1、第五章相似矩阵及二次型1 向量的内积、长度及正交性向量的内积、长度及正交性向量的内积定义：设有n 维向量令 x,y=x1 y1+x2 y2+xn yn，则称 x,y 为向量 x 和 y 的内积说明：内积是两个向量之间的一种运算，其结果是一个实数 内积可用矩阵乘法表示：当x 和 y 都是列向量时，x,y=x1 y1+x2 y2+xn yn=xT y 1122,nnxyxyxyxy定义：设有 n 维向量令则称 x,y 为向量 x 和 y 的内积1122,nnx yx yx yx y 向量的内积1122,nnxyxyxyxy 1212,nnyyxxxy Tx y x,y=x1 y1+x2 y2+xn
2、 yn=xT y内积具有下列性质（其中 x,y,z 为 n 维向量，l 为实数）：l对称性：x,y=y,xl线性性质：l x,y=lx,y x+y,z=x,z+y,z l当 x=0（零向量）时，x,x=0；当 x 0（零向量）时，x,x 0l施瓦兹（Schwarz）不等式x,y2 x,x y,y11221122,nnnnx yx yx yx yy xy xy xy x x,y=x1 y1+x2 y2+xn yn=xT y内积具有下列性质（其中 x,y,z 为 n 维向量，l 为实数）：l对称性：x,y=y,xx,y=x1 y1+x2 y2+xn yn=xT y内积具有下列性质（其中 x,y,z
3、 为 n 维向量，l 为实数）：l对称性：x,y=y,xl线性性质：l x,y=lx,y x+y,z=x,z+y,z,()(),TTTx yxyxyx yx yllllllllll,()()()(),TTTTTxy zxyzxyzx zy zx zy zx,y=x1 y1+x2 y2+xn yn=xT y内积具有下列性质（其中 x,y,z 为 n 维向量，l 为实数）：l对称性：x,y=y,xl线性性质：l x,y=lx,y x+y,z=x,z+y,z l当 x=0（零向量）时，x,x=0；当 x 0（零向量）时，x,x 0 x,x=x12+x22+xn2 0 x,y=x1 y1+x2 y2+
4、xn yn=xT y内积具有下列性质（其中 x,y,z 为 n 维向量，l 为实数）：l对称性：x,y=y,xl线性性质：l x,y=lx,y x+y,z=x,z+y,z l当 x=0（零向量）时，x,x=0；当 x 0（零向量）时，x,x 0l施瓦兹（Schwarz）不等式x,y2 x,x y,y回顾：线段的长度2212|,OPxxx xx1x2x1x2x3P(x1,x2)OPO若令若令 x=(x1,x2)T，则，则222123|,OPxxxx x若令若令 x=(x1,x2,x3)T，则，则x,x=x12+x22+xn2 0 2,xxxxx xx xlllll lllllll ll向量的长度
5、定义：令称|x|为 n 维向量 x 的长度（或范数）当|x|=1时，称 x 为单位向量向量的长度具有下列性质：非负性：当 x=0（零向量）时，|x|=0；当 x0（零向量）时，|x|0 齐次性：|l x|=|l|x|22212|,0nx xxxxx2|,|,|xxxx xx xxlllllllll ll l向量的长度定义：令称|x|为 n 维向量 x 的长度（或范数）当|x|=1时，称 x 为单位向量向量的长度具有下列性质：非负性：当 x=0（零向量）时，|x|=0；当 x 0（零向量）时，|x|0 齐次性：|l x|=|l|x|三角不等式：|x+y|x|+|y|22212|,|nx xxxx
6、xxyx+yy向量的正交性施瓦兹（Schwarz）不等式x,y2 x,x y,y=|x|y|当 x 0 且 y 0 时，定义：当 x 0 且 y 0 时，把称为 n 维向量 x 和 y 的夹角当 x,y=0，称向量 x 和 y 正交结论：若 x=0，则 x 与任何向量都正交,arccos|x yxy ,1|x yxy xy 定义：定义：两两正交的非零向量组成的向量组成为两两正交的非零向量组成的向量组成为正交向量组正交向量组定理：定理：若若 n 维向量维向量a1,a2,ar 是一组两两正交的非零向量，是一组两两正交的非零向量，则则 a1,a2,ar 线性无关线性无关证明：证明：设设 k1a1+k
7、2a2+kr ar=0（零向量）（零向量），那么，那么 0=a1,0=a1,k1a1+k2a2+kr ar =k1 a1,a1+k2 a1,a2+kr a1,ar =k1 a1,a1+0+0 =k1|a1|2从而从而 k1=0同理可证，同理可证，k2=k3=kr=0综上所述，综上所述，a1,a2,ar 线性无关线性无关例：例：已知已知3 维向量空间维向量空间R3中两个向量中两个向量 正交，试求一个非零向量正交，试求一个非零向量a3，使，使a1,a2,a3 两两正交两两正交分析：分析：显然显然a1a2 解：解：设设a3=(x1,x2,x3)T，若，若a1a3，a2a3，则，则 a1,a3=a1T
8、 a3=x1+x2+x3=0 a2,a3=a2T a3=x1 2 x2+x3=012111,211aa 12311101210 xAxxx 12311101210 xAxxx 111111111101121030010010rrr得得从而有基础解系从而有基础解系 ，令，令 1320 xxx 101 3101a 定义：定义：n 维向量维向量e1,e2,er 是向量空间是向量空间 中的向量，中的向量，满足满足 e1,e2,er 是向量空间是向量空间 V 中的一个基（最大无关组）；中的一个基（最大无关组）；e1,e2,er 两两正交；两两正交；e1,e2,er 都是单位向量，都是单位向量，则称则称
9、e1,e2,er 是是V 的一个的一个规范正交基规范正交基例：例：是是 R4 的一个规范正交基的一个规范正交基nVR 123410000100,00100001eeee 也是也是 R4 的一个规范正交基的一个规范正交基1234001212001212,121200001212eeee 123411110111,00110001eeee 是是 R4 的一个基，但不是规范正交基的一个基，但不是规范正交基设设 e1,e2,er 是向量空间是向量空间 V 中的一个中的一个正交基正交基，则，则V 中任意一中任意一个向量可唯一表示为个向量可唯一表示为 x=l l1e1+l l2e2+l lrer于是于是特
10、别地，若特别地，若 e1,e2,er 是是V 的一个的一个规范正交基规范正交基，则，则问题：问题：向量空间向量空间 V 中的一个基中的一个基 a1,a2,ar 向量空间向量空间 V 中的一个规范正交基中的一个规范正交基 e1,e2,er2,1,2,|iiiiiix ex eire eel l,1,2,iix eirl l求规范正交基的方法第一步：正交化施密特（Schimidt）正交化过程设 a1,a2,ar 是向量空间 V 中的一个基，那么令11ba a1b1a2a3c2b2c3c31c32b3122222111,b abacabb b3333313213233121122,bacaccb a
11、b aabbb bb b基基正交基正交基规范正交基规范正交基b1c2a2b2返回返回令令 c2 为为 a2 在在 b1 上的投影，则上的投影，则 c2=l l b1，若令若令 b2=a2 c2=a2 l l b1，则，则 b1b2 下面确定下面确定l l 的值因为的值因为所以所以 ，从而，从而2121121110,b bab ba bb bllll2111,a bb bl l 12222212111,b abacababb bl la2b1 第一步：正交化施密特（Schimidt）正交化过程设 a1,a2,ar 是向量空间 V 中的一个基，那么令于是 b1,b2,br 两两正交，并且与a1,a
12、2,ar 等价，即 b1,b2,br 是向量空间 V 中的一个正交基特别地，b1,bk 与a1,ak 等价（1 k r）121112212111,rrrrrrrrrb ab abab bb bbabbbbb 11ba 122222111,b abacabb b第二步：单位化第二步：单位化设设 b1,b2,br 是向量空间是向量空间 V 中的一个中的一个正交基正交基，那么令，那么令因为因为从而从而 e1,e2,er 是向量空间是向量空间 V 中的一个中的一个规范正交基规范正交基112212111,|rrrebebebbbb21111111221111|111,1|be ebbb bbbbb111
13、|,1ee e例：例：设设 ，试用施密特正交化，试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化过程把这组向量规范正交化解：解：第一步正交化，取第一步正交化，取1231142,3,1110aaa 111222111132333121122111,45321,631114111,151212 0,330111bab ababb bb ab ababbb bb b 例：例：设设 ，试用施密特正交化，试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化过程把这组向量规范正交化解：解：第二步单位化，令第二步单位化，令1231142,3,1110aaa 1112223331112|611111|311110|21ebbeb
14、bebb 例：例：已知已知 ，试求非零向量，试求非零向量a2,a3，使，使a1,a2,a3 两两正交两两正交.解：解：若若a1a2，a1a3，则，则 a1,a2=a1T a2=x1+x2+x3=0 a1,a3=a1T a3=x1+x2+x3=0即即a2,a3 应满足方程应满足方程 x1+x2+x3=0 基础解系为基础解系为把基础解系正交化即为所求把基础解系正交化即为所求1111a 12100,111231110,2211aa（以保证（以保证 a2a3 成立）成立）定义：定义：如果如果 n 阶矩阵阶矩阵 A 满足满足 ATA=E，则称矩阵则称矩阵 A 为为正交矩阵正交矩阵，简称，简称正交阵正交阵
15、 即即 A1=AT，于是于是从而可得从而可得n方阵方阵A 为正交阵的充分必要条件是为正交阵的充分必要条件是 A 的的列向量列向量都是单位向都是单位向量，且两两正交量，且两两正交1,(,1,2,)0,Tijijija aa ai jnij 即即 A 的的列向量组列向量组构成构成Rn 的规范正交基的规范正交基 1111212212221212100010,001TTTTnTTTTTnnTTTTnnnnnaa aa aa aaa aa aa aA Aa aaaa aa aa a定义：定义：如果如果 n 阶矩阵阶矩阵A 满足满足 ATA=E，即即 A1=AT，则称矩阵则称矩阵A 为为正交矩阵正交矩阵，
16、简称，简称正交阵正交阵 n方阵方阵A 为正交阵的充分必要条件是为正交阵的充分必要条件是 A 的的列向量列向量都是单位向都是单位向量，且两两正交即量，且两两正交即 A 的的列向量组列向量组构成构成Rn 的规范正交基的规范正交基.因为因为ATA=E 与与AAT=E 等价，所以等价，所以1,(,1,2,)0,Tijijijb bb bi jnij 1111212212221212100010,001TTTTnTTTTTnnTTTTnnnnnbb bb bb bbb bb bb bAAb bbbb bb bb b定义：定义：如果如果 n 阶矩阵阶矩阵A 满足满足 ATA=E，即即 A1=AT，则称矩阵
17、则称矩阵A 为为正交矩阵正交矩阵，简称，简称正交阵正交阵 n方阵方阵A 为正交阵的充分必要条件是为正交阵的充分必要条件是 A 的的列向量列向量都是单位向都是单位向量，且两两正交即量，且两两正交即 A 的的列向量组列向量组构成构成Rn 的规范正交基的规范正交基n方阵方阵A 为正交阵的充分必要条件是为正交阵的充分必要条件是 A 的的行向量行向量都是单位向都是单位向量，且两两正交量，且两两正交 即即 A 的的行向量组行向量组构成构成Rn 的规范正交基的规范正交基.121200121200001212001212P 例：例：正交矩阵正交矩阵R4 的一个规范正交基的一个规范正交基123400121200
18、1212,121200001212eeee|()()|TTTTTyy yPxPxx P Pxx xx正交矩阵具有下列性质：正交矩阵具有下列性质：若若 A 是正交阵，则是正交阵，则 A1 也是正交阵，且也是正交阵，且|A|=1 或或1 若若 A 和和B是正交阵，则是正交阵，则 A 和和 B 也是正交阵也是正交阵定义：定义：若若 P 是正交阵，则线性变换是正交阵，则线性变换 y=Px 称为称为正交变换正交变换经过正交变换，线段的长度保持不变（从而三角形的形状保经过正交变换，线段的长度保持不变（从而三角形的形状保持不变），这就是正交变换的优良特性持不变），这就是正交变换的优良特性表示一个从变量表示一
19、个从变量 到变量到变量 线性变换，线性变换，其中其中 为常数为常数.n 个变量个变量 与与 m 个变量个变量 之间的之间的关系式关系式12,myyy11111221221122221122,.nnnnmmmmnnya xa xa xya xa xaxyaxaxax ija12,nxxx12,myyy12,nxxx11111221221122221122,.nnnnmmmmnnya xa xa xya xa xaxyaxaxax 111212122211nnmmmnaaaaaaAaaa 系数矩阵系数矩阵 线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.返回返回2 方阵的
20、特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量引言 纯量阵 lE 与任何同阶矩阵的乘法都满足交换律，即(lEn)An=An(lEn)=lAn 矩阵乘法一般不满足交换律，即AB BA 数乘矩阵与矩阵乘法都是可交换的，即l(AB)=(lA)B=A(lB)Ax=l x?例：34003422,123002311l l 一、基本概念定义：设 A 是 n 阶矩阵，如果数 l 和 n 维非零向量 x 满足Ax=l x，那么这样的数 l 称为矩阵 A 的特征值，非零向量 x 称为 A 对应于特征值 l 的特征向量例：则 l=1 为 的特征值，为对应于l=1 的特征向量.342212311 3423 21 一、基本概念
21、定义：设 A 是 n 阶矩阵，如果数 l 和 n 维非零向量 x 满足Ax=l x，那么这样的数 l 称为矩阵 A 的特征值，非零向量 x 称为 A 对应于特征值 l 的特征向量Ax=l x=lE x 非零向量 x 满足(AlE)x=0（零向量）齐次线性方程组有非零解系数行列式|AlE|=0特征方程特征方程特征多项式特征多项式 特征方程|AlE|=0 特征多项式|AlE|111212122212|0nnnnnnaaaaaaAEaaal ll ll ll l 二、基本性质 在复数范围内 n 阶矩阵 A 有 n 个特征值（重根按重数计算）设 n 阶矩阵 A 的特征值为 l1,l2,ln，则l1+l
22、2+ln=a11+a22+ann l1 l2 ln=|A|例：例：求矩阵求矩阵 的特征值和特征向量的特征值和特征向量解：解：A 的特征多项式为的特征多项式为所以所以 A 的特征值为的特征值为 l l1=2，l l2=4 当当 l l1=2 时，时，对应的特征向量应满足对应的特征向量应满足 ，即，即解得基础解系解得基础解系 3113A 2231|(3)186(4)(2)13AEl llllllllllllll l1231012302xx 12110110 xx 111p k p1（k 0）就是对应的特征向量就是对应的特征向量例：例：求矩阵求矩阵 的特征值和特征向量的特征值和特征向量解：解：A 的
23、特征多项式为的特征多项式为所以所以 A 的特征值为的特征值为 l l1=2，l l2=4 当当 l l2=4 时，时，对应的特征向量应满足对应的特征向量应满足 ，即，即解得基础解系解得基础解系 3113A 2231|(3)186(4)(2)13AEl llllllllllllll l1231014304xx 12110110 xx 211p k p2（k 0）就是对应的特征向量就是对应的特征向量例：例：求矩阵求矩阵 的特征值和特征向量的特征值和特征向量解：解：所以所以 A 的特征值为的特征值为 l l1=1，l l2=l l3=2 211020413A 2221121020(2)43413(2
24、)(2)(1)(2)AEl ll llllllll ll lllllllllll 例：例：求矩阵求矩阵 的特征值和特征向量的特征值和特征向量解（续）：解（续）：当当 l l1=1 时，因为时，因为解方程组解方程组(A+E)x=0解得基础解系解得基础解系 211020413A 1111101030 010414000rAEAEl l 1101p k p1（k 0）就是对应的特征向量就是对应的特征向量例：例：求矩阵求矩阵 的特征值和特征向量的特征值和特征向量解（续）：解（续）：当当 l l2=l l3=2 时，因为时，因为解方程组解方程组(A2E)x=0解得基础解系解得基础解系 k2 p2+k3
25、p3（k2,k3 不同时为零）不同时为零）就是对应的特征向量就是对应的特征向量211020413A 4114112000 000411000rAE 23100,141pp 二、基本性质 在复数范围内 n 阶矩阵 A 有 n 个特征值（重根按重数计算）设 n 阶矩阵 A 的特征值为 l1,l2,ln，则l1+l2+ln=a11+a22+ann l1 l2 ln=|A|若 l 是 A 的一个特征值，则齐次线性方程组的基础解系就是对应于特征值为 l 的全体特征向量的最大无关组例：例：设设 l l 是方阵是方阵 A 的特征值，证明的特征值，证明(1)l l2 是是 A2 的特征值；的特征值；(2)当当
26、 A 可逆时，可逆时，1/l l 是是 A1 的特征值的特征值结论：结论：若非零向量若非零向量 p 是是 A 对应于特征值对应于特征值 l l 的特征向量，则的特征向量，则pl l2 是是 A2 的特征值，对应的特征向量也是的特征值，对应的特征向量也是 p pl lk 是是 Ak 的特征值，对应的特征向量也是的特征值，对应的特征向量也是 p p当当 A 可逆时，可逆时，1/l l 是是 A1 的特征值，对应的特征向量仍然的特征值，对应的特征向量仍然是是 p 二、基本性质 在复数范围内 n 阶矩阵 A 有n 个特征值（重根按重数计算）设 n 阶矩阵 A 的特征值为 l1,l2,ln，则l1+l2
27、+ln=a11+a22+ann l1 l2 ln=|A|若 l 是 A 的一个特征值，则齐次线性方程组的基础解系就是对应于特征值为 l 的全体特征向量的最大无关组 若 l 是 A 的一个特征值，则 j(l)=a0+a1 l+am l m是矩阵多项式 j(A)=a0+a1 A+am A m 的特征值例：例：设设3 阶方阵阶方阵 A 的特征值为的特征值为1,1,2，求，求A*+3A2E 的特征值的特征值解：解：A*+3A2E=|A|A1+3A2E=2A1+3A2E=j j (A)其中其中|A|=1(1)2=2 设设 l l 是是 A 的一个特征值，的一个特征值，p 是对应的特征向量令是对应的特征向
28、量令则则2()32j llj lll l 11()(232)2()3()2223232()A pAAE pA pApppppppj jllj lllj lllll 定理：定理：设设 l l1,l l2,l lm 是方阵是方阵 A 的特征值，的特征值，p1,p2,pm 依依次是与之对应的特征向量，如果次是与之对应的特征向量，如果l l1,l l2,l lm 各不相同，则各不相同，则p1,p2,pm 线性无关线性无关例：例：设设 l l1 和和 l l2 是方阵是方阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征的两个不同的特征值，对应的特征向量依次为向量依次为 p1 和和 p2，证明证明 p1+p2不是不
29、是 A 的特征向量的特征向量3 相似矩阵相似矩阵定义：设 A,B 都是 n 阶矩阵，若有可逆矩阵 P 满足P 1AP=B，则称 B 为矩阵 A 的相似矩阵，或称矩阵A 和 B 相似对 A 进行运算 P 1AP 称为对 A 进行相似变换称可逆矩阵 P 为把 A 变成 B 的相似变换矩阵定理：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 和 B 的特征多项式相同,从而 A 和 B 的特征值也相同证明：根据题意，存在可逆矩阵 P，使得 P 1AP=B 于是|B lE|=|P 1AP P 1(lE)P|=|P 1(AlE)P|=|P 1|AlE|P|=|AlE|定理：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则
30、A 和 B 的特征多项式相同,从而 A 和 B 的特征值也相同推论：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 的多项式 j(A)和 B 的多项式 j(B)相似证明：设存在可逆矩阵 P，使得 P 1AP=B，则P 1AkP=Bk.设j(x)=cmxm+cm1xm1+c1x+c0，那么 P 1 j(A)P=P 1 cmAm+cm1Am1+c1A+c0 E)P=cm P 1 Am P+cm1P 1 A m1 P+c1 P 1 A P+c0 P 1 EP=cmBm+cm1Bm1+c1B+c0 E=j(B).定理：设 n 阶矩阵 L=diag(l1,l2,ln)，则l1,l2,ln 就是 L 的 n 个
31、特征值证明：故 l1,l2,ln 就是 L 的 n 个特征值1212()()()nnEl ll llllllllll ll ll llllllll lL L 定理：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 和 B 的特征多项式相同,从而 A 和 B 的特征值也相同推论：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 的多项式 j(A)和 B 的多项式 j(B)相似若 n 阶矩阵 A 和 n 阶对角阵 L=diag(l1,l2,ln)相似，则从而通过计算j(L)可方便地计算j(A).若j(l)=|AlE|，那么 j(A)=O（零矩阵）.1211()()()()()nAPPPPj jj jj jj jl
32、 ll ll lj jLL可逆矩阵可逆矩阵 P，满足，满足 P 1AP=L L（对角阵）（对角阵）AP=PL LApi=l li pi(i=1,2,n)A 的的特征值特征值对应的对应的特征向量特征向量121212(,)(,)nnnA ppppppl ll ll l 其中其中?P.123定理定理4：n 阶矩阵阶矩阵 A 和对角阵相似和对角阵相似当且仅当当且仅当A 有有 n 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量推论：推论：如果如果 A 有有 n 个个不同的特征值，则不同的特征值，则 A 和对角阵相似和对角阵相似4 对称矩阵的对角化对称矩阵的对角化定理：定理：设设 l l1,l l2,l lm
33、是方阵是方阵 A 的特征值，的特征值，p1,p2,pm 依依次是与之对应的特征向量，如果次是与之对应的特征向量，如果 l l1,l l2,l lm 各不相同，则各不相同，则p1,p2,pm 线性无关线性无关（P.120定理定理2）可逆矩阵可逆矩阵 P，满足，满足 P 1AP=L L（对角阵）（对角阵）AP=PL LApi=l li pi(i=1,2,n)A 的的特征值特征值对应的对应的特征向量特征向量121212(,)(,)nnnA ppppppl ll ll l 其中其中?(Al li E)pi=0 矩阵矩阵 P 的的列向量组列向量组线性无关线性无关定理：定理：设设 l l1,l l2,l
34、lm 是方阵是方阵 A 的特征值，的特征值，p1,p2,pm 依依次是与之对应的特征向量，如果次是与之对应的特征向量，如果 l l1,l l2,l lm 各不相同，则各不相同，则p1,p2,pm 线性无关线性无关（P.120定理定理2）定理：定理：n 阶矩阵阶矩阵 A 和对角阵相似（即和对角阵相似（即 A 能对角化）的充分能对角化）的充分必要条件是必要条件是 A 有有 n 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量（P.123定理定理4）推论：推论：如果如果 A 有有 n 个不同的特征值，则个不同的特征值，则 A 和对角阵相似和对角阵相似说明：当说明：当 A 的特征方程有重根时，就不一定有的特征
35、方程有重根时，就不一定有 n 个线性无关个线性无关的特征向量，从而不一定能对角化的特征向量，从而不一定能对角化（P.118例例6）定理：定理：设设 l l1,l l2,l lm 是方阵是方阵 A 的特征值，的特征值，p1,p2,pm 依依次是与之对应的特征向量，如果次是与之对应的特征向量，如果 l l1,l l2,l lm 各不相同，则各不相同，则p1,p2,pm 线性无关线性无关（P.120定理定理2）定理：定理：设设 l l1 和和 l l2 是是对称阵对称阵 A 的特征值，的特征值，p1,p2 是对应的特是对应的特征向量，如果征向量，如果 l l1 l l2，则，则 p1,p2 正交正交
36、（P.124定理定理6）证明：证明：A p1=l l1 p1，A p2=l l2 2 p2，l l1 l l2 l l1 p1T=(l l1 p1)T=(A p1)T=p1T A T=p1T A（A 是对称阵）是对称阵）l l1 p1T p2=p1T A p2=p1T(l l2 2 p2)=l l2 p1T p2(l l1 l l2)p1T p2=0因为因为l l1 l l2，则，则 p1T p2=0，即，即 p1,p2 正交正交定理：定理：设设 A 为为 n 阶对称阵，则必有阶对称阵，则必有正交阵正交阵 P，使得，使得P 1AP=PTAP=L L，其中其中 L L 是以是以 A 的的 n 个
37、特征值为对角元的对角阵（不唯一）个特征值为对角元的对角阵（不唯一）.（P.124定理定理7）定理：定理：n 阶矩阵阶矩阵 A 和对角阵相似（即和对角阵相似（即 A 能对角化）的充分能对角化）的充分必要条件是必要条件是 A 有有 n 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量（P.123定理定理4）推论：推论：如果如果 A 有有 n 个不同的特征值，则个不同的特征值，则 A 和对角阵相似和对角阵相似说明：当说明：当 A 的特征方程有重根时，就不一定有的特征方程有重根时，就不一定有 n 个线性无关个线性无关的特征向量，从而不一定能对角化的特征向量，从而不一定能对角化定理：定理：n 阶矩阵阶矩阵 A
38、和对角阵相似（即和对角阵相似（即 A 能对角化）的充分能对角化）的充分必要条件是必要条件是 A 有有 n 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量（P.123定理定理4）推论：推论：如果如果 A 有有 n 个不同的特征值，则个不同的特征值，则 A 和对角阵相似和对角阵相似说明：当说明：当 A 的特征方程有重根时，就不一定有的特征方程有重根时，就不一定有 n 个线性无关个线性无关的特征向量，从而不一定能对角化的特征向量，从而不一定能对角化推论：推论：设设 A 为为 n 阶对称阵，阶对称阵，l l 是是 A 的特征方程的的特征方程的 k 重根，则重根，则矩阵矩阵 A lE lE 的秩等于的秩等于
39、n k，恰有恰有 k 个线性无关的特征向量与特征值个线性无关的特征向量与特征值 l l 对应对应例：例：设设 ，求，求正交阵正交阵 P，使，使P1AP=L L对角阵对角阵.解：解：因为因为 A 是对称阵，所以是对称阵，所以 A 可以对角化可以对角化求得求得 A 的特征值的特征值 l l1=2，l l2=l l3=1 011101110A 211|11(1)(2)11AEl llllllllll l 当当 l l1=2 时，时，解方程组解方程组(A+2E)x=0 ，得基础解系，得基础解系 当当 l l2=l l3=1 时，时，解方程组解方程组(AE)x=0 ，得，得 令令 ，则，则 .问题：这样
40、的解法对吗？问题：这样的解法对吗？2111012121 011112000rAE 1111 111111111 000111000rAE 23111,001 123111(,)110101P 1000000211PAP L L p当当 l l1=2时，对应的特征向量为时，对应的特征向量为 ；p当当 l l2=l l3=1 时，对应的特征向量为时，对应的特征向量为 .显然，必有显然，必有 1 2，1 3，但，但 2 3 未必成立未必成立于是把于是把 2,3 正交化：正交化：此时此时 1h h2，1h h3，h h2h h3 1111 23111,001 32223322211,11,1,202
41、h hhhhhhhh hh h 单位化：单位化：p当当 l l1=2时，对应的特征向量为时，对应的特征向量为 ；p当当 l l2=l l3=1 时，对应的特征向量为时，对应的特征向量为 .1111 231111,1202hhhh 111131p 2311111,12602pp p当当 l l1=2时，对应的特征向量为时，对应的特征向量为 ；p当当 l l2=l l3=1 时，对应的特征向量为时，对应的特征向量为于是于是 p1,p2,p3 构成正交阵构成正交阵从而从而 111131p 2311111,12602pp 123111326111(,)32612036Pppp 1000000211PA
42、P L L 把对称阵把对称阵 A 对角化的步骤为：对角化的步骤为：1.求出求出 A 的所有各不相同的特征值的所有各不相同的特征值 l l1,l l2,l ls，它们的重，它们的重数依次为数依次为k1,k2,ks（k1+k2+ks=n）2.对每个对每个 ki 重特征值重特征值 l li，求方程组，求方程组|Al li E|=0 的基础解的基础解系，得系，得 ki 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量把这把这 ki 个线性无关的特征向量正交化、单位化，得到个线性无关的特征向量正交化、单位化，得到 ki 个两两正交的单位特征向量个两两正交的单位特征向量因为因为k1+k2+ks=n，总共可得，总共
43、可得 n 个两两正交的单位个两两正交的单位特征向量特征向量3.这这 n 个两两正交的单位特征向量构成正交阵个两两正交的单位特征向量构成正交阵 P，便有，便有P 1AP=L L L L 中对角元的排列次序应于中列向量的排列次序相对应中对角元的排列次序应于中列向量的排列次序相对应.例：例：设设 ，求，求 An .分析：分析：p数学归纳法数学归纳法2112A 22222212154131311212452 1313A3332335421141313131451213142 1313AA A11111211313131311212213131313nnnnnnnnnnAAA 定理：若 n 阶矩阵 A
44、和 B 相似，则 A 和 B 的特征多项式相同,从而 A 和 B 的特征值也相同推论：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 的多项式 j(A)和 B 的多项式 j(B)相似若 n 阶矩阵 A 和 n 阶对角阵 L=diag(l1,l2,ln)相似，则从而通过计算j(L)可方便地计算j(A).若j(l)=|AlE|，那么 j(A)=O（零矩阵）.1211()()()()()nAPPPPj jj jj jj jl ll ll lj jLL例：例：设设 ，求，求 An .分析：分析：p数学归纳法数学归纳法p因为因为 A 是对称阵，所以是对称阵，所以 A 可以对角化可以对角化求得求得 A 的特征值
45、的特征值 l l1=1，l l2=3下面求满足下面求满足 P 1AP=的可逆矩阵的可逆矩阵 P 2112A 221|(2)1(1)(3)12AElllllll ll ll l 1003L L 1003nnL L 下面求满足下面求满足 P 1AP=的可逆矩阵的可逆矩阵 P 当当 l l1=1 时，时，解方程组解方程组(AE)x=0 ，得基础解系，得基础解系 当当 l l2=3 时，时，解方程组解方程组(A3E)x=0 ，得基础解系，得基础解系 问题：是否需要单位化？问题：是否需要单位化？于是于是 Ap1=p1，A p2=3 p2，即，即 若若 ，则，则 11111100rAE 111p 1111
46、31100rAE211p 121210(,)(,)03A pppp 1211(,)11Ppp 11003PAP 11112 11P 于是于是 ，即，即11()11101112 1103111110111313112 1103112 1313nnnnnnnnnAP PPPLLLL 11003PAP L L1AP P LL5 二次型及其标准形二次型及其标准形1000对应对应 11,0.xxy yx0(,)P x y111(,)P xy投影变换投影变换 例例 2阶方阵阶方阵 cossinsincosjjjjjjjj 对应对应 1111cossin,sincos.xxyyxyjjjjjjjj 以原点为
47、中心逆时针以原点为中心逆时针旋转旋转j j 角角的的旋转变换旋转变换 例例 2阶方阵阶方阵 (,)P x y111(,)P xyj j yx0 解析几何中，二次曲线的一般形式ax2+bxy+cy2=0 通过选择适当的的旋转变换使得 mx 2+ny 2=0 定义：含有 n 个变量 x1,x2,xn 的二次齐次函数称为二次型cossin,sincos.xxyyxyjjjjjjjj 22212111222121213131,1(,)222nnnnnnnnf xxxa xa xa xa x xa x xaxx22212111222121213131,12111121211221212222221122
48、,1222(,)nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnijiji jf xxxa xa xa xa x xa x xaxxa xa x xa x xa x xa xa x xa x xa x xa xa x x 令令 aij=aji，则，则 2 aij xi xj=aij xi xj+aji xi xj，于是，于是212111121211221212222221122(,)nnnnnnnnnnnnf xxxa xa x xa x xa x xa xax xa x xax xa x 11111221()nnx a xa xa x22112222()nnx a xa xax1122()nnnnn
49、nx a xaxa x11112212112222121122(,)nnnnnnnnnna xa xa xa xa xaxxxxa xaxa x 1112112122221212(,)nnnnnnnnaaaxaaaxxxxaaax Tx Ax 对称阵对称阵111211212222121212(,)(,)nnnnnnnnnaaaxaaaxf xxxxxxaaax 111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa 对称阵对称阵 A 的秩也叫做的秩也叫做二次型二次型 f 的秩的秩线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.对称阵的对称阵的二次型二次型二次型二次型
50、的矩阵的矩阵对于二次型，寻找可逆的线性变换对于二次型，寻找可逆的线性变换使二次型只含平方项，即使二次型只含平方项，即f =k1 y12+k2 y22+kn yn2 定义：定义：只含平方项的二次型称为二次型的只含平方项的二次型称为二次型的标准形标准形（或法式）（或法式）.如果标准形的系数如果标准形的系数 k1,k2,kn 只在只在1,0,1三个数中取值三个数中取值,即即 f =k1 y12+kp yp2 kp+1 yp+12 kr yr2 则上式称为二次型的则上式称为二次型的规范形规范形说明：这里只讨论实二次型，所求线性变换也限于实数范围说明：这里只讨论实二次型，所求线性变换也限于实数范围.11
