1、函数的概念与性质函数的概念与性质一二一、函数的表示法1.(1)初中学过的3种常用的函数的表示方法是如何定义的?提示:解析法:用数学表达式表示两个变量之间的对应关系;图象法:用图象表示两个变量之间的对应关系;列表法:列出表格来表示两个变量之间的对应关系.(2)教材P60P61问题1问题4,分别是用什么方法表示函数的?提示:问题1、2是用解析法,问题3是用图象法,问题4是用列表法.一二(3)函数的三种表示方法各有什么优缺点?一二(4)做一做某同学计划买x(x1,2,3,4,5)支2B铅笔,每支铅笔的价格为0.5元,共需y元,于是y与x之间建立起了一个函数关系.函数的定义域是什么?提示:1,2,3,
2、4,5y与x有何关系?提示:y=0.5x试用表格表示y与x之间的关系.提示:表格如下:一二试用图象表示y与x之间的关系.提示:图象如下:一二二、函数的图象1.(1)初中我们已研究过直线、反比例函数及二次函数的图象,请作出y=2x-1,y=,y=x2的图象.观察这些图象有什么共同特点?提示:共同的特点是由满足一定条件的点构成的,具体地说就是将函数y=f(x)中的自变量x作为横坐标、对应因变量y作为纵坐标描成点,所有的点即构成该函数的图象.(2)如何作出函数y=f(x)的图象?提示:将自变量的一个值x0作为横坐标就得到坐标平面上的一个点(x0,f(x0),自变量取遍函数定义域A的每个值时,就得到一
3、系列这样的点,所有这些点组成的集合(点集)为(x,y)|y=f(x),xA,这些点组成的曲线就是函数y=f(x)的图象.一二(3)怎样判断一个图象所表示的是不是y关于x的某个函数?提示:任作垂直于x轴的直线,若此直线与图象至多有一个交点,则图象即为某个函数的图象.(4)如何由函数图象确定其定义域和值域?提示:图象在x轴上的投影所表示的区间为定义域,在y轴上的投影所表示的区间为值域.2.做一做下列图形可表示函数y=f(x)图象的只可能是()答案:D探究一探究二探究三思维辨析随堂演练列表列表法表示函数法表示函数例1(一题多空题)已知函数f(x),g(x)分别由下表给出:则f(g(1)=;当g(f(
4、x)=2时,x=.分析:这是用列表法表示的函数求值问题,在解答时,找准变量对应的值即可.解析:由g(x)的对应表,知g(1)=3,f(g(1)=f(3).由f(x)的对应表,知f(3)=1,f(g(1)=f(3)=1.由g(x)的对应表,知当x=2时,g(2)=2.又g(f(x)=2,f(x)=2.又由f(x)的对应表,知当x=1时,f(1)=2.x=1.答案:11探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思反思感悟感悟 列表法是表示函数的重要方法,这如同我们在画函数图象时所列的表,它的明显优点是变量对应的函数值在表中可直接找到,不需要计算.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练延伸探究延伸探究在本例已
5、知条件下,g(f(1)=;当f(g(x)=2时,x=.解析:f(1)=2,g(f(1)=g(2)=2.f(g(x)=2,g(x)=1,x=3.答案:23探究一探究二探究三思维辨析随堂演练求求函数的函数的解析式解析式例2(1)已知f(x+1)=x2-3x+2,求f(x);(2)已知f(x)是二次函数,且满足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,求f(x)的解析式;(3)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)+2f(-x)=3x-2,求f(x).分析:(1)(方法一)令x+1=t,将x=t-1代入f(x+1)=x2-3x+2可得f(t),即可得f(x);(方法二)由于f(x+1)中x+1的
6、地位与f(x)中x的地位相同,因此还可以将f(x+1)变形为f(x+1)=(x+1)2-5(x+1)+6.(2)设出f(x)=ax2+bx+c(a0),再根据条件列出方程组求出a,b,c的值.(3)将f(x)+2f(-x)=3x-2中的x用-x代替,解关于f(x)与f(-x)的方程组即可.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练解:(1)(方法一)令x+1=t,则x=t-1.将x=t-1代入f(x+1)=x2-3x+2,得f(t)=(t-1)2-3(t-1)+2=t2-5t+6,f(x)=x2-5x+6.(方法二)f(x+1)=x2-3x+2=x2+2x+1-5x-5+6=(x+1)2-5(x+1)
7、+6,f(x)=x2-5x+6.(2)设所求的二次函数为f(x)=ax2+bx+c(a0).f(0)=1,c=1,则f(x)=ax2+bx+1.f(x+1)-f(x)=2x对任意的xR都成立,a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x,探究一探究二探究三思维辨析随堂演练(3)对于任意的x都有f(x)+2f(-x)=3x-2,将x替换为-x,得f(-x)+2f(x)=-3x-2,联立方程组消去f(-x),可得f(x)=-3x-.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟 求函数解析式的四种常用方法1.直接法(代入法):已知f(x)的解析式,求f(g(x)的解析式,直接将g(x)
8、代入即可.2.待定系数法:若已知函数的类型,可用待定系数法求解,即由函数类型设出函数解析式,再根据条件列方程(或方程组),通过解方程(组)求出待定系数,进而求出函数解析式.3.换元法(有时可用“配凑法”):已知函数f(g(x)的解析式求f(x)的解析式可用换元法(或“配凑法”),即令g(x)=t,反解出x,然后代入f(g(x)中求出f(t),从而求出f(x).4.解方程组法或消元法:在已知式子中,含有关于两个不同变量的函数,而这两个变量有着某种关系,这时就要依据两个变量的关系,建立一个新的关于两个变量的式子,由两个式子建立方程组,通过解方程组消去一个变量,得到目标变量的解析式,这种方法叫做解方
9、程组法或消元法.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练变式训练1(1)已知f(x)是一次函数,且f(f(x)=2x-1,求f(x)的解析式;解:(1)f(x)为一次函数,可设f(x)=ax+b(a0).f(f(x)=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b=2x-1.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练故所求函数的解析式为f(x)=x2-1,其中x1.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练函数函数的图象及应用的图象及应用例3 作出下列函数的图象,并求其值域:(1)y=1-x(xZ);(2)y=2x2-4x-3(0 x0.答案:y=80 x(x+10),x(0,+)探究一探究二探究三思维辨析随堂演练5.已知函数f(x)=x2-2x(-1x2).(1)画出f(x)的图象;(2)根据图象写出f(x)的值域.解:(1)f(x)的图象如图所示.(2)观察f(x)的图象可知,f(x)图象上所有点的纵坐标的取值范围是-1,3,故f(x)的值域是-1,3.
