1、4.4生活中的优化问题举例生活中的优化问题举例问题提出问题提出t57301p2 1.1.在什么条件下，函数在什么条件下，函数f(x)f(x)在闭区间在闭区间aa，bb上一定存在最大值和最小值？上一定存在最大值和最小值？函数函数y yf(x)f(x)的图象是一条连续不断的曲线的图象是一条连续不断的曲线 2.2.如果在闭区间如果在闭区间aa，bb上函数上函数y yf(x)f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么如的图象是一条连续不断的曲线，那么如何求出函数何求出函数f(x)f(x)在区间在区间aa，bb上的最大上的最大值和最小值？值和最小值？将函数将函数f(x)f(x)在开区间（在开区间（a a，
2、b b）上的所有极值）上的所有极值与区间端点函数值进行比较，其中最大者为与区间端点函数值进行比较，其中最大者为最大值，最小者为最小值最大值，最小者为最小值.3.3.生活中经常遇到求利润最高，产量最生活中经常遇到求利润最高，产量最大，成本最低，用料最省等实际问题，大，成本最低，用料最省等实际问题，这些问题通常称为这些问题通常称为优化问题优化问题.解决优化问解决优化问题的本质就是求函数的最值，因此，以题的本质就是求函数的最值，因此，以函数为载体导数为工具，解决生活中的函数为载体导数为工具，解决生活中的优化问题，是数学应用领域的一个重要优化问题，是数学应用领域的一个重要课题课题.探究（一）：探究（一
3、）：海报版面尺寸的设计海报版面尺寸的设计【背景材料】【背景材料】学校或班级举行活动，通学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传常需要张贴海报进行宣传.现让你设计一现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为心面积为128dm128dm2 2，上、下两边各空，上、下两边各空2dm2dm，左、右两边各空左、右两边各空1dm.1dm.思考思考1 1：版心面积为定值版心面积为定值128dm128dm2 2，海报，海报的面积是否也为定值？的面积是否也为定值？思考思考2 2：设版心的高为设版心的高为x x，则海报的面积，则海报的面积为多少？海报四周空白的面积
4、为多少？为多少？海报四周空白的面积为多少？128(4)(2)xx+128(4)(2)128xx+-思考思考3 3：设海报四周空白的面积为设海报四周空白的面积为S(x)S(x)，则则S(x)S(x)的最简表达式如何？其定义域是的最简表达式如何？其定义域是什么？什么？512()28,0S xxxx=+思考思考4 4：海报四周空白的面积海报四周空白的面积S(x)S(x)是否存是否存在最值？若存在，如何求其最值？在最值？若存在，如何求其最值？512()28,0S xxxx=+思考思考5 5：如何设计海报的尺寸，才能使四如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？周空白面积最小？版心高为版心高为16dm
5、16dm，宽为宽为8dm8dm时，时，探究（二）：探究（二）：饮料瓶大小对饮料公司利饮料瓶大小对饮料公司利润的影响润的影响【背景材料】【背景材料】某制造商制造并出售球形某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是0.8r20.8r2分，其中分，其中r(r(单位：单位：cm)cm)是瓶子的是瓶子的半径半径.已知每出售已知每出售1mL1mL的饮料，制造商可的饮料，制造商可获利获利0.20.2分，且制造商能制作的瓶子的最分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为大半径为6cm.6cm.思考思考1 1：1mL1mL饮料所占的体积是多少饮料所占的体积是多少cmcm3
6、3？半径为半径为r r的瓶子最多能装多少的瓶子最多能装多少mLmL的饮料？的饮料？思考思考2 2：每瓶满装的饮料的利润每瓶满装的饮料的利润(单位：单位：分分)是多少？是多少？3240.20.83rrpp-343rp思考思考3 3：设每瓶满装饮料的利润为设每瓶满装饮料的利润为f(r)f(r)，则函数则函数f(r)f(r)的定义域是什么？的定义域是什么？（0 0，6 6 思考思考4 4：函数函数是否存在最值？若存在，如何求其最值？是否存在最值？若存在，如何求其最值？32()0.8()(06)3rf rrrp=-m i n3.2()(2)3f xfp=-m ax()(6)28.8f xfp=思考思考
7、5 5：函数函数的大致图象是什么？据图象分析，瓶子的大致图象是什么？据图象分析，瓶子半径的大小对制造商的利润产生什么影半径的大小对制造商的利润产生什么影响？响？32()0.8()(06)3rf rrrp=-O Ox xy y2 23 36 6当当0 0r r3 3时，利润为负时，利润为负值；当值；当r r3 3时，利润为时，利润为零；当零；当r r3 3时，利润为时，利润为正值，并随着瓶子半径正值，并随着瓶子半径的增大利润也相应增大的增大利润也相应增大.思考思考6 6：市场上等量的小包装的物品一般市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些（如半斤装的白酒比比大包装的要贵些（如半斤装的白酒比一
8、斤装的白酒平均价格要高），在数学一斤装的白酒平均价格要高），在数学上有什么道理？上有什么道理？将包装盒捏成球状，因为小包装的半径将包装盒捏成球状，因为小包装的半径小，其利润低，生产商就提高销售价格小，其利润低，生产商就提高销售价格来平衡与大包装的利润来平衡与大包装的利润.探究（三）：探究（三）：磁盘的最大存储量问题磁盘的最大存储量问题【背景材料】【背景材料】计算机把信息存储在磁盘计算机把信息存储在磁盘上，磁盘是带有磁性介质的圆盘，并由上，磁盘是带有磁性介质的圆盘，并由操作系统将其格式化成磁道和扇区操作系统将其格式化成磁道和扇区.磁道磁道是指不同半径所构成的同心圆轨道，扇是指不同半径所构成的同心
9、圆轨道，扇区是指被圆心角分割成的扇形区域区是指被圆心角分割成的扇形区域.磁道磁道上的定长的弧可作为基本存储单元，根上的定长的弧可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据据其磁化与否可分别记录数据0 0或或1 1，这，这个基本单元通常称为比特，磁盘的构造个基本单元通常称为比特，磁盘的构造如图所示如图所示.为了保障磁盘的分辨率，磁道之间为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必须大于的宽度必须大于m m，每比特所占用的磁道，每比特所占用的磁道长度不得小于长度不得小于n.n.为了数据检索的方便，为了数据检索的方便，磁盘格式化时要求所有磁道具有相同的磁盘格式化时要求所有磁道具有相同的比特数比特数.R
10、 Rr r思考思考1 1：现有一张半径为现有一张半径为R R的磁盘，它的的磁盘，它的存储区是半径介于存储区是半径介于r r与与R R的环形区域，且的环形区域，且最外面的磁道不存储任何信息，那么这最外面的磁道不存储任何信息，那么这张磁盘的磁道数最多可达多少？张磁盘的磁道数最多可达多少？R Rr rRrm-思考思考2 2：由于每条磁道上的比特数相同，由于每条磁道上的比特数相同，那么这张磁盘存储量的大小取决于哪条那么这张磁盘存储量的大小取决于哪条磁道上的比特数？磁道上的比特数？最内一条磁道最内一条磁道.思考思考3 3：要使磁盘的存储量达到最大，那要使磁盘的存储量达到最大，那么最内一条磁道上的比特数为
11、多少？么最内一条磁道上的比特数为多少？R Rr r2rnp思考思考4 4：这张磁盘的存储量最大可达到多这张磁盘的存储量最大可达到多少比特？少比特？2Rrrmnp-思考思考5 5：若若R R为定值，为定值，r r为变量，那么这张为变量，那么这张磁盘的存储量磁盘的存储量如何变化？有何最值？如何变化？有何最值？2()()(0)f rr RrrRm np=-2Rr=时，存储量最大时，存储量最大.R Rr r思考思考6 6：如果每条磁道存储的信息与磁道如果每条磁道存储的信息与磁道的长度成正比，那么如何计算磁盘的存的长度成正比，那么如何计算磁盘的存储量？此时，是不是储量？此时，是不是r r越小，磁盘的存储
12、越小，磁盘的存储量越大？量越大？R Rr r22()2()()()()rrmRmf rnnnRrmRrm npppp+-=+=+-L2mr=时，存储量最大时，存储量最大.理论迁移理论迁移例例 某汽车制造厂有一条价值为某汽车制造厂有一条价值为6060万元万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提的汽车生产线，现要通过技术改造来提高其生产能力，进而提高产品的增加值高其生产能力，进而提高产品的增加值.已知投入已知投入x x万元用于技术改造，所获得的万元用于技术改造，所获得的产品的增加值为产品的增加值为(60(60 x)xx)x2 2万元，并且技万元，并且技改投入比率改投入比率 .求当技改投入求当技改投入
13、多少万元时，所获得的产品的增加值为多少万元时，所获得的产品的增加值为最大？最大？(0,560 xx技改投入技改投入4040万元万元 小结作业小结作业1.1.解决优化问题的基本思路：解决优化问题的基本思路：优化问题优化问题用函数表示的数学问题用函数表示的数学问题优化问题的答案优化问题的答案用导数解决数学问题用导数解决数学问题2.2.解决优化问题的实质是将实际问题解决优化问题的实质是将实际问题化归为函数的最值问题来处理，其探究化归为函数的最值问题来处理，其探究过程是一个典型的数学建模过程过程是一个典型的数学建模过程.对目标对目标函数的最值，要根据函数式的特点，用函数的最值，要根据函数式的特点，用适
14、当的方法求解，有时用基本不等式或适当的方法求解，有时用基本不等式或二次函数图象求最值比用导数更方便二次函数图象求最值比用导数更方便.3.3.对优化问题中的函数关系，要注意对优化问题中的函数关系，要注意根据实际背景确定函数的定义域，如果根据实际背景确定函数的定义域，如果目标函数在定义域内只有一个极值点，目标函数在定义域内只有一个极值点，则这个极值点一般就是最值点则这个极值点一般就是最值点.例例1 1 一艘轮船在航行中每小时的燃料一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速费和它的速度的立方成正比，已知在速度为每小时度为每小时10km10km时，燃料费是每小时时，燃料费是每小时6
15、 6元，元，其它与速度无关的费用是每小时其它与速度无关的费用是每小时9696元，元，问此轮船以何种速度航行时，能使每行问此轮船以何种速度航行时，能使每行驶驶1km1km的总费用最小？的总费用最小？20km/h 20km/h 例例2 2 用总长为用总长为14.8m14.8m的钢条制作一个长的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作的容器的方体容器的框架，如果所制作的容器的底面的一边比另一边长底面的一边比另一边长0.5m0.5m，那么当容，那么当容器的高为多少时，其容积最大？最大容器的高为多少时，其容积最大？最大容积为多少？积为多少？高为高为1.2m1.2m，最大容积为，最大容积为1.8m1.8m
16、3 3.例例3 3如图所示，一条宽为如图所示，一条宽为1m1m的走廊与的走廊与另一条走廊垂直相连，要使一条长为另一条走廊垂直相连，要使一条长为8m8m的细杆能水平通过拐角，问另一条走廊的细杆能水平通过拐角，问另一条走廊的宽度至少为多少的宽度至少为多少m m？细杆细杆走廊走廊走廊走廊1m1m3 3m作业：作业：P37P37习题习题1.4A1.4A组：组：1 1，2 2，3.3.85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。约翰B塔布 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻
17、子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。戴尔卡内基 87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。贾柯瑞斯 88.每个意念都是一场祈祷。詹姆士雷德非 89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。柏格森 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。托尔斯泰 91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。兰斯顿休斯 92.生活的艺术较
18、像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。玛科斯奥雷利阿斯 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。约翰纳森爱德瓦兹 94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。约翰拉斯金 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。威廉班 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。萧伯纳 97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨
19、我的人.以及对我冷漠的人。爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。JE丁格 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。英国哲学家培根 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。马塞尔普劳斯特 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。罗丹 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。托尔斯泰 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一
20、番新的气候。叔本华 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。梭罗 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。威廉彭 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。戴尔卡内基 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。约翰罗伯克 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄
21、会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。撒母耳厄尔曼 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。卡雷贝C科尔顿 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。戴尔卡内基 110.每天安静地坐十五分钟倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。艾瑞克佛洛姆 111.你知道何谓沮丧-就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。坎伯 112.伟大这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。布鲁克
22、斯 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。罗根皮沙尔史密斯 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。阿萨赫尔帕斯爵士 115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。威廉海兹利特 116.昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。凯里昂 117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。BC福比斯 118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激奋
23、的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。迈可汉默 119.进步不是一条笔直的过程，而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。奥古斯汀 120.无论那个时代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得以持续的力量。史迈尔斯 121.有两种人是没有什么价值可言的：一种人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去做的事。CHK寇蒂斯 122.对于不会利用机会的人而言，机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成为不会孵化的蛋。乔治桑 123.未来不是固定在那里等你趋近的，而是
24、要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需要开拓，开路的过程，便同时改变了你和未来。约翰夏尔 124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。道格拉斯米尔多 125.大凡宇宙万物，都存在着正、反两面，所以要养成由后面.里面，甚至是由相反的一面，来观看事物的态度。老子 126.在寒冷中颤抖过的人倍觉太阳的温暖，经历过各种人生烦恼的人，才懂得生命的珍贵。怀特曼 127.一般的伟人总是让身边的人感到渺小；但真正的伟人却能让身边的人认为自己很伟大。G.K.Chesteron 128.医生知道的事如此的少，他们的收费却是如此的高。马克吐温 129.问题不在于：一个人能够轻蔑、藐视或批评什么，而是在于：他能够喜爱、看重以及欣赏什么。约翰鲁斯金
