1、概率统计概率统计复习复习各各 章章 要要 点点第第一一章章1.概率性质概率性质 古典概率古典概率2.条件概率条件概率 乘法公式乘法公式全全、贝公式贝公式3.事件独立性事件独立性第第二二章章1.分布律分布函数定义性质分布律分布函数定义性质2.七个常用分布七个常用分布 3.随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布0)(AP例例1(1)在古典概型的随机试验中,A()(2)若事件 A,B,C,D 相互独立,则DA与CB也相互独立.()事件q 若事件 A1,A2,An 相互独立,将它 们任意分成 k 组,同一事件不能同时 属于两个不同的组,则对每组事件进 行求和、积、差、逆 等运算所得到 的 k 个事件
2、也相互独立.(3)若事件 A 与 B独立,B 与 C独立,则事件 A与 C 也相互独立.()q 事件相互独立不具有传递性.例例2对任意事件对任意事件A,B下列结论正确的是下列结论正确的是();)()()()(ABPBAPBPAP(a)(b)(c)(d);)()()()(ABPBAPBPAP;)()()()(ABPBAPBPAP.)()()(ABPBAPBAP解解选选b.d,c 显然错显然错,)()()()()()(BAPABPABPBAPBPAP)()()()(ABPBAPABPBAP.)()(ABPBAP 可证可证 b 是对的是对的.b例例3 3 小王忘了朋友家电话号码的最后一位小王忘了朋友
3、家电话号码的最后一位数数,故只能随意拨最后一个号故只能随意拨最后一个号,则他拨三次则他拨三次由乘法公式由乘法公式设事件设事件 表示表示“三次拨号至少一次拨通三次拨号至少一次拨通”AiA3,2,1i表示表示“第第 i 次拨通次拨通”则3iiAA)()()(213121AAAPAAPAP)(321AAAP)(AP7.08798109.3.0)(1)(APAP解解可拨通朋友家的概率为可拨通朋友家的概率为._0.3例例4 4 小王忘了朋友家电话号码的最后一位小王忘了朋友家电话号码的最后一位数数,他只能随意拨最后一个号他只能随意拨最后一个号,他连拨三次，他连拨三次，由乘法公式设iA3,2,1i表示“第
4、i 次拨通”)()()(213121AAAPAAPAP)(321AAAP1.08198109解一求第三次才拨通的概率求第三次才拨通的概率.解二125.081)(213AAAP从题目叙述看要求的是无条件概率从题目叙述看要求的是无条件概率.产生误解的原因是未能仔细读题，产生误解的原因是未能仔细读题，未能分清条件概率与无条件概率的区别未能分清条件概率与无条件概率的区别.本题若改叙为：本题若改叙为：他连拨三次，已他连拨三次，已知前两次都未拨通知前两次都未拨通,求第三次拨通的概率求第三次拨通的概率.此时，求的才是条件概率此时，求的才是条件概率.例例5 5 10件产品中有件产品中有3 件次品件次品,从中任
5、取从中任取 2 件件.在所取在所取 2 件中有一件是次品的条件下件中有一件是次品的条件下,求求另一件也是次品的概率另一件也是次品的概率.解解1 1 设事件设事件 表示表示“所取所取 2 件中有一件次品件中有一件次品”A事件事件 表示表示“另一件也是次品另一件也是次品”.则则B)()()(APABPABP71/210171321023CCCCC解解2 2 A“所取所取 2 件中至少有一件次品件中至少有一件次品”B“2 件都是次品件都是次品”)()()(APABPABP)()(APBP.81)/(/21017132321023CCCCCC 某厂卡车运送防某厂卡车运送防“非典非典”用品下乡，用品下乡
6、，顶层装顶层装10个纸箱，其中个纸箱，其中5箱民用口罩、箱民用口罩、2箱医用口罩、箱医用口罩、3箱消毒棉花箱消毒棉花.到目的地时到目的地时发现丢失发现丢失1箱，不知丢失哪一箱箱，不知丢失哪一箱.现从剩现从剩下下 9箱中任意打开箱中任意打开2箱，结果都是民用口箱，结果都是民用口罩，求丢失的一箱也是民用口罩的概率罩，求丢失的一箱也是民用口罩的概率.例例6 6表示事件表示事件“丢失的一箱为丢失的一箱为 k”A 表示事件表示事件“任取任取 2 箱都是民用口罩箱都是民用口罩”解解kB分别表示民用口罩，医用分别表示民用口罩，医用3,2,1k口罩，消毒棉花口罩，消毒棉花.)()()(31kkkBAPBPAP
7、3685110321292529252924CCCCCC)(/)()()(111APBAPBPABP.83368363)(/212924APCC由全概率公式由全概率公式 由贝叶斯公式由贝叶斯公式 解二解二（缩减样本空间法）（缩减样本空间法）去掉去掉打开的打开的 2 箱民用口罩，箱民用口罩，解二比解一简单十倍！解二比解一简单十倍！8210n325m基本事件总数基本事件总数有利的基本事件数有利的基本事件数8/3/)(1nmABP例例7 7(1)是是 的密度函数的密度函数 则则 .()(xfX1)(0 xf(2)若若 ,则则 ()2,0(UX.)4,0(2UXY)0()()(2yXPyXPyFY.2
8、1210ydxy事实上由事实上由 2.4 得得 非均匀分布函数非均匀分布函数 )(yFY(3)若若 ,则则 ()1(EX.1,0,1,)(21yyyfeYyYX;4/1)1(,8/1)1(XPXP内任一子区间上取值的条件概率内任一子区间上取值的条件概率例例8 8 设随机变量设随机变量 的绝对值不大于的绝对值不大于 1；X在事件在事件 出现的条件下，出现的条件下，)11(X)1,1(与该子区间的长度成正比与该子区间的长度成正比.(1)(1)的分布函数的分布函数 X);(xF(2)(2)取负值的概率取负值的概率 X.p解解)(xF2/)1(x(1)(1)(2)(2).8/1)1(XPp)(xF16
9、/)1(5 xX在在试求试求1,8/1x1,4/1x11,2/)1(xx)(xF)1(4/12/1)0(FF)(xF的三性质都不满足的三性质都不满足单调减单调减?1)(F?0)(F)1(8/10)01(FF右不连续右不连续未定义未定义)(xF分布函数分布函数 三性质三性质)(xF的单调不减的单调不减1)(0 xF1)(F0)(F 右连续右连续)()0(xFxF解解0)()()(PxXPxF1)()()(PxXPxF当当,1x当当 推导较复杂先做准备工作推导较复杂先做准备工作.,11x)1()1()11()11(XPXPXPXP由题设知由题设知8/54/18/11)1()111(xkXxXP设设
10、于是于是当当,1x(1)(1)上式中令上式中令 得得1xk212/1 k2/)1()111(xXxXP还可另还可另法求法求 k)11,1(XxXP)1()1()(xXPFxF)11(XP)111(XxXP2/)1)(8/5(x又又)1()1()1()1(XPXPXPF8/18/10于是当于是当 时，时，11x.16/)75()1()1()(xFxXPxF16/)15(x1,0 x1,1x11,16/)75(xx)(xF1011)(xFx(2)(2).16/7)00()00()0()0(FFFF)0()0()0(XPXPXPp1,0 x1,1x11,8/1)1(5 xxk)(xF4/1)01()
11、1()1(FFXP由题设由题设 得得4/18/)110(1k2/1 k附附 k 的另一求法的另一求法落入区间落入区间(1,3)的概率最大的概率最大.3ln/2例例9 9 设设 当当 时时,X),0(2NX_)()(13)(g)31(XP令令0)31(21)(242212eeg3ln/200224)(2029500 eg解解第第三三章章2.边缘分布边缘分布 条件分布条件分布 3.随机变量的独立性随机变量的独立性第第四四章章1.期望期望 方差定义方差定义 性质性质2.相关系数相关系数 相关性相关性3.期望的应用期望的应用1.联合分布律联合分布律 分布函数定义性质分布函数定义性质4.随机变量的函数的
12、分布随机变量的函数的分布 二维随机变量的函数的分布二维随机变量的函数的分布),(),(yxfYXcbYaXZ的 p.d.f.或dxbcaxzxfbzfZ,1)(dyyacbyzfazfZ,1)(例12 设随机变量 X、Y 相互独立,且都服.求)(YXD)2/1,0(N从解解当 时，由独立性0YX1)()()()(YDXDYXDYXD.1)(YXD当 时，0YX1)()()()(XDYDXYDYXD所以()由于由于X、Y 的随机性的随机性,故不能保证恒有故不能保证恒有0YX0YX或或解解)1,0(NYXZ由于相互独立的正态变量的线性组合仍是正态变量，故1)()(0)(2ZEZDZE/2)2/()
13、(22dzezZEz22)()()()(ZEZEZDYXD./21本题设本题设 是关键是关键.若不然若不然YXZ虽能算出 但很难算dxdyeyxYXEyx)/()(222例例1313 卡车装运水泥卡车装运水泥,设每袋重量设每袋重量(gk)X 服从服从.)5.2,50(2N问装多少袋水泥问装多少袋水泥,使总重量使总重量超过超过2000的概率不大于的概率不大于0.05.解一解一设装设装m 袋水泥袋水泥,总重量为总重量为mX,据题设有据题设有)/2000()2000(mXPmXP05.05.2/)50/2000(m645.15.2/)50/2000(m.58.43 m所以至多装所以至多装43袋水泥袋
14、水泥.?要学会对答案的粗略检验要学会对答案的粗略检验解二解二设装设装m 袋水泥袋水泥,总重量为总重量为mX,据题设有据题设有所以至多装所以至多装37袋水泥袋水泥.05.05.250/20001m)/2000(1)2000(mXPmXP95.05.250/2000m645.15.250/2000m96.36 m?要彻底的随机！要彻底的随机！解解设装设装m 袋水泥袋水泥,表示第表示第 袋水泥重量袋水泥重量.iXi于是总重量为于是总重量为miiXY1)5.2,50(2mmNY05.05.25020001)2000(mmYP645.15.2502000mm28.6m43.39 m所以至多装所以至多装3
15、9袋水泥袋水泥.第第五五章章1.切贝雪夫不等式切贝雪夫不等式2.中心极限定理的应用中心极限定理的应用 第第六六章章1.统计量统计量 总体总体 样本及其空间样本及其空间2.常用常用“三抽样分布三抽样分布”定义定义 性质性质 各分布分位点定义各分布分位点定义 及及 相互相互 关系关系例例1414某大卖场某种商品价格波动为随机某大卖场某种商品价格波动为随机变量变量.设第设第 i 天天(较前一天较前一天)的价格变化为的价格变化为iX()0,()0.04.iiE XD X12,nX XX独立同分布独立同分布,1,2,in01nniiYYX为为(元元/斤斤)为现在的为现在的020Y 价格价格.用切贝雪夫不
16、等式估计用切贝雪夫不等式估计30(1822)PY 再用中心极限定理估计再用中心极限定理估计30(1822)PY第第 n 天的价格，天的价格，解解303001()()()20iiE YE YE X303001()()()1.2iiD YD YD X303030(1822)()2)PYP YE Y301()/4 0.7DY 30(1822)PY30 1.826(20)/1.2 1.826)PY2(1.826)1 0.932.(应用题应用题)备一笔现金备一笔现金,已知这批债券共发放了已知这批债券共发放了500张张每张须付本息每张须付本息1000元元,设持券人设持券人(一人一券一人一券)银行为支付某日
17、即将到期的债券须准银行为支付某日即将到期的债券须准到期日到银行领取本息的概率为到期日到银行领取本息的概率为 0.4,问银问银行于该日应准备多少现金才能以行于该日应准备多少现金才能以 99.9%的的把握满足客户的兑换把握满足客户的兑换.解解设设1 第第 i 个持券人到期日来兑换个持券人到期日来兑换0 第第 i 个持券人到期日未兑换个持券人到期日未兑换iX则到期日来银行兑换的总人数为则到期日来银行兑换的总人数为5001iiXX设银行需准备设银行需准备1000 m 元元,兑换总额为兑换总额为 ,X1000,)4.0,500(BX200)(XE.120)(XD由由中心极限定理中心极限定理999.012
18、0/)200()(mmXP.96.233m所以银行需准备所以银行需准备23.4万元万元.例例1515 一本书有一本书有1000000个印刷符号个印刷符号,排版排版时每个符号被排错的概率为千分之一时每个符号被排错的概率为千分之一.校校对时对时,每个排版错误被改正的概率为每个排版错误被改正的概率为0.99，求在校对后错误不多于求在校对后错误不多于15个的概率个的概率.解解设设iX1 第第 i 个印刷符号被排错个印刷符号被排错0 第第 i 个印刷符号未排错个印刷符号未排错则总的被排错的印刷符号个数则总的被排错的印刷符号个数6101iiXX)001.0,10(6BX且且1000)(XE.999)(XD
19、Y设校对后错误个数为设校对后错误个数为 ,XYE01.0)(.0099.0)(XYD10)(01.0)01.0()()(XEXEYEEYE.9990099.0)(0099.0)(22XDYD则近似有则近似有)9990099.0,10(2NY由由中心极限定理中心极限定理于是于是.1)98.15(9990099.01015)15(YP)01.0,(XBY则则解解令令1 第第 i 个符号被排错校对后仍错个符号被排错校对后仍错0 其其 他他iX由于排版与校对是两个独立的工作由于排版与校对是两个独立的工作,因而因而,10)99.01(001.0)1(5iXP5101)0(iXP510)(iXE.)101
20、(10)(55iXD)101(10,10(5BY设校对后错误个数为设校对后错误个数为 ,则则6101iiXY由由中心极限定理中心极限定理)101(10100)101(101015)150(55YP1010/5.9422.0116.358.1例例1616 一保险公司有一保险公司有10000人投保，每人每年人投保，每人每年付付12元保险费，已知一年内投保人死亡率元保险费，已知一年内投保人死亡率为为0.006.若死亡公司给死者家属若死亡公司给死者家属1000元元.求求(1)保险公司年利润为保险公司年利润为 0 的概率；的概率；(2)保险公司年利润大于保险公司年利润大于60000元元 的概率；的概率；
21、解解X设设 为投保的为投保的10000人中一年内死亡的人中一年内死亡的人数人数.则则)006.0,10000(BX,60)(XE.64.59)(XD利用泊松定理，取利用泊松定理，取60 np(1)设保险公司年利润为设保险公司年利润为 ,则则Y010001210000XY120 X)120()0(XPYP)120()0(XPYP0!1206060120e9988012012010000994.0006.0C(2)由中心极限定理由中心极限定理)60000(YP64.5960)0()600(XP4738.01)94.1()0()6000010001210000(XP例例1717 从正态总体从正态总体
22、 N(,2)中取容量为中取容量为1616 的样本的样本,S2 为样本方差为样本方差,则则D(S2)=()解解)116()116(2222S)(151515)(2242222DSDSD.1521521542415/24 例例1818 设设 是来自正态总体是来自正态总体 X),(921XXX的简单随机样本的简单随机样本.,6161iiXY,)(31987XXXZ.)(219722iiZXS.)2(/)(2tSZYW证明证明证证,6/)(2YD.3/)(2ZD,)()(,ZEYE2)(XD,0)(ZYE2/3/6/)(222ZYD,)1,0(2/NZYU,)2(/2222SV)2(2/)(2tVUS
23、ZYW从而从而第第七七章章1.点估计的三种方法点估计的三种方法 及评价标准及评价标准2.参数的区间估计参数的区间估计 第第八八章章1.假设检验的有关概念假设检验的有关概念2.参数的假设检验参数的假设检验例例1919 设总体设总体 X 的分布密度函数为的分布密度函数为.,0,0,/)(6)(3其他xxxxf求求 的矩估计量的矩估计量 ,并计算并计算.)(D解解 2/)()(dxxxfXE,2/估计量估计量是样本是样本的函数的函数令令X.2X.)5/(/)(4)2()(2nnXDXDD0)2/()(DD10/3)(22XE20/)(2XD例例20 20 设总体设总体 X X 的密度函数为的密度函数
24、为解解/,(;,)(0)0,.xexf xx 的极大似然估计量的极大似然估计量.,),(21nXXX为为 X X 的一个样本的一个样本,求参数求参数1(,)/nxniinLLe 1lnln/niiLnxn ln/0Ln 221ln/0niiLnnx MLEXMLE任一样本函数任一样本函数似然方程组为似然方程组为本题本题 的估计并不能通过似然方程求得的估计并不能通过似然方程求得解解(;,)0f x 由题设，若由题设，若 必须必须x即即12,nMin XXX0,越大，越大，越大，故越大，故(;,)f x(1)MLEX(1)MLEXX的极大的极大似然似然估计可通过似然方程求得估计可通过似然方程求得.
25、是取自对数正态分布是取自对数正态分布例例2121设设),(1nXX 总体总体X的一个样本，即的一个样本，即),(ln2NXXYln)()(XDXE与求求 的极大似然估计的极大似然估计.解解的密度函数的密度函数222)(21)(yeyfY的密度函数的密度函数YeXyyfxfYX)()(0,21222)(lnxexx0,0 x221)()(edxxfxXEX)1()()(122222eedxxfxXEX)()()()(122222eeXEXEXD,)(221eXE)()(1222eeXD由极大似然估计的不变性得：由极大似然估计的不变性得：,ln11iniXn212)ln(1iniXn其中其中,X一
26、般正态一般正态 参数的极大似然估计是：参数的极大似然估计是：),(2N212)(1XXnini则对数正态参数的极大似然估计是：则对数正态参数的极大似然估计是：,ln11inidXn212)ln(1dinidXn设设 为总体为总体 X N(,2),(21nXXX的一个样本，的一个样本，求常数求常数 k,使使niiXXk1|为为 的无偏估计量的无偏估计量.解解例例23230)()()(XEXEXXEii)()()(XDXDXXDii2221nnnXXZi令令21,0nnNZ则则dzennzZEnnz2212121|)(|dzennznnz221201212nn122niiniiXXEkXXkE11|故nnkn122令)1(2nnkniiniiXXEkXXkE11|解解注意到注意到XXi是是 X1,X2,Xn 的线性函数的线性函数,niiXXnXXnXX)1(121,0)(XXEi21)(nnXXDi21,0nnNXXidzennzXXEnnzi2212121|)(|dzennznnz221201212nn122 niiniiXXEkXXkE11|故nnkn122令)1(2nnk
