1、小升初 几何综合(表面积,体积,展开图)内容分析-（）表面积,体积,展开图是以图形为基础，对常见的长方体，正方体等图形进行拓展.基本要求是掌握长方体,正方体的表面积和体积的计算公式、会面积单位,体积单位的转换，会组合图形的表面积和体积的计算知识结构 几何综合长方体,正方体的体积长方体和正方体的表面积组合图形的表面积和体积及展开图模块一：长方体和正方体的体积知识精讲1.长方体和正方体都有（ 6 ）个面，（ 12 ）条棱和（ 8 ）顶点长方体和正方体的体积公式：长方体的体积=长宽高=底面积高 正方体的体积=棱长棱长棱长 2. 用列表的形式来表述体积单位的大小，以利于记忆。单位名称意义相当的实物1立
2、方厘米棱长是1厘米的正方体，体积是1立方厘米约为一个手指尖的大小1立方分米棱长是1分米的正方体，体积是1立方分米约为一个粉笔盒的大小1立方米棱长是1米的正方体，体积是1立方米用3根1米长的木条做成互相垂直的架子放在墙角所圈定的空间的大小例题解析【例1】 将一个正方体钢坯锻造成长方体，正方体和长方体（）A. 体积相等，表面积不相等 B. 体积和表面积都不相等 C. 表面积相等，体积不相等 D. 体积和表面积都相等【难度】 答案：A 【解析】改变形状表面积会方式变化，但体积不会发生变化【总结】考查正方体形状改变,表面积会发生变化，但体积不会发生变化【例2 】棱长1米的正方体可以切成（ ）个棱长1分
3、米的小正方体。 A. 10 B.100 C. 1000 D. 10000【难度】答案：C【解析】1米=10分米,10/1=10,101010=1000【总结】考查正方体体积不变性。【例3】一个长6dm，宽4dm，高5dm的长方体盒子，最多能放（ ）棱长为2dm的正方体木块。A.12 B.13 C.14 D.15【难度】答案：A【解析】注意分析题目，只能放两层【总结】考查长方体体积。【例4】 用36厘米长的铁丝做成一个正方体框架，这个正方体的体积是多少？【难度】答案：27立方厘米【解析】正方体有12条相等的棱，边长为3612=3厘米，体积为333=27立方厘米【总结】考查正方体体积的计算。【例5
4、】把两块棱长5厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的体积是多少立方厘米？【难度】答案：250立方厘米【解析】长方体体积为5510=250立方厘米【总结】考查长方体体积的计算。【例6】 一个底面是正方形的长方体，所有棱长的和是100厘米，它的高是7厘米，这个长方体的体积是多少立方厘米？【难度】答案：567立方厘米【解析】长方体长和宽相等为（100-47）8=9厘米。体积为997=567立方厘米【总结】考查长方体体积的计算。【例7】 一个长方体鱼缸，长是8分米，宽是5分米，高是6分米，不小心左面的玻璃打坏了，修理时配上的玻璃的面积是多少平方米？这个鱼缸的体积是多少立方分米？【难度】答案：0.3平
5、方米，240平方分米（注意单位）【解析】（1）5分米6分米=30平方分米=0.3平方分米。体积为856=240立方分米【总结】考查长方体体积的计算。【例8】一个长方体蓄水池要蓄水2.4米深，如果每分钟注水30立方米，40分钟注满，这个水池的底面积是多少平方米？【难度】答案：500平方米【解析】（1）体积=底面积高，底面积=30402.4=500平方米。【总结】考查长方体体积的计算。【例9】 有一个底面积是300平方厘米、高10厘米的长方体，里面盛有5厘米深的水。现在把一块石头浸没到水里，水面上升2厘米。这块石头的体积是多少立方厘米？【难度】答案：600立方厘米【解析】（1）体积=底面积高，体积
6、=3002=600立方厘米。【总结】考查长方体体积的计算。【例10】 挖一个长方体蓄水池，水池长18米，比宽多10米，深度比宽少2米。现有24个工人参加挖池工作，如果平均每人每天挖3立方米，多少天才能挖完？【难度】答案：12天【解析】（1）体积=长宽高，体积=18（18-10）（18-10-2）=864立方米。864（324）=12天【总结】考查长方体体积的计算。1.长方体和正方体的体积计算公式？师生总结模块二：长方体和正方体的表面积知识精讲一.长方体和正方体的表面积公式： 长方体表面积=（长宽+长高+高宽）2正方体的表面积=棱长棱长6 二.(1)将2个长为1厘米的小正方体，如右图的方式拼成一
7、个长方体，拼成后的长方体表面积比原来2个单独的小正方体的表面积减少了 2 个正方形的面积。 (2)将3个长为1厘米的小正方体，如右图的方式拼成一个长方体，拼成后的长方体表面积比原来3个单独的小正方体的表面积减少了 4 个正方形的面积。 (3) 将4个长为1厘米的小正方体，如右图的方式拼成一个长方体，拼成后的长方体表面积比原来4个单独的小正方体的表面积减少了 6 个正方形的面积。 正方体的个数23456拼成后减少了原来几个面的面积246810原来正方体的表面积之和（cm2）1218243036拼成的长方体的表面积之和（cm2）1014182226【例11】 一根长方体木料，长2米，宽和高都是0.
8、1米（1） 如何把它锯成两个相等的小长方体，两个小长方体的表面积之和比原来长方体的表面积增加了还是减少了多少平方米？图1 图2 （2）如何把它锯成三个不相等的长方体，三个小长方体的表面积之和比原来长方体的表面积增加了多少平方米？图3 图4 (3)如何把它锯成十个不相等的长方体，这十个小长方体表面积之和与原来的长方体的表面积有什么变化？【难度】答案：每锯一次，表面积就增加两个截面的面积，锯成10个长方体实质是锯了9次，因此增加18个截面积。【解析】略【总结】考察表面积的变化。【例12】用两个长、宽、高分别是5cm、4cm、3cm的长方体可以拼成几种不同的长方体？怎么拼表面积最大？怎么拼表面积最小
9、？【难度】答案：40平方厘米或30平方厘米或24平方厘米【解析】方法一：出新长方体的长、宽、高，然后再求长方体表面积方法二：拼接之后长方体的表面积=拼接之前两个长方体表面积之和 - 拼接中减少的表面积第一种：上下底面相拼方法一：长：5cm 宽：4cm 高：6cm方法二：拼接后比原来减少了两个底面的面积 即 2（长宽）=40（平方厘米） 第二种：前后面相拼方法一：长 5cm 宽 8cm 高3cm方法二： 拼接后比原来减少了两个前后面的面积 即 2（长高）=30（平方厘米）第三种：左右侧面相拼方法一：长：10cm 宽：4cm 高：3cm方法二：拼接后比原来减少了两个左右侧面的面积即 2（宽高）=2
10、4（平方厘米）【总结】 本题有三种拼接方法，我们都可以算出拼接后的长方体的表面积，我们发现表面积的大小和减少的面积的大小有什么关系？减少的表面积越小，拼成后的大长方体的表面积就越大【例13】如何把一个长、宽、高分别为10厘米、8厘米、6厘米的长方体截成两个体积相等的小长方体，有几种截法？截后两个小长方体的表面积何时最大？何时最小？【难度】答案：有三种，最大是456平方厘米，最小是424平方厘米【解析】略【总结】略1长方体和正方体的表面积计算公式？2表面积会随形状改变而变化吗？体积呢？师生总结模块三：组合体的体积及表面积知识精讲 组合体的表面积和体积:对于一个组合体，我们通常采用割或补的方法，把
11、一个不规则的几何体分割或者填补成若干个长方体或正方体,进而利用长方体和正方体的体积或面积公式.【例14】 根据图中所标数据，计算下列立体图形的体积： (1) (2) 2020101011652222861612【难度】答案： 130， 128【解析】（1）分成上下两个长方体。体积=11010+165=130（2）分成三部分，体积=226+20（8-6）2+22（12-2）=128【总结】考察组合体的体积的计算。【例15】根据图中所标数据，计算下列立体图形的体积： 【难度】答案：28.272m3， 18592cm3， 41160dm3， 20280cm3【解析】一、四割补都可以，二用割的方法，第
12、三小题用补的方法会简单些。【总结】组合体的体积的计算时可用下列几种方法。一将组合图形割成可以计算的若干个长方体，二将组合图形补成长方体或正方体。注意填写单位，如果题目中不给单位可以不写。【例16】 用剪刀把桌上的正方体纸盒按任意方式沿棱展开，你能得到哪些不同的展开图？看看哪位同学的展开图更与众不同。【难度】答案：11种情况【解析】一、四方成线两相卫，六种图形巧组合 （1） （2） （3） （4） （5） （6）以上六种展开图可归结为四方连线，即 ，另外两个小方块在四个方块的上下两侧，共六种情况。二、跃马失蹄四分开 （1） （2） （3） （4）以上四种情况可归结为五个小方块组成“三二相连”的基
13、本图形（如图），另外一个小方块的位置有四种情况，即图中四个小方块中的任意一个，这一图形有点像失蹄的马，故称为“跃马失蹄”。三、两两错开一阶梯这一种图形是两个小方块一组，两两错开，像阶梯一样，故称“两两错开一阶梯”。【总结】通过学生的展开总结出这三类，讲解时最好借助道具让学生操作记忆，而不是死记硬背。【例17】下列的图形都是正方体的展开图吗？ 【难度】答案：最后两个不是，其他都是【解析】跟正方体展开的11种情况进行对比就可得到答案。【总结】略1求组合图形表面积和体积有那些方法？2正方体的展开图有多少种情况？师生总结随堂检测【习题1】 把棱长为0.3厘米的3个小正方体拼成一个长方体，拼成后的长方体
14、表面积比与原来3个小正方体的表面积之和减少了 平方厘米。【难度】答案：0.36平方厘米【解析】减少四个面，减少的表面积=0.30.34=0.36【总结】略。【习题2】 把棱长为2厘米的5个小正方体拼成一个长方体，拼成后的长方体表面积比与原来5个小正方体的表面积之和减少了 平方厘米。【难度】答案：32平方厘米【解析】减少8个面，减少的表面积=228=32【总结】略。【习题3】正方体的棱长扩大2倍，表面积就扩大 倍。【难度】答案：9【解析】扩大2倍，棱长为原来的三倍。面积为原来的9倍。【总结】略。【习题4】. 把一个长方体木条锯成4段，共增加了 的面积。A、3个面 B、4个面 C、6个面 D、8个
15、面【难度】答案：C【解析】略【总结】略。【习题5】 一个棱长为3厘米的正方体，可以切成棱长为1厘米的正方体 。A、3块 B、6块 C、9块 D、27块【难度】答案：D【解析】略【总结】略。【习题6】 用3个棱长为2厘米的正方体小木块拼成一个长方体，表面积会减少 。A、24 cm2 B、16 cm2 C、12 cm2 D、6 cm2【难度】答案：B【解析】略【总结】略。【习题7】 一个棱长为4厘米的正方体，在它的角上挖掉一块棱长为2厘米的小正方体，如右图，它的表面积 。A、增加 B、减少 C、不变 D、无法确定【难度】答案：C【解析】略【总结】略。【习题8】 一个正方体表面积为12cm2，把5个
16、这样的正方体拼成一个长方体，拼成后的长方体表面积是 。A、 36cm2 B、42cm2 C、44cm2 D、48cm2【难度】答案：C【解析】略【总结】略。【习题9】 求组合体的体积 【难度】答案：514500cm3， 2040【解析】略【总结】略。【习题10】 如图是正方体的展开图，如果“你”字在前面，那么和“你”字相对的字是哪个字了你太棒！们【难度】答案：棒。【解析】略【总结】略。【习题11】 下图中不是正方体的平面展开图的是（ ）ABCD【难度】答案：A【解析】略【总结】略。【习题12】 一个通风管的横截面是边长是0.5米的正方形,长2.5米.如果用铁皮做这样的通风管50只,需要多少平方
17、米的铁皮?（通风口只有4个面）【难度】答案：250【解析】略【总结】略。课后作业【作业1】.一个长方体的游泳池，长20米，宽18米，水深2.5米,如在四壁和底面抹水泥,求抹水泥的面积是多少平方米?【难度】答案：550【解析】略【总结】略。【作业2】 做一个长方体的浴缸（无盖），长8分米，宽4分米，高6分米，至少需要多少平方分米的玻璃？如果每平方分米玻璃4元钱，至少需要多少钱买玻璃？【难度】答案：176， 704【解析】略【总结】略。【作业3】7. 一个房间的长6米，宽3.5米，高3米，门窗面积是8平方米。现在要把这个房间的四壁和顶面粉刷水泥，粉刷水泥的面积是多少平方米？如果每平方米需要水泥4千克，一共要水泥多少千克？【难度】答案：70， 280【解析】略【总结】略。【作业4】 求组合体的体积【难度】答案：8832【解析】略【总结】略。【作业5】 如图是正方体的展开图，如果“坚”在下，“就”在后，胜利在哪里？ 利胜持是就坚【难度】答案：胜在上面，利在前面【解析】略【总结】略。【作业6】 一盒饼干长20厘米，宽15厘米，高30厘米，现在要在它的四周贴上商标纸，这张商标纸的面积是多少平方厘米？【难度】答案：2100【解析】略【总结】略。 17 /16 17 / 17
