1、1 二维随机变量问题的提出例1：研究某一地区学龄儿童的发育情况。仅研究身高H H的分布或仅研究体重W W的分布是不够的。需要同时考察每个儿童的身高和体重值，研究身高和体重之间的关系，这就要引入定义在同一样本空间的两个随机变量。例2：研究某种型号炮弹的弹着点分布。每枚炮弹的弹着点位置需要由横坐标和纵坐标来确定，而它们是定义在同一样本空间的两个随机变量。定义：设定义：设E E是一个随机试验，样本空间是一个随机试验，样本空间S=eS=e；设设X=X(e)X=X(e)和和Y=Y(e)Y=Y(e)是定义是定义在在S S上的随机变量，由它们构成的上的随机变量，由它们构成的向量向量(X,Y)(X,Y)叫做二
2、维随机向量叫做二维随机向量或二维随机变量。或二维随机变量。(,)()()(,)F x yPXxYyP Xx Yy记成0 x,x yySey ,X e Y ex定义：设定义：设(X,Y)(X,Y)是二维随机变量对于任意实数是二维随机变量对于任意实数x,yx,y，二元函数二元函数称为二维随机变量称为二维随机变量(X,Y)(X,Y)的分布函数。的分布函数。(X,Y)(X,Y)平面上随机点的平面上随机点的 坐标坐标,),(yYxXPyxF 即为随机点即为随机点(X,Y)(X,Y)落在以点落在以点(x,y(x,y)为顶点为顶点,位于位于该点左下方的无穷矩形区域该点左下方的无穷矩形区域G G内的概率值。内
3、的概率值。),(yxF),(分布函数 的性质1212(,)(,)xxF x yF xyx1x2(x1,y)(x2,y)yy2xy1(x,y1)(x,y2)(,)F x y1212(,)(,)yyF x yF x y2 0(,)1(,)1 ,F x yFx y ，对任意(,)(,)(,)0FyF xF 1,F x yx y。关于单调不减，即：0(,)(,)lim F xyF x y0(,)(,)lim F x yF x y12124 ,xxyy若22211211(,)(,)(,)(,)0F xyF xyF x yF x y3,F x yx y。关于右连续，即：121222211211,(,)(,
4、)(,)(,)0P xXxyYyF xyF xyF x yF x y因为1x2x1y2y0 2.二维离散型随机变量的联合分布,21mxxxX的可能值为的可能值为设设,21nyyyY的可能值为的可能值为取这些取这些可能可能值的概率分别为多少？值的概率分别为多少？若二维若二维 r.v.（X，Y）所有可能的取值是有）所有可能的取值是有限对或无限可列对，则称（限对或无限可列对，则称（X，Y）是二维离散）是二维离散型随机变量。型随机变量。),(),(jiyxYX的可能值为的可能值为,2,1;,2,1njmi 则则的的性性质质：ijpijjijipyYxXPyxp ),(),(1)公式法公式法1)2(10
5、)1(ijijijpp),2,1,(ji232221131211pppppp321yyyX Y21xx(X,Y)的概率分布表：的概率分布表：描述描述(X,Y)的取值规律的取值规律 GyxijjipGYXP),(),(例例1 1：将一枚硬币连掷三次，令将一枚硬币连掷三次，令X=“X=“正面出现正面出现的次数的次数”，Y=“Y=“正反面次数之差的绝对值正反面次数之差的绝对值”，试求试求(X,Y)(X,Y)的联合分布律。的联合分布律。（0,30,3）（）（1,11,1）（）（2,12,1）（）（3,33,3）P(X=0,Y=3)=P(反反反反反反)=1/8解解:(X,Y)所有可能的取值为：所有可能的
6、取值为：0123103/83/8031/8001/8XY例例2:2:设随机变量设随机变量X X在在1,2,3,41,2,3,4中随机地取一中随机地取一个数个数,另一随机变量另一随机变量Y Y在在1 1到到X X中随机地取一整中随机地取一整数数.求求(X,Y)(X,Y)的的分布律。分布律。(X,Y)所有可能的取值为：(1,1);(2,1)、(2,2);(3,1)、(3,2)、(3,3);(4,1)、(4,2)、(4,3)、(4,4).),(jYiXP ijiji,0,1414,3,2,1,ii.,1,ijj 解：解：设设X可能的取值为可能的取值为Y可能的取值为可能的取值为则：则：)()(iXjY
7、PiXP 123411/41/81/121/16201/81/121/163001/121/1640001/16(X,Y)的联合分布律为的联合分布律为:XY 二维连续型随机变量,(,)(,)yxX YF x yf x yx yF x yf u v dudv 对于二维随机变量的分布函数 如果存在非负函数，使对于任意，有定义：,X Y连续型的二维称为随机变量,f x yX Y二维随机变量的联合称为概率密度说明说明1),()(dxdyyxfii(2)的性质的性质(,)f x y0),()(yxfi(1)分布函数分布函数 是连续函数是连续函数.(因为因为 是积分上限函数是积分上限函数),(yxF),(
8、yxF),(yxf反映反映(X,Y)落在落在 处附近的概率大小处附近的概率大小),(yxyxyxfyyYyxxXxP ),(),(概率微分概率微分(3)(,)(,)F x yf x y与的关系),(),(yxFyxfxy xydxdyyxfyxF),(),(GdxdyyxfGYXP),(),(:),()4(的作用的作用yxf描述描述(X,Y)的取值规律的取值规律G (,)1(,)(,)zf x yxoyP X YGzf x y1 在几何上，表示空间一个曲面，介于它和平面的空间区域的体积为 2等于以G为底，以曲面 为顶面的柱体体积。所以 X,Y 落在面积为零的区域注：的概率为零。1xy0 例3：
9、设二维随机变量(X,Y)具有概率密度：(23),00(,)0,xykexyf x y，其他 2(,)F x y 求分布函数；3()P YX求的概率(1)k求 常 数；(,)1,f x y dxdy 解：(1)利用得230061xykedxedyk6kyx(23)6,00(,)0,xyexyf x y，其他 2 (,)(,)yxF x yf u v dudv (23)03 ()6xyyP YXedxdy(23)006,0,0 0,yxuvedudvxy 其他230023,0,0 0,xyuveduedv xy其他23(1)(1),0,0 0,xyeexy其他3203(|)yxyeedy3203y
10、yeedy503yedy5033|55ye 例4：设二维随机变量(X,Y)具有概率密度 (1)求常数k；(2)求概率 解：,01(,)0,kxyxyf x y其他 1 (,)1f x y dxdy 利用 1(,)f x y dxdy 得：2 (1)P XY(1)P XY100ykxydxdy 13028kky dy8k11208xxdxxydy122204(1)xxx dx1201114(1 2)236xx dx1xyyx02 边缘分布 二维随机变量(X,Y)作为整体，有分布函数 其中X和Y都是随机变量，它们的分布函数 记为：称为边缘分布函数边缘分布函数。(,),F x y()()XYFxFy
11、，()(,)()(,)XYFxF xFyFy()()(,)YFyP YyFy同理得：()()(,)(,)XFxP XxP Xx YF x (,)()XF x yyFx 即在分布函数中令，就能得到事实上，对于离散型随机变量(X,Y)，分布律为(),1,2,ijijP Xx Yypi j，1()()1,2,iiijijP XxP XxYpp i 记为，=1()()1,2,jjijjiP YyP XYyppj 记为，=iiijjijpppjppi记号中 表示是由关于求和后得到的；同样是由关于 求和后得到的；p11p12p1jp11xp21p22p2jp22xpi1pi2pijpi ixXYy1y2y
12、jiP Xxp1p2p.j1jP YyX,Y的边缘分布律为：注意：232221131211ppppppjp XY321yyy321ppp11x2x 1p 2p ip11jjp12jjp11iip13iip例例:求例求例1 1中二维随机变量中二维随机变量(X,Y)(X,Y)关于关于X X与与Y Y的的边缘分布律边缘分布律.0123103/83/8031/8001/8jp.ipXY8186821838381X X与与Y Y的边缘分布律如下的边缘分布律如下:0123jp.ipX818383818286Y13对于连续型随机变量(X,Y)，概率密度为(,)f x y()(,)()(,)XYfxf x y
13、 dyfyf x y dx()XFx(,)F x(,)xf t y dy dt()xXft dt()YFy(,)Fy(,)yf x t dx dt()yYft dt事实上，同理：X,Y的边缘概率密度为：例2：(X,Y)的联合分布律为 求：(1)a,b的值；(2)X,Y的边缘分布律；(3)(1|1)P XYYX-1100.20.1a120.1 0.2b(1|1)0.5P YX已知：0.2(1|1)0.3aP YX又X10.420.6ipjpY0.3 0.5-1100.2 23 (1|1)0.45P XY0.210.3a2a0.1 b=0.3，(2)解：(1)由分布律性质知 a+b+0.6=1 即
14、a+b=0.4 例3：设G是平面上的有界区域，其面积为A，若二维随机变量(X,Y)具有概率密度则称(X,Y)在G上服从均匀分布均匀分布。现设(X,Y)在有界区域上均匀分布，其概率密度为 求边缘概率密度 解：1,(,)(,)0,Ax yGf x y其他2xyx26,(,)0,xyxf x y其他()()XYfxfy，()(,)Xfxf x y dy2266(),01 0,xxdyxxx其他()(,)Yfyf x y dx66(),01 0,yydxyyy其他 212221122222121212121241 (,)21()()()()1exp22(1),0 011,f x yxxyyXX YyY
15、x 例：设二维随机变量的概率密度为：其中，都是常数，且，；，我们称为服从参121222(,)(;)1212X YN数为，的二维正态分布，记为：；试求二维正态随机变量的边，缘概率密度。二维正态分布的图形二维正态分布的图形2211222222121212()(,)()()()()11exp22(1)21Xfxf x y dyxxyydy 解：2212122211()122(1)212121xyxeedy 221221222112()1()22(1)21211221xyxeedy 2121()211 2xex 2222()221 (),2xYfyey 同理即二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布
16、，并且都不依赖于参数作业题P.84 2、3、5、6、8、9)(jiyYxXP 1.当（当（X，Y）为离散型）为离散型定义定义 在在(X,Y)中，当一个随机变量取固定值的条件中，当一个随机变量取固定值的条件下，另一个随机变量的分布，此分布为下，另一个随机变量的分布，此分布为条件分布条件分布在在 条件下，条件下，X的条件分布的条件分布jyY )(jiYXyxp固定值固定值自变量自变量)(),()(),(jYjijjiypyxpyYPyYxXP 同理同理)(ijXYxyp)(),(iXjixpyxp,2,1 i,2,1 j总和总和分量分量1/161/120031/1600041/161/121/80
17、21/161/121/81/414321XY1/41/41/41/4)(Xp)(Yp25/4813/487/483/48例例8 8 在例在例2 2中，中，求：求：(1)(1)在在X=3X=3的条件下的条件下Y Y的条件分的条件分布律；布律；(2)求在求在Y=1的条件下的条件下X的条件分布律。的条件分布律。31)31(41121 XYP31)32(41121 XYP31)33(41121 XYP00)34(41 XYP因为：因为：0313131)3(4321 XyYPYj2532542562512)1(4321 YxXPXi所以，所以，类似可求：类似可求：2.2.当（当（X X，Y Y）为连续型
18、）为连续型的条件概率密度的条件概率密度条件下条件下在在XyY )(yxfYX固定值固定值自变量自变量)()(yYxXPyxFYX )(yYyxXP0lim yYyPyYyxXP),(lim0 yyYxyydyyfdyyxfdx)(),(lim0 yfdxxfYx21120,-y:2)(2),(lim其中其中)(),(yfdxyxfYx )(),()()(yfyxfyxFyxfYYXYX 总和总和分量分量)(),()(xfyxfxyfXXY 的条件概率密度为的条件概率密度为条件下条件下在在同理同理YxX ,)0)(xfX)0)(yfY)(,0)2(;)(,0)1(:yxfyxyfxYXXY 求求
19、例例:设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)(X,Y)的的 概率密度为：概率密度为：其其他他,00,0,6),(32yxeyxfyx解解 dyyxfxfX),()(0,00,6032xxdyeyx 0,00,22xxex dxyxfyfY),()(0,00,6032yydxeyx 0,00,33yyey 0,00,3)(,0,00,2)(32yyeyfxxexfyYxX)(xyfXY)(),(xfyxfX)(0,00,22xfxxeXx 0,00,36332xxeeyyx)(yxfYX)(),(yfyxfY)(0,00,33yfyyeYy 0,00,26232yyeexyx独立性独立性独立性独
20、立性：设设X X与与Y Y是两个随机变量是两个随机变量,若对任意的若对任意的相互独立。相互独立。与与则称则称有有YXyYPxXPyYxXPyx)()(),(:,：若：若X X与与Y Y独立独立,则则为任意可能值点为任意可能值点),()()(),(jijYiXjiyxypxpyxp (2)(2)离散型离散型随机变量随机变量，X X与与Y Y相互独立的充要条件为相互独立的充要条件为:RyxyFxFyxFYX ,)()(),(3)连续型随机变量，连续型随机变量，X与与Y相互独立的充要条件为相互独立的充要条件为:)()(),(yfxfyxfYX Ryx ,(4)联合分布和边缘分布的关系联合分布和边缘分
21、布的关系联合分布联合分布边缘分布边缘分布条件：独立性条件：独立性例例:设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)(X,Y)的概率密度为的概率密度为:是是否否独独立立。与与问问其其他他YXyxxeyxfyx ,00,0,),()(解解：0,0)(xdyxeyx0,0 xxedyexexyxdyyxfxfX ),()(dxyxfyfY ),()(0,0)(ydxxeyx0,0 ydxxeexy)(0 xyedxe 00dxexeexxy 0,0 yedxeeyxy 其其他他,00,)(xxexfxX 其其他他,00,)(yeyfyY)()(),(yfxfyxfYX。YX相相互互独独立立与与12YX01
22、P(y=j)161262162612P(X=i)1323(0,1)1 6P XY(0)(1)P XP Y(0,2)1 6P XY(0)(2)P XP Y(1,1)2 6P XY(1)(1)P XP Y(1,2)2 6P XY(1)(2)P XP Y,X Y因而是相互独立的。YX01P(y=j)12161262162612P(X=i)1212,X Y例3:若具有分布律 右图，则：(0,1)1 6P XY(0)(1)1 2 1 21 4P XP Y(0,1)(0)(1)P XYP XP Y故XY因而 与 不相互独立。,X Y例2:具有分布律 右图，则：,X Y例4:设X与Y是相互独立的随机变量，已
23、知的联合分布律，求其余未知的概率值。012()10.010.220.03()XYP XiP Yj0.040.250.040.80.60.12 ,0XYX Y例5 证明：对于二维正态随机变量，与 相互独立的充要条件是参 数,X Y证：因为的概率密度为：21222112222212121(,)21()()()()122(1)f x yxxyyexp 23又由例 知，其边缘概率密度的乘积为：2212221212()()11()()22XYxyfx fyexp,(,),(),()XYX Yf x yfxfy反之，若相互独立，由于都是连续函数，0,(,)()()XYx yf x yfx fy如果，则对于
24、所有，有,X Y即相互独立。,(,)()()XYx yf x yfx fy故对于所有的，有1212(,)()(),XYfff 特别的有2121211221 即0 一般一般n n维随机变量的一些概念和结果维随机变量的一些概念和结果 112212 ;,nnnnESeXXeXXeXXeSnXXXn维随机变量设 是一个随机试验，它的样本空间是设是定义在 上的随机变量，由它们构成的一维个随维向量称为机变量。1212112212,(,)(,),nnnnnnx xxnF x xxP Xx XxXxnXXX分布函数 对于任意 个实数，元函数：称为 维随机变量的分布函数。12121212112212 ,(,)1
25、,2,(,)1,2,1,2,nnniinijiinnijnXXXxxxiP XxXxXxjninXXX离散型随机变量的分布律设所有可能取值为 称为 维离散型随机变量的分布律。111212121212(,),(,)(,)nnnnxxxnnnf x xxx xxF x xxf x xx dx dxdx 连续型随机变量的 若存在非负函数，使得对于任概意实数率密度 边缘分布边缘分布 如：1212,(,)nnXXXF x xx的分布函数已知，111()(,)XFxF x 12,(1)nXXXkkn则的维边缘分布函数就随之确定。12(,)1212(,)(,)XXFx xF x x11223111122,(
26、)(,)nniiinnii iiP XxP XxXxXx12123411221122,(,)(,)nniiiinnii iiP XxXxP XxXxXx111223()(,)Xnnfxf x xx dx dxdx12(,)121234(,)(,)XXnnfx xf x xx dx dxdx 相互独立相互独立 12121212,(,)()()()nnnXXXnx xxF xxxFx FxFx若对于所有的有：12,nXXX则称是相互独立的1212,mnXXXY YY与的独立性12112,(,),mmXXXF x xx设的分布函数为12212,(,),nnY YYF y yy的分布函数为121212
27、12,(,)mnmnXXXY YYF x xxy yy的分布函数为1212112212(,)(,)(,)mnmnF x xxy yyF x xxF y yy若1212,mnXXXY YY称与相互独立。作业题P.86：12、14、16、17(1)1.(X,Y)离散离散,:),(21kzzzYXgZ离散离散),()(kkzYXgPzZP )(),(关键关键反解反解GYX),(GYXP ),(),(),(,2211mmiiiiiiyxyxyxG 如如加法加法使使 对应的对应的(X,Y)的那些可能的那些可能值值,其概率之和其概率之和kzYXg),(5 两个随机变量的函数的分布例例1:1:设二维随机变量
28、设二维随机变量(X,Y)(X,Y)的分布律为的分布律为:0123103/83/8031/8001/8求求Z=X+Y的分布律的分布律.解解:Z Z的所有取值为的所有取值为:XY1,2,3,4,5,6.0)1,0()1(YXPZP83)1,1()2(YXPZPZ123456pk03/84/8001/8848183)3,0()1,2()3(YXPYXPZP 2.(X,Y)连续型连续型方法方法:分布函数法分布函数法),(,),(yxfYXgZZ求求连续连续),()()()1(zYXgPzZPzFZ )(),(关键关键反解反解GYX Gdxdyyxf),()()()2(zFzfZZ ),(GYXP 下面
29、我们就几个具体的函数来讨论下面我们就几个具体的函数来讨论1.2.,;,ZXYMMax X YNMin X YZ=X+Y的分布的分布 )(zZPzFZ zyxDdxdyyxf:,)(zYXP dydxyxfzFyzZ,dxyxfyzyz ),(,对积分对积分和和固定固定得得作变量代换，令作变量代换，令yux zyuxyzduyyufdxyxf,dyduyyufzFzZ ,于于是是 zdudyyyuf,由概率密度的定义可得由概率密度的定义可得Z的概率密度为：的概率密度为：dyyyzfzfZ,固定固定 dxxzxfzfZ,特别地，当特别地，当X和和Y相互独立时，上述两式变为相互独立时，上述两式变为（
30、称为（称为卷积公式卷积公式）：）：dyyfyzfzfYXZ dxxzfxfzfYXZ又可写作：又可写作：的对称性，的对称性，与与由由)(zfyxZ例例1:设设X和和Y是两个相互独立的随机变量是两个相互独立的随机变量,它们都服从它们都服从N(0,1),即有即有 xexfxX,21)(22 yeyfyY,21)(22 求求Z=X+Y的概率密度。的概率密度。dxeexzx222221 dxeezxz 22)2(421 dxxzfxfzfYXZ解：解：由卷积公式由卷积公式4)2(22zzx )2(22zzxx tzx 2令令d2 tetdteezftzZ 22421)(22222)0(422121 z
31、zee )2,0(NZ结论结论:独立独立,2,1),(2niNXiii 正态分布正态分布)1(21nXXX 正态分布正态分布)2(2211nnXcXcXc 分布的可加性分布的可加性例例2:设随机变量设随机变量X与与Y独立同分布，独立同分布，X的概率密的概率密度为：度为：其它其它,010,1)(xxf求求Z=X+Y的概率密度。的概率密度。dxxzfxfzfYXZ解：解：由卷积公式由卷积公式范围范围的的被积函数不为被积函数不为的积分范围的积分范围xx0 其其它它,021,210,)(110zzdxzzdxzfzzZ zxzxxzx1101010011 z1 zzz10 z21110 zz2.M=m
32、ax(X,Y)2.M=max(X,Y)及及N=min(X,Y)N=min(X,Y)的分布的分布 设设X,YX,Y是两个相互独立的随机变量是两个相互独立的随机变量,它们它们的分布函数分别为的分布函数分别为F FX X(x)(x)和和F FY Y(y(y)。由于由于zYzXzYX 且且,),max(现在来求现在来求M=max(X,YM=max(X,Y)及及N=min(X,YN=min(X,Y)的的分布函数。分布函数。zYzXzYX 且且,),min(1)M=max(X,Y)的分布函数为：的分布函数为：)()(maxzMPzF )()(zFzFYX),(zYzXP )()(zYPzXP (2)N=m
33、in(X,Y)的分布函数为：的分布函数为：)()(minzNPzF ),(1zYzXP )(1)(11zYPzXP )(1)(11zFzFYX )(1zNP ）（）（zYPzXP 1例例1：设系统设系统L由两个相互独立的子系统由两个相互独立的子系统L1，L2联接联接而成，联接方式分别为而成，联接方式分别为:(1)串联串联;(2)并联并联;(3)备用备用(当当L1损坏时，损坏时，L2开始工作开始工作)，如图所示。，如图所示。（1）（2）（3）L1，L2的寿命分别用的寿命分别用X，Y表示，已知它们的概率密表示，已知它们的概率密度分别为度分别为:0,00,)(xxexfxX0,00,2)(2yyey
34、fyY试就以上三种联接方式分别写出试就以上三种联接方式分别写出L L的寿命的寿命Z Z的概率密度的概率密度.解解:(1):(1)串联的情况串联的情况:Z=min(X,Y)X,Y的分布函数分别为：的分布函数分别为：,0,00,1)(xxexFxX0,00,1)(2yyeyFyYZ=min(X,Y)的分布函数为：的分布函数为：0,001)(1)(1 1)(3minxxexFxFxFxYX，Z的概率密度为的概率密度为:0,00,3)(3xminxxexf（2 2）并联的情况：）并联的情况：Z=max(X,Y)()()(maxxFxFxFYXZ=max(X,Y)的分布函数为：的分布函数为：Z的概率密度为的概率密度为:0,00,32)(3x2xxmaxxxeeexf0,00),1)(1(2xxeexx（3 3）备用的情况：）备用的情况：Z=X+YZ=X+YZ Z的概率密度为的概率密度为:dxxzfxfzfYXZ)()()(0,00,20)(2xzzdxeezxz0,00,20,00,220 x2zzeezzdxeezzzz例4:设X与Y的联合分布律为：1210.20.120.30.4XY,max(,),)UXY VX YU V令，求(的联合分布率。1220.20300.4400.4UV解：
