1、第3讲 随机事件的概率,1.随机事件和确定事件,(1)在条件 S 下，一定会发生的事件叫做相对于条件 S 的必,然事件.,(2)在条件 S 下，一定不会发生的事件叫做相对于条件 S 的,不可能事件.,(3)必然事件与不可能事件统称为确定事件.,(4)在条件 S 下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事,件.,(5)确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母 A，B，,C表示.,2.频率与概率(1)在相同的条件 S 下重复 n 次试验，观察某一事件 A 是否出现，称 n 次试验中事件 A 出现的次数 nA 为事件 A 出现的频数，,称事件 A 出现的比例 fn(A)_为事件 A 出现的频率.,
2、(2)对于给定的随机事件 A，如果随着试验次数的增加，事件 A 发生的频率 fn(A)稳定在某个常数附近，把这个常数记作P(A)，则称 P(A)为事件 A 的概率，简称为 A 的概率.,3.事件的关系与运算,AB,(续表),4.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0P(A)1.,1,(2)必然事件的概率 P(E)_.(3)不可能事件的概率 P(F)_.,0,(4)互斥事件概率的加法公式：若事件 A 与事件 B 互斥，则 P(AB)P(A)P(B)；若事件 B 与事件 A 互为对立事件，则 P(A)1P(B).,(5)对立事件的概率：P( A )_.,1P(A),1.(2016 年北京)从甲
3、、乙等 5 名学生中随机选出 2 人，则,甲被选中的概率为(,),B,A.,15,B.,25,C.,825,D.,925,解析：从甲、乙等 5 名学生中随机选出 2 人，则取到任何,2.容量为 20 的样本数据，分组后的频数如下表：,则样本数据落在区间10,40)的频率为(,),B,A.0.35,B.0.45,C.0.55,D.0.65,3.从一箱产品中随机抽取一件，设事件 A抽到一等品，事件 B抽到二等品，事件 C抽到三等品，且已知 P(A)0.65，P(B)0.2，P(C)0.1，则事件“抽到的不是一等品”,的概率为(,),C,A.0.7,B.0.65,C.0.35,D.0.3,4.(20
4、16 年湖南娄底统测)下列说法正确的是(,),A.某厂一批产品的次品率为,110,，则任意抽取其中 10 件产品,一定会发现一件次品B.气象部门预报明天下雨的概率是 90%，说明明天该地区90%的地方要下雨，其余 10%的地方不会下雨C.某医院治疗一种疾病的治愈率为 10%，则前 9 个病人都没有治愈，第 10 个人就一定能治愈D.掷一枚质地均匀的硬币，连续出现 5 次正面向上，第六次出现反面向上的概率与正面向上的概率仍然都为 0.5,解析：某厂一批产品的次品率为 ，则任意抽取其中10件,1,10,产品一定会发现一件次品说法是错误的，故 A 错误；气象部门预报明天下雨的概率，是说明有多大的把握
5、有雨，而不是具体的什么地方有雨，故 B 错误；某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，那么前 9 个病人都没有治愈，第 10 个人就一定能治愈说法是错误的，治愈率为 10%是说明来的所有病人中有 10%被治愈，故 C 错误；掷一枚质地均匀的硬币，连续出现 5 次正面向上，第六次出现反面向上的概率与正面向上的概率仍然都为0.5，概率是一个固定的值，不随第几次试验而发生变化，因此D 正确.故选 D.,答案：D,考点 1,事件的概念及判断,例 1：一个口袋内装有 5 个白球和 3 个黑球(这些球除颜色外都相同)，从中任意取出 1 个球.(1)“取出的球是红球”是什么事件？它的概率是多少？(2)“取出的球
6、是黑球”是什么事件？它的概率是多少？(3)“取出的球是白球或是黑球”是什么事件？它的概率是多少？,球，故“取出的球是黑球”是随机事件，它的概率为 .,解：(1)由于口袋内只装有黑、白两种颜色的球，故“取出的球是红球”不可能发生，因此，它是不可能事件，其概率为,0.,(2)由已知，从口袋内取出 1 个球，可能是白球也可能是黑,38,(3)由于口袋内装的是黑、白两种颜色的球，故取出 1 个球不是黑球，就是白球.因此，“取出的球是白球或是黑球”是必然事件，它的概率是 1.,【规律方法】一定会发生的事件叫做必然事件；一定不会发生的事件叫做不可能事件；可能发生也可能不发生的事件叫做随机事件.,【互动探究
7、】1.从 6 名男生、2 名女生中任取 3 人，则下列事件中的必然,事件是(,),B,A.3 人都是男生C.3 人都是女生,B.至少有 1 名男生D.至少有 1 名女生,考点 2,随机事件的频率与概率,例 2：如图 931，A 地到火车站共有两条路径 L1 和 L2，现随机抽取 100 位从 A 地到火车站的人进行调查，调查结果如下：,图 931,(1)试估计 40 分钟内不能赶到火车站的概率；,(2)分别求通过路径 L1 和 L2 所用时间落在上表中各时间段,内的频率；,(3)现甲、乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说
8、明他们应如何选择各自的路径.,解：(1)由已知共调查了 100 人，其中 40 分钟内不能赶到火车站的有 121216444(人)，用频率估计相应的概率为,0.44.,(2)选择 L1 的有 60 人，选择 L2 的有 40 人，故由调查结果得频率为：,(3)A1，A2 分别表示甲选择 L1 和 L2 时，在 40 分钟内赶到火,车站；,B1，B2 分别表示乙选择 L1 和 L2 时，在 50 分钟内赶到火车,站.,由(2)知，P(A1)0.10.20.30.6，,P(A2)0.10.40.5，P(A1)P(A2).甲应选择 L1.,P(B1)0.10.20.30.20.8，,P(B2)0.1
9、0.40.40.9，P(B2)P(B1).乙应选择 L2.,【规律方法】概率是频率的稳定值，根据随机事件发生的,频率只能得到概率的估计值.,【互动探究】2.有 5 件产品中，有 3 件一等品和 2 件二等品，从中任取 2,件，以,710,为概率的事件是(,),D,A.都不是一等品C.至少有 1 件一等品,B.恰有 1 件一等品D.至多有 1 件一等品,解析：从 5 件产品中任取 2 件有 10 种取法，设 3 件一等品为 1,2,3,2 件二等品为 4,5.则全部 10 种取法是(1,2)，(1.3)，(2,3)，(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5
10、)，其中 2 件均为一等品的取法有(1,2)，(1,3)，(2,3)，共 3 种.所以至多有 1 件一等,品的概率 p1,310,710,.故选 D.,3.(2016 年福建厦门模拟)口袋中有 100 个大小、质地都相同的红球、白球、黑球，其中红球 45个，从口袋中摸出一个球.,摸出白球的概率为 0.23，则摸出黑球的概率为(,),D,A.0.45,B.0.67,C.0.64,D.0.32,解析：摸出红球的概率为 0.45，摸出白球的概率为 0.23，故摸出黑球的概率 p10.450.230.32.故选 D.,考点 3,互斥事件、对立事件的概率,例 3：在一次随机试验中，彼此互斥的事件 A，B
11、，C，D,),的概率分别为 0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是(A.AB 与 C 是互斥事件，也是对立事件B.BC 与 D 是互斥事件，也是对立事件C.AC 与 BD 是互斥事件，但不是对立事件D.A 与 BCD 是互斥事件，也是对立事件,解析：由于 A，B，C，D 彼此互斥，且 ABCD 是一个必然事件，故其事件的关系可由如图所示的韦恩图表示，由图 D76 可知，任何一个事件与其余 3 个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件.,图 D76,答案：D,解：(1)P(A),，,例 4：某商场有奖销售中，购满 100 元商品得 1 张奖
12、券，多购多得.1000 张奖券为一个开奖单位，设特等奖 1 个，一等奖10 个，二等奖 50 个.设 1 张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为 A，B，C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1 张奖券的中奖概率；(3)1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.,11000,，P(B),101000,1100,，P(C),501000,120,.,故事件 A，B，C 的概率分别为,1 11000 100,，,120,.,(2)1 张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖.设“1 张奖券中奖”这个事件为 M，则 MABC.因为 A，B，C 两两互斥，所以 P(M)P(ABC)P(A)
13、P(B)P(C),110501000,611000,.故 1 张奖券的中奖概率为,611000,.,(3)设“1 张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件 N，则事件 N 与“1 张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，所以 P(N)1P(AB),故 1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为,9891000,.,【规律方法】直接求某些问题时，我们可以转化为互斥事件的和求解，有些问题我们可以采用间接法.如第(3)小题，我们由其对立事件的概率来推出所求事件的概率.但是在理解对立问题时经常容易造成理解混乱，比如“至少有一人”的对立事件是“一人都没有”，“至少两人”的对立事件是“至多有一人”.,【互动探究】
14、,A.,56,B.,25,C.,16,D.,13,A,5.把黑、红、白 3 张纸牌分给甲、乙、丙三人，每人 1 张，,则事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是(,),B,A.对立事件C.不可能事件,B.互斥但不对立事件D.必然事件,解析：因为只有 1 张红牌，所以“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不能同时发生，所以是互斥事件，但是这两个事件不是必有一个发生，故不是对立事件.故选 B.,易错、易混、易漏,正难则反求互斥事件的概率,例题：某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的 100 位顾客的相关数据，如下表所示.,已知这 100 位顾客中一次购物量超过 8
15、件的顾客占 55%.(1)确定 x，y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均,值；,(2) 求一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概,率.(将频率视为概率),思维点拨：若某一事件包含的基本事件多，而它的对立事件包含的基本事件少，则可用“正难则反”思想求解.正解：(1)由已知得 25y1055，x3045，所以 x15，y20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的 100 位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100 的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为：,1151.5302252.520310100,1.9(分钟).,(2)记 A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟”
