等差数列的前n项和优秀课件10.ppt

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1、复习高斯,高斯,(1777(177718551855)德国著名德国著名数学家数学家。引入1+2+3+98+99+100=?高斯高斯10岁时曾很快算出岁时曾很快算出这一结果,如何算的呢?这一结果,如何算的呢?我们先看下面的问题。我们先看下面的问题。通项公式:通项公式:an=a1+(n-1)d 重要性质重要性质:(1)an=am+(n-m)d (2)当m+n=p+q时,am+an=ap+aq问题问题 1 1:下面再来看下面再来看1+2+3+98+99+100的高斯算法。的高斯算法。设设S100=1+2+3+98+99+100倒序倒序S S100100=100+99+98+3+2+1=100+99+

2、98+3+2+1+作作加加法法+作作加加法法多少个多少个101 101?100个个101101所以所以S S100100=21(1+100)(1+100)100100首项尾项总和(21+)项数2S100=101+101+101+101+101+101/+作作加加法法=5050=5050问题问题 2 2 一个堆放铅笔的一个堆放铅笔的V形架,最下面第一层放一形架,最下面第一层放一支铅笔,往上每一层都比它下面多放一支,就支铅笔,往上每一层都比它下面多放一支,就这样一层一层地往上放。最上面一层放这样一层一层地往上放。最上面一层放120支。支。求这个求这个V形架上共放着多少支铅笔?形架上共放着多少支铅笔

3、?怎样才能快速计算怎样才能快速计算出一堆钢管有多少根呢?出一堆钢管有多少根呢?120层层怎么计算呢?怎么计算呢?120层层怎么计算呢?怎么计算呢?先补后分先补后分想:探求三角形面积情景想:探求三角形面积情景120层层 =121 =72602120=(1+120)21202120 )(1201aa S120=1+2+3+120一、数列前一、数列前n项和的定义项和的定义数列数列 an:a1,a2,a3,an,我们把我们把a1a2 a3 an叫做叫做.猜测猜测问题问题 1 1:S100=1+2+1002100 )(1001aa 问题问题 2 2:S120=1+2+1202120 )(1201aa 2

4、n )(1nnaaS Sn=a1+a2+an?2)(1nnaanS 这就是等这就是等差数列前差数列前n n项和的公式!项和的公式!二、等差数二、等差数列前列前n n项求和项求和公式公式等差数列的前等差数列的前n项和公式的推项和公式的推导导,1a,2a,3a,na,nnnaaaaaS1321由等差数列由等差数列的前的前n项和项和)1()2()(1111dnadadaaSn )1()2()(dnadadaaSnnnnn 个个(nnnnnaaaaaaS)2111 )1naan (2)1nnaanS (2S2Sn n=(a=(a1 1+a+an n)+(a)+(a1 1+a+an n)+)+(a+(a

5、1 1+a+an n)多少个多少个(a1+an)?共有共有 n 个个(a1+an)把把+得:得:2S2Sn n=(a=(a1 1+a+an n)+(a)+(a2 2+a+an-1n-1)+(a)+(a3 3+a+an-2n-2)+)+(a an n+a+a1 1)由等差数列的性质:当由等差数列的性质:当m+n=p+q时,时,am+an=ap+aq 知知:a a1 1+a+an n=a=a2 2+a+an-1n-1=a=a3 3+a+an-2n-2=a an n+a+a1 1,所以所以式可化为:式可化为:=n n(a(a1 1+a+an n)这种求和这种求和的方法叫的方法叫倒倒序相加法!序相加法

6、!2)(1nnaanS因此,因此,证法二证法二:Sn=a1+a2+a3+an-2+an-1+an即即Sn=an+an-1+an-2+a3+a2+a1等差数列的前等差数列的前n项和公式的其它形式项和公式的其它形式2)1nnaanS (dnaan)1(1dnnnaSn2)11 (dnnnaSn2)11 (dnaan)1(1 例例 1 1:(1)求正整数数列前)求正整数数列前n项和项和21nn2121211nnn1 1、2 2、3 3、n-1n-1、n n(2 2)求)求:1+3+5+(2n+1)解:解:Sn=1+2+3+n-1+n=解:解:Sn=1+3+5+(2n+1)例例2 2v等差数列等差数列

7、10,6,2,2,的的前多少项的和为前多少项的和为54?解:设题中的等差数列是解:设题中的等差数列是an,前,前n项和为项和为Sn.则则a110,d6(10)4,Sn54.由等差数列前由等差数列前n项和公式,得项和公式,得.5442)1(10nnn解得解得 n19,n23(舍去)(舍去).因此,等差数列的前因此,等差数列的前9项和是项和是54.四、随堂练习四、随堂练习、根据下列各题中的条件,求相应的等差数列、根据下列各题中的条件,求相应的等差数列an的的sn(1)a=5,an=95,n=10(2)a1=100,d=2,n=50(3)a1=14.5,d=0.7,an=325002)955(101

8、0s25502)150(501005050s5.6042)325.14(26267.0)1(5.1432)1(1nnsnndnaa所以得先由2、求正整数列中前、求正整数列中前n个偶数的和个偶数的和。3、等差数列、等差数列5,4,3,2,1,前多少项的和是前多少项的和是30?)1(2)22(nnnnsn前前15项项例例3、课本、课本P49例例1思考题:思考题:11616151252,20,36SaSaaaaan求已知求已知中,在等差数列(1)(2)解:解:(1))(82)(1616116116aaaaS125152161aaaaaa36151252aaaa由已知条件18236161aa得1441

9、8816S(2)22020111122112116611111aaaaS课堂小结1.等差前等差前n项和项和Sn公式的推导公式的推导2.等差前等差前n项和项和Sn公式的记忆与应用;公式的记忆与应用;2)(1nnaanS dnnnaSn2)1(1 作业:作业:P52、习题习题2.3、1(1)、()、(2)2、3下一节见下一节见 85.每一年,我都更加相信生命的浪费是在于:我们没有献出爱,我们没有使用力量,我们表现出自私的谨慎,不去冒险,避开痛苦,也失去了快乐。约翰B塔布 86.微笑,昂首阔步,作深呼吸,嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌,吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来,你想让自己烦恼都不可能。戴尔

10、卡内基 87.当一切毫无希望时,我看着切石工人在他的石头上,敲击了上百次,而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时,石头被劈成两半。我体会到,并非那一击,而是前面的敲打使它裂开。贾柯瑞斯 88.每个意念都是一场祈祷。詹姆士雷德非 89.虚荣心很难说是一种恶行,然而一切恶行都围绕虚荣心而生,都不过是满足虚荣心的手段。柏格森 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石,我们的心灵正在失去自由,成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。托尔斯泰 91.要及时把握梦想,因为梦想一死,生命就如一只羽翼受创的小鸟,无法飞翔。兰斯顿休斯 92.生活的艺术较像角力的艺术,而较不像跳舞的艺术;最重要的是:站稳脚

11、步,为无法预见的攻击做准备。玛科斯奥雷利阿斯 93.在安详静谧的大自然里,确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。约翰纳森爱德瓦兹 94.对一个适度工作的人而言,快乐来自于工作,有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。约翰拉斯金 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了,因为没有时间我们几乎无法做任何事。威廉班 96.人生真正的欢欣,就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己;而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳,只知抱怨世界无法带给你快乐。萧伯纳 97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。爱我的人教我温柔;恨我的人

12、教我谨慎;对我冷漠的人教我自立。JE丁格 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来,根本无暇去想过去的事。英国哲学家培根 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色,也为了拥有全新的眼光。马塞尔普劳斯特 100.这个世界总是充满美好的事物,然而能看到这些美好事物的人,事实上是少之又少。罗丹 101.称赞不但对人的感情,而且对人的理智也发生巨大的作用,在这种令人愉快的影响之下,我觉得更加聪明了,各种想法,以异常的速度接连涌入我的脑际。托尔斯泰 102.人生过程的景观一直在变化,向前跨进,就看到与初始不同的景观,再上前去,又是另一番新的气候。叔本华 103.为何我们如此汲汲于名利,

13、如果一个人和他的同伴保持不一样的速度,或许他耳中听到的是不同的旋律,让他随他所听到的旋律走,无论快慢或远近。梭罗 104.我们最容易不吝惜的是时间,而我们应该最担心的也是时间;因为没有时间的话,我们在世界上什么也不能做。威廉彭 105.人类的悲剧,就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词,被屏蔽】,而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。戴尔卡内基 106.休息并非无所事事,夏日炎炎时躺在树底下的草地,听着潺潺的水声,看着飘过的白云,亦非浪费时间。约翰罗伯克 107.没有人会只因年龄而衰老,我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化,而放弃热情却会使灵魂老化。撒母耳厄尔曼

14、 108.快乐和智能的区别在于:自认最快乐的人实际上就是最快乐的,但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。卡雷贝C科尔顿 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁,在千钧一发之际,往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。戴尔卡内基 110.每天安静地坐十五分钟倾听你的气息,感觉它,感觉你自己,并且试着什么都不想。艾瑞克佛洛姆 111.你知道何谓沮丧-就是你用一辈子工夫,在公司或任何领域里往上攀爬,却在抵达最高处的同时,发现自己爬错了墙头。坎伯 112.伟大这个名词未必非出现在规模很大的事情不可;生活中微小之处,照样可以伟大。布鲁克斯 113.人生的目的有二:先是获得你想要的;然后是

15、享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。罗根皮沙尔史密斯 114.要经常听.时常想.时时学习,才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望,也不肯学习的人,没有生存的资格。阿萨赫尔帕斯爵士 115.旅行的精神在于其自由,完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。威廉海兹利特 116.昨天是张退票的支票,明天是张信用卡,只有今天才是现金;要善加利用。凯里昂 117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事,浪费健康则是二级的谋杀罪。BC福比斯 118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地,努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验,但适度的休息绝不可少,否则迟早会崩溃。迈可汉

16、默 119.进步不是一条笔直的过程,而是螺旋形的路径,时而前进,时而折回,停滞后又前进,有失有得,有付出也有收获。奥古斯汀 120.无论那个时代,能量之所以能够带来奇迹,主要源于一股活力,而活力的核心元素乃是意志。无论何处,活力皆是所谓“人格力量”的原动力,也是让一切伟大行动得以持续的力量。史迈尔斯 121.有两种人是没有什么价值可言的:一种人无法做被吩咐去做的事,另一种人只能做被吩咐去做的事。CHK寇蒂斯 122.对于不会利用机会的人而言,机会就像波浪般奔向茫茫的大海,或是成为不会孵化的蛋。乔治桑 123.未来不是固定在那里等你趋近的,而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现,而是需要开拓,开

17、路的过程,便同时改变了你和未来。约翰夏尔 124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害,如果他很慈悲,如果时间使他成熟而没有了偏见。道格拉斯米尔多 125.大凡宇宙万物,都存在着正、反两面,所以要养成由后面.里面,甚至是由相反的一面,来观看事物的态度。老子 126.在寒冷中颤抖过的人倍觉太阳的温暖,经历过各种人生烦恼的人,才懂得生命的珍贵。怀特曼 127.一般的伟人总是让身边的人感到渺小;但真正的伟人却能让身边的人认为自己很伟大。G.K.Chesteron 128.医生知道的事如此的少,他们的收费却是如此的高。马克吐温 129.问题不在于:一个人能够轻蔑、藐视或批评什么,而是在于:他能够喜爱、看重以及欣赏什么。约翰鲁斯金

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