1、1第六章第六章 状态观测与状态最优估计状态观测与状态最优估计2第第6章章 状态观测与状态最优估计状态观测与状态最优估计 某些状态量，或者由于不具明确的物理意义，或者由于量测手段的限制，在工程实际中不能直接获取它们，需要对状态进行重构或估计 reconstruction,estimation。所谓的状态变量的重构或观测估计状态变量的重构或观测估计问题，即设法另外构造一个物理上可实现的动态系统,它以原系统的输入 u 和输出 y 作为它的输入而它的状态变量的值能渐近逼近渐近逼近原系统的状态变量的值 x 或者其某种线性组合，则这种渐近逼近的状态变量的值即为原系统的状态变量的估计值并可用于状态反馈闭环系
2、统中代替原状态变量作为反馈量来构成状态反馈律 这种这种重构或估计重构或估计系统状态变量的装置称为系统状态变量的装置称为状态观测器状态观测器（state observer），），它可以是由电子、电气等装置构成它可以是由电子、电气等装置构成的物理系统的物理系统,也可以是由计算机和计算模型及软件来实也可以是由计算机和计算模型及软件来实现的软系统。现的软系统。换句话说，为了实现状态反馈控制律，就要设法利用巳换句话说，为了实现状态反馈控制律，就要设法利用巳知的信息（输入量及输出量），通过一个模型知的信息（输入量及输出量），通过一个模型(或系统、或系统、或软件或软件)来对状态变量进行估计。来对状态变量进行
3、估计。状态观测器状态观测器是指在是指在不考虑噪声干扰不考虑噪声干扰下，状态值的观测或下，状态值的观测或估计问题，即所有测量值都准确无差且原系统内外部无估计问题，即所有测量值都准确无差且原系统内外部无噪声干扰。噪声干扰。对于存在噪声干扰时的状态观测或估计问题，则可对于存在噪声干扰时的状态观测或估计问题，则可用用卡尔曼卡尔曼(Kalman)滤波滤波理论来分析讨论理论来分析讨论(最优估计最优估计)。41 状态重构与状态观测器状态重构与状态观测器 一、状态重构问题一、状态重构问题 xAxBuyCx 输入量u和输出量y总是可以直接量测的，能否通过输入量u和输出量y间接获取状态量的信息。为此，对输出方程进
4、行逐次微分运算，并代之以状态方程，可得：2(1)(1)(2)(3)(2)nnnnnyCxyCx=CAx+CBuyCAx+CBu=CA x+CABu+CBuyCAx+CABu+CABu+CBu5(1)(2)(3)(2)(1)nnnnnyCyCBuCAxyCABuCABuCBuCA写成矩阵方程形式：矩阵 满秩，x有唯一解。但实际应用中不可取。1()TTTTnTTCA CAC启示：如果系统满足一定条件，利用系统的输入量和输出量，得到原系统状态量的间接值 ，它在一定的指标下与x(t)等价。()tx()tx()tx 称 为状态量x(t)的重构值重构值，将得到重构状态 的系统称为状态状态观测器观测器，表示
5、为 。等价性指标一般采用渐近等价，即 lim()lim()()0ttttt xxx如果状态观测器的维数与原系统的维数相同，称为全维全维状态观测器；如果状态观测器的维数小于原系统的维数，称为降维降维状态观测器。6二、全维状态观测器二、全维状态观测器1全维观测器的构成全维观测器的构成方案方案1用原系统的结构、输入构造一个模拟系统：xAxBuyCx开环型状态观测器开环型状态观测器 x其中 为被控系统状态变量 x(t)的估计值。构造一个和被控系统有同样动力学性质（即有同样的系数矩阵A,B和C）的系统，用模型系统的状态变量作为系统状态变量的估计值（即重构被控系统的状态变量）。B A C u+B A C
6、x x x y开环状态观测器开环状态观测器 y x+x 开环状态观测器的结构图 其结构如下图所示。()x=xx=A xxAx有：()(0)(0)(0)ttteeAAx=xxx（1）A包含有不稳定的特征值时，即使很小的 也会使 远离x(t)；(0)x()tx（2）观测器参数对原系统参数的任何偏离都会产生不利影响。8 所以开环开环型状态观测器不能实际使用。解决的办法是利用输出偏差 进行反馈，设计渐近观测器渐近观测器，反馈矩阵为M。如图 ()()()ttt yyy()xxuxyyyABMC9观测器的状态方程式为：()()xAxBuMyAxBuM yCx =AMC xBuMy 有望通过设计合适的偏差反
7、馈矩阵M以调整观测器系统矩阵的特征值（观测器极点），实现渐近等价指标下的状态重构。()()0()()ttttt 若的特征值都具有负实部，则有：，即：状态渐近重构。AMCxxx()()t 衰减的快慢由特征值位置决定。xAMC 所以，一个性能优良的观测器应该是所有极点可以任意配置的。这就是观测器的极点配置问题。()xxuxyyyABMC渐近观测器其中M 称为状态观测器的反馈矩阵状态观测器的反馈矩阵102极点任意配置条件极点任意配置条件结论结论：系统能采用全维状态观测器重构其状态，并且能通过改变M矩阵任意配置观测器极点的充要条件充要条件是原系统完全能观完全能观。(,)(,)TTT 对偶证明：能观能控
8、A B CACB(,)()TTTTTT 的 可以通过 任意配置特征值,kAC K CBAC KK 其转置 特征值不变，即通过 K 矩阵可任意配置特征值；()()TTTTAC KA K C 取 ，即矩阵(AMC)的特征值可通过M矩阵任意配置；TM K 显然原系统能观，它对应的全维状态观测器就能通过改变M矩阵任意配置它的极点。113极点配置算法极点配置算法（1）判定 的能观性；,A C（2）如能观，写出原系统的对偶系统 ;(,)A B C（3）利用状态反馈极点配置算法求出期望极点为 的状态反馈系统 的反馈矩阵 ；(1,2,)iin(,)kABK B CK（4）取 ;TMK（5）得状态观测器为：()
9、xAMC xBuMy 对于期望极点的位置，仅从渐近收敛速度看，希望极点尽量远离虚轴。但是极点离虚轴太远，会使观测器频带过宽，不利于扼制观测器输入量的高频干扰。要根据工程实际折衷考虑。12*1*1101(1,2,)()()innniniinsssasa sa（2）根据一组期望的极点写出期望的特征多项式：0113()()det()(,)nysss m mm（）由观测器方程写出观测器的特征多项式：xA mc xBumIA mc*011()()Tnssmmm（4）由 同次幂系数相等求出。m=（5）将m代入方程 ，得出全维状态观测器。()yxAmc xBum（1）判断 的能观性；对于单输出系统，除了通过
10、对偶系统求解外，也有类似于单输入系统状态反馈极点配置的二种算法。方法一（解联立方程）方法一（解联立方程）：,A c131300111 1uy ：已知系统 设计全维状态观测器，将极点配置在2、2。xxx例例6 611解解（1）系统的能观性矩阵为1 11 2oAcQc满秩，系统能观；*22 ()(2)44ssss(2)期望特征多项式为：010011432141mmmmmm 有0001111313 1 1101mmmmmm（3）观测器的系统矩阵 Amc00201011113 ()det()det()(21)1smmsssmm smmmsm 对应的特征多项式：IA mc31 即m（4）由*()()ss
11、14系统的状态变量图为：（5）得全维观测器为：133032003()(1 1)011111211yuyuy xA mc x Bu m=x+x15（3）由给定的期望极点求得期望的特征多项式：*1*1101()()nnninisssasa sa（4）按下式求取具有能观规范型形式的状态空间中的偏差反馈向量：000111111nnnmaamaamaam（5）求取将原系统化为能观规范型的变换矩阵P；m=Pm（6）由 求得偏差反馈向量m，并代入观测器方程。方法二（利用能观规范型求）方法二（利用能观规范型求）：（1）先判断 的能观性，若能观，则往下进行；,A c（2）开环系统的特征多项式：1110detnn
12、nssasa saIA16方案方案2：受控系统能控，能观 全维状态观测器可取为 在F，G，H，T满足一定条件时，可作为原系统的观测器。zTxzzHuGyFzz10)0(,4全维观测器的构成全维观测器的构成方案方案217 全维状态观测器的结构图如下所示。全维状态观测器的结构图如下所示。B A C G y H F 线性线性 变换变换T-1 x 全全维维观测器观测器 x u+z zx 全维状态观测器的结构图全维状态观测器的结构图1zFzGyHuxT z 18结论结论1：任意，上述系统是A,B,C的全维状态观测器 的充要条件充要条件是：证明：定义 则 充分性：满足(1)(2)(3),则 z(t)是Tx
13、的估计，uzx,00均具负实部非奇异niFTBHTGCFTTAi,2,1),()3()2(,)1()()ezTxezTxFzGyHuT AxBuFzFTxFTxTAxGCxHFB ueTtte,0)(xzTxzT,11即的估计是19必要性：若条件（3）不成立，则对于x00和u(t)0，当t时有e(t)不趋于零。若条件（2）不成立，即HTB，则可以找到一个u(t)使得当t时，e(t)将不趋于零。若条件（1）不成立，即TA-FTGC，但A、B能控，则必可以找到一个u(t)而产生相应的一个 x(t)，使得当t时e(t)不趋于零。从而，要使x(t)的估计值为x(t)的渐近估计，必须使（1）-（3)成立
14、。必要性得证。实际设计中，F，G可选，由(1)求出T要非奇异。H可由(2)算出。关键是要能从Sylvester方程方程 TA-FT=GC 求出非奇异的T。20结论结论2：设A和F无公共特征值 则条件(1)TA-FT=GC存在非奇异解T的充分必要条件是A,C能观，F,G可控。（系统为SISO时，该条件也是充分条件）证明略。21方案方案2-算法算法：.21,;,:4,:3,:2)()(,0)(,:1stepstepTTBHTstepTGCFTTAstepGFGstepAFFFstepqniiinn或返回奇异若则非奇若求出唯一解阵求解能控使选取且使选取22 一般，系统中总有一部分状态变量是可以直接量
15、测的。从而，只需构造维数小于n的观测器来得出另一部分状态变量（降维状态观测器）。如果 ，则有q个输出变量是相互独立的，那么由输出方程就能得出q个状态变量。例如极端情况 ，则后q个输出量就是状态变量，可量测；一般情况下，降维状态观测器的最小维数为 。三、降维状态观测器三、降维状态观测器 0qCIrankqC=nrankC1.降维状态观测器的构成降维状态观测器的构成-方案方案 1(,),rankq考虑系统，能观，A B CCA C1112xxDx=x=Qx=P xxyC引入非奇异变换，使新状态空间的状态量为：)n qnq n（变换阵 其中 为使 非奇异的任意矩阵DQDQC使新状态空间的输出矩阵为：
16、0qC=CP=I2311111122212221220q新状态空间有：2xxBAAxuxAABxxyIxx0q为什么一定有？CI1 00qq 因为 又可表示为：DC CPCQ=CCDCCICIC q维分状态向量 直接由y得出，而 维分状态向量 需要通过观测器重构。由上面式子可写出：2x()nq1x1111121211222xA xA yB uyA xA yB u121222为上述子系统的输入向令量为上述子 系统的输出向量vA yB u wyA yB u 241111211()n q于是上述-维子系统可写为：xA x w A x 为了重构(n-q)维状态向量 ，只要构造上述子系统的全维状态观测器
17、即可。1x 由于原系统能观，非奇异变换后仍然能观，它的部分状态变量构成的子系统当然也能观。所以能对上述子系统构造全维状态观测器。有：1112111121112122211211121222()()()()()()()xAMAxMwAMAxA yB uM yA yB uAMAxBMB uAMAyMy 上式含有输出的导数项，这对于观测器抗干扰及观测值的唯一性考虑都是不允许的，为此引入一个新的状态量新的状态量：1zxMy2511211212221121()()()zAMAzBMB uAMAAMAM y于是，降维状态观测器的方程可写为：或者写为：1121121222()()()()zAMAz+MyBM
18、B uAMAy而状态量的重构值为：12zMy yxxx如将非奇异变换矩阵表示为：112P=QPP则在原状态空间中状态量的重构值为：1212()zMyxPxPP yP zMyP y此即为(n-q)维降维状态观测器，也称 Luenberger观测器。26降维状态观测器结构图为：271111112212220q得：，BAAAP APBP BCCPIAAB 对原系统实施非奇异变换：1x=Px=Q x 写出降维状态观测器方程：11211212221121()()()zAMAzBMB uAMAAMAM y并按观测器极点配置算法求出M；写出状态量 的估计值 ：xx12xzMyx yx 经反变换求出原系统状态
19、 x 的估计值 ：x1212()zMyxPPP zMyP y y2.降维状态观测器（降维状态观测器（方案方案1）的设计算法）的设计算法 判别(A,C)的能观性，并确定q和 n-q：rankqC()1112 n q nq n 构造，任取但使 非奇异，并求出DQDQQPPC P PP Pn(n-q)nq281001001101001011000113系统 试设计一个降维状态观测器，希望极点为-。xxu yx例例6 6-2 2：21000111003012100013orankrankrank解：能观性判别 CSCACA1 0 020 1 1rankrankq 并有C3 21nq 291 非奇异变换
20、，得x=Px=Qx112001100011010 101100 构造变换矩阵 并求出DQCQPP1110001010,10,10102010001AP APBP BCCP11A12A21A22A1B2B0qI3001mm 令=,写出降维状态观测器方程：m*1100()()13 40sssmsmmm 由得：，可任取，如取 112112122211210101010101112101001122()()()010(1)(01)102100 00(1)011(1)1 2(2 )zzmmzmmmmmmmmuym zmmmm mmuy AmABmB uAmAAmAm y uy 11A21A1B2B12A
21、22A11A21A04m=即：1122223070163716uyzzzuyuy 降维观测器方程为：31122111222044yzzyyxzyyyy写出状态量 的估计值 为：x x myxyx11122222 010()1(4)013 100 4yyzzyzyyzy xPmyP y=:通过反变换得到 的估计值 x x32可以画出降维状态观测器如下：33其中其中 z 是降维状态观测器的是降维状态观测器的n-m维状态变量维状态变量;仿照前面介绍的全维状态观测器的设计方法，构造状态仿照前面介绍的全维状态观测器的设计方法，构造状态变量变量 的全维状态观测器如下的全维状态观测器如下:1()t x1zF
22、zGyHuxzLy 是该降维状态观测器的输出变量，即变换后的系是该降维状态观测器的输出变量，即变换后的系统的状态变量统的状态变量 的估计值的估计值;1()tx1()t x矩阵矩阵 F,G,H 和和 L 为适宜维数的待定常数矩阵。为适宜维数的待定常数矩阵。3.降维状态观测器的构成降维状态观测器的构成-方案方案2 234 降维状态观测器的结构图如下所示。降维状态观测器的结构图如下所示。B A C G y H F 线性线性变换变换P x 降维状态观测器降维状态观测器 x u+-z L z1 xx 图图 降维状态观测器的结构图降维状态观测器的结构图35 下面讨论如何选取下面讨论如何选取降维状态观测器降
23、维状态观测器(b)的各矩阵，才能使得的各矩阵，才能使得 11lim0txx1()LFGHLcxzyzyuyyxzL1将上式及将上式及y=代入式代入式(c),可得可得2x 和和由状态观测器方程由状态观测器方程(b)，有有22212211xuxxxxuxyxxLHGLFLHGLF1()FGHbL zzyuxzy36将式将式(d)减去上式减去上式,可得状态估计误差可得状态估计误差 所满足的动态所满足的动态方程方程11xx将状态空间模型中将状态空间模型中 所满足的状态方程代入上式所满足的状态方程代入上式,可得可得2x uxxxuxxuxxxx2222121122221212211BLHFLALGALF
24、BAALHGLF111111221121122221121111222212AABFLAGLAFLHLBALAFAGLAFLBHLBxxxxuxxxuxxxu1111121()AABdxxyu37若取若取则状态观测误差则状态观测误差 所满足的状态方程所满足的状态方程(e)可记为可记为11xx1121122212()FALAGALAFLeHBLB1111xxxxF因为因为11112111122221211()()ALAFAGLAFLBHLBfFxxxxxuxx38由式由式(f)可知，类似于前面所讨论的全维状态观测器，当可知，类似于前面所讨论的全维状态观测器，当矩阵对矩阵对 是状态完全可观的，则通
25、过矩阵是状态完全可观的，则通过矩阵L的选择的选择可任意配置矩阵可任意配置矩阵F 的特征值，即能使的特征值，即能使F的特征值都具有负的特征值都具有负实部。实部。1121(,)AA 由上式由上式(f)可知，欲使可知，欲使 渐近逼近渐近逼近 的充分必要条件的充分必要条件为矩阵为矩阵F 的全部特征值都具有负实部。的全部特征值都具有负实部。1()tx 1()tx因此矩阵因此矩阵L的选择方法与全维状态观测器中的反馈矩阵的选择方法与全维状态观测器中的反馈矩阵G的选取方法完全一致的选取方法完全一致,亦有相应的方法一和方法二。亦有相应的方法一和方法二。11211111()()FALAeFfxxxx39因此，由线
26、性系统的输出方程和降维状态观测器，我们因此，由线性系统的输出方程和降维状态观测器，我们可得状态变量向量可得状态变量向量 的如下估计值的如下估计值()tx yyzxL 则原系统的状态变量向量则原系统的状态变量向量x(t)的估计值为的估计值为 yyzxxLPP于是所设计的原系统的降维状态观测器为于是所设计的原系统的降维状态观测器为 yyzxuyzzLPHGF40 例例 设线性定常系统的状态方程为设线性定常系统的状态方程为 试设计一降维状态观测器，使其极点配置为试设计一降维状态观测器，使其极点配置为-3,-4。解解(1)将系统作结构分解。将系统作结构分解。由于由于rank C=1，且，且C 阵的最后
27、一个元素不为零，阵的最后一个元素不为零，所以不所以不必再重新排列状态变量，只要按虚线所示方式将系统分必再重新排列状态变量，只要按虚线所示方式将系统分解即可。解即可。xyuxx 111 01113141312121144441按式按式(h)构造变换矩阵构造变换矩阵P如下如下:相应地相应地111010001012112CCCIP1110100011P112120()IPhC CC42(2)计算计算 :(3)由式由式(b)可知，降维状态观测器的特征多项式为可知，降维状态观测器的特征多项式为ABC、和100011511120140011CPCBPBAPPA11211112222121()|001 11
28、10()f ssIFsIALALsLLsILLsLsLL sL1()FGHbL zzyuxzy43(4)由给定的期望特征值得期望的特征多项式为由给定的期望特征值得期望的特征多项式为f*(s)=(s+3)(s+3)=s2+7s+12 令令f(s)=f*(s),则可得则可得51221LLL(5)由由 F,G 和和 H 的计算公式的计算公式,可得降维状态观测器的各矩阵为可得降维状态观测器的各矩阵为 110512116014051256121255121245612121151201002122122111BLBHFLALAGALAF44于是所得的降维状态观测器为于是所得的降维状态观测器为 12121
29、401656011012015001FGHL zzyuzyuzyxzyy则原系统的状态变量向量则原系统的状态变量向量x的估计值为的估计值为 yzxx6512111001P452 引入观测器的状态反馈控制系统引入观测器的状态反馈控制系统 一、系统的构成一、系统的构成 控制系统由三部分组成：被控对象、状态观测器、状态反馈控制。结构图如下：46控制对象：xAxBuyCx()状态观测器（全维）：xAMC xBuMy 控制作用：uvKx ()即：xAxBKxBvxMCxAMCBK xBv yCx将三部分合在一起，即得含观测器的状态反馈控制系统：0kM ：xABKxBvMCAMCBKxBxxyCx47二、
30、系统的特性：二、系统的特性：1、系统的维数=原系统的维数+观测器的维数。系统的特征值集合=状态反馈系统的特征值集合+观测器的特征值集合。系统矩阵为：kmABKAMCAMCBK引入非奇异变换：100 nnnnnn有IIPPIIII1000 0nnkmkmnnnnnnnIIABKAPA PIIIIMCAMCBKIABKABKBKIIAMCAMCAMC有：det()det()det0 det()det()KMKMssssss 状态反馈的特征值观测器特征值IABKBKIAIAIAMCIABKIAMC 可见，系统的特征值由状态反馈系统的特征值和状态观测器的特征值二部分组成。482、由上式还可以得出结论结
31、论：通过K 配置系统特征值（闭环极点）和通过M配置观测器特征值（极点）是互相分离的，可以完全独立地进行。这就是分离性原理分离性原理(separation principle)。3、观测器的引入不改变不改变原状态反馈系统的传递函数矩阵传递函数矩阵。上面的讨论给出了 ，同样可得新状态空间的输入矩阵和输出矩阵：KMA100nKMKMnnIBBBP BIIB000nKMKMnnICCPCCII49 进一步分析可知，具有按能控性分解的形式，能控子系统为 ，观测器部分是不能控的。所以，观测器的引入使状态反观测器的引入使状态反馈控制系统不再保持能控性馈控制系统不再保持能控性。11111111()()()00
32、0()()()()000()()(KMKMKMKMKMKMKMKssssssssss GCIABCIABIA BKBKBCIAMCBIA BKIA BKBKIAMCCIAMCCIA BKBG)s1111100PQPP QRRR分块矩阵的求逆公式：分块矩阵的求逆公式：必发生了零极点相消现象，相消的n个极点是属于观测器的。由于观测器设计保证了其极点的渐近稳定性，所以零极点相消不影响闭环系统的正常运行。,KMKMKmABC,ABK B C 4、观测器为渐近等价，观测器动态特性将影响闭环系统动态特性，要求观测器的动态过程快于闭环系统的动态过程是合理的。通常把观测器特征值的负实部取为状态反馈系统特征值的
33、负实部的23倍。非奇异变换不改变传递函数矩阵，所以有：50 例例:给定线性定常系统给定线性定常系统 试设计带全维观测器的状态反馈系统，使反馈系统的试设计带全维观测器的状态反馈系统，使反馈系统的极点配置在极点配置在-1+j，-1-j，观测器的特征值为，观测器的特征值为-5，-5。51525354010000020100010004011000332121uyjj：设计一个引入降维状态观测器的状态反馈控制系统，要求：观测器极点为：-，-系统的闭环极点为：-，-，-xxx例例6 6-3 3解解：（1）独立设计降维状态观测器；1000010000200002o1)首先判断系统的能观性：，系统能观。Q4
34、133nqn q，设计 维状态观测器；552）构造非奇异变换矩阵Q,使变换后的0 0 0 1C对于该系统可以通过重新安排状态变量实现，即输出方程：1423324110000001xxxxyxxxx状态方程为：4433221104001100000200100100 xxxxuxxxx11A21A12A22A1B2B5611211212221121001122012()()()0401 100001 00020 10040 001000020mmmmummmmm zAmAzBmBuAmAAmAm yz0011221020101222120014041 10 002 12mmmmymmmm mmm
35、umm mymmmz观测器的特征多项式为：0321210224)det1(24)(24)02smssmsm smsmmsm (3）降维状态观测器的方程为5732()(3)(3 2)(3 2)93139sssjsjsss 由 求得：()()ss4）降维状态观测器的方程为期望的特征多项式应为：01237.517.59mmm ，1122330437.51267.51017.50120029146zzzzuyzz5）状态量 的重构值为：14112323232137.537.517.517.599zxzyzyxzyzxzyxyy xzMyx yx12xx=x586）再顺序安排状态变量，得状态量x的重构值
36、：1233241917.537.5xyxzyxzyxzyx（2）独立设计状态反馈控制；1）首先判别系统的能控性：0102102001041040cQ系统能控；2）由给定的期望闭环极点求得期望的闭环系统特征多项式为：*432()(1)(2)(1)(1)510104ssssj sjssss 593）由闭环系统动态方程写出的闭环系统特征多项式为：012301231230231230234321302101002()det()det001422 010144 ()(4)22skskkkssskkkskskkkkkkssskkskkkskskk skksk sk IAbk4）由 求得：*()()ss01
37、23251610kkkk ，（3）引入状态观测器的状态反馈控制为：251610uvv kx=x6011123223233410437.51267.591017.50120 17.502914637.5xyzzxzyzzuyxzyzzxzy010000020110000001000401uy，xxx被控对象：观测器：251610uvv kx=x控制作用：61可画出引入观测器的状态反馈控制系统的状态变量图：623 状态最优估计状态最优估计 一、状态估计一、状态估计(state estimation)问题的描述问题的描述()()()()()()()ttttttt xAxBuFww(t)为m维随机干扰
38、(噪声)向量，称为系统（输入）噪声系统（输入）噪声；状态方程：测量方程：()()()()tttty=Cx+v(t)为q维随机干扰（噪声）向量，称为测量噪声测量噪声；所谓状态估计状态估计就是根据测量值y(t)及随机干扰的统计特性，对系统的状态量进行估计，得出尽量接近状态量真实值x(t)的估计值 。()tx 希望在一定准则函数下作出的估计最好，即最优估计最优估计(optimal estimation)。最优估计的解通过准则函数极小化（或极大化）得出。用准则函数（或指标函数）来衡量估计的好坏。不同的准则函数对应得出不同的估计方法。63二、最小二乘估计二、最小二乘估计误差平方和最小误差平方和最小作为准
39、则函数。对系统进行k次测量，记第i次测量为：iiiy=C x+k 次测量后，可得：111222kkkyCyCxyC 1kqkqn1kq()()()xyCxW yCxTJ以加权误差平方和加权误差平方和（按测量值的精度分配权值）最小最小作为准则函数：202C WyC WCx=x TTJ1()TTx=C WCC Wy1、静态最小二乘估计、静态最小二乘估计 假设了测量过程中x不变 641.上面关于状态x的估计值 由系统的 k 次测量估计值计算出来，这里假设了 k 次测量过程中系统状态变量 x 不变，所以是对静态状态值的估计。2.最小二乘估计仅仅根据一定数量的测量值就能够得出状态量的估计值，而且不需要关
40、于测量噪声的统计特性，特别适用于测量噪声的统计规律未知的情况。3.如果测量噪声是零均值的，即 Ev=0，则最小二乘是无偏估计无偏估计，估计的无偏性保证了由不同测量值序列得出的估计值 总是在状态变量 x 附近波动，而多次估计值的平均值应无限接近于 x。静态最小二乘估计的性质静态最小二乘估计的性质 1111()()()()TTTTTTTTEE CxvCE xCEExvxE xC WCC WyC WCC WC WCC WC WCC W x x652、动态最小二乘估计、动态最小二乘估计实际控制系统状态量是变化的，变化规律由系统状态方程决定：线性定常离散系统，下标表示时间，仅考虑测量噪声 输入为确定性输
41、入时，可设 0u=1iiiiixGxyCx 0ii kiiiikiyCxCG xCGx 0i kiikxGx=G x考虑到 ，有：i kiikyCxCGx1()()()ki kTi kkikiikiJxyCGxW yCGx12()()0ki kTTi kiikikJ GC W yCGx=x111()()xGC WCGGC W ykki kTTi ki kTTkiiiii得：111()()kki kTTi ki kTTkiiixGC CGGC yW=I 时为：当同时考虑系统噪声可得到类似的结果。66 由测量序列 求得估计值 的基础上，利用新测量值利用新测量值 对 的修正修正得出新估计值 ，解决了
42、存储量和计算量不断增大的问题解决了存储量和计算量不断增大的问题。3、最小二乘估计的递推算法、最小二乘估计的递推算法 12,ky yykx1kykx1kx以 W=I 的动态估计为例：11111111111111111111111()()()()()()()()GC CGxGC CGGC yGC CGC CGC yC yGGC CGGC yC y ki kTTi ki kTTkiiiki kTTi kTi kTTTikiikTTTi kTTTki kTTi kiikikk令：1xGxkkk11)(GC CPGki kTTi kik1PGPGTkkk 静/动态最小二乘估计都同时用测量值的全体值，特别
43、是动态估计中，当测量次数k很大时，存储量和计算量都很大，给估计带来困难。67考虑用 替代 ，上式为：11111111 xC CPCxyPTTkkkkkkkki kikyCGxiy1111111()PCICPxxyCxCkkkkkTTkkkkk1111KPCICPCTTkkkkk再令：11111()xxKyCxkkkkkkk则有：11111111111()PIKCGCPCGP+C C ki kTTi kTikkkkkk还可推导出：递推算法：kx1 xkkkP1Pkk1kK1kx1kP111111()()ABCAA B ICA BCA利用矩阵求逆引理矩阵求逆引理可得68三、线性最小方差估计三、线性
44、最小方差估计 估计值的方差最小估计值的方差最小作为准则函数。方差表示各个估计值对其平均值的偏离程度，当选用估计值的最小方差作为准则函数时，比最小二乘估计效果更好。当估计误差与估计值正交时，估计值的方差最小，估计最优。一般需要已知系统噪声、测量噪声的概率密度以及它们的联合概率密度，较难满足。x 如果估计值估计值 是测量值是测量值 y 的线性函数的线性函数，则只需事先知道系统噪声和测量噪声的一、二阶矩一、二阶矩。假设估计值是测量值的线性函数：x=a+By()()()()TTEVarEa+Byx a+Byxxxxxx估计值的方差估计值的方差：x xxxx线性最小方差估计的几何意义线性最小方差估计的几
45、何意义,)(yxxproj()xx y。6911111 (,)(,)(,)()(,)(,)()(,)(,)()()(,)()(,)()(,)TTTTTVarVarCovCovCovVarCovCovVarCovCovVarVarCovVarVarCovVarCov=bbxBy Bx y BBy xx yyy xx yyy xBx yyyBx yybbxx yyy x()Var x0b1(,)()CovVarBx yy要求 最小，必须有：此时，有上式得：1 (,)()()EEECovVarEx=a+By=xBy+By=xx yyyy TVarVaryy(,)(,)TCovCovx yy x 在已
46、知状态量和测量（或者系统噪声和测量噪声）的一、二阶矩时，就能得到状态量的线性最小方差估计值。()()()()()(,)(,)TTTTVarEEEEEVarVarCovCovxbxxB yybxxB yybbxBy Bx y BBy x EEbaxBy令：则：协方差70四、卡尔曼滤波四、卡尔曼滤波 Kalman Filtering 卡尔曼滤波是基于线性最小方差估计线性最小方差估计的一种递推算法递推算法。在几何上Kalman滤波估计值可以看出是状态变量在由观测生成的线性空间上的投影。离散系统的卡尔曼滤波算法易于利用计算机实现，为实际应用提供了可能性。卡尔曼滤波已经在阿波罗登月计划等实际系统中得到广
47、泛应用。,11,11kk kkk kkkkkk-xxFwyC x 确定性输入，设 0u=,1k k-为一步转移矩阵为一步转移矩阵 系统噪声和测量噪声为零均值的白噪声，它们相互独立，并与状态量也不相关。假设系统状态方程和输出方程为71111111111111()kkkiikkkkkkiikaaaaaaaaakkkkkk1一步预测与一步预测与新息新息一步一步预测预测 一步预一步预测误差测误差 新息新息 加权修加权修正系数正系数 11()xxKyC xkkkkk kk k一步一步预测预测 一步预一步预测误差测误差 增益增益矩阵矩阵,11,11()kk kkkkkk kk-xxKyC x,111k k
48、kk k-xx估计值：新息新息 新息新息(innovation)包含了全部误差的信息，反映了预测值和实际值之间的不一致程度。1()kkk ke k=yC x72)(ky)1(kky()()(1)ky ky k k新息(k)的几何意义定理定理：新息序列(k)是零均值白噪声。注：白噪声是指功率谱密度在整个频域内均匀分布的噪声。所有频率具有相同能量的随机噪声称为白噪声白噪声。73与 、不相关，则：2估计误差协方差阵估计误差协方差阵,11,11,11,11 ()()()()()kkkkk kkkkkkk kkkkkk kkkkkkkkkk kkkk-xxxxxK yK C xIK CxxKC xyIK
49、 CxxK 估计误差：kkkkyC x 估计误差的协方差阵,11,11()()()()()()TTTTkkkk kkkkkkTkkkkkkkkkkkEE-PIK CxxKxxIKxxxCKx,11,11,11,11()()()()()()()()TTTTkkkkk kkkk kkkkkkkkTTTkkkk kkkk kkkkkkkEEE-PIK CxxxxIK CKKIK CxxxxIK CK R K k kx1kx TkkkE R 74又 与 、不相关，可得：11111()()TTkkkkkkkkk kTTTTTkkkkkkkkkkkk kk kk kk kPIK C PIK CK R KP
50、K C PPC KK C PC KK R K得：,11,11,11,11,11,11,111,1111,11,1,111111()()()()()()PxFwxxFwxxxFwxxwFxxxxTk kkk kkk kkk kkk kkk kkTTTTk kkkk kkkkk kkk kTk kkkkkkk kEEE-,11,1,11,1,1,111 P FQFFQFTTk kTTkk kkk kkk kk kkk k1kw1kx1kx111TkkkEwwQ 一步预测误差的协方差阵一步预测误差的协方差阵 ,11,11111()()()()xxxxxxxxPTTkk kkkk kkkkk kkk
