1、2.2.2等差数列的前等差数列的前n项和项和 如图堆放一堆钢管，最上一层放了如图堆放一堆钢管，最上一层放了4根，根，下面每一层比上一层多放一根，共下面每一层比上一层多放一根，共8层，这层，这堆钢管共有多少根？堆钢管共有多少根？这堆钢管从上到下的数这堆钢管从上到下的数量组成一个等差数列。量组成一个等差数列。其中其中a1=4，公差，公差d=1.最下一层中最下一层中a8=11。即求即求4+5+6+11=?我们设想，在这堆钢管旁，如图所示堆放同我们设想，在这堆钢管旁，如图所示堆放同样数量的钢管，这时每层都有钢管样数量的钢管，这时每层都有钢管(4+11)根根.因此钢管的总数是因此钢管的总数是(4+11)
2、824 1182=60(根根)这种算法对于等差数列这种算法对于等差数列前前n项和的计算具有一般性项和的计算具有一般性。等差数列的前等差数列的前n项和公式推导项和公式推导等差数列等差数列an中，中，a1，a2，a3，an，的的公差为公差为d.a1a2 a3 an=a1+(a1+d)+(a1+2d)+a1+(n1)d anan1 an2 a1=an+(and)+(an2d)+an(n1)d)(21nnaanS2)(1nnaanSdnaan)1(1dnnnaSn2)1(1两式相加得两式相加得即即 这就是说，等差数列的前这就是说，等差数列的前n项和等于项和等于首首末两项的和与项数乘积的一半末两项的和与
3、项数乘积的一半。公式中代入等差数列的通项公式公式中代入等差数列的通项公式得到得到例例1等差数列等差数列an的公差为的公差为2，第，第20项项a20=29，求前求前20项的和项的和S20.解：因为解：因为29=a1+192，解得，解得a1=9，所以所以 2020(929)2002S 例例2已知数列已知数列an的前的前n项和公式为项和公式为Sn=2n230n （1）这个数列是等差数列吗？求出它的通项）这个数列是等差数列吗？求出它的通项公式；公式；（2）求使得）求使得Sn最小的序号最小的序号n的值。的值。解：（解：（1）将）将n1代入到数列的前代入到数列的前n项和公式，项和公式，得得Sn1=2(n1
4、)230(n1)，因此因此an=SnSn1=4n32，(n2)，当当n=1时，时，a1=S1=230=28，也适合上式，也适合上式，所以这个数列的通项公式是所以这个数列的通项公式是an=4n32。（2）因为）因为 22152252302()22nSnnn又因为又因为n是正整数，是正整数，所以当所以当n=7或或=8时，时，Sn最小，最小，最小值是最小值是112.对对Sn的深入认识的深入认识nanOan=4n14已知一个等差数列已知一个等差数列an=4n14 它是一个关于它是一个关于n的一次的一次函数，它的图象是在一条函数，它的图象是在一条直线上的若干点。直线上的若干点。nSnO6Sn=2n212
5、n它的前它的前n项和是项和是 Sn=2n212n 这是一个关于这是一个关于n的二次函数，的二次函数，且二次函数的常数项为且二次函数的常数项为0.反之若一个数列反之若一个数列an，它的前，它的前n项和的表达式是关于项和的表达式是关于n的二次的二次函数，且二次函数的常数项为函数，且二次函数的常数项为0，则这个数列是等差数列则这个数列是等差数列它的图象是抛物线上的若干点。它的图象是抛物线上的若干点。例例3李先生为今年上高中的儿子办理了李先生为今年上高中的儿子办理了“教育教育储蓄储蓄”，从，从8月月1日开始，每个月的日开始，每个月的1号都存入号都存入100元，存期三年：元，存期三年：（1）已知当年）已
6、知当年“教育储蓄教育储蓄”存款的月利率为存款的月利率为2.7，问到期时，李先生一次可支取本息共多，问到期时，李先生一次可支取本息共多少元？少元？（2）已知当年同档期的）已知当年同档期的“零存整取零存整取”储蓄的月储蓄的月利率是利率是1.725，问李先生办理，问李先生办理“教育储蓄教育储蓄”比比“零存整取零存整取”多收益多少元？多收益多少元？解：（解：（1）100元元“教育储蓄教育储蓄”存款的月利息是存款的月利息是1002.7=0.27（元），（元），第第1个个100元存元存36个月，得利息个月，得利息0.2736（元）（元）;第第2个个100元存元存35个月，得利息个月，得利息0.2735（元
7、）（元）;第第36个个100元存元存1个月，得利息个月，得利息0.271（元），（元），此时李先生获得利息此时李先生获得利息 0.27(1+2+3+36)=179.82(元元)，本息和为本息和为3600+179.82=3779.82元；元；（2）100元元“零存整取零存整取”的月利息为的月利息为 1001.725=0.1725（元），（元），存存3年的利息是年的利息是 0.1725(1+2+3+36)=114.885(元元)，因此李先生多收益因此李先生多收益 179.82114.885(120%)=87.912元元.答：李先生办理答：李先生办理“教育储蓄教育储蓄”比比“零存整零存整取取”多收益
8、多收益87.912元元1.若数列的前若数列的前n项和为项和为 252,nSnn则数列（则数列（）(1)是公差为是公差为2的等差数列的等差数列(2)是公差为是公差为5的等差数列的等差数列(3)是公差为是公差为10的等差数列的等差数列(4)是公差为是公差为10的等差数列的等差数列C练习：练习：2.在等差数列在等差数列an中，中，a2+a4=p，a3+a5=q则其前则其前6项的和项的和S6为为()(A)5(p+q)/4 (B)3(p+q)/2 (C)p+q (D)2(p+q)B3.已知等差数列已知等差数列an的前的前n项和为项和为Sn，若若a4=18 a5，则，则S8等于（等于（）A.18 B.36
9、 C.54 D.72 D30113030 29602Sad10.55:0.1ad解得309003030(30)60SABAB10010103024002030ABABAB解得解法三：解法三：设设a1+a2+a10=A，a11+a12+a20=B，a21+a22+a30=C，则则A，B，C成等差数列，成等差数列，且且A=10，A+B=30,解得解得B=20，所以所以C=30，S30=A+B+C=60.85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。约翰B塔布 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你
10、不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。戴尔卡内基 87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。贾柯瑞斯 88.每个意念都是一场祈祷。詹姆士雷德非 89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。柏格森 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。托尔斯泰 91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。兰斯顿
11、休斯 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。玛科斯奥雷利阿斯 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。约翰纳森爱德瓦兹 94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。约翰拉斯金 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。威廉班 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。萧伯纳 97.有三个
12、人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。JE丁格 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。英国哲学家培根 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。马塞尔普劳斯特 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。罗丹 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。托尔斯泰 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的
13、景观，再上前去，又是另一番新的气候。叔本华 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。梭罗 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。威廉彭 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。戴尔卡内基 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。约翰罗伯克 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放
14、弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。撒母耳厄尔曼 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。卡雷贝C科尔顿 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。戴尔卡内基 110.每天安静地坐十五分钟倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。艾瑞克佛洛姆 111.你知道何谓沮丧-就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。坎伯 112.伟大这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之
15、处，照样可以伟大。布鲁克斯 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。罗根皮沙尔史密斯 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。阿萨赫尔帕斯爵士 115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。威廉海兹利特 116.昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。凯里昂 117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。BC福比斯 118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战
16、自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。迈可汉默 119.进步不是一条笔直的过程，而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。奥古斯汀 120.无论那个时代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得以持续的力量。史迈尔斯 121.有两种人是没有什么价值可言的：一种人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去做的事。CHK寇蒂斯 122.对于不会利用机会的人而言，机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成为不会孵化的蛋。乔治桑 123.未来不是固
17、定在那里等你趋近的，而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需要开拓，开路的过程，便同时改变了你和未来。约翰夏尔 124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。道格拉斯米尔多 125.大凡宇宙万物，都存在着正、反两面，所以要养成由后面.里面，甚至是由相反的一面，来观看事物的态度。老子 126.在寒冷中颤抖过的人倍觉太阳的温暖，经历过各种人生烦恼的人，才懂得生命的珍贵。怀特曼 127.一般的伟人总是让身边的人感到渺小；但真正的伟人却能让身边的人认为自己很伟大。G.K.Chesteron 128.医生知道的事如此的少，他们的收费却是如此的高。马克吐温 129.问题不在于：一个人能够轻蔑、藐视或批评什么，而是在于：他能够喜爱、看重以及欣赏什么。约翰鲁斯金
