1、专题研究三 数列的综合应用 专 题 讲 解 题型一 等差、等比数列的综合 (2018 吉林实验中学模拟 ) 已知 an 是单调递增的等差数列 ， 首项 a1 3 ， 前 n 项和为 Sn， 数列 bn 是等比数列 ， 其中 b1 1 ， 且 a2b2 12 ， S3 b2 20. (1) 求 an 和 bn 的通项公式； (2) 令 cn Sncos (an3 )(n N*) ， 求 cn 的前 20 项和 T20. 【解析】 (1) 设公差为 d ， 公比为 q ， 则 a2b2 (3 d)q 12 ，S3 b2 3a2 b2 3(3 d) q 20 ， 3d2 2d 21 0 ， (3d
2、7)( d 3) 0. an 是单调递增的等差数列 ， d0 ， d 3 ， q 2. an 3 (n 1) 3 3n ， bn 2n 1. (2) cn Snco sn ?Sn， n 是偶数 ， Sn， n 是奇数 ， T20 S1 S2 S3 S4 S19 S20 a2 a4 a6 a20 6 12 18 60 330. 【答案】 (1) an 3n ， bn 2n 1(2)T20 330 状元笔记 高考命制综合题时 ， 常将 等差、等比数列结合在一起 ，形成两者之间的相互联系和相互转化，破解这类问题的方法是首先寻找通项公式，利用性质之间的对偶与变式进行转化 思考题 1 已知等比数列 an
3、 的公比为 q ， 前 n 项的和为Sn， 且 S3， S9， S6成等差数列 (1) 求 q3； (2) 求证： a2， a8， a5成等差数列 【解析】 (1) 方法 一：由 S3， S9， S6成等差数列 ， 得 S3 S6 2S9. 若 q 1 ， 则 S3 S6 9a1， 2S9 18a1. 由 a1 0 ， 得 S3 S6 2S9， 与题意不符 ， q 1. 由 S3 S6 2S9， 得a1（ 1 q3）1 qa1（ 1 q6）1 q2a1（ 1 q9）1 q. 整理 ， 得 q3 q6 2q9， 由 q 0 且 q 1 ， 得 q312. 方法二：由 S3， S9， S6成等差数
4、列 ， 得 S9 S3 S6 S9. a4 a5 a6 a7 a8 a9 (a7 a8 a9) 移项得 a4 a5 a6 2 (a7 a8 a9) 0. (a4 a5 a6)(1 2q3) 0. a4 a5 a6 a4(1 q q2) 0 ， 1 2q3 0 ， q312. (2) 方法一：由 (1) 知 ， a8 a2 q614a2， a5 a2 q312a2，a8 a2 a5 a8， 所以 a2， a8， a5成等差数列 方法二：由 (1) 知 ， a2 a5 2a8 a2 (1 q3 2q6) a2(1 12 2 14) 0 ， 所以 a2， a8， a5成等差数列 【答案】 (1) 12(2) 略
