1、山东大学物理学院 宗福建1电动力学第30讲第六章第六章 狭义狭义相对论相对论(6)6.5 6.5 相对论力学相对论力学教师姓名：教师姓名：宗福建宗福建单位：单位：山东大学物理学院山东大学物理学院2015年年12月月25日日山东大学物理学院 宗福建2上一讲复习 洛伦兹变换洛伦兹变换22222222221111xvtxvtxxvvccyyyyzzzzvvtxtxccttvvcc山东大学物理学院 宗福建3上一讲复习 速度变换公式速度变换公式 2,1xxxudxuudtc 2221,1yyxudycuudtc 22211zzxudzcuudtc 山东大学物理学院 宗福建4上一讲复习 速度变换公式速度变
2、换公式 反变换式为 222222211,111yzxxyzxxxuuuccuuuuuuccc 山东大学物理学院 宗福建5洛伦兹变换的四维形式洛伦兹变换的四维形式 沿x轴方向的特殊洛伦兹变换的变换矩阵为 220001000010001,1xixyyzzictiictvcvc其中山东大学物理学院 宗福建6洛伦兹变换的四维形式洛伦兹变换的四维形式 逆变换矩阵为 220001000010001,1xixyyzzictiictvcvc其中山东大学物理学院 宗福建7相对论中的四维量相对论中的四维量 相对论理论中的四维量 标量：间隔ds2、固有时d 矢量：四维位移 四维速度 四维波矢量123(,)x x x
3、 ictx123(,)udu u u icdxU123(,)k k k ick山东大学物理学院 宗福建8相对论中的四维量相对论中的四维量 矢量：四维电流密度 四维势矢量 电磁场张量0(,),0icx AAAAJ0(,)0icxJJUJ00AFAFxxxFFFxxxJ山东大学物理学院 宗福建9电磁场张量电磁场张量 导出电磁场的变换关系 111122322323323322()()()()BBEEvEEvBBBEcEEvBvBBEc山东大学物理学院 宗福建10电磁场张量电磁场张量 导出电磁场的变换关系 111122322323323322()()()()BBEEvEEvBBBEcEEvBvBBEc
4、山东大学物理学院 宗福建11电磁场张量电磁场张量 导出电磁场的变换关系 可写为更紧致的形式 式中和分别表示与相对速度平行和垂直的分量。/,EEBB2(),()c EE BBBE山东大学物理学院 宗福建12上一讲习题解答上一讲习题解答 第第237页页 习题习题13 13、设在参考系 内 EBEB，系沿E EB B 的方向运动，问系应以什么样的速度相对于系运动才能使其中只有电场或只有磁场？山东大学物理学院 宗福建13上一讲习题解答上一讲习题解答 解解：如图，系以速度v沿x轴正方向，相对于运动，山东大学物理学院 宗福建14上一讲习题解答上一讲习题解答 解解：如图，系以速度v沿x轴正方向，相对于运动，
5、123123(0,0)00(0,0,)00EEEEEEBBBBBB 山东大学物理学院 宗福建15上一讲习题解答上一讲习题解答 解解：如图，系以速度v沿x轴正方向，相对于运动，111122322323323322()()()()BBEEvEEvBBBEcEEvBvBBEc山东大学物理学院 宗福建16上一讲习题解答上一讲习题解答 解解：如图，系以速度v沿x轴正方向，相对于运动，112233200()00()EBEEvBBEvBBEc山东大学物理学院 宗福建17上一讲习题解答上一讲习题解答2220,001EEvBEvBvcEc BEc BEvBvEBBc令则得：即，若，则当时，山东大学物理学院 宗福
6、建18上一讲习题解答上一讲习题解答2222202200222201(1)11()(1)vEEBBvcBvBBWcSEBB vvBBc002000：S=011W=22：11W=E+222山东大学物理学院 宗福建19上一讲习题解答上一讲习题解答3222220,001vBBEcEvcBvcEc BEc BBvcEvBEc同理，令则得：即，若，则当时，E山东大学物理学院 宗福建20上一讲习题解答上一讲习题解答2222220002202002222002001(1)2211()1(1)222BvBEvccEvWEEWcvSEBEEEvcvWEBEcE：S=0：山东大学物理学院 宗福建21本讲主要内容 能
7、量能量-动量四维矢量动量四维矢量 质量质量-能量关系能量关系 相对论力学方程相对论力学方程 洛伦兹力洛伦兹力 山东大学物理学院 宗福建22相对论力学相对论力学经典力学对伽利略变换来说式协变的，在旧时空观概念下，牛顿（Newton）定律对任意惯性系成立。由于时空观的发展，洛伦兹变换代替伽利略变换，经典力学的原有形式不再是协变的。我们要对力学规律加以修改，使它符合新时空观基础上的协变性，从而能够正确地描述高速运动规律。并且，当速度c时，相对论力学应该合理地过渡到经典力学。下面我们来分析力学中几个最基本的概念，然后提出相对论协变的力学方程。山东大学物理学院 宗福建23能量能量-动量四维矢量动量四维矢
8、量 利用四维速度矢量U 可以定义四维动量矢量(,)ddicddtxxUv0mpU(,)ickk(,)icAA山东大学物理学院 宗福建24能量能量-动量四维矢量动量四维矢量 利用四维速度矢量U 可以定义四维动量矢量 这四维矢量的空间分量和时间分量是 (,)ddicddtxxU0mpU200040222211mm cimpic mcccp山东大学物理学院 宗福建25能量能量-动量四维矢量动量四维矢量 当 c时，p趋于经典动量m0。因此可以认为，p是相对论中物体的动量。现在讨论p4的物理意义。首先我们察看 c情形下p4的展开式 上式括号内第二项是物体的动能。因此p4与物体的能量有关。224001(.
9、),2ipm cmc山东大学物理学院 宗福建26能量能量-动量四维矢量动量四维矢量设相对论中物体的能量为则因此相对论中物体的动能是而总能量是 4ipWc2022,1m cWc2200221m cTm cc20WTm c山东大学物理学院 宗福建27能量能量-动量四维矢量动量四维矢量(,)iWcpp(,)ictXX220001000010001,1xixyyzzictiictvcvc其中山东大学物理学院 宗福建28能量能量-动量四维矢量动量四维矢量(,)iWcpp(,)ictXX220001000010001,1xxyyzzppippppiiiWWccvcvc其中山东大学物理学院 宗福建29能量能
10、量-动量四维矢量动量四维矢量(,)iWcpp(,)ictXX2222211xxyyzzxvpWcpvcppppWvpWvc2222211xxyyzzxvpWcpvcppppWvpWvc山东大学物理学院 宗福建30能量能量-动量四维矢量动量四维矢量 从形式上看，W含有两部分，一部分是物体的动能T，另一部分为是当物体静止时仍然存在的能量，称为静止能量静止能量。本来在非相对论中，对能量附加一个常数是没有意义的。但是在相对论情形，我们必须进一步研究常数项 m0c2 的物理意义。这是因为 m0c2 项的出现是相对论协变性要求的结果，删去这项或者用其他常数代替这项都不符合相对论协变性要求。山东大学物理学院
11、 宗福建31能量能量-动量四维矢量动量四维矢量 从物理上看，自然界最基本的定律之一是能量守恒定律，只有当附加项 m0c2 可以转化为其他形式的能量时，这项作为能量的一部分才有物理意义。由此我们可以推论，物体静止时具有能量m0c2，在一定条件下，物体的静止能量可以转换为其他形式的能量。山东大学物理学院 宗福建32能量能量-动量四维矢量动量四维矢量 为了验证静止能量表示式m0c2与相对论协变性的关系，我们具体考虑一个粒子转化过程。设粒子A湮灭并转化为粒子系统B（例如02）。这过程表明A具有静止能量。在A的静止参考系上，A的能量就是静止能量W0。在湮灭过程中，这能量部分地或全部地转变为粒子系统B的动
12、能。山东大学物理学院 宗福建33能量能量-动量四维矢量动量四维矢量 在上A的动量和能量是 在另一参考系上观察，设粒子A以速度沿x轴方向运动。若动量与能量构成四维矢量，则由洛伦兹变换式，在上的动量和能量是 00WW p022022222222,.1111xxxpWWWpWccpWcccc山东大学物理学院 宗福建34能量能量-动量四维矢量动量四维矢量000100001000 xxyyzzppippppiiiwwcc022022222222,.1111xxxpWWWpWccpWcccc山东大学物理学院 宗福建35能量能量-动量四维矢量动量四维矢量 对比：得：022022222222,.1111xxx
13、WpWWpWccpWcccc200040222211mm ciimpic mWccccp200Wm c山东大学物理学院 宗福建36能量能量-动量四维矢量动量四维矢量四维矢量p 称为能量-动量四维矢量，或简称四维动量。由p p可构成不变量在物体静止系内，p p=0，W=m0c2因而不变量为 m02c2。因此 0(,)imWcpUp222Wp pcp不变量22224222400Wp cm cWp cm c山东大学物理学院 宗福建37质能关系质能关系 表示物体的质量m0和静止能量W0的关系,称为质能关系质能关系式式。静止能量的揭示是相对论最重要的推论之一。它指出静止粒子内部仍然存在着运动。一定质量的
14、粒子具有一定的内部运动能量。反过来，带有一定内部运动能量的粒子就表现出有一定的惯性质量。200Wm c山东大学物理学院 宗福建38质能关系质能关系 质能关系式对一个粒子适用，对一组粒子组成的复合物体（如原子核或宏观物体）也适用。在后一情形下，W0是物体整体静止（及其质心静止）时的总内部能量，它和物体的总质量M0仍有关系W0=M0c2。这是因为由相对论协变性导出的关系时具有普遍意义，与物体具体结构无关。山东大学物理学院 宗福建39质能关系质能关系 当一组粒子构成复合物体时，由于各粒子之间有相互作用能以及有相对运动的动能，因而当物体整体静止时，它的总能量一般不等于所有粒子的静止能量之和，即W0 m
15、i0c2 ，其中mi0为第i各粒子的静止质量。两者之差称为物体的结合能 与此对应，物体的质量M0=W0/c2亦不等于组成它的各粒子的质量质和，两者之差称为质量亏损 200iiWm cW00iMmM山东大学物理学院 宗福建40质能关系质能关系 质量亏损与结合能之间有关系 质能关系式质能关系式在原子核和粒子物理中被大量实验很好地证实，它是原子能利用的主要理论依据。2()WM c 山东大学物理学院 宗福建41质能关系质能关系 在化学反应中利用到原子内部电子运动的能量，这对整个物体的内部能量来说只是非常小的一部分。在原子核反应中利用的与原子核质量亏损相联系的核内部运动能量。在粒子转化过程中，有可能把粒
16、子内部蕴藏者的全部能量都释放出来，变为可以利用的动能。例如当0介子衰变为两个光子时，由于光子静止质量为零，因而0介子内部蕴藏着的全部能量 m 0c2被释放出来而转变为光子的动能。山东大学物理学院 宗福建42质能关系质能关系 质能关系是反映了作为惯性量度的质量与作为运动量度的能量之间的关系。在物质反应或转化过程中，物质的存在形式发生变化，但不是说物质转化为能量。物质在转化过程中并没有消失。山东大学物理学院 宗福建43质能关系质能关系 例如过程02，作为物质的0介子转化为作为物质的光子。光子同样是物质，它也可以在适当条件下转化为电子或其他粒子。0衰变过程中释放出来的能量是由原来存在于0介子内的静止
17、能量转化而来的，在转化过程中总能量守恒。在相对论中，能量守恒和动量守恒仍然是自然界最基本的定律。这两条定律在研究粒子转化过程中起着十分重要的作用。山东大学物理学院 宗福建44质能关系质能关系 引入则，用这种表示方法时，动量形式上和非相对论的公式一样，但现在m不是一个不变量，而是一个随运动增大的量。m可以看作等效质量，称为“运动质量”，而不变量m0称为静止质量。该式也称为质能关系式，它是物体的总能量W和运动质量m之间的关系。022,1mmc2mWmcp山东大学物理学院 宗福建45质能关系质能关系 引入则，若 m00 则，vc；若 m0=0 则，v=c。如光子。022,1mmc2mWmcp山东大学
18、物理学院 宗福建46质能关系质能关系 静止质量m0是粒子的基本属性之一。为简单起见，下面我们所说的质量都是静止质量。具有一定静止质量的粒子在一定条件下可以衰变为总静止质量较小的粒子系统，在这过程中原来粒子的静止能量部分地或全部地变为末态粒子系统的动能。由质能关系式，粒子的质量常用MeV/c2作单位表出，动量用MeV/c表出，能量用MeV表出。1 MeV=1.602189 1013 J 1 MeV/c2=1.782676 1030 kg电子质量为 me=0.5110034 0.0000014 MeV/c2 山东大学物理学院 宗福建47质能关系质能关系 例例1:1:一个处于基态的静止原子，吸收能量
19、为h的光子跃迁到激发态，基态能量比激发态能量低w,求光子频率。解：动量守恒，原子吸收光子后，动量为 能量守恒，原子吸收光子后，能量为hpc202222402()Wm chwWp cmcc而，山东大学物理学院 宗福建48质能关系质能关系 2222400222020()()()2(1)2wm chhmccwhwm cwwhm c 山东大学物理学院 宗福建49质能关系质能关系 例例1 1:一个总质量为m0处于激发态的静止原子，放出能量为h的光子跃迁到基态，基态能量比激发态能量低w,求光子频率。解：动量守恒，原子放出光子后，动量为 能量守恒，原子放出光子后，能量为hpc202222402()Wm ch
20、wWp cmcc而，山东大学物理学院 宗福建50质能关系质能关系 2222400222020()()()2(1)2wm chhmccwhwm cwwhm c 山东大学物理学院 宗福建51质能关系质能关系 例例2 2带电介子衰变为子和中微子 各粒子质量为m=139.57 MeV/c2m=105.66 MeV/c2m=0求介子质心系中子的动量、能量和速度。山东大学物理学院 宗福建52质能关系质能关系 解解 在介子质心系中，介子的动量和能量为设p p()和p p()分别是子和中微子的动量，它们的能量分别是由动量和能量守恒定律得 20,Wm cp2222()()()()Wpcm cWpc22222()
21、()()()0pcm cpcm cPP山东大学物理学院 宗福建53质能关系质能关系 设得，把质量代入得,p=29.79 MeV/c,W()=109.78 MeV子的因子为由此得出子的速度()()ppp222222()22mmmmpcWm cpccmm()2221109.781.0390105.661Wm cc2110.2714vcc 山东大学物理学院 宗福建54相对论力学方程相对论力学方程 根据上边的讨论，动量和能量构成四维矢量p。如果用固有时d量度能量动量变化率，则 是一个四维矢量。因此，如果外界对物体的作用力可以用一个四维力矢量K K描述，则力学基本方程可写为协变性式 ddpddpK山东大
22、学物理学院 宗福建55相对论力学方程相对论力学方程 在低速运动情形，K 的空间分量应该过渡到经典力F F，过渡到经典牛顿定律。K的第四分量K4与空间分量K由一定关系。因此作用于速度为的物体上的四维力矢量为 222424222421122dWddicKp cm ccdddp cm ccddWddpppppK(,)icKKK 山东大学物理学院 宗福建56相对论力学方程相对论力学方程 相对论协变的力学方程包括以下两个方程在上式中，动量和能量变化率使用固有时量度的。为方便起见，我们把上式用参考系时间dt量度的变化率表出。由dt=d，ddWddpKK ddWPdtdtpKFK=山东大学物理学院 宗福建5
23、7相对论力学方程相对论力学方程 若定义力为 则相对论力学方程可以写为，第一式表示力F F等于动量变化率，第二式表示F F所作的功率等于能量的变化率，两式形式上和非相对论力学方程一致。ddWdtdtpFF 221,(,)iPccFKKFKF山东大学物理学院 宗福建58洛伦兹力洛伦兹力 相对论力学的一个重要应用是研究带电粒子在电磁场中的运动。这时在电磁相互作用的领域里，相对论作用力的形式以被完全确定。在第一章中我们给出电磁场对带电粒子作用力的洛伦兹变换公式式中e为粒子的电荷，为粒子的运动速度。()eFEB山东大学物理学院 宗福建59洛伦兹力洛伦兹力 用电磁张量F F和四维速度U U构成一个四维力矢
24、量 321131223213123123321231132312212321 1223 3000011()iBBEcviBBEvcKeF UeivBBEciciiiEEEcccEv Bv BFEv Bv BFeEv Bv BFviE vE vE vccF v山东大学物理学院 宗福建60洛伦兹力洛伦兹力 用电磁张量F F和四维速度U U构成一个四维力矢量容易验证：因此，洛伦兹力公式用四维力表示后满足相对论协变性的要求。221()1()evceKEBEBFKeF U山东大学物理学院 宗福建61洛伦兹力洛伦兹力 相对论协变力密度公式为 其中J为四维电流密度矢量。fF J321322311133123
25、122211233213112233123000()0iBBEcB JB JEJiB JB JEBBEJcfB JB JEiJBBEicicE JE JE JciiiEEEccc山东大学物理学院 宗福建62洛伦兹力洛伦兹力 容易验证，f的空间分量为洛伦兹力密度公式 ：f的第四分量为 除了因子i/c外，就是电磁场对电荷系统做功的功率密度公式。因此，洛伦兹力密度公式和功率密度公式都满足相对论协变性的要求的。fBJ4ifcJ E山东大学物理学院 宗福建63相对论力学相对论力学至此我们已经阐明，电动力学的基本规律，包括麦克斯韦方程组和洛伦兹公式，是适用于一切惯性参考系的物理学基本规律。山东大学物理学院
26、 宗福建64相对论力学相对论力学 目前我们已知自然界中存在着四种相互作用：电磁相互作用，万有引力相互作用，强相互作用和弱相互作用。后两种相互作用是短程的，只存在于 1015m范围以内，在该范围内量子效应已很显著，因此对这两种相互作用必须用量子理论来研究，不能用非量子理论的的力学方程描述。电磁相互作用和万有引力相互作用是长程的。山东大学物理学院 宗福建65相对论力学相对论力学 如上所述，电磁相互作用完全能够纳入狭义相对论的范围，非量子化的相对论性力学方程在一定条件下能够正确描述带电粒子的运动。关于万有引力相互作用，要使它成为相对论性的理论必须把狭义相对论进一步推广为广义相对论。关于广义相对论的讨
27、论已超出本书范围，由兴趣的读者可以参阅有关论著，这里不再予以介绍。山东大学物理学院 宗福建66相对论力学相对论力学例例3 3 讨论带电粒子在均匀恒定磁场中的运动。解解 在均匀恒定磁场B B中，带电粒子的运动方程为粒子的能量W为常量，因而速度 的数值亦为常量。()0ddWeedtdtp BB00222211mmddedtdtcc B山东大学物理学院 宗福建67相对论力学相对论力学即，式中字母上的一点表示对t微商。把分解为与B B平行的分量和与B垂直的部分，由上式得 0.em B/00emB山东大学物理学院 宗福建68相对论力学相对论力学由第一式得=常量，因而|亦为常量。第二式相当于在向心力eB
28、B作用下质量为m=m0的粒子的非相对论运动方程，这方程的解是圆周运动。圆的半径R可由向心力等于作用力求出，即圆周运动的角频率为在非相对论情形下,=eB/m0，与粒子运动速度无关。在相对论情形，随粒子能量增大，因而频率下降。200BBBmmpeRRee0eRmB山东大学物理学院 宗福建69本讲总结 利用四维速度矢量U 可以定义四维动量矢量(,)ddicddtxxUv0(,)imWcpUp222Wp pcp不变量22224222400Wp cm cWp cm c山东大学物理学院 宗福建70本讲总结引入则，用这种表示方法时，动量形式上何非相对论的公式一样，但现在m不是一个不变量，而是一个随运动增大的
29、量。m可以看作等效质量，称为“运动质量”，而不变量m0称为静止质量。也称为质能关系式，它是物体的总能量W和运动质量m之间的关系。022,1mmc2mWmcp山东大学物理学院 宗福建71本讲总结动量和能量构成四维矢量p p。如果用固有时d量度能量动量变化率，则 是一个四维矢量。因此，如果外界对物体的作用力可以用一个四维力矢量K描述，则力学基本方程可写为协变性式 ddp(,)didcpKKK v山东大学物理学院 宗福建72本讲总结若定义力为 则相对论力学方程可以写为，第一式表示力F F等于动量变化率，第二式表示F F所作的功率等于能量的变化率，两式形式上和非相对论力学方程一致。ddWdtdtpFF 221,cFK山东大学物理学院 宗福建73课下作业 课下作业：课下作业：教材第教材第239239页页 第第2525，2626，2727，2828题。题。
