水机。【答案】8台【例6】一只船有一个漏洞，水以均匀的速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水。如果用12人舀水，3小时舀完。如果只有5个人舀水，要10小时才能舀完。现在要想2小时舀完，需要多少人？【难度】【解析】假设一个小时漏进的水为1份,已漏
25、进的水，加上3小时漏进的水，123=36份人已漏进的水，加上10小时漏进的水，510=50份水.1小时漏进的水，（5036）（103）=2份,这部分需要两个人要舀走.已漏进的水36-32=30份,要想2个小时舀完,需要302=15人,共需要15+2=17人.【答案】17人【作业7】有三块草地，面积分别为4公顷、8公顷和10公顷，草地上的草一样厚，而且长得一样快，第一块草地可供24头牛吃6周，第二块草地可供36头牛吃12周，问：第三开草地可供50头牛吃几周？【难度】【解析】4，8，10的最小公倍数是40，题目可以转化为第一块为2410=240头牛6周，第二块地转365=180头牛吃12周，第三块
26、地供504=200头牛吃几周？假设一头牛一周吃1份草，第一块地240头牛吃6周游2406=1440份，第二块地18012=2160份，可以求出每周新长草（2160-1440）（12-6）=120份草，原有草1440-1206=720份，每天新长草够120头牛吃，剩下200-20=80头牛只有吃原有草了，72080=9周。【答案】9周【作业8】某火车站的检票口在检票开始前已经有一些人排队，检票开始后每分钟有10个人前来排队检票，一个检票口每分钟能让25人检票进站，如果只有一个检票口，那么检票开始8分钟后就没有人排 队；如果有两个检票口，那么检票开始后多少分钟就没有人排队？【难度】【解析】由题意知8分钟检票825=200人，这是原有人数和8分钟新过来的人数和，由于每分钟过来10人，所以原有人数200-810=120人，两个检票口每分钟能检票50人，去掉新来的10人，还剩40人用来检票原来排队的，需要12040=3分钟。 【答案】3分钟牛吃草问题（教师版）13 / 13
